6.示范教案(3.1 单调性与最大(小)值 第2课时)

第2课时 函数的最值

导入新课

思路1.某工厂为了扩大生产规模,计划重新建造一个面积为10 000 m 2的矩形新厂址,新厂址的长为x m ，则宽为x

10000m ，所建围墙ym ，假如你是这个工厂的厂长,你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地,使得新厂址的围墙y 最短?

学生先思考或讨论，教师指出此题意在求函数y=2(x+x

10000),x>0的最小值.引出本节课题：在生产和生活中，我们非常关心花费最少、用料最省、用时最省等最值问题，这些最值对我们的生产和生活是很有帮助的.那么什么是函数的最值呢?这就是我们今天学习的课题.用函数知识解决实际问题，将实际问题转化为求函数的最值，这就是函数的思想，用函数解决问题.

思路 2.画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？

①f(x)=-x+3；②f(x)=-x+3,x ∈［-1,2］；

③f(x)=x 2+2x+1;④f(x)=x 2+2x+1,x ∈［-2,2］.

学生回答后，教师引出课题：函数的最值.

推进新课

新知探究

提出问题

①如图1-3-1-11所示，是函数y=-x 2-2x 、y=-2x+1,x ∈［-1,+∞)、y=f(x)的图象.观察这三个图象的共同特征.

图1-3-1-11

②函数图象上任意点P(x,y)的坐标与函数有什么关系？

③你是怎样理解函数图象最高点的?

④问题1中，在函数y=f(x)的图象上任取一点A(x,y)，如图1-3-1-12所示，设点C 的坐标为(x 0,y 0)，谁能用数学符号解释：函数y=f(x)的图象有最高点C ？

图1-3-1-12

⑤在数学中，形如问题1中函数y=f(x)的图象上最高点C 的纵坐标就称为函数y=f(x)的最大值.谁能给出函数最大值的定义？

⑥函数最大值的定义中f(x)≤M 即f(x)≤f(x 0)，这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？

⑦函数最大值的几何意义是什么？

⑧函数y=-2x+1,x ∈(-1,+∞)有最大值吗？为什么？

⑨点(-1,3)是不是函数y=-2x+1,x ∈(-1,+∞)的最高点？

⑩由这个问题你发现了什么值得注意的地方？

讨论结果:

①函数y=-x 2-2x 图象有最高点A ，函数y=-2x+1,x ∈［-1,+∞)图象有最高点B ，函数y=f(x)图象有最高点C.也就是说,这三个函数的图象的共同特征是都有最高点.

②函数图象上任意点P 的坐标(x,y)的意义:横坐标x 是自变量的取值,纵坐标y 是自变量为x 时对应的函数值的大小.

③图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值.

④由于点C 是函数y=f(x)图象的最高点，则点A 在点C 的下方，即对定义域内任意x ，都有y≤y 0，即f(x)≤f(x 0)，也就是对函数y=f(x)的定义域内任意x ，均有f(x)≤f(x 0)成立. ⑤一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：

（1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ；

（2）存在x 0∈I ，使得f(x 0)=M.

那么，称M 是函数y=f(x)的最大值.

⑥f(x)≤M 反映了函数y=f(x)的所有函数值不大于实数M ；这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是M.

⑦函数图象上最高点的纵坐标.

⑧函数y=-2x+1,x ∈(-1,+∞)没有最大值，因为函数y=-2x+1,x ∈(-1,+∞)的图象没有最高点. ⑨不是，因为该函数的定义域中没有－1.

⑩讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点.

提出问题

①类比函数的最大值，请你给出函数的最小值的定义及其几何意义.

②类比问题9，你认为讨论函数最小值应注意什么？

活动：让学生思考函数最大值的定义，利用定义来类比定义.最高点类比最低点，符号不等号“≤”类比不等号“≥”.函数的最大值和最小值统称为函数的最值.

讨论结果：①函数最小值的定义是:

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：

（1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≥M ；

（2）存在x 0∈I ，使得f(x 0)=M.

那么，称M 是函数y=f(x)的最小值.

函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标.

②讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则；函数图象有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点.

应用示例

思路1

例1求函数y=1

2-x 在区间［2，6］上的最大值和最小值. 活动：先思考或讨论，再到黑板上书写.当学生没有证明思路时，才提示：图象最高点的纵坐标就是函数的最大值，图象最低点的纵坐标就是函数的最小值.根据函数的图象观察其单调性，再利用函数单调性的定义证明，最后利用函数的单调性求得最大值和最小值.利用变换法画出函数y=

1

2-x 的图象，只取在区间［2，6］上的部分.观察可得函数的图象是上升的.

