2019版高考一轮复习《第九章平面解析几何》课时训练(有答案)-(数学)
第九章 平面解析几何
第1课时 直线的倾斜角与斜率
一、 填空题
1. 已知过点P(－2，m)和Q(m ，4)的直线的斜率不存在，则m 的值为________． 答案：－2
解析：由题意可知，点P 和Q 的横坐标相同，即m ＝－2.
2. 若直线过(－23，9)，(63，－15)两点，则直线的倾斜角为__________． 答案：120°
解析：设直线的倾斜角为α，则tan α＝－15－9
63＋23
＝－3，
∵ 0°≤α＜180°，∴ α＝120°. 3. 如果图中的三条直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3从小到大的排列顺序为__________．
答案：k 3 解析：由图知，k 1<0，k 2>0，k 3<0.另外，tan α1＝k 1<0，α1∈? ????π2，π，tan α3＝k 3<0，α3∈? ?? ??π2，π， 而α3<α1，正切函数在? ????π2，π上单调递增，所以 k 3 5 ＋y ＋1＝0的倾斜角α＝________． 答案：4π5 解析：∵ α∈[0，π)，k ＝tan α＝－tan π5＝tan ? ????π－π5＝tan 4π5，∴ α＝4π5. 5. 已知某直线l 的倾斜角α＝45°，且P 1(2，y 1)，P 2(x 2，5)，P 3(3，1)是此直线上的三点，则x 2＋y 1 ＝________． 答案：7 解析：由α＝45°，得直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1. 又P 1，P 2，P 3都在此直线上，故kP 1P 2＝kP 2P 3＝k l ，即5－y 1x 2－2＝1－5 3－x 2 ＝1，解得x 2＝7，y 1＝0，∴ x 2＋y 1＝ 7. 6. 若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈??????π6，π4∪??????2π3，π，则k 的取值范围是________． 答案：[－3，0)∪?? ?? ?? 33，1 解析：当α∈??????π6，π4时，k ＝tan α∈??????33，1；当α∈??????2π3，π 时，k ＝tan α∈[－3，0)．综 上，k ∈[－3，0)∪???? ?? 33，1. 7. 若直线l 1：3x －y ＋1＝0，直线l 2过点(1，0)，且它的倾斜角是直线l 1的倾斜角的2倍，则直线l 2 的方程为____________． 答案：y ＝－3 4 (x －1) 解析：由tan α＝3可求出直线l 2的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝－3 4 ，再由l 2过点(1，0)即可求得 直线方程为y ＝－3 4 (x －1)． 8. 若点A(3，－4)，B(5，－3)，C(4－m ，m ＋2)能构成三角形，则实数m 应满足条件________． 答案：m≠－11 3 解析：假设点A ，B ，C 不能构成三角形，则点A ，B ，C 共线．若m ＝1，则点A ，B ，C 不共线；若m≠1，则k AB ＝k AC . 因为k AB ＝12，k AC ＝6＋m 1－m ，所以12＝6＋m 1－m ，解得m ＝－11 3 . 所以若点A ，B ，C 能构成三角形，则m≠－11 3 . 9. 直线xsin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________． 答案：??????0，π4∪???? ??3π4，π 解析：设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1，1]．又θ∈[0，π)，所 以0≤θ≤π4或3π 4 ≤θ<π. 10. 若实数x ，y 满足3x －2y －5＝0(1≤x≤3)，则y x 的最小值为__________． 答案：－1 解析：设k ＝y x ，则y x 表示线段AB ：3x －2y －5＝0(1≤x≤3)上的点与原点的连线的斜率． ∵ A(1，－1)，B(3，2)，作图易知? ????y x min ＝k OA ＝－1. 二、 解答题 11. 已知点A(1，2)，在坐标轴上求一点P ，使直线PA 的倾斜角为60°. 解：① 当点P 在x 轴上时，设点P(a ，0)． ∵ A(1，2)，∴ 直线PA 的斜率k ＝0－2a －1＝－2 a －1 . ∵ 直线PA 的倾斜角为60°， ∴ tan 60°＝－2a －1，解得a ＝1－23 3 . ∴ 点P 的坐标为? ?? ?? 1－233，0. ② 当点P 在y 轴上时，设点P(0，b)， 同理可得b ＝2－3，∴ 点P 的坐标为(0，2－3)． 12. 已知经过A(m ，2)，B(－m ，2m －1)的直线的倾斜角为α，且45°＜α＜135°，求实数m 的取值范围． 解：∵ 45°＜α＜135°， ∴ k ＞1或k ＜－1或k 不存在， ∴ 2m －3－2m ＞1或2m －3－2m ＜－1或m ＝0， 解得0＜m ＜3 4 或m ＜0或m ＝0， ∴ m 的取值范围是? ????