高一数学立体几何基础题题库

高一数学立体几何基础题题库二

361. 有一个三棱锥和一个四棱锥，棱长都相等，将它们一个侧面重叠后，还有几个暴露面? 解析：有5个暴露面.

如图所示，过V 作VS ′∥AB ，则四边形S ′ABV 为平行四边形，有∠S ′VA=∠VAB=60°，从而ΔS ′VA 为等边三角形，同理ΔS ′VD 也是等边三角形，从而ΔS ′AD 也是等边三角形，得到以ΔVAD 为底，以S ′与S 重合.

这表明ΔVAB 与ΔVSA 共面，ΔVCD 与ΔVSD 共面，故共有5个暴露面.

362. 若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是 .(只须写出一个可能的值)

解析： 该题的显著特点是结论发散而不惟一.本题表面上是考查锥体求积公式这个知识点，实际上主要考查由所给条件构造一个四面体的能力，首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的. 排除｛1，1，2｝，可得｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝，然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四面体，再求其体积.

由平时所见的题目，至少可构造出二类满足条件的四面体，五条边为2，另一边为1，对棱相等的四面体.

对于五条边为2，另一边为1的四面体，参看图1所示，设AD=1，取AD 的中点为M ，平面BCM 把三棱锥分成两个三棱锥，由对称性可知AD ⊥面BCM ，且V A —BCM =V D —BCM ，所以

V ABCD =

3

1

S ΔBCM ·AD. CM=22DM CD -=2

2

)2

1(2-=

2

15

.设N 是BC 的中点，则MN ⊥BC ，MN=22CN CM -=

14

15-=

211，从而S ΔBCM =21×2×211=211

， 故V ABCD =

31×211×1=6

11

.

对于对棱相等的四面体，可参见图2.其体积的计算可先将其置于一个长方体之中，再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行.亦可套公式

V=12

2

·)b a c )(a c b )(c b a (222222222-+-+-+， 不妨令a=b=2，c=1，则

V=

12

2

·)441)(414)(144(-+-+-+ =

122

·7=12

14. 363. 湖结冰时，一个球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm 的空穴，求该球的半径.

解析：设球的半径为R ，依题意知截面圆的半径r ＝12,球心与截面的距离为d ＝R-8，由截面性

质得：r 2+d 2＝R 2,即122+(R-8)2＝R 2

. 得R ＝13 ∴该球半径为13cm.

364. 在有阳光时，一根长为3米的旗轩垂直于水平地面，它的影长为3米，同时将一个半径为3米的球放在这块水平地面上，如图所示，求球的阴影部分的面积(结果用无理数表示).

解析：由题意知，光线与地面成60°角，设球的阴影部分面积为S ，垂直于光线的大圆面积为S ′，则Scos30°＝S ′,并且S ′＝9π，所以S ＝63π(米2

)

365. 设棱锥M —ABCD 的底面是正方形，且MA ＝MD ，MA ⊥AB ，如果ΔAMD 的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.

解析： ∵AB ⊥AD ，AB ⊥MA ， ∴AB ⊥平面MAD ， 由此，面MAD ⊥面AC. 记E 是AD 的中点，

从而ME ⊥AD.

∴ME ⊥平面AC ， ME ⊥EF

设球O 是与平面MAD 、AC 、平面MBC 都相切的球. 不妨设O ∈平面MEF ，于是O 是ΔMEF 的内心. 设球O 的半径为r ，则r ＝MF

EM EF S MEF

++△2

设AD ＝EF ＝a,∵S ΔAMD ＝1. ∴ME ＝

a 2.MF ＝22

)2(a

a +, r ＝22)2

(22

a

a a a +++

≤

2

222

+＝2-1

当且仅当a ＝

a

2

，即a ＝2时，等号成立. ∴当AD ＝ME ＝2时，满足条件的球最大半径为2-1. 366. 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，期棱长为a. (1)求证BD ⊥截面AB 1C ；

(2)求点B 到截面AB 1C 的距离；

(3)求BB 1与截面AB 1C 所成的角的余弦值。

()11

1:DD BD

AC

⊥??⊥?⊥?

证明面ABCD BD

AC

同理BD 1⊥AB 1.∴BD 1⊥面ACB 1.

(2)AB=BC=BB 1?G 为△AB 1C 的中心.AC=2a AG=

3

6323a 22=?? a ∴BG=2

22229

396)36(

a a a a a =-=-=33a (3)∠BB 1G 为所求

cos ∠BB 1G=3

6

36

11==a a

BB GB 367. 已知Ｐ为ＡＢＣＤ所在平面外一点，Ｍ为ＰＢ的中点，求证：ＰＤ∥平面ＭＡＣ．

解析： 因M 为PB 的中点，连BD ∩AC 于O 后，可将PD 缩小平移到MO ，可见MO 为所求作的平行线．

证明 连ＡＣ交ＢＤ于Ｏ，连ＭＯ， 则ＭＯ为△ＰＢＤ的中位线，

∴ＰＤ∥ＭＯ，∵ＰＤ?平面ＭＡＣ，ＭＯ平面ＭＡＣ，

∴ＰＤ∥平面ＭＡＣ．

368. 如图，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，M ，N ，Ｅ，Ｆ分别是棱Ｂ1Ｃ1，A 1D 1，Ｄ1Ｄ，ＡＢ的中点．

（１）求证：Ａ1Ｅ⊥平面ＡＢＭＮ． （２）平面直线A 1E 与MF 所成的角． 解析：（１）要证A 1E ⊥平面ABMN ，只要在平面中找到两条相交直线与A 1E 都垂直，显然MN 与它垂直，这是因为MN ⊥平面A 1ADD 1，另一方面，AN 与A 1E 是否垂直，这是同一个平面中的问题，只要画出平面几何图形，用平几知识解决．（２）为（１）的应用．

证明 （１）∵AB ⊥平面A 1ADD 1， 而Ａ1Ｅ?平面A 1ADD 1，

∴AB ⊥Ａ1Ｅ．在平面A 1ADD 1中，A 1E ⊥AN ， ∵AN ∩AB ＝A ，∴A 1E ⊥平面ABMN ．

解 （２）由（１）知A 1E ⊥平面ABMN ，而MF ?平面ABMN ，∴A 1E ⊥MF ，

则A 1E 与MF 所成的角为９０°

369. 如图，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，M 为棱C Ｃ1的中点，AC 交BD 于点O ，求证：A

1O ⊥平面MBD ．

解析：要证A 1O ⊥平面MBD ，只要在平面MBD 内找到两条相交直线与A 1O 都垂直，首先想到DB ，先观察 A 1O 垂直DB 吗？

方法１：发现A 1O 平分DB ，想到什么？（△A 1DB 是否为等腰三角形） ∵A 1D ＝A 1B ，DO ＝OB ，∴A 1O ⊥DB ．

方法２：A 1O ⊥DB 吗？即DB ⊥A 1O 吗？DB 垂直包含A 1O 的平面吗？（易见DB ⊥平面A 1ACC 1） 再观察A 1O 垂直何直线？DM ？BM ？因这两条直线与A 1O 均异面，故难以直接观察，平面MDB 中还有何直线？易想到MO ，因MO 与A 1O 相交，它们在同一平面内，这是一个平几问题，可画出平几图进行观察．

证明 取CC 1中点M ，连结MO ，∵DB ⊥A 1A ，DB ⊥AC ，A 1A ∩AC=A ，∴DB ⊥平面A 1ACC 1，而A 1O ?平面A 1ACC 1，∴A 1O ⊥DB ．在矩形A 1ACC 1中，∵tan ∠AA 1O=

22，tan ∠MOC=2

2，∴∠AA 1O=∠MOC ，则∠A 1OA ＋∠MOC ＝９０°，∴A 1O ⊥OM ，∵OM ∩DB ＝O ，∴A 1O ⊥平面MBD ．

370. 点P 在线段AB 上，且AP ∶PB ＝１∶２，若A ，B 到平面α的距离分别为a ，b ，求点P 到平面α的距离． 解析：（１）A ，B 在平面α的同侧时，P 平面α的距离为