解：设2≤x 1

f(x 1)-f(x 2)=121221---x x =)1)(1()]1()1[(22112-----x x x x =)

1)(1()(22112---x x x x ∵2≤x 10,(x 1-1)(x 2-1)>0.

∴f(x 1)>f(x 2),即函数y=

1

2-x 在区间［2，6］上是减函数. 所以，当x=2时，函数y=1

2-x 在区间［2，6］上取得最大值f(2)=2； 当x=6时，函数y=12-x 在区间［2，6］上取得最小值f(6)= 52. 变式训练

1.求函数y=x 2-2x(x ∈［-3,2］)的最大值和最小值_______.

答案：最大值是f(-3)=15，最小值是f(1)=-1.

2.函数f(x)=x 4+2x 2-1的最小值是.

分析：（换元法）转化为求二次函数的最小值.

设x 2=t ，y=t 2+2t-1(t≥0)，

又当t≥0时，函数y=t 2+2t-1是增函数，

则当t=0时，函数y=t 2+2t-1(t≥0)取最小值－1.

所以函数f(x)=x 4+2x 2-1的最小值是－1.

答案：-1

3.画出函数y=－x 2＋2|x|＋3的图象，指出函数的单调区间和最大值.

分析：函数的图象关于y 轴对称，先画出y 轴右侧的图象，再对称到y 轴左侧合起来得函数的图象；借助图象，根据单调性的几何意义写出单调区间.

解：函数图象如图1-3-1-13所示.

图1-3-1-13

由图象得，函数的图象在区间（－∞，－1）和［0，1］上是上升的，在［－1，0］和（1，＋∞）上是下降的，最高点是(±1,4)，

故函数在（－∞，－1），［0，1］上是增函数；函数在［－1，0］，（1，＋∞）上是减函数，最大值是4.

点评：本题主要考查函数的单调性和最值，以及最值的求法.求函数的最值时，先画函数的图象，确定函数的单调区间，再用定义法证明，最后借助单调性写出最值，这种方法适用于做解答题.

单调法求函数最值：先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值；常用到下面的结论：①如果函数y=f(x)在区间(a,b ］上单调递增，在区间［b,c)上单调递减，则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；②如果函数y=f(x)在区间(a,b ］上单调递减，在区间［b,c)上单调递增，则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b).

例2“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望它达到最高点时爆裂.如果烟花距地

面的高度h m 与时间t s 之间的关系为h(t)=-4.9t 2+14.7t+18，那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m ）？

活动：可以指定一位学生到黑板上书写，教师在下面巡视，并及时帮助做错的学生改错.并对学生的板书及时评价.将实际问题最终转化为求函数的最值，画出函数的图象，利用函数的图象求出最大值.“烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻”就是当t 取什么值时函数h(t)=-4.9t 2+14.7t+18取得最大值；“这时距地面的高度是多少（精确到 1 m ）”就是函数h(t)=-4.9t 2+14.7t+18的最大值；转化为求函数h(t)=-4.9t 2+14.7t+18的最大值及此时自变量t 的值.

解：画出函数h(t)=-4.9t 2+14.7t+18的图象，如图1-3-1-14所示，

显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆炸的最佳时刻，纵坐标就是这时距离地面的高度.

图1-3-1-14

由二次函数的知识，对于函数h(t)=-4.9t 2+14.7t+18，我们有：

当t=)

9.4(27.14-?-=1.5时，函数有最大值, 即烟花冲出去后1.5s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是29m.

点评：本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力.解应用题步骤是①审清题意读懂题；②将实际问题转化为数学问题来解决；③归纳结论. 注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合.

变式训练

1.2006山东菏泽二模，文10把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( ) A.23

3cm 2 B.4cm 2 C.32cm 2 D.23cm 2

解析：设一个三角形的边长为x cm ，则另一个三角形的边长为(4-x) cm ，两个三角形的面积和为S ，则S=43x 2+43(4-x)2=2

3(x-2)2+23≥23. 当x=2时，S 取最小值23m 2.故选D.

答案：D

2.某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时，每天可销售60件，现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问该商品售价定为多少时才能赚取利润最大，并求出最大利润.

分析：设未知数，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问

题的实际意义作出回答.利润＝（售价－进价）×销售量.