－∞，34. 13. 已知实数x ，y 满足y ＝x 2 －2x ＋2(－1≤x≤1)．试求y ＋3x ＋2 的最大值与最小值． 解：由y ＋3x ＋2 的几何意义可知，它表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB 上任一点(x ，y)的直线的斜率 k ，由图可知k PA ≤k ≤k PB . 由已知可得A(1，1)，B(－1，5)， ∴ 4 3≤k ≤8， 故y ＋3x ＋2的最大值为8，最小值为43 . 第2课时 直线的方程 一、 填空题 1. 斜率与直线y ＝3 2x 的斜率相等，且过点(－4，3)的直线的点斜式方程是________． 答案： y －3＝3 2 (x ＋4) 解析：∵ 直线y ＝32x 的斜率为32，∴ 过点(－4，3)且斜率为32的直线方程为y －3＝3 2 (x ＋4)． 2. 经过两点(3，9)，(－1，1)的直线在x 轴上的截距为________． 答案：－3 2 解析：由两点式，得所求直线的方程为y －19－1＝x ＋13＋1，即2x －y ＋3＝0，令y ＝0，得x ＝－3 2 . 3. 已知直线的倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5，则该直线的方程为________________． 答案：y ＝3x ＋5 解析：因为直线的倾斜角是60°，所以直线的斜率为k ＝tan 60°＝ 3.又因为直线在y 轴上的截距是5，由斜截式得直线的方程为y ＝3x ＋5. 4. 如果A·C＜0，且B·C＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过第________象限． 答案：三 解析：由题意知A·B·C≠0.直线方程变为y ＝－A B x －C B ，∵ A ·C ＜0，B ·C ＜0，∴ A ·B ＞0，∴ 其 斜率k ＝－A B ＜0，在y 轴上的截距b ＝－C B ＞0，∴ 直线过第一、二、四象限． 5. 斜率为1 6 的直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l 的方程为______________． 答案：x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0 解析：设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝1 6 x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已 知得|－6b·b|＝6，∴ b ＝±1.∴ 直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0. 6. 已知经过点P(1，4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则该直线的方程为________． 答案：2x ＋y －6＝0 解析：设所求直线方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)． ∵ 点P 在此直线上，∴ 1a ＋4 b ＝1. ∵ a ＋b ＝(a ＋b)? ?? ??1a ＋4b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4a b ＝9， 当且仅当b a ＝4a b ，即b ＝2a 时等号成立， ∴ a ＋b 取得最小值9时，a ＝3，b ＝6， 此时直线方程为x 3＋y 6 ＝1，即2x ＋y －6＝0. 7. 已知方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a∈R )的直线l 在两坐标轴上的截距相等，则a ＝__________． 答案：0或2 解析：令x ＝0，得y ＝a －2，令y ＝0，得x ＝a －2 a ＋1 (a≠－1)． ∵ 截距相等，∴ a －2＝a －2 a ＋1 ，解得a ＝2或a ＝0. 8. 已知3a ＋2b ＝5，则直线ax ＋by －10＝0必过定点__________________． 答案：(6，4) 解析：由3a ＋2b ＝5得到b ＝5－3a 2，代入直线ax ＋by －10＝0得到ax ＋5－3a 2y －10＝0，即a ? ????x －3y 2＋ 5 2y －10＝0，令? ??? ?x －3 2y ＝0，52 y －10＝0，解得? ????x ＝6，y ＝4，所以直线经过定点(6，4)． 9. 已知直线l 过点P(2，－1)，且在y 轴上的截距等于它在x 轴上的截距的2倍，则直线l 的方程为__________． 答案：2x ＋y －3＝0或x ＋2y ＝0 解析：当截距不等于零时，设l 的方程x a ＋y 2a ＝1. ∵ 点P 在l 上，∴ 2a －12a ＝1，则a ＝3 2 ， ∴ l 的方程为2x ＋y －3＝0；当截距等于零时，设l 的方程为y ＝kx ，又点P 在l 上，∴ k ＝－1 2 ，∴ x ＋2y ＝0.综上，所求直线l 的方程为2x ＋y －3＝0或x ＋2y ＝0. 