3

23132b

a b a +=

+； （２）A ，B 在平面α的异侧时，P 平面α的距离为3

2)(3

1

32b

a b a -=-+．

点评 一是画图时，只要画出如右上图的平面图形即可，无需画出空间图形；二是对第（２）种情形，若以平面为“水平面”，在其上方的点高度为正，在其下方的点高度为负，则第（２）种情形的结论，就是将（１）结论中的b 改为(－b)，而无需再画另一图形加以求解． 371. 若两直线a 与b 异面，则过a 且与b 垂直的平面 （ ） （Ａ）有且只有一个 （Ｂ）可能存在也可能不存在 （Ｃ）有无数多个 （Ｄ）一定不存在

（Ｂ）

解析：若存在，则a ⊥b ，而由条件知，a 不一定与b 垂直．

372. 在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，若E 是A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于 （ ）

（Ａ）AC （Ｂ）BD （Ｃ）A 1D （Ｄ）A 1D 1 解析：（Ｂ）

BD ⊥AC ，BD ⊥CC 1，∴BD ⊥平面A 1ACC 1，∴BD ⊥CE ．

373. 定点P 不在△ABC 所在平面内，过P 作平面α，使△ABC 的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有 （ ） （Ａ）１个 （Ｂ）２个 （Ｃ）３个 （Ｄ）４个 解析：D

过P 作一个与AB ，AC 都平行的平面，则它符合要求；设边AB ，BC ，CA 的中点分别为E ，F ，G ，则平面PEF 符合要求；同理平面PFG ，平面PGE 符合要求

374. P 为矩形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ，P 到B ，C ，D 三点的距离分别是5，17，13，则P 到A 点的距离是

（ ）

（Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ）3 （Ｄ）４

解析：（A ）

设AB ＝a ，BC ＝b ，PA ＝h ，则a 2+h 2=5, b 2+h 2=13, a 2+b 2+h 2

=17,∴h=1．

375. 线段AB 的两个端点A ，B 到平面α的距离分别为6cm, 9cm, P 在线段AB 上，AP ：PB ＝１：２，则P 到平面α的距离为 ．解析：７cm 或１cm ．

分A ，B 在平面α的同侧与异侧两种情况．同侧时，P 到平面α的距离为31

9326?+?＝７（cm ），

异侧时，P 到平面α的距离为3

1

9326?-?＝１（cm ）．

376. △ABC 的三个顶点A ，B ，C 到平面α的距离分别为2cm, 3cm, 4cm ,

且它们在α的同一侧，则△ABC 的重心到平面α的距离为 ． 解析：3cm ． 3

5

43++＝3cm ． 377. Rt △ABC 中，D 是斜边AB 的中点，AC ＝６，BC ＝８，EC ⊥平面ABC ，且EC ＝１２，则ED ＝ ． 解析：１３．

AB ＝１０，∴CD ＝５，则ED ＝22125+＝１３．

378. 如图，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，求：

（１）A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角；

（２）B 1B 在平面A 1C 1B 所成角的正切值．

解析： 求线面成角，一定要找准斜线在平面内的射影．

（１）先找到斜足A 1，再找出B 在平面A 1B 1CD 内的射影，即从B 向平面A 1B 1CD 作垂线，一定要

证明它是平面A 1B 1CD 的垂线．

这里可证BC 1⊥平面A 1B 1CD ，O 为垂足，

∴A 1O 为A 1B 在平面A 1B 1CD 上的射影．

（２）若将平面D 1D 1BB 竖直放置在正前方，则A 1C 1横放在正前方，估计B 1B 在平面A 1C 1B 内的射影应落在O 1B 上，这是因为A 1C 1⊥平面D 1DBB 1，∴故作B 1H ⊥O 1B 交于H 时，BH 1⊥A 1C 1，即H 为B 1在平面A 1C 1B 内的射影．另在求此角大小时，只要求∠B 1BO 1即可． 解析：（１）如图，连结BC 1，交B 1C 于O ，连A 1O ． ∵A 1B 1⊥平面B 1BCC 1，BC 1?平面B 1BCC 1，∴A 1B 1⊥BC 1．

又B 1C ⊥BC 1，A 1B 1∩B 1C ＝B 1， ∴BC 1⊥平面A 1B 1CD ，O 为垂足，

∴A 1O 为A 1B 在平面A 1B 1CD 上的射影， 则∠BA 1O 为A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角． sin ∠BA 1O ＝

2

1

1=B A BO ，∴∠BA 1O ＝３０°． （２）连结A 1C 1交B 1D 1于O 1，连BO 1，

作B 1H ⊥BO 1于H ．∵A 1C 1⊥平面D 1DBB 1，∴A 1C 1⊥B 1H ． 又B 1H ⊥BO 1，A 1C 1∩BO 1＝O 1，∴B 1H ⊥平面A 1C 1B ， ∴∠B 1BO 1为B 1B 与平面A 1C 1B 所成的角， tan ∠B 1BO =

22111=B B O B ，即B 1B 与平面A 1C 1B 所成的角的正切值为2

2

． 379. Rt △ABC 中，∠C ＝９０°，BC ＝３６，若平面ABC 外一点P 与平面A ，B ，C 三点等距离，

且P 到平面ABC 的距离为８０，M 为AC 的中点． （１）求证：PM ⊥AC ；

（２）求P 到直线AC 的距离；

（３）求PM 与平面ABC 所成角的正切值．

解析：点P 到△ABC 的三个顶点等距离，则P 在平面ABC 内的射影为△ABC 的外心，而△ABC 为直角三角形，其外心为斜边的中点．

证明 （１）∵PA ＝PC ，M 是AC 中点，∴PM ⊥AC

解 （２）∵BC ＝３６，∴MH ＝１８，又PH ＝８０，

∴PM ＝8218802222=+=+MH PH ，即P 到直线AC 的距离为８２； （３）∵PM=PB=PC ，∴P 在平面ABC 内的射线为△ABC 的外心， ∵∠C=90° ∴P 在平面ABC 内的射线为AB 的中点H 。 ∵PH ⊥平面ABC ，∴HM 为PM 在平面ABC 上的射影， 则∠PMH 为PM 与平面ABC 所成的角，∴tan ∠PMH ＝

9

40

1880=

=MH PH 380. 如图，在正四面体ABCD 中。各面都是全等的正三角形的四面体，M 为AD 的中点，求CM 与平面BCD 所成角的余弦值．

解析：要作出CM 在平面BCD 内的射影，关键是作出M 在平面BCD 内的射影，而M 为AD 的中点，故只需观察A 在平面BCD 内的射影，至此问题解法已明朗．

解 作AO ⊥平面BCD 于O ，连DO ，作MN ⊥平面BCD 于N ，则N ∈OD ． 设AD ＝a ，则OD ＝a a 33233

2=?

，∴AO ＝a OD AD 3

622=-，∴MN

＝

a 6

6

． 又∵CM ＝

a 2

3

，∴CN ＝a a MN CM 62112722==

-． ∴CM 与平面BCD 所成角的余弦值为

3

7=CM CN ． 381. 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱A 1A 的中点，N 在AB 上，且AN ∶NB ＝１∶３，

求证：C 1M ⊥MN ．

解析：在空间中作出两条直线垂直相对较在平面内作两条直线垂直难．此题C 1M 与MN 是相交直线，一种方法可通过勾股定理来验证它是否垂直，另一方法为：因MN 是平面A 1ABB 1内的一条直线，可考虑MC 1在平面A 1ABB 1内的射影． 证明１ 设正方体的棱长为ａ，则MN ＝a 4

5

， C 1M ＝a a a a 23)2(222=

++，C 1N ＝a a a a 4

41)43(222=++， ∵MN ２

＋MC 1２

＝NC 1２

，∴C 1M ⊥MN ．

证明２ 连结B 1M ，∵C 1B 1⊥平面A 1ABB 1， ∴B 1M 为C 1M 在平面A 1ABB 1上的射影．

设棱长为a ，∵AN ＝a 41，AM ＝a 21，∴tan ∠AMN ＝2

1

，

又tan ∠A 1B 1M ＝

2

1

，则∠AMN ＝∠A 1B 1M ，∴B 1M ⊥MN ， 由三垂线定理知，C 1M ⊥MN ．

382. 如图，ABCD 为直角梯形，∠DAB ＝∠ABC ＝９０°，AB ＝BC ＝a ，AD ＝２a ，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝a ．

（１） 求证：PC ⊥CD ；

（２） 求点B 到直线PC 的距离．

解析：（１）要证PC 与CD 垂直，只要证明AC 与CD 垂直，可按实际情形画出底面图形进行证明．（２）从B 向直线PC 作垂直，可利用△PBC 求高，但需求出三边，并判断其形状（事实上，这里的∠PBC ＝９０°）；另一种重要的思想是：因PC 在平面PAC 中，而所作BH 为平面PAC 的斜线，故关键在于找出B 在平面PAC 内的射影，因平面PAC 处于“竖直状态”，则只要从B 作“水平”的垂线，可见也只要从B 向AC 作垂线便可得其射影． 证明 （１）取AD 的中点E ，连AC ，CE ， 则ABCE 是正方形，△CED 为等腰直角三角形．

∴AC ⊥CD ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴AC 为PC 在平面ABCD 上的射影，∴PC ⊥CD ； 解 （２）连BE 交AC 于O ，则BE ⊥AC ， 又BE ⊥PA ，AC ∩PA ＝A ，∴BE ⊥平面PAC ． 过O 作OH ⊥PC 于H ，连BH ，则BH ⊥PC ．

∵PA ＝a ，AC ＝a 2，∴PC ＝a 3，则OH ＝a a

a a 66

3221=??

，

∵BO ＝

a 2

2

，∴BH ＝a OH BO 3622=+ 383. 四面体ABCD 的四个面中，是直角三角形的面至多有

（ ）

（Ａ）１个 （Ｂ）２个

（Ｃ）３个（Ｄ）４个

解析：（D）

设底面为直角三角形，从底面的一个锐角顶点作平面的垂线，则这样的四面体的每个面都是直角三角形．

384.直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，直角顶点C在平面α外，C在平面α内的射影为C1，且C1?AB，则△C1AB为（）

（Ａ）锐角三角形（Ｂ）直角三角形

（Ｃ）钝角三角形（Ｄ）以上都不对

解析：（C）

∵C1A2+C1B2

385.△ABC在平面α内，∠C＝90°，点Ｐ?α，PA=PB=PC=7, AB=10, 则点P到平面α的距离等于

ABP的重心；

为BC上一点，

1

3

BE BC

=；F为PB上一点，

1

3

PF PB

=；AP BP CP

==，如图

的重心

解析：如图，正四棱锥P —ABCD 的一个对角面△PAC 。设棱锥的底面边长为a ，高为h ，斜高为h ′，底面中心为O ，连PO ，则PO ⊥底面ABCD ，∴PO ⊥AC ，在△PAC 中，AC=a 2，PO=h ，

∴ah PO AC S PAC

2

221=?=? 在△PBC 中，h a S PBC '=?2

1

° ∴2:6:22

1:22:='='=??h h h a ah S S PBC

PAC ∴h:h ′=2:3.

取BC 中点E ，连OE ，PE ，可证∠PEO 即为侧面与底面所成两面角的平面角。 在Rt △POE 中，sin ∠PEO=

2

3

='=h h PE PO ， ∴∠PEO=3π，即侧面与底面所成的角为3

π.

P

A

B

C

D O

E B

394. 如右图，斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，A 1C 1⊥BC 1，AB ⊥AC ，AB=3，AC=2，侧棱与底面成60°角。

（1）求证：AC ⊥面ABC 1；

（2）求证：C 1点在平面ABC 上的射影H 在直线AB 上； （3）求此三棱柱体积的最小值。 解析：（1）由棱柱性质，可知A 1C 1//AC ∵A 1C 1⊥BC 1，

∴AC ⊥BC 1，又∵AC ⊥AB ，∴AC ⊥平面ABC 1

（2）由（1）知AC ⊥平面ABC 1，又AC ?平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面ABC 1

在平面ABC 1内，过C 1作C 1H ⊥AB 于H ，则C 1H ⊥平面ABC ，故点C 1在平面ABC 上 的射影H 在直线AB 上。

（3）连结HC ，由（2）知C 1H ⊥平面ABC ， ∴∠C 1CH 就是侧棱CC 1与底面所成的角， ∴∠C 1CH=60°，C 1H=CH ·tan60°=CH 3 V 棱柱=CH CH H C AC AB H C S ABC 333232

1

2111=???=??=

?? ∵CA ⊥AB ，∴CH 2=≥AC ，所以棱柱体积最小值33362=?。

395. 已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB=900

，∠BAC=300

，BC=1，AA 1=6，M 为CC 1中点，求

证：AB 1⊥A 1M 。

解析：因结论是线线垂直，可考虑用三垂线定理或逆定理

∵ ∠ACB=900

∴ ∠A 1C 1B 1=900

即B 1C 1⊥C 1A 1

又由CC 1⊥平面A 1B 1C 1得：CC 1⊥B 1C 1 ∴ B 1C 1⊥平面AA 1C 1C

∴ AC 1为AB 1在平面AA 1C 1C 的射影 由三垂线定理，下证AC 1⊥A 1M 即可

在矩形AA 1C 1C 中，AC=A 1C 1=3，AA 1=CC 1=6

∵ 22

326

A C MC 111=

=，2263A A C A 1

11== ∴ A

A C A A C MC 11

1111= ∴ Rt △A 1C 1M ∽Rt △AA 1C 1 ∴ ∠1=∠2

又∠2+∠3=900

∴ ∠1+∠3=900

∴ AC 1⊥A 1M ∴ AB 1⊥A 1M

评注：利用三垂线定理的关键是找到基本面后找平面的垂线

396. 正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为a ，在侧棱BB 1上截取BD=2

a

，在侧棱CC 1上截取CE=a ，过A 、D 、E 作棱柱的截面ADE （1）求△ADE 的面积；（2）求证：平面ADE ⊥平面ACC 1A 1。

解析：分别在三个侧面内求出△ADE 的边长

AE=2a ，AD=

25a ，DE=a 2

5

)2a (a )BD EC (BC 2222=

+=-+ ∴ 截面ADE 为等腰三角形

S=

222a 46)a 22()a 25(a 221h AE 21=-??=? （2）∵ 底面ABC ⊥侧面AA 1C 1C ∴ △ABC 边AC 上的高BM ⊥侧面AA 1C 1C 下设法把BM 平移到平面AED 中去 取AE 中点N ，连MN 、DN

∵ MN //==21EC ，BD //==21EC

∴ MN //=

=BD ∴ DN ∥BM

∴ DN ⊥平面AA 1C 1C

∴ 平面ADE ⊥平面AA 1C 1C

397. 斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是边长为4cm 的正三角形，侧棱AA 1与底面两边AB 、AC 均

成600

的角，AA 1=7

（1）求证：AA 1⊥BC ；（2）求斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的全面积；（3）求斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积；（4）求AA 1到侧面BB 1C 1C 的距离。 解析：设A 1在平面ABC 上的射影为0

∵ ∠A 1AB=∠A 1AC

∴ O 在∠BAC 的平行线AM 上 ∵ △ABC 为正三角形 ∴ AM ⊥BC

又AM 为A 1A 在平面ABC 上的射影 ∴ A 1A ⊥BC （2）

3142

3

74AB A sin AA AB S S 11B B AA C C AA 1111=?