解：设商品售价定为x 元时，利润为y 元，则

y=(x-8)［60-(x-10)·10］

=-10［(x-12)2-16］=-10(x-12)2+160(10＜x ＜16).

当且仅当x=12时，y 有最大值160元，

即售价定为12元时可获最大利润160元.

思路2

例1已知函数f(x)=x+x

1,x>0， （1）证明当0

（2）求函数f(x)=x+x

1,x>0的最小值. 活动：学生思考判断函数单调性的方法，以及函数最小值的含义.（1）利用定义法证明函数的单调性；（2）应用函数的单调性得函数的最小值.

（1）解：任取x 1、x 2∈（0，+∞）且x 1＜x 2，则

f （x 1）－f （x 2）=（x 1＋11x ）－（x 2+21x ）=（x 1－x 2）+2112x x x x -=2

12121)1)((x x x x x x --， ∵x 1＜x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>0.

当0＜x 1＜x 2＜1时，x 1x 2-1<0，

∴f （x 1）－f （x 2）＞0.

∴f （x 1）＞f （x 2），即当0

当1≤x 1＜x 2时，x 1x 2-1>0，

∴f （x 1）－f （x 2）＜0.

∴f （x 1）＜f （x 2）,即当x≥1时，函数f(x)是增函数.

（2）解法一：由（1）得当x=1时，函数f(x)=x+

x 1,x>0取最小值. 又f(1)=2，则函数f(x)=x+x

1,x>0取最小值是2. 解法二：借助于计算机软件画出函数f(x)=x+x

1,x>0的图象，如图1-3-1-15所示，

图1-3-1-15

由图象知，当x=1时，函数f(x)=x+x

1,x>0取最小值f(1)=2. 点评：本题主要考查函数的单调性和最值.定义法证明函数的单调性的步骤是“去比赛”；三个步骤缺一不可.

利用函数的单调性求函数的最值的步骤：①先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值；常用到下面的结论：①如果函数y=f(x)在区间(a,b ］上单调递增，在区间［b,c)上单调递减，则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；②如果函数y=f(x)在区间(a,b ］上单调递减，在区间［b,c)上单调递增，则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b).这种求函数最值的方法称为单调法.

图象法求函数的最值的步骤：画出函数的图象，依据函数最值的几何意义，借助图象写出最值.

变式训练

1.求函数y=

x

x 213+-（x≥0）的最大值. 解析:可证明函数y=x

x 213+-（x≥0）是减函数， ∴函数y=x x 213+-（x≥0）的最大值是f(0)=3. 2.求函数y=|x+1|+|x-1|的最大值和最小值.

解法一：（图象法）y ＝|x+1|+|x-1|=??

???≥<<--≤-,1,2,11,

2,1,2x x x x x 其图象如图1-3-1-16所示

.

图1-3-1-16

由图象得，函数的最小值是2，无最大值.

解法二：（数形结合）函数的解析式y=|x+1|+|x-1|的几何意义是：y 是数轴上任意一点P 到±1的对应点A 、B 的距离的和，即y=|PA|+|PB|,如图1-3-1-17所示，

图1-3-1-17

观察数轴,可得|PA|+|PB|≥|AB|=2，即函数有最小值2，无最大值.

3.2007天利高考第一次全国大联考（江苏卷），11设0

-11的最小值是. 分析：y=)

1(1x x -,当0

答案：4

例2将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？

活动：让学生思考利润的意义，以及利润和售价之间的函数关系.设出一般情况，转化为求

二次函数的最值.解决此类应用题，通常是建立函数模型，这是解题的关键.

解：设每个售价为x 元时，获得利润为y 元，

则每个涨（x-50）元，从而销售量减少10(x-50)个,共售出500-10(x-50)=1000-10x(个). ∴y=(x-40)(1000-10x)=-10(x-70)2+9 000(50≤x ＜100）.

∴当x=70时,y max =9000,

即为了赚取最大利润，售价应定为70元.

点评：本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力.解应用题步骤是：①审清题意读懂题；②将实际问题转化为数学问题来解决；③归纳结论. 注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合.

变式训练

1.已知某商品的价格每上涨x%，销售的数量就减少mx%，其中m 为正常数.当m=21时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额最大？

解：设商品现在定价a 元，卖出的数量为b 个,当价格上涨x%时，销售总额为y 元. 由题意得y=a(1+x%)·b(1-mx%),

即y=

10000

ab ［-mx 2+100(1-m)x+10 000］. 当m=21时,y=20000

ab ［-(x-50)2+22 500］， 则当x=50时，y max =89ab. 即该商品的价格上涨50%时，销售总金额最大.