10. 在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x ，y)为整点．下列命题中正确的是________．(填序号) ① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ② 如果k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 不经过任何整点； ③ 直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点； ④ 直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点的充要条件是k 与b 都是有理数； ⑤ 存在恰经过一个整点的直线． 答案：①③⑤ 解析：①正确，如直线y ＝2x ＋3，不与坐标轴平行，且当x 取整数时，y 始终是一个无理数，即不经过任何整点；②错误，直线y ＝3x －3中k 与b 都是无理数，但直线经过整点(1，0)；③正确，当直线 经过两个整点时，它经过无数多个整点；④错误，当k ＝0，b ＝13时，直线y ＝1 3 不通过任何整点；⑤正确， 如直线y ＝3x －3只经过一个整点(1，0)． 二、 解答题 11. 若直线l 的方程为(2m 2－m －1)x ＋(m 2 －m)y ＋4m －1＝0. (1) 求参数m 的取值集合； (2) 若直线l 的斜率不存在，试确定直线l 在x 轴上的截距； (3) 若直线l 在y 轴上的截距等于直线4x －y －2＝0的斜率，求直线l 的方程． 解：(1) 由???? ?2m 2 －m －1＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1，故参数m 的取值集合为{m|m≠1}． (2) 由? ????2m 2－m －1≠0，m 2－m ＝0，解得m ＝0，故直线方程为－x －1＝0，即x ＝－1，故直线l 在x 轴上的截距为 －1. (3) 直线l 在y 轴上的截距存在时，截距为1－4m m 2－m ，因为直线4x －y －2＝0的斜率为4，所以1－4m m 2－m ＝4， 解得m ＝±1 2 ，所以直线l 的方程为4x ＋y －4＝0或y ＝4. 12. 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a∈R )． (1) 当a ＝1时，直线l 分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点．若动点P(m ，n)在线段AB 上，求mn 的最大值； (2) 若a ＞－1，直线l 与x ，y 轴分别交于M ，N 两点，求△OMN 面积取最小值时，直线l 的方程． 解： (1) 当a ＝1时，直线l 的方程为2x ＋y －3＝0，可化为2x 3＋y 3＝1.由动点P(m ，n)在线段AB 上可 知0≤m≤32，0≤n ≤3，且2m 3＋n 3＝1，∴ 1≥22m 3·n 3，∴ mn≤98.当且仅当2m 3＝n 3时等号成立，解得m ＝3 4， n ＝32，故mn 的最大值为98 . (2) 由直线方程可求得M ? ?? ??2＋a a ＋1，0，N(0，2＋a)．又a ＞－1，故S △OMN ＝12×2＋a a ＋1×(2＋a)＝12× （a ＋1）2 ＋2（a ＋1）＋1a ＋1＝12×??????（a ＋1）＋1a ＋1＋2≥12×(2（a ＋1）×1a ＋1 ＋2)＝2， 当且仅当a ＋1＝1 a ＋1 ，即a ＝0或a ＝－2(舍去)时等号成立． 此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. 13. 已知直线l 过点P(0，1)，且与直线l 1：x －3y ＋10＝0和l 2：2x ＋y －8＝0分别交于点A ，B(如图)．若线段AB 被点P 平分，求直线l 的方程． 解：∵ 点B 在直线l 2：2x ＋y －8＝0上， 故可设点B 的坐标为(a ，8－2a)． 由P(0，1)是线段AB 的中点， 得点A 的坐标为(－a ，2a －6)． 又点A 在直线l 1：x －3y ＋10＝0上， 故将A(－a ，2a －6)代入直线l 1的方程， 得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4. ∴ 点B 的坐标是(4，0)． 因此，过P(0，1)，B(4，0)的直线l 的方程为x 4＋y 1 ＝1，即x ＋4y －4＝0. 第3课时 直线与直线的位置关系 一、 填空题 1. 过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是____________． 答案：x －2y －1＝0 解析：与直线x －2y －2＝0平行的直线方程可设为x －2y ＋c ＝0，将点(1，0)代入x －2y ＋c ＝0，解得c ＝－1，故直线方程为x －2y －1＝0. 2. 已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0.若l 1⊥l 2，则a ＝________． 答案：1