?=∠?== ∵ B 1B ∥A 1A

∴ B 1B ⊥BC ，即侧面BB 1C 1C 为矩形 ∴ 2874S C C BB 11=?= 又3444

3

S S 2ABC C B A 111=?=

=?? ∴ S 全=)cm (336282342823142+=?++? （3）∵ cos ∠A 1AB=cos ∠A 1AO ·cos ∠OAB

∴ cos ∠A 1AO=33

30cos 60cos OAB cos AB A cos 001==∠∠

∴ sin ∠A 1AO=

3

6 ∴ A 1O=A 1Asin ∠A 1AO=

63

7

∴ )cm (22863

7443O A S V 321ABC =??=

?=? ]

（4）把线A 1A 到侧面BB 1C 1C 的距离转化为点A 或A 1到平面BB 1C 1C 的距离 为了找到A 1在侧面BB 1C 1C 上的射影，首先要找到侧面BB 1C 1C 的垂面 设平面AA

1M 交侧面BB 1C 1C 于MM 1 ∵ BC ⊥AM ，BC ⊥A 1A ∴ BC ⊥平面AA 1M 1M

∴ 平面AA 1M 1M ⊥侧面BCC 1B 1 在平行四边形AA 1M 1M 中 过A 1作A 1H ⊥M 1M ，H 为垂足 则A 1H ⊥侧面BB 1C 1C

∴ 线段A 1H 长度就是A 1A 到侧面BB 1C 1C 的距离 ∴

)cm (223

6

32AM A sin M A H M A sin M A H A 11111111=?

=∠=∠= 398. 平面α内有半径为R 的⊙O ，过直径AB 的端点A 作PA ⊥α，PA=a ，C 是⊙O 上一点，∠CAB=600

，求三棱锥P —OBC 的侧面积。

解析：三棱锥P —OBC 的侧面由△POB 、△POC 、△PBC 三个三角形组成

在求出边长元素后，求三角形面积时，应注意分析三角形的形状，简化计算 ∵ PA ⊥平面ABC

∴ PA ⊥AO ，AC 为PC 在平面ABC 上的射影 ∵ BC ⊥AC ∴ BC ⊥PC

△ POB 中，

2PO B a 2

1

PA OB 21S =?=?

△ PBC 中，BC=ABsin600

=2a a 32

3

=? ∴ AC=a ∴ PC=a 2 ∴ 2POB a 2

6BC PC 21S =?=? △ POC 中，PO=PC=a 2，OC=a

∴ 222POC a 4

7)OC 21(PO OC 21S =-?=

? ∴ S 侧=2

222a 4

7622a 47a 26a 21++=++

399. 四棱锥V —ABCD 底面是边长为4的菱形，∠BAD=1200

，VA ⊥底面ABCD ，VA=3，AC 与BD 交于O ，（1）求点V 到CD 的距离；（2）求点V 到BD 的距离；（3）作OF ⊥VC ，垂足为F ，证明OF 是BD 与VC 的公垂线段；（4）求异面直线BD 与VC 间的距离。解析：用三垂线定理作点到线的垂线

在平面ABCD 内作AE ⊥CD ，E 为垂足 ∵ VA ⊥平面ABCD

∴ AE 为VE 在平面ABCD 上的射影 ∴ VE ⊥CD

∴ 线段VE 长为点V 到直线CD 的距离

∵ ∠BAD=1200

∴ ∠ADC=600

∴ △ACD 为正三角形 ∴ E 为CD 中点，AE=

3242

3

=? ∴ VE=21AE V A 22=+ （2）∵ AO ⊥BD

∴ 由三垂线定理VO ⊥BD

∴ VO 长度为V 到直线BD 距离

VO=13AO V A 22=+ （3）只需证OF ⊥BD ∵ BD ⊥HC ，BD ⊥VA ∴ BD ⊥平面VAC ∴ BD ⊥OF

∴ OF 为异面直线BD 与VC 的公垂线 （4）求出OF 长度即可 在Rt △VAC 中

OC=2

1

AC=2，VC=5AC V A 22=+

∴ OF=OC ·sin ∠ACF=OC ·5

6

532VC VA =?=

400. 斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，A 1到A 、B 、C 三点的距离都相等，且AA1=13，求斜三棱柱的侧面积。 解析：∵A 1A=A 1B=A 1C

∴ 点A 1在平面ABC 上的射影为△ABC 的外心，在∠BAC 平分线AD 上 ∵ AB=AC ∴ AD ⊥BC

∵ AD 为A

1A 在平面ABC 上的射影 ∴ BC ⊥AA 1 ∴ BC ⊥BB 1

∴ BB 1C 1C 为矩形，S=BB 1×BC=156 取AB 中点E ，连A 1E ∵ A 1A=A 1B ∴ A 1E ⊥AB

∴ 12)2

AB (

AA E A 2

2

11=-= ∴ 20S S B B A A C

C A A 1111==

∴ S 侧=396

401. 如图，在ΔABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝a,AC ＝b,D 是斜边AB 上的点，以CD 为棱把它折成直二面角A —CD —B 后，D 在怎样的位置时，AB 为最小，最小值是多少?

解析： 设∠ACD ＝θ，则∠BCD ＝90°-θ，作AM ⊥CD 于M ，BN ⊥CD 于N ，于是AM ＝bsin θ,CN ＝asin θ.

∴MN ＝｜asin θ-bcos θ｜，因为A —CD —B 是直二面角，AM ⊥CD ，BN ⊥CD ，∴AM 与BN 成90°

的角，于是AB ＝2

2222)cos sin (cos sin θθθθb a a b -++＝θ222sin ab b a -+≥

ab b a -+22.

∴当θ＝45°即CD 是∠ACB 的平分线时，AB 有最小值，最小值为ab b a -+22.

402.自二面角内一点分别向两个面引垂线，求证：它们所成的角与二面角的平面角互补. 已知：从二面角α—AB —β内一点P ，向面α和β分别引垂线PC 和PD ，它们的垂足是C 和D.求证：∠CPD 和二面角的平面角互补.

证：设过PC 和PD 的平面PCD 与棱AB 交于点E ， ∵PC ⊥α，PD ⊥β ∴PC ⊥AB ，PD ⊥AB ∴CE ⊥AB ，DE ⊥AB

又∵CE ?α，DE ?β，∴∠CED 是二面角α—AB —β的平面角. 在四边形PCED 内：∠C ＝90°，∠D ＝90°

∴∠CPD 和二面角α—AB —β的平面∠CBD 互补.

403.求证：在已知二面角，从二面角的棱出发的一个半平面内的任意一点，到二面角两个面的距离的比是一个常数.

已知：二面角α—ED —β，平面γ过ED ，A ∈γ，AB ⊥α，垂足是B.AC ⊥β，垂足是C. 求证：AB ∶AC ＝k(k 为常数)

证明：过AB 、AC 的平面与棱DE 交于点F ，连结AF 、BF 、CF. ∵AB ⊥α，AC ⊥β.∴AB ⊥DE ，AC ⊥DE.

∴DE ⊥平面ABC.∴BF ⊥DE ，AF ⊥DE ，CF ⊥DE.

∠BFA ，∠AFC 分别为二面角α—DE —γ，γ—DE —β的平面角，它们为定值. 在Rt ΔABF 中，AB ＝AF ·sin ∠AFB.

在Rt ΔAFC 中，AC ＝AF ·sin ∠AFC ，得：

AC AB ＝AFC

AF AFB

AF ∠∠sin sin ＝定值. 404. 如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足l ＝β∩γ，l ∥α,m ?α和m ⊥γ.那么必有( ) A.α⊥γ且l ⊥m B.α⊥γ且m ∥β

C.m ∥β且l ⊥m

D.α∥β且α⊥γ 解析：∵m ?α,m ⊥γ. ∴α⊥γ. 又∵m ⊥γ,β∩γ＝l. ∴m ⊥l.

∴应选A.

说明 本题考查线面垂直、面面垂直及综合应用推理判断能力及空间想象能力. 405. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝

2π，AB ＝a,AD ＝3a,且∠ADC ＝arcsin 5

5，又PA ⊥平面ABCD ，AP ＝a.求：(1)二面角P —CD —A 的大小(用反三角函数表示)；(2)点A 到平面

PBC 的距离.