2.2007天利第一次全国大联考江苏卷，18某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)=?????>≤≤-,400,80000

,4000,214002x x x x 其中x 是仪器的月产量. （1）将利润表示为月产量的函数.

（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？（总收益＝总成本＋利润）.

分析：本题主要考查二次函数及其最值，以及应用二次函数解决实际问题的能力.（1）利润＝总收益－总成本；（2）转化为求函数的最值，由于此函数是分段函数，则要求出各段上的最大值，再从中找出函数的最大值.

解：（1）设月产量为x 台，则总成本为20 000+100x ，

从而f(x)=?????>-≤≤-+-.400,

10060000,4000,20000300212x x x x x （2）当0≤x≤400时，f(x)=2

1-(x-300)2+25000; 当x=300时，有最大值25000；

当x>400时，f(x)=60000-100x 是减函数;

又f(x)<60000-100×400<25000,

所以，当x=300时，有最大值25000,

即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元.

知能训练

课本P 32练习5.

［补充练习］

2007上海市闵行五校联合调研，20某厂2007年拟举行促销活动，经调查测算，该厂产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与去年促销费m （万元）（m≥0）满足x=31

2+-m .已知2007年生产的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.

（1）将2007年该产品的利润y 万元表示为年促销费m （万元）的函数；

（2）求2007年该产品利润的最大值，此时促销费为多少万元？

分析：（1）年利润＝销售价格×年销售量－固定投入－促销费－再投入，销售价格＝1.5×每件产品平均成本；（2）利用单调法求函数的最大值.

解：（1）每件产品的成本为

x

x 168+元，故2007年的利润 y=1.5×x x 168+×x-(8+16x+m)=4+8x-m=4+8(312+-m )-m=281

16+-m -m （万元）（m≥0）. （2）可以证明当0≤m≤3时，函数y=28116+-m -m 是增函数，当m>3时，函数y=281

16+-m -m 是减函数，所以当m=3时，函数y=28116+-m -m 取最大值21（万元）. 拓展提升

问题：求函数y=1

12++x x 的最大值. 探究：(方法一)利用计算机软件画出函数的图象，如图1-3-1-18所示，

图1-3-1-18

故图象最高点是(21-,34). 则函数y=1

12++x x 的最大值是34. (方法二)函数的定义域是R ，

可以证明当x<21-

时，函数y=1

12++x x 是增函数； 当x≥21-时，函数y=1

12++x x 是减函数. 则当x=21-时，函数y=1

12++x x 取最大值34, 即函数y=112++x x 的最大值是34.

(方法三)函数的定义域是R ，

由y=1

12++x x ,得yx 2+yx+y-1=0. ∵x ∈R ，∴关于x 的方程yx 2+yx+y-1=0必有实数根，

当y=0时，关于x 的方程yx 2+yx+y-1=0无实数根，即y=0不属于函数的值域.

当y≠0时，则关于x 的方程yx 2+yx+y-1=0是一元二次方程，

则有Δ=(-y)2-4×y(y-1)≥0.∴0

34. ∴函数y=4

32+x x 的最大值是34. 点评：方法三称为判别式法，形如函数y=f

ex dx c bx ax ++++22(d≠0)，当函数的定义域是R （此时e 2-4df<0）时，常用判别式法求最值，其步骤是①把y 看成常数，将函数解析式整理为关于x 的方程的形式mx 2+nx+k=0；②分类讨论m=0是否符合题意；③当m≠0时，关于x 的方程mx 2+nx+k=0中有x ∈R ，则此一元二次方程必有实数根，得n 2-4mk≥0,即关于y 的不等式，

解不等式组???≠≥-.

0,042m mk n

m≠0.此不等式组的解集与②中y 的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大值和最小值. 课堂小结

本节课学习了：(1)函数的最值；(2)求函数最值的方法：①图象法，②单调法，③判别式法；

(3)求函数最值时，要注意函数的定义域.

作业

课本P 39习题1.3A 组5、6.

设计感想

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：

（1）在探索概念阶段,让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对函数最值定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入.

（2）在应用概念阶段,通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用图象和单调法求函数最值的方法和步骤.

