示范教案一(7[1].4简单的线性规划)第一课时

课 题：7.4简单的线性规划（一）

教学目的：

1．使学生了解二元一次不等式表示平面区域；

2．了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；

3．了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题王新敞

4．培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力王新敞

5． 结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生

创新王新敞

教学重点：二元一次不等式表示平面区域.

教学难点：把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答. 授课类型：新授课王新敞

课时安排：1课时王新敞

教 具：多媒体、实物投影仪王新敞

一、复习引入：

通过前几节的学习，我们知道，在平面直角坐标系中，以二元一次方程

01=-+y x 的解为坐标的点的集合{(y x ,)｜01=-+y x }是经过点（0，1）

和（1，0）的一条直线l ，那么，以二元一次不等式（即含有两个未知数，且未知数最高次数都是1的不等式）的解为坐标的点的集合{（y x ,)｜01>-+y x }是什么图形呢？ 二、讲解新课：

在平面直角坐标系中，所有的点被直线01=-+y x 分成三类： （1）在直线01=-+y x 上；

（2）在直线01=-+y x 的左下方的平面区域内； （3）在直线01=-+y x 的右上方的平面区域内.

即：对于任意一个点（y x ,），把它的坐标代入1-+y x ，可得到一个实数，或等于0，或大于0，或小于0.若x +y -1=0，则点(y x ,)在直线l 上.

我们猜想：对直线l 右上方的点(y x ,)，01>-+y x 成立；

对直线l 左下方的点（y x ,)，1-+y x ＜0成立. 我们的猜想是否正确呢？下面我们来讨论一下.

不妨，在直线1-+y x =0上任取一点P （0x ,0y )，过点P 作平行于x 轴的直线y =y 0,在此直线上点P 右侧的任意一点（y x ,），都有

x ＞0x ，y =0y ,所以，x +y ＞0x +0y ，1-+y x ＞0x +0y -1=0,

即1-+y x ＞0.

再过点P 作平行于y 轴的直线x =x 0，在此直线上点P 上侧的任意一点（y x ,)，都有x =0x ,y ＞0y .所以，x +y ＞0x +0y ，1-+y x ＞0x +0y -1=0,

即1-+y x ＞0.

因为点P （0x ,0y )是直线1-+y x =0上的任意点，所以对于直线

1-+y x =0右上方的任意点(y x ,)，1-+y x ＞0都成立.

同理，对于直线1-+y x =0左下方的任意点

（y x ,），1-+y x ＜0都成立.

如图所示：

所以，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式

1-+y x ＞0的解为坐标的点的集合{（y x ,)｜1-+y x ＞0}是在直线1-+y x =0右上方的平面区

域王新敞

如图所示：

那么，在平面直角坐标系中，以二元一次不

等式1-+y x ＜0的解为坐标的点的集合{(y x ,)｜1-+y x ＜0}是在直线1-+y x =0左下方的平面区域.

总之，二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组

成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）.

由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入

Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）王新敞

三、讲解范例：

例1画出不等式2x +y -6＜0表示的平面区域. 解：先画直线2x +y -6=0（画成虚线）. 取原点（0，0），代入2x +y -6,∵2×0+0-6=-6＜0, ∴原点在2x +y -6＜0表示的平面区域内，不等式2x +y -6＜0表示的区域如图：

例2 画出不等式组??

?

??≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域.

分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分王新敞

解：不等式x -y +5≥0表示直线x -y +5=0上及右下方的点的集合，x +y ≥0表示直线x +y =0上及右上方的点的集合，x ≤3表示直线x =3上及左方的点的集合.不等式组表示平面区域即为图示的三角形区域: 四、课堂练习：

1．画出不等式－x +2y －4＜0表示的平面区域.

解：先画直线－x +2y －4=0(画成虚线)，取原点(0，0)，代入－x ＋2y －4，因为0＋2×0－4＜0，所以，原点在－x +2y －4＜0表示的平面区域内，不等式－x ＋2y －4＜0表示的区域如图所示.

2．画出不等式组????

???<≤≥-≥-+5

3006x y y x y x 表示的平面区域王新敞

选题意图：考查不等式组表示的平面区域的画法王新敞

解：不等式x +y －6≥0表示在直线x +y －6=0上及右上方的点的集合，x －y ≥0表示在直线x －y =0上及

右下方的点的集合，y ≤3表示在直线y =3上及其下方的点的集合，x ＜5表示

直线x =5左方的点的集合，所以不等式组????

???<≤≥-≥-+5

3006x y y x y x 表示的平面区域如图

所示

说明：不等式组表示的区域应注意其边界线的虚实王新敞

3.已知直线l 的方程为Ax+By+C =0，M 1（x 1，y 1）、M 2(x 2,y 2)为直线l 异侧的任意两点，M 1、M 3(x 3,y 3)为直线l 同侧的任意两点，求证：

(1)Ax 1+By 1+C 与Ax 2+By 2+C 异号； (2)Ax 1+By 1+C 与Ax 3+By 3+C 同号.

证明：(1)因M 1、M 2在l 异侧，故l 必交线段M 1M 2于点M 0.

设M 0分M 1Ｍ2所成的比为λ，则分点M 0的坐标为

x 0＝

λλ++121x x ，y 0＝λ

λ++12

1y y 代入l 的方程得

A (

λλ++121x x )＋B （λ

λ++12

1y y ）＋C ＝0，

从而得Ax 1＋By 1＋C ＋λ（Ax 2＋By 2＋C ）＝0.解出λ，得 λ=C

By Ax C

By Ax ++++-

2211 王新敞

∵M 0为M 1Ｍ2的内分点，故λ＞0. ∴Ax 1＋By 1＋C 与Ax 2＋By 2＋C 异号.

(2)∵M 3、Ｍ1在l 同侧，而M 1、M 2在l 异侧，故M 3、M 2在l 异侧，利用(1)得Ax 3＋By 3＋C 与Ax 2＋By 2＋C 异号，

又∵Ax 1＋By 1＋C 与Ax 2＋By 2＋C 异号， ∴Ax 1＋By 1＋C 与Ax 3＋By 3＋C 同号王新敞

五、小结 ： “二元一次不等式表示平面区域”:（1）Ax +By +C ＞0表示直线Ax +By +C =0的某一侧的平面区域不包括边界的直线；（2）Ax +By +C ≥0所表示的平面区域包括边界直线Ax +By +C =0 王新敞

六、课后作业：王新敞

七、板书设计（略）王新敞

八、课后记：王新敞