解析：(1)作CD ′⊥AD 于D ′，∴ABCD ′为矩形，CD ′＝AB ＝a ，在Rt ΔCD ′D 中. ∵∠ADC ＝arcsin

55,即⊥D ′DC ＝arcsin 5

5， ∴sin ∠CDD ′＝

CD D C '＝5

5 ∴CD ＝5a ∴D ′D ＝2a ∵AD ＝3a,∴AD ′＝a ＝BC 又在Rt ΔABC 中，AC ＝

22BC AB +＝2a,

∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AC ，PA ⊥AD ，PA ⊥AB. 在Rt ΔPAB 中，可得PB ＝2a.

在Rt ΔPAC 中，可得PC ＝22AC PA +＝3a.

在Rt ΔPAD 中，PD ＝2

2)3(a a +＝10a.

∵PC 2

+CD 2

＝(3a)2

+(5a)＝8a 2

＜(10a)2

∴cos ∠PCD ＜0，则∠PCD ＞90°

∴作PE ⊥CD 于E ，E 在DC 延长线上，连AE ，由三垂线定理的逆定理得AE ⊥CD ，∠AEP 为二面角P —CD —A 的平面角. 在Rt ΔAED 中∠ADE ＝arcsin

5

5

，AD ＝3a.

∴AE ＝AD ·sin ∠ADE ＝3a ·

5

5＝553 a.

在Rt ΔPAE 中，tan ∠PEA ＝

AE PA ＝a a 55

3＝35. ∴∠AEP ＝arctan

35，即二面角P —CD —A 的大小为arctan 3

5. (2)∵AD ⊥PA ，AD ⊥AB ，∴AD ⊥平面PAB.

∵BC ∥AD ，∴BC ⊥平面PAB.

∴平面PBC ⊥平面PAB ，作AH ⊥PB 于H ，∴AH ⊥平面PBC. AH 为点A 到平面PBC 的距离. 在Rt ΔPAB 中，AH ＝

PB AB PA ?＝a

a a 2?＝22

a. 即A 到平面PBC 的距离为

2

2

a. 说明 (1)中辅助线AE 的具体位置可以不确定在DC 延长线上，而直接作AE ⊥CD 于E ，得PE ⊥CD ，从而∠PEA 为所求，同样可得结果，避免过多的推算.(2)中距离的计算，在学习几何体之后可用“等体积法”求.

406. 如图，在二面角α—l —β中，A 、B ∈α，C 、D ∈l ，ABCD 为矩形，P ∈β，PA ⊥α，且PA ＝AD ，M 、N 依次是AB 、PC 的中点. (1)求二面角α—l —β的大小； (2)求证：MN ⊥AB ；

(3)求异面直线PA 与MN 所成角的大小

.

解析：(1)连PD ，∵ABCD 为矩形，∴AD ⊥DC ，即AD ⊥l.又PA ⊥l ，∴PD ⊥l. ∵P 、D ∈β，则∠PDA 为二面角α—l —β的平面角.

∵PA ⊥AD ，PA ＝AD ，∴ΔPAD 是等腰直角三角形，∴∠PDA ＝45°，即二面角α—l —β的大小为45°.

(2)过M 作ME ∥AD ，交CD 于E ，连结NE ，则ME ⊥CD ，NE ⊥CD ，因此，CD ⊥平面MNE ，∴CD ⊥MN.∵AB ∥CD ，∴MN ⊥AB

(3)过N 作NF ∥CD ，交PD 于F ，则F 为PD 的中点.连结AF ，则AF 为∠PAD 的角平线，∴∠FAD ＝45°，而AF ∥MN ，∴异面直线PA 与MN 所成的45°角.

407. 如图，在三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，四边形A ′ABB ′是菱形，四边形BCC ′B ′是矩形，C ′B ′⊥AB.

(1)求证：平面CA ′B ⊥平面A ′AB ；

(2)若C ′B ′＝2，AB ＝4，∠ABB ′＝60°，求AC ′与平面BCC ′B ′所成角的大小.(用反三角函数表示)

解析：(1)∵在三棱柱ABC —A ′B ′C 中，C ′B ′∥CB ，∴CB ⊥AB.∵CB ⊥BB ′，AB ∩BB ′＝B ，∴CB ⊥平面A ′AB.∵CB ?平面CA ′B ，∴平面CA ′B ⊥平面A ′AB (2)由四边形A ′ABB ′是菱形，∠ABB ′＝60°，连AB ′，可知ΔABB ′是正三角形.取 B B ′中点H ，连结AH ，则AH ⊥BB ′.又由C ′B ′⊥平面A ′AB ，得平面A ′ABB ′⊥平面 C ′B ′BC ，而AH 垂直于两平面交线BB ′，∴AH ⊥平面C ′B ′BC.连结C ′H ，则∠AC ′H 为 AC ′与平面BCC ′B ′所成的角，AB ′＝4，AH ＝23，于是直角三角形C ′B ′A 中，A ′C ＝5，在

Rt ΔAHC ′中，sin ∠AC ′H ＝

5

3

2∴∠AC ′H ＝arcsin

523,∴直线AC ′与平面BCC ′B ′所成

的角是arcsin

5

2

3.

408. 已知四棱锥P —ABCD ，它的底面是边长为a 的菱形，且∠ABC ＝120°，PC ⊥平面ABCD ，又PC ＝a ，E 为PA 的中点.

(1)求证：平面EBD ⊥平面ABCD ； (2)求点E 到平面PBC 的距离；

(3)求二面角A —BE —D 的大小.

(1)证明: 在四棱锥P —ABCD 中，底面是菱形，连结AC 、BD ，交于F ，则F 为AC 的中点. 又E 为AD 的中点，∴EF ∥PC

又∵PC ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD.EF ?平面EBD. ∴平面EBD ⊥平面ABCD.

(2)∵EF ∥PC ，∴EF ∥平面PBC

∴E 到平面PBC 的距离即是EF 到平面PBC 的距离 过F 作FH ⊥BC 交BC 于H ，

∵PC ⊥平面ABCD ，FH ?平面ABCD ∴PC ⊥FH.

又BC ⊥FH ，∴FH ⊥平面PBC ，则FH 是F 到平面PBC 的距离，也是E 到平面PBC 的距离. ∵∠FCH ＝30°，CF ＝

2

3a.

∴FH ＝

21CF ＝4

3a. (3)取BE 的中点G ，连接FG 、AG 由(1)的结论，平面BDE ⊥平面ABCD ，AF ⊥BD ，

∴AF ⊥平面BDC. ∵BF ＝EF ＝

2

a

，∴FG ⊥BE ，由三垂线定理得，AG ⊥BE ， ∴∠FGA 为二面角D —BE —A 的平面角. FG ＝

2a ×2

2＝42a,AF ＝23a. ∴tg ∠FGA ＝

FG

AF

＝6,∠FAG ＝arctg 6 即二面角A —BE —D 的大小为arctg 6

409. 若ΔABC 所在的平面和ΔA 1B 1C 1所在平面相交，并且直线AA 1、BB 1、CC 1相交于一点O ，求证： (1)AB 和A 1B 1、BC 和B 1C 1、AC 和A 1C 1分别在同一平面内；

(2)如果AB 和A 1B 1、BC 和B 1C 1、AC 和A 1C 1分别相交，那么交点在同一直线上(如图).

(1)证明：∵AA 1∩BB 1＝O, ∴AA 1、BB 1确定平面BAO ，

∵A 、A 1、B 、B 1都在平面ABO 内， ∴AB ?平面ABO ；A 1B 1?平面ABO.

同理可证，BC 和B 1C 1、AC 和A 1C 1分别在同一平面内.

(2)分析：欲证两直线的交点在一条直线上，可根据公理2，证明这两条直线分别在两个相交平面内，那么，它们的交点就在这两个平面的交线上. 证明：如图，设AB ∩A 1B 1＝P ； AC ∩A 1C 1＝R ；

∴ 面ABC ∩面A 1B 1C 1＝PR.

∵ BC ?面ABC ；B 1C 1?面A 1B 1C 1， 且 BC ∩B 1C 1＝Q ∴ Q ∈PR, 即 P 、R 、Q 在同一直线上.