备课资料

基本初等函数的最值

1.正比例函数：y=kx(k≠0)在定义域R 上不存在最值.在闭区间［a,b ］上存在最值，当k>0时，函数y=kx 的最大值为f(b)＝kb ，最小值为f(a)＝ka ；当k<0时，函数y=kx 的最大值为f(a)＝ka ，最小值为f(b)＝kb.

2.反比例函数：y=

x

k (k≠0)在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不存在最值.在闭区间［a,b ］（ab>0）上存在最值，当k>0时，函数y=x k 的最大值为f(a)＝a k ，最小值为f(b)＝b

k ；当k<0时，函数y=x k 的最大值为f(b)＝b k ，最小值为f(a)＝a k . 3.一次函数：y=kx+b(k≠0)在定义域R 上不存在最值.在闭区间［m,n ］上存在最值，当k>0时，函数y=kx+b 的最大值为f(n)=kn+b ，最小值为f(m)＝km+b ；当k<0时，函数y=kx+b

的最大值为f(m)＝km+b ，最小值为f(n)＝kn+b.

4.二次函数：y=ax 2+bx+c(a≠0):

当a>0时，函数y=ax 2

+bx+c 在定义域R 上有最小值f(a b 2-)=a ac b 442+-，无最大值； 当a<0时，函数y=ax 2

+bx+c 在定义域R 上有最大值f(a b 2-)=a ac b 442+-，无最小值. 二次函数在闭区间上的最值问题是高考考查的重点和热点内容之一.二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ＞0)在闭区间［p ，q ］上的最值可能出现以下三种情况：

(1)若a

b 2-

＜p ，则f(x)在区间［p ，q ］上是增函数，则f(x)min =f(p)，f(x)max =f(q). (2)若p≤a b 2-≤q ，则f(x)min =f(a

b 2-),此时f(x)的最大值视对称轴与区间端点的远近而定： ①当p≤a b 2-＜2

q p +时，则f(x)max =f(q); ②当2q p +＝a

b 2-时，则f(x)max =f(p)＝f(q); ③当2q p +＜a

b 2-＜q 时，则f(x)max =f(p). (3)若a

b 2-≥q ，则f(x)在区间［p ，q ］上是减函数，则f(x)min =f(q)，f(x)max =f(p). 由此可见,当a

b 2-∈［p,q ］时,二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ＞0)在闭区间［p ，q ］上的最大值是f(p)和f(q)中的最大值,最小值是f(a b 2-)；当a b 2-?［p,q ］时,二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ＞0)在闭区间［p ，q ］上的最大值是f(p)和f(q)中的最大值,最小值是f(p)和f(q)中的最小值.

三角函数的单调性和最值

三角函数的单调性和最值问题 例1已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈．求: (I) 函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； (II) 函数()f x 的单调增区间． 解(I)1cos 23(1cos 2)()sin 21sin 2cos 222sin(2)224 x x f x x x x x π-+=++=++=++ ∴当2242x k π ππ+=+,即()8x k k Z π π=+∈时, ()f x 取得最大值22+. 函数()f x 的取得最大值的自变量x 的集合为{/,()}8x x R x k k Z ππ∈=+ ∈. (II) ()22sin(2)4f x x π=++ 由题意得: 222()242k x k k Z πππππ- ≤+≤+∈ 即: 3()88 k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 因此函数()f x 的单调增区间为3[,]()88 k k k Z ππππ- +∈. 例2 已知函数f (x )＝π2sin 24x ??-+ ???＋6sin x cos x －2cos 2x ＋1，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间π0,2 ?? ???? 上的最大值和最小值． (3)求f (x )在区间π0,2?????? 的单调区间和值域。 解：(1)f (x )＝2-sin 2x ·ππcos 2cos 2sin 44 x -?＋3sin 2x －cos 2x ＝2sin 2x －2cos 2x ＝π22sin 24x ??- ?? ?. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2 ＝π. (2)因为f (x )在区间3π0,8??????上是增函数，在区间3ππ,82?????? 上是减函数．又f (0)＝－2，3π228f ??= ???，π22f ??= ???，故函数f (x )在区间π0,2??????上的最大值为22，最小值为－2.

