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游客有多少

游客有多少

一批旅游者决定分乘几辆大汽车去游玩,要使每车有同样的人数.起先,每车乘坐22人,可是发现这时有一人坐不上车,若是开走一辆空车,那么所有的旅游者刚好平均分乘余下的汽车,请说明原先有多少辆汽车和这批旅游者有多少人?(已知每辆车的容量不多于32人)

分析与解答

设原先有k 辆汽车,而开走一辆汽车后,留下的每车乘n 人.我们注意到k ≥2,n ≤32.旅游者人数显然等于22k +1.一辆空车开走后,所有的旅游者为n (k -1)人.所以22k +1=n (k -1).由此

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23221122)1(221122-+=-++-=-+=

k k k k k n . 因为n 是自然数,所以123-k 必须是整数,但23是素数,又k ≥2,因此k -1=1或k -1=23.

如果k =2,那么n =45,不满足题目的条件,如果k =24,那么n =23,满足题目的条件,在这种情况下,旅游者的人数等于n (k -1)=23×23=529.

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