410. 点P 、Q 、R 分别在三棱锥A-BCD 的三条侧棱上，且PQ ∩BC ＝X,QR ∩CD ＝Z,PR ∩BD ＝Y.求证：X 、Y 、Z 三点共线.

解析：证明点共线的基本方法是利用公理2，证明这些点是两个平面的公共点.

证明∵P、Q、R三点不共线，∴P、Q、R三点可以确定一个平面α.

∵ X∈PQ，PQ?α，∴X∈α，又X∈BC，BC?面BCD，∴X∈平面BCD.

∴点X是平面α和平面BCD的公共点.同理可证，点Y、Z都是这两个平面的公共点，即点X、Y、Z都在平面α和平面BCD的交线上.

411.直线m、n分别和平行直线a、b、c都相交，交点为A、B、C、D、E、F，如图，求证：直线a、b、c、m、n共面.

解析：证明若干条直线共面的方法有两类：一是先确定一个平面，证明其余的直线在这个平面里；二是分别确定几个平面，然后证明这些平面重合.

证明∵a∥b,∴过a、b可以确定一个平面α.

∵A∈a,a?α，∴A∈α,同理B∈a.

又∵A∈m，B∈m,∴m?α.同理可证n?α.

∵b∥c,∴过b,c可以确定平面β，同理可证m?β.

∵平面α、β都经过相交直线b、m,

∴平面α和平面β重合，即直线a、b、c、m、n共面.

412.证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内.

已知：如图，直线l1，l2，l3，l4两两相交，且不共点.

求证：直线l1，l2，l3，l4在同一平面内

解析：证明几条直线共面的依据是公理3及推论和公理1.先证某两线确定平面α，然后证其它直线也在α内.

证明：图①中，l1∩l2＝P，

∴ l1,l2确定平面α.

又 l1∩l3＝A,l2∩l3＝C, ∴ C,A∈α.

故 l3?α.

同理 l4?α.

∴ l1,l2,l3,l4共面.

图②中，l1,l2,l3,l4的位置关系，同理可证l1,l2,l3,l4共面.

所以结论成立.

413.证明推论3成立.（如图）

高中数学立体几何教学研究

高中数学“立体几何”教学研究 一 . “立体几何”的知识能力结构 高中的立体几何是按照从局部到整体的方式呈现的，在必修2中，先从对空间几何体的整体认识入手，主通过直观感知、操作确认，获得空间几何体的性质，此后，在空间几何体的点、直线和平面的学习中，充分利用对模型的观察，发现几何体的几何性质并通过简单的“推理”得到一些直线和平面平行、垂直的几何性质，从微观上为进一步深入研究空间几何体做了必要的准备.在选修2-1中，首先引入空间向量，在必修2的基础上完善了几何论证的理论基础，在此基础上对空间几何体进行了深入的研究. 首先安排的是对空间几何体的整体认识，要求发展学生的空间想像能力，几何直观能力，而没有对演绎推理做出要求. 在“空间点、直线、平面之间的位置关系”的研究中，以长方体为模型，通过说理（归纳出判定定理，不证明）或简单推理进行论证（归纳并论证明性质定理）， 在“空间向量与立体几何”的学习中，又以几何直观、逻辑推理与向量运算相结合，完善了空间几何推理论证的理论基础，并对空间几何中较难的问题进行证明. 可见在立体几何这三部分中，把空间想像能力，逻辑推理能力，适当分开，有所侧重地、分阶段地进行培养，这一编排有助于发展学生的空间观念、培养学生的空间想象能力、几何直观能力，同时降低学习立体几何的门槛，同时体现了让不同的学生在数学上得到不同的发展的课标理念. 二. “立体几何”教学内容的重点、难点 1.重点： 空间几何体的结构特征：柱、锥、台、球的结构特征的概括； 空间几何体的三视图与直观图：几何体的三视图和直观图的画法； 空间几何体的表面积与体积：了解柱、锥、台、球的表面积与体积的计算公式； 空间点、直线、平面的位置关系：空间直线、平面的位置关系； 直线、平面平行的判定及其性质：判定定理和性质定理的归纳； 直线、平面垂直的判定及其性质：判定定理和性质定理的归纳. 2.难点： 空间几何体结构特征的概括：柱、锥、台球的结构特征的概括； 空间几何体的三视图与直观图：识别三视图所表示的几何体； 空间点、直线、平面的位置关系：三种语言的转化； 直线、平面平行的判定及其性质：性质定理的证明； 直线、平面垂直的判定及其性质：性质定理的证明.

立体几何初步-单元测试

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高一数学立体几何练习题及部分答案大全

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高一数学集合练习题及答案-经典

升腾教育高一数学 满分150分 姓名 一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 8、设集合A=} { 12x x <<，B=} { x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A } { 2a a ≥ B } { 1a a ≤ C } { 1a a ≥ D } { 2a a ≤ 9、 满足条件M U }{1=}{ 1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4

二、填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2 +x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={ } 2 2,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={} 5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 三、解答题 17、已知集合A={x| x 2 +2x-8=0}, B={x| x 2 -5x+6=0}, C={x| x 2 -mx+m 2 -19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A∩C=Φ，求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2 x ax b ++,A=}{ }{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式 19、已知集合{}1,1A =-，B=} { 2 20x x ax b -+=，若B ≠?，且A B A ?= 求实数 a ， b 的值。

立体几何-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编

2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第09讲：立体几何 1、（2010一试7）正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin 【答案】4 【解析】 O E P 1B 1 A 1 C B A 设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x n =，则 ???? ?=++-=?=+-=?,03, 022111111z y x z x BA ???? ?=-+-=?=-=?, 03, 022221211z y x B x A B n 由此可设)3,1,0(),1,0,1(==，所以cos m n m n α?=? ，即 2cos cos αα=?= .所以4 10sin =α. 解法二：如图，PB PA PC PC ==11, . 设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ . 11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以 从而⊥1AB 平面B PA 1 . 过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E .

连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角.设21=AA ,则易求得 3,2,5111== ===PO O B O A PA PB . 在直角O PA 1?中，OE P A PO O A ?=?11,即5 6,532= ∴?= ?OE OE . 11B O B E =∴===又.4 10 5 542sin sin 111= ==∠=E B O B EO B α. 2、（2011一试6）在四面体ABCD 中，已知?=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 【解析】 因为?=∠=∠=∠60ADB CDB CDA ，设CD 与平面ABD 所成角为θ，可求得3 2sin ,3 1cos = = θθ． 在△DMN 中，332 33232,121=??=?=== DP DN CD DM ．学科*网 由余弦定理得231312)3(1222=? ??-+=MN ， 故2=MN ．四边形DMON 的外接圆的直径 33 22sin === θ MN OD ．故球O 的半径3=R ． 3、（2012一试5）设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的

立体几何初步测试题1209

精品文档15周周末自主测试高一第立体几何初步测试题（一） 分，在每小题给出的四个选项中，只分，共6012小题，每小题5一、选择题：（本题共有一项是符合题目要求的））1、有一个几何体的三视图如下图 所示，这个几何体应是一个（ 俯视图左视图主视图 、都不对 D C、棱柱B、棱锥A、棱台）2、已知正方形的直观图是有一条边长为4的平行四边形，则此正方形的面积是（D、都不对、16或64 C、64 B A、16 ）3、下面表述正确的是（ B、分别在不同的三条直线上的三点确定一个平面A、空间任意三点确定一个平面 D、不共线的四点确定一个平面、直线上的两点和直线外的一点确定一个平面 C ）4、两条异面直线是指（ B、分别位于两个不同平面内的两条直线A、在空间内不相交的两条直线 D、不同在任一平面内的两条直线C、某平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 下列命题中：①平行于同一直线的两平面平行②平行于同一平面的两平面平行③垂直5、）于同一直线的两平面平行④与同一直线成等角的两平面平行；正确的命题是（ 、②③④ D C、③④A、①②B、②③ ）6、下列命题中正确命题的个数是（ ①一条直线和另一条直线平行，那么它和经过另一条直线的任何平面平行；②一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内所有直线都没有公共点，因此这条直线与这个平面内的所有直线都平行；③若直线与平面不平行，则直线与平面内任一直线都不平行；④与一平面内无数条直线都平行的直线必与此平面平行。3 、D C、2 A、0 B、1 、一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是7 ）（A'C'、不确定 D C B、相交、平行、异