2019版中考数学专题复习第二章函数第6课时二次函数的图像和性质练习

2019版中考数学专题复习第二章函数第6课时二次函数的 图像和性质练习 一、选择题 1．抛物线y ＝－3x 2 －x ＋4与坐标轴的交点的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2．[xx·宿迁]将抛物线y ＝x 2 向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是( ) A ．y ＝(x ＋2)2 ＋1 B ．y ＝(x ＋2)2 －1 C ．y ＝(x －2)2 ＋1 D ．y ＝(x －2)2 －1 3．二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c(a≠0)的图象如图K14－1所示，则下列结论中正确的是( ) 图K14－1 A ．a>0 B ．当－10 C ．c<0 D ．当x≥1时，y 随x 的增大而增大 4．若二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c(a ＜0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为直线x ＝－1，则使函数值y ＞0成立的x 的取值范围是( ) A ．x ＜－4或x ＞2 B ．－4≤x≤2 C ．x≤－4或x≥2 D．－4＜x ＜2 5．已知抛物线y ＝－16x 2＋3 2x ＋6与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C.若D 为AB 的 中点，则CD 的长为( ) A.154 B.92 C.132 D.15 2

6．[xx·苏州]若二次函数y ＝ax 2 ＋1的图象经过点(－2，0)，则关于x 的方程a(x －2)2 ＋1＝0的实数根为( ) A ．x 1＝0，x 2＝4 B ．x 1＝－2，x 2＝6 C ．x 1＝32，x 2＝5 2 D ．x 1＝－4，x 2＝0 7．[xx·鄂州]如图K14－2，抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 交x 轴于A(－2，0)和点B ，交y 轴负半轴于点C ，且OB ＝OC.下列结论：①2b－c ＝2；②a＝12；③ac＝b －1；④a ＋b c ＞ 0，其中正确的个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 图K14－2 8．如图K14－3，一次函数y 1＝x 与二次函数y 2＝ax 2 ＋bx ＋c 的图象相交于P ，Q 两点，则函数y ＝ax 2 ＋(b －1)x ＋c 的图象可能为( ) 图K14－3 图K14－4 二、填空题 9．如图K14－5，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为直线________．

《函数的最大(小)值与导数》教案完美版

《函数的最大（小）值与导数》教案 §1.3.3 函数的最大(小)值与导数（1） 【教学目标】 1．使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件； 2．使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤． 【教学重点】利用导数求函数的最大值和最小值的方法． 【教学难点】函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系． 【教学过程】 一、复习引入： 1．极大值： 一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值=f (x 0)，x 0是极大值点． 2．极小值：一般地，设函数f (x )在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0)．就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值=f (x 0)，x 0是极小值点． 3．极大值与极小值统称为极值 注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小． （ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个． （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f ． （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点． 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点． 4． 判别f (x 0)是极大、极小值的方法： 若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值． 5． 求可导函数f (x )的极值的步骤： （1）确定函数的定义区间，求导数f ′(x )； （2）求方程f ′(x )=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x ) 在这个根处无极值． 二、讲解新课： 1．函数的最大值和最小值

英语教案Unit2Myschoolbag第二课时

英语教案－Unit2Myschoolbag第二课时教学重点：1．句型：What colour is it? It’s…2．词汇：colour ， fat 教学难点：1．发音：What’s colour is it? 2．在回答句子时颜色前面不用冠词，学生经常会出现It’s a red。这样的错误。教具准备：1．教师使用的一只玩具熊猫2．教材相配套的教学课件［Unit 2 Let’s learn］3．教材相配套的教学录音带教学过程：（一）热身／复习（Warm-up/Revision）1．做本单元A部分Let’s do内容，听指令做动作。2．复习上一课内容：看单词卡，读单词：English book，Chinese book， math book ， notebook， story-book。做对话：How many books do you have? I have…3．教师播放录音，学生模仿录音进行对话。（使用第一册相配套的教学录音带Unit4 Let’s talk/B）A: I have a …B: Oh， really? May I have a look? A: Sure。 Here you are。B: Thank you。 Oh， it’s nice! I like it。A: Thanks。（二）呈现新课（Presentation）1．如果在前面做的对话中，有学生说出：I have a new schoolbag。这时教师要利用这一契机追问：Really? What colour is it? 如果没有学生说出与课文相关的句子，教师可进行以下操作：教师手中拿一个书包，说：I have a new schoolbag。 It’s black and white。让学生听两遍后，问学生：What colour

