几何证明题的基本结构和方法

几何证明题的基本结构和方法：

1．正确地进行证明，先要探求证明的思路：这有三种方法：一种方法是从结论着眼，思考要使结论成立，需要具备什么条件，这样逆推直到需要的条件已经具备，当然这种逆推的过程中，要不断地向已知条件靠拢，这就是“执果索因”。有时，这种逆推会遇到障碍，这时也可用另一种方法思考，即从已知条件入手，思考从已知条件可以顺推出什么结论来，这样顺推直至结论成立，这就是“由因导果”，或者也可以顺推与逆推相结合，从问题的两头向中间靠拢，从而发现问题的突破口，这也叫“两头凑”。

2．“执果索因”的方法也就是证明的思维方法中的“综合法”，“由因导果”的方法也就是证明的思维方法中的“分析法”。“两头凑”的方法也就是证明的思维方法中的“分析综合法”。

3．“综合法”、“分析法”，“分析综合法”是证明的思维方法中的直接证法。

注：今后学习中还会学习到证明的思维方法中的间接证法：反证法和同一法。这两种方法在今后的学习中会逐步介绍给同学们。

八．思维方法的训练

例1．已知如图，AOC为一直线，OB为任一射线，OP平分∠AOB，

OE平分∠BOC，

求证：OE⊥OP。

分析：1、由逆推法分析要证明OE⊥OP，由垂直定义只要证明∠EOP=90°，而∠EOP由∠1、∠2所组成，只要证明∠1+∠2=90°。由于OE，OP分别是∠BOC和∠AOB的角平分线，

∠1=∠BOC，∠2=∠AOB，又由于AOC为一直线，∠AOB+∠BOC=180°，那么(∠AOB+∠BOC)=90°，即∠1+∠2=90°。

2．由顺推法分析：①由AOC为直线推出∠AOB+∠BOC=180°，②由OP，OE分别为∠AOB，∠BOC平分线推得

∠2=∠AOB，∠1=∠BOC，③由∠POE=∠1+∠2=(∠AOB+∠BOC)推得∠POE=90°再推得OP⊥OE。

3．上述分析中①和②的两个推理是并列的，因而在证明中先写①或②没有什么关系，但③是①和②共同的结果，所以③必须在①和②的后面。

证明：

（1）

（2）

（3）∵∠POE=∠1+∠2（全量等于部分之和）

=(∠AOB+∠BOC)（等量代换）

=×180°（等量代换）

=90°

∴OP⊥OE（垂直定义）

整个证明过程由3部分推理所组成，书写证明过程要用顺推法由前向后写。

例2、已知如图，∠AOC，∠BOD为对顶角，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，求证：OE，OF互为反向延长线。

分析：（1）OE，OF互为反向延长线是指EOF为一条直线，即

证明E、O、F三点共线。证明这类问题首先要克服视觉给我们带来

的干扰，如∠1和∠2并不能看成是一对对顶角，因为缺乏构成对顶

角的必要条件。OE与OF互为反向延长线，而这一点恰恰是本题证

明的目标。

（2）证明E、O、F三点共线通常采用∠EOF=180°，利用平角定义完成三点共线证明。

（3）为证明∠EOF=180°，只要证明∠1+∠AOF=180°，从已知∠AOC与∠BOD为对顶角，可推知A、O、B三点共线：即∠AOF+∠2=180°，只要证明∠1=∠2，题设中由∠AOC和∠BOD为对顶角又可知∠AOC=∠BOD，又由OE，OF分别为∠AOC和∠BOD平分线，正好创设了证明∠1=∠2的条件。

证明：∵∠AOC，∠BOD为对顶角（已知）

∴∠AOC=∠BOD（对顶角相等）

∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD（已知）

∴∠1=∠AOC，∠2=∠BOD（角平分线定义）

∴∠1=∠2（等量之半相等）

∵∠AOC，∠BOD为对顶角（已知）

∴AB为直线（对顶角定义）

∴∠AOF+∠2=180°（平角定义）

∴∠AOF+∠1=180°（等量代换）

∴∠EOF=180°（等量代换）

∴OE，OF互为反向延长线（平角定义）