高一数学立体几何练习题及部分标准答案汇编

立体几何试题 一．选择题（每题4分，共40分） 1.已知AB//PQ，BC//QR,则∠PQP等于（） A 030 B 030 C 0 150 D 以上结论都不对 2.在空间，下列命题正确的个数为（） （1）有两组对边相等的四边形是平行四边形,（2）四边相等的四边形是菱形 （3）平行于同一条直线的两条直线平行;（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 A 1 B 2 C 3 D 4 3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（） A 平行 B 相交 C 在平面内 D 平行或在平面内 4.已知直线m//平面α，直线n在α内，则m与n的关系为（） A 平行 B 相交 C 平行或异面 D 相交或异面 5.经过平面α外一点，作与α平行的平面，则这样的平面可作（） A 1个或2个 B 0个或1个 C 1个 D 0个 6.如图,如果MC⊥菱形ABCD所在平面,那么MA与BD的位置关系是( ) A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直 7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（）

8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 9.对于直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是( ) A //,,m n n m βα⊥? B //,,m n n m βα⊥⊥ C ,,m n m n αβα⊥=?I D ,//,//m n m n αβ⊥ 10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 二．填空题（每题4分，共16分） 11.已知?ABC 的两边AC,BC 分别交平面α于点M,N ，设直线AB 与平面α交于点O ，则点O 与直线MN 的位置关系为_________ 12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个，过平面外一点与该平面平行的直线有 _____________条 13.一块西瓜切3刀最多能切_________块 14.将边长是a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,使得折起后BD 得长为a,则三棱锥D-ABC 的体积为___________ 三、解答题 15（10分）如图，已知E,F 分别是正方形ABCD A B C D -的棱AA 和棱CC 上的点，且

高一数学集合练习题及答案(人教版)

一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A=} { 12x x <<，B=} { x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A } { 2a a ≥ B } { 1a a ≤ C } { 1a a ≥ D } { 2a a ≤

9、 满足条件M }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈， {}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 二、填空题（每题3分，共18分） 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2 +x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={ } 2 2,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={} 5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 15、已知集合A={x|2 0x x m ++=}, 若A ∩R=?，则实数m 的取值范围是 16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人. 三、解答题（每题10分，共40分） 17、已知集合A={x| x 2 +2x-8=0}, B={x| x 2 -5x+6=0}, C={x| x 2 -mx+m 2 -19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A∩C=Φ，求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2 x ax b ++,A=}{ }{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式

高中数学立体几何知识点总结

高中数学之立体几何 平面的基本性质 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面. 根据上面的公理，可得以下推论. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 空间线面的位置关系 共面平行—没有公共点 (1)直线与直线相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行，又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点 (直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点 异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法. 有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定 ①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,则a∥b. ③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c. ④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b ⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，则a∥b. (2)两直线垂直的判定

《立体几何初步》测试题及答案

《立体几何初步》测试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分） 1. 在空间四点中，无三点共线是四点共面的是（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件 2. 若a ∥b ，A c b =?，则c a ,的位置关系是（ ） A.异面直线 B.相交直线 C.平行直线 D.相交直线或异面直线 3．圆锥的侧面展开图是直径为a 的半圆面，那么此圆锥的轴截面是 （ ） A ．等边三角形 B ．等腰直角三角形 C ．顶角为30°的等腰三角形 D ．其他等腰三角形 4. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是 一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边 长为6、高为4的等腰三角形．则该几何体的体积为（ ） A 48 B 64 C 96 D 192 5. 长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8 个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 6. 已知正方体外接球的体积是323 π，那么正方体的棱长等于 （ ） A 3 C 3 3 7. 若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．若//,,l n αβαβ??，则//l n B ．若,l αβα⊥?，则l β⊥ C. 若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ D ．若,l n m n ⊥⊥，则//l m

8. 如图，在正方体1111ABC D A B C D -中，E F G H ，，， 分别为1A A ，A B ，1B B ，11B C 的中点，则异面直线E F 与 G H 所成的角等于（ ） Ａ．45° Ｂ．60° Ｃ．90° Ｄ．120° 9. 已知两个平面垂直，下列命题 ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面； ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 10. 平面α与平面β平行的条件可以是（ ） A.α内有无穷多条直线与β平行； B.直线a//α,a//β C.直线a α?,直线b β?,且a//β,b//α D.α内的任何直线都与β平行 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11. 直观图（如右图）中，四边形O ′A ′B ′C ′为 菱形且边长为2cm ，则在xoy 坐标中四边形ABCD 为 _ ____，面积为______cm 2． 12. 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=3，AA 1=5，则一只小虫从A 点沿 长方体的表面爬到C 1点的最短距离是 ． 13. 已知直线b//平面α，平面α//平面β，则直线b 与β的位置关系为 . 14. 正方体的内切球和外接球的半径之比为＿＿＿＿＿ 15. 如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=?90，PA ⊥平面ABC ，此图形中有 个直角三角形 16. 将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：（1）AC ⊥BD ； （2）△ACD 是等边三角形 （3）AB 与平面BCD 所成的角为60°；（4）AB 与CD 所成的角为60°。 其中正确结论的序号为＿＿＿＿ 三、解答题（本大题共4小题，共60分） 17.（10分）如图，PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC 求证：AB ⊥BC A F D B C G E 1B H 1C 1D 1 A A B C P D'C' B' A'O' Y'X'

(完整版)高中文科数学立体几何知识点总结

立体几何知识点整理（文科） 一． 直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行 l 符号表示： 2. 线面相交 符号表示： 3. 线在面内 符号表示： 二．平行关系： 1.线线平行： 方法一：用线面平行实现。 m l m l l // // ? ? ? ? ? ? = ? ? β α β α 方法二：用面面平行实现。 m l m l// // ? ? ? ? ? ? = ? = ? β γ α γ β α 方法三：用线面垂直实现。 若α α⊥ ⊥m l,，则m l//。 方法四：用向量方法： 若向量和向量共线且l、m不重合，则m l//。 2.线面平行： 方法一：用线线平行实现。 α α α// // l l m m l ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二：用面面平行实现。 α β β α // // l l ? ? ? ? ? 方法三：用平面法向量实现。 若n为平面α的一个法向量， ⊥且α ? l,则α // l。 3.面面平行： 方法一：用线线平行实现。 β α α β // ' ,' , ' // ' // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且相交 且相交 m l m l m m l l 方法二：用线面平行实现。 β α β α α // , // // ? ? ? ? ? ? ?且相交 m l m l l

三．垂直关系： 1. 线面垂直： 方法一：用线线垂直实现。 αα⊥???? ? ??? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , 方法二：用面面垂直实现。 αββαβα⊥??? ? ?? ?⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直： 方法一：用线面垂直实现。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 方法二：计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直： 方法一：用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二：三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥???? 方法三：用向量方法： 若向量l 和向量m 的数量积为0，则m l ⊥。 三． 夹角问题。 (一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(?? (2)求法： 方法一：定义法。 步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。 步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理： ab c b a 2cos 2 22-+= θ (计算结果可能是其补角) 方法二：向量法。转化为向量 的夹角 (计算结果可能是其补角)： = θcos (二) 线面角 (1)定义：直线l 上任取一点P （交点除外），作PO ⊥α于O,连结AO ，则AO 为斜线PA 在面α内的射影，PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。 (2)范围：]90,0[??