人教版高中数学《函数的单调性与最值》教学设计全国一等奖

1.3.1函数的单调性与最大（小）值（第一课时） 教学设计 一、教学内容解析： (1)教学内容的内涵、数学思想方法、核心与教学重点； 本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学1》（以下简称“新教材”）第一章节。 函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质．如增函数表现为“随着x增大，y也增大”这一特征．与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究x成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质． 函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有．这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数在整个定义域上的性质． 函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法：加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画． 函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部）．可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位． 教学的重点是：引导学生对函数定义域I的给定区间D上“随着x增大，y也增大（或减小）”这一特征进行抽象的符号描述：在区间D上任意取x1，x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)（或f(x1)＞f(x2)），则称函数f（x）在区间D上是增函数（或减函数）． (2)教学内容的知识类型； 在本课教学内容中，包含了四种知识类型。函数单调性的相关概念属于概念性知识，函数单调性的符号语言表述属于事实性知识，利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识，发现问题----提出问题----解决问题的研究模式，以及从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法，属于元认知知识. (3)教学内容的上位知识与下位知识； 在本课教学内容中，函数的单调性，是文字语言、图形语言、符号语言的上位知识.图象法、作差法是判断证明函数单调性的下位知识. (4)思维教学资源与价值观教育资源； 生活常见数据曲线图例子，能引发观察发现思维；函数f(x)= +1和函数 1 y x x =+，能引发 提出问题---分析问题----解决问题的研究思维，不等关系等价转化为作差定号，是转化化归思维的好资源，是树立辩证唯物主义价值观的好契机；创设熟悉的二次函数探究背景，是引发从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明思维的好材料，树立了“事物是普遍联系的”价值观. 二、教学目标设置： 本课教学以《普通高中数学课程标准（实验）》（以下统称为“课标”）为基本依据，以“数学育人”作为根本目标设置。 “课标”数学1模块内容要求是：不仅把函数看成变量之间的依赖关系，还要用集合与对应的语言刻画函数，体会函数的思想方法与研究方法，结合实际问题，体会函数在数学和其他学科中的重要性。 “课标”对本课课堂教学内容要求是：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性.(第一课时) 为尽好达到以上要求，结合学生实际，本课课堂教学目标设置如下： (1)知识与技能： 理解函数单调性的概念，让学生能清晰表述函数单调性的定义与相关概念； 能利用图象法直观判断函数的单调性；

《函数的单调性和最大(小)值》教学设计【高中数学人教A版必修1(新课标)】

《函数的单调性与最大（小）值》教学设计 第一课时函数的单调性 通过观察一些函数图像的特征，形成增（减）函数的直观认识。再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义。掌握用定义证明函数单调性的步骤。函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。 【知识与能力目标】 1、结合具体函数，了解函数的单调性及其几何意义； 2、学会运用函数图像理解和研究函数的性质； 3、能够应用定义判断函数在某区间上的单调性。 【过程与方法目标】 借助二次函数体验单调性概念的形成过程，领会数形结合的思想，运用定义进行判断推理，养成细心观察，严谨论证的良好的思维习惯。 【情感态度价值观目标】 通过直观的图像体会抽象的概念，通过交流合作培养学生善于思考的习惯。 【教学重点】 函数单调性的概念。 【教学难点】 判断、证明函数单调性。 从观察具体函数图像引入，直观认识增减函数，利用这定义证明函数单调性。通过练习、交流反馈，巩固从而完成本节课的教学目标。

(一)创设情景，揭示课题 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究。他经过测试，得到了以下一些数据： 以上数据表明，记忆量y 是时间间隔t 的函数。艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”, 如图： 思考1:当时间间隔t 逐渐增大你能看出对应的函数值y 有什么变化趋势？通过这个 试验，你打算以后如何对待刚学过的知识？ 思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？ （二）研探新知 观察下列各个函数的图像，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

函数的单调性与最值(讲义)

函数的单调性与最值 【知识要点】 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 (2)单调区间的定义 如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝ f (x )的单调区间． （3）判断函数单调性的方法 ①根据定义；②根据图象；③利用已知函数的增减性；④利用导数；⑤复合函数单调性判定方法。 2．函数的最值 求函数最值的方法： ①若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法；

