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2006我爱数学初中生夏令营数学竞赛

2006我爱数学初中生夏令营数学竞赛

  说明:第一试每小题50分,共150分,第

二试每小题15分,共150分.

第一试

1.(1)如果

4x3-x2-4x+2=(2x+α)2(x+β)+γ

是恒等式,求常数α、β、γ;

(2)已知|x|≤1.求代数式4x3-x2-4x+

2的最大值和最小值.

2.设△ABC的内切圆⊙O与边C A上的

中线BM交于点G、H,并且点G在点B和点

H之间.已知BG=H M,AB=2.那么,当BC、

C A为何值时,线段GH的长达到最大值?并

求GH的最大值.

3.给定一列正整数a1,a2,…,a n,…,其

中,a

1

=22006,并且对于每一个正整数i,a i+1

等于a

i的各位数字之和的平方.求a2006的

值.

第二试

1.已知

12a2+7b2+5c2

≤12a|b|-4b|c|-16c-16.

则a=,b=,c=.

2.已知a、b、c∈R,且满足a>b>c,

a+b+c=0.那么,c

a

的取值范围是.

3.代数式4-x2-1-x2达到最小值时,x的值为;代数式4-x2-1-x2达到最大值时,x的值为.

4.已知⊙O1、⊙O2外切,它们的半径分别为112、63,它们的内公切线被它们的两条外公切线截得的线段为AB.那么,AB的长为.

5.已知在直角坐标系xOy中,正方形ABCD的顶点A(-1,1),顶点C(1,1+23).那么,顶点B、D的坐标分别为、.

6.在一个m行、n列的方格表中,有mn 个边长为1的小方格.每个小方格用红、黄、蓝三种颜色中的一种颜色染色.已知方格表的每一行有6个红色的小方格,每一列有8个黄色的小方格,整个方格表共有15个蓝色的小方格.如果n是两位的质数,那么,m= ,n=.

7.方程

2x-6

x-11

=

3x-7

x+6

的解是.

8.设a、b为常数,并且b<0,抛物线y=ax2+bx+a2+2a-4的图像为图

2006我爱数学初中生夏令营数学竞赛

1中的四个图像之一.则a=.

图1

图2

9.如图2,在△ABC中,AB=BC=5,AC =7,△ABC的内切圆⊙O与边AC相切于点M,过点M作平行于边

BC的直线MN交⊙O于

点N,过点N作⊙O的

切线交AC于点P.则

MN-N P=

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73 2007年第1期