高一数学集合试题基础版

高一数学集合试题基础版 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}{}1,1,2,2,|,M N y y x x M =--==∈,则M N ?是 Ａ M Ｂ {}1,4 Ｃ {}1 Ｄ Φ 2. 设全集U =R ，集合2{|1}A x x =≠，则U C A = A. 1 B. －1，1 C. {1} D. {1,1}- 3. 已知集合U ={|0}x x >，{|02}U C A x x =<<，那么集合A = A. {|02}x x x ≤≥或 B. {|02}x x x <>或 C. {|2}x x ≥ D. {|2}x x > 4. 设全集{}0,1,2,3,4I =----,集合{}0,1,2M =--,{}0,3,4N =--，则()I M N =e A ．｛０｝ B ．{}3,4-- C ．{}1,2-- D ．? 5．已知集合M={x N|4-x N}∈∈，则集合M 中元素个数是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6. 已知集合{}1,0,1-=A ，则如下关系式正确的是 A A A ∈ B 0A C A ∈}0{ D ?A 7.集合}22{<<-=x x A ，}31{<≤-=x x B ,那么=?B A A.}32{<<-x x B.}21{<≤x x C.}12{≤<-x x D.}32{<}a ≤-，若M N ≠?，则有 A ．1a <- B ．1a >- C ． 1a ≤- D ．1a ≥-

高中数学立体几何重要知识点(经典)

立体几何知识点 1、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱： 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与 高的比的平方。 （3）棱台： 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，' h 为斜高，l 为母线） ch S =直棱柱侧面积 rh S π2=圆柱侧 '2 1ch S =正棱锥侧面积 rl S π=圆锥侧面积 ')(2 121h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 () 22R Rl rl r S +++=π圆台表 （3）柱体、锥体、台体的体积公式 V Sh =柱 2V S h r h π==圆柱 13V S h =锥 h r V 23 1π=圆锥 '1()3 V S S h =台 '2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台 （4）球体的表面积和体积公式：V 球=343 R π ； S 球面=24R π

高中数学立体几何知识点归纳总结

高中数学立体几何知识 点归纳总结 公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-

高中数学立体几何知识点归纳总结一、立体几何知识点归纳 第一章空间几何体 （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 1.棱柱 棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边 形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正 棱柱）的关系： ① ? ? ??????→ ?? ?????→? ? ?? ? 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱 棱柱正棱柱 直棱柱 其他棱柱

底面为平行四边形 侧棱垂直于底面 底面为矩形 底面为正方形 棱柱的性质： ①侧棱都相等，侧面是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。 长方体的性质： ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】 222211AC AB AD AA =++ ②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是 αβγ，，，那么222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=； ③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则222cos cos cos 2αβγ++=，222sin sin sin 1αβγ++=. 侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.

高一数学集合练习题及答案-经典

选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2|20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A= }{12x x <<，B=}{x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A }{2a a ≥ B }{1a a ≤ C }{1a a ≥ D }{2a a ≤ 9、 满足条件M }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈，{}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U= {}22,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={}5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________.

(完整word版)高中数学立体几何专项练习

立体几何简答题练习 1、正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE、BD上各有一点P、Q,且AP=DQ。求证:PQ∥平面BCE.（用两种方法证明） 2、如图所示,P是平行四边形ABCD所在平面外一点,E、F分别在PA、BD上,且PE:EA=BF:FD,求证:EF∥平面PBC. 3、如图，E，F，G，H分别是正方体ABCD-A 1B 1 C 1 D 1 的棱BC，CC 1 ，C 1 D 1 ，AA 1 的中点。 求证：（1）EG∥平面BB 1D 1 D； （2）平面BDF∥平面B 1D 1 H．

4、如图所示，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别为AB 、PC 的中点，平面PAD ∩平面PBC ＝l. (1)求证：l ∥BC ； (2)MN 与平面PAD 是否平行？试证明你的结论。 5、如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，SA=SB ，点M 是SD 的中点，AN ⊥SC ，且交SC 于点N 。 （1）求证：SB ∥平面ACM ； （2）求证：平面SAC ⊥平面AMN ； （3）求二面角D-AC-M 的余弦值。 6、如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD,且PA=PD= 2 2 AD,E 、F 分别为PC 、BD 的中点. 求证:(1) 求证:EF ∥平面PAD; (2) 求证:平面PAB ⊥平面PDC; (3) 在线段AB 上是否存在点G,使得二面角C-PD-G 的余弦值为3 1 ?说明理由.

7、如图,在四棱柱ABCD-A 1B 1 C 1 D 1 中,底面ABCD是等腰梯形,∠ DAB=60°,AB=2CD=2,M是线段AB的中点。 (1)求证:C 1M∥平面A 1 ADD 1 ; (2)若CD 1垂直于平面ABCD且CD 1 =3,求平面C 1 D 1 M和平面ABCD所成的角(锐角) 的余弦值。 8、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中点． （1）证明：PA∥平面EDB； （2）证明：BC⊥DE．

立体几何初步练习题及答案

立体几何初步测试题 1.如图，设A 是棱长为a 的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论，其中错误的是( ) A ．有10个顶点 B ．体对角线AC 1垂直于截面 C ．截面平行于平面CB 1 D 1 D ．此多面体的表面积为47 8 a 2 解析 此多面体的表面积S ＝6a 2－3×12×12a ×12a ＋12×22a ×22a ×32＝45 8a 2 ＋ 38a 2＝45＋38 a 2 .故选D 2．(2012·福建宁德二模)如图是一个多面体的三视图，则其全面积为( ) A.3 B.3 2＋6 C.3＋6 D.3＋4 解析 由几何体的三视图可得，此几何体是正三棱柱，其全面积为S ＝3×(2)2 ＋2×1 2×(2)2×sin60°＝6＋ 3.故选C. 3．(2012·江西抚州一中模拟)如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( ) A ．22π B ．12C ．4π＋24 D ．4π＋32 解析 由几何体的三视图可得，此几何体是上面一个球、下面一个长方体组成的几何体，此几何体的表面积S ＝4π×12＋2×2×2＋8×3＝4π＋32.故选D. 5．(2012·江苏启东中学模拟)一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面面积为π，则球的体积为( ) A.82π 3 B.8π3 C.32π3 D ．8π

解析 由题意，球的半径为R ＝12＋12＝2，故其体积V ＝4 3π(2)3＝82π 3，选A. 6．(2012·福建福鼎一中模拟)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，E 是AD 的中点，则异面直线C 1E 与BC 所成的角的余弦值是( ) A.105 B.1010 C.13 D.223 解析 因为BC ∥B 1C 1，故∠EC 1B 1即为异面直线C 1E 与BC 所成的角，在△EB 1C 1中，由余弦定理可得结果，选C. 8.(2012·安徽皖南八校联考)设m ，n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题： ① ???? ?α∥βα∥γ?β∥γ；② ???? ?α⊥β m ∥α?m ⊥β；③ ? ??? ?m ⊥αm ∥β?α⊥β；④ ? ??? ?m ∥n n ?α?m ∥α.其中正确的命题是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①③ D ．②④

立体几何基础知识

立体几何基础知识 1. 平面的概念： 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性 2. 平面的画法及其表示方法： ①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成45 ，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时， 当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画 ②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面AC . 3. 空间图形是由点、线、面组成的 为α?a . 4. 平面的基本性质 (1)公理1:如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内

符号表示：ααα??∈∈a B A ,． 如图示： 应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面． 公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延 伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法． (2)公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这 个公共点的直线 符号表示：A l A ααββ∈? ?=?∈? 且A l ∈且l 唯一如图示： 应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上 公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法． (3)公理3: 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, A B C 不共线?存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈ 应用：①确定平面；②证明两个平面重合 注意:“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图 形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． (4)推论1 :经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面 推理模式：A a ??存在唯一的平面α，使得A α∈，α?l (5)推论2: 经过两条相交直线有且只有一个平面 推理模式：P b a = ?存在唯一的平面α，使得αα??b a , (6)推论3 :经过两条平行直线有且只有一个平面 推理模式：//a b ?存在唯一的平面α，使得αα??b a , 5. 平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形特别注意空间四边形是平面图形而不是平面图形. 6. 空间两直线的位置关系 （1）相交——有且只有一个公共点； （2）平行——在同一平面内，没有公共点； （3）异面——不在任何．． 一个平面内，没有公共点； 7. 公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：//,////a b b c a c ?．