②利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用单调性求最值； ③基本不等式法：当函数是分式形式且分子、分母不同次时常用此法。 【复习回顾】 一次函数(0)y kx b k =+≠具有下列性质： (1)当0k >时，函数y 随x 的增大而增大 (2)当0k <时，函数y 随x 的增大而减小 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质： (1)当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时， y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a - 时，y 随着x 的增大而增大； (2)当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时， y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小； 提出问题: ①如图所示为一次函数y=x ，二次函数y=x 2和y=-x 2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律? ①这些函数走势是什么？在什么范围上升，在什么区间下降？ ②如何理解图象是上升的？如何用自变量的大小关系与函数值的大小关系表示函数的增减性？ ③定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1f(x 2)，那么就说函数f(x)在区间D 上是减函数.简称为：步调不一致减函数. 几何意义：减函数的从左向右看,图象是的. 例如图是定义在区间［－5，5］上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ 解：函数y=f(x)的单调区间是［-5,2),［-2,1),［1,3),［3,5］.其中函数y=f(x)在区间［-5,2),［1,3)上是减函数，在区间［-2,1),［3,5］上是增函数. 点评：图象法求函数单调区间的步骤是第一步：画函数的图象；第二步：观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.

最大值与最小值教案

班级：高二（ ）班 姓名：____________ 教学目标： 1．使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数f (x )在闭区间上所有点（包括端点a ，b ）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件； 2．使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤． 教学重点： 利用导数求函数的最大值和最小值的方法． 教学过程： 一、问题情境 1．问题情境．函数极值的定义是什么？ 2．探究活动．求函数f (x )的极值的步骤． 二、建构数学 1．函数的最大值和最小值． 观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象． 图中)(1x f ,35(),()f x f x 是极小值，24(),()f x f x 是极大值． 函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ． 一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值． 说明： （1）在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值． 如函数x x f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值； （2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的； (3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个． 2．利用导数求函数的最值步骤： 由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了． 设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：

Unit2 My schoolbag第二课时教学设计

第二课时 教学目标： 1．能听懂会说本课的会话。 2．能够熟练运用句型What’s in your schoolbag?来回答书包中各书本的名称。 3．能听说认读本课主要词汇：Chinese book, English book, maths book, storybook, schoolbag 教学重点： 1．句型：What’s in your schoolbag? 2．词汇：Chinese book, English book, maths book, storybook, schoolbag 教学难点： 1．发音：math book, Chinese book 2．区别书写形式：notebook, storybook与Chinese book, English book, maths book 教学过程： （一）热身／复习（Warm-up/Revision） 1．复习第一单元My classroom所学内容 做游戏：Simon says 教师说simon says: Clean the board….学生根据游戏规则做出动作。 看图问答：教师出示一幅画有教室的图片，学生之间根据图片内容做问答练习。 2．复习与本课内容有关的单词 做游戏：教师先出示图片pencil, pen, pencil-case, ruler, ersaser, crayon, book, sharpener…，请学生说出单词。然后教师出示写有上述单词的卡片让学生读出来，让学生把单词和图片配成一对 （二）呈现新课（Presentation） 1．让学生熟悉句型What’s in your schoolbag? 教师手拿出书包，提问：What is this? 教师出示单词卡，引导学生回答：Schoolbag并让学生指一指自己的schoolbag。 教师继续提问：What’s in your schoolbag? 教师分别出示语文书、英语书、数学书、故事书和笔记本，让学生用英文进行识别。学生在教师的帮助下学习这些单词。 6．教师出示单词卡，让学生认读单词。 学习maths时，教师要注意提醒学生th咬舌尖。指导学生区别带有book这几个单词

22.1 二次函数(第1课时)教学设计(一等奖)

22.1 二次函数（第1课时）教学设计 一、教学目标： 知识技能： 1．探索并归纳二次函数的定义； 2．能够表示简单变量之间的二次函数关系． 数学思考： 1．感悟新旧知识间的关系，让学生更深地体会数学中的类比思想方法； 2．经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系． 解决问题： 1．让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系； 2. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题．进一步体会数学与生活的联系，增强用数学意识。 情感态度： 1．把数学问题和实际问题相联系,从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲； 2．使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用； 3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作意识． 二、教学重点、难点： 教学重点： 1．经历探索和表示二次函数关系的过程，获得二次函数的定义。 2．能够表示简单变量之间的二次函数关系． 教学难点： 经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验． 三、教学方法：教师引导——自主探究——合作交流。 四、教具：小黑板 五、教学过程： 1. 温故知新，引出课题。 1、大家还记得我们学过哪些函数吗? 2、它们是如何定义的？ 3、我们分别从哪些方面对它们进行了研究？

2. 实际问题，列出函数关系式，探究新知 问题1：已知正方体粉笔盒的棱长x ，粉笔盒的表面积为y ，探讨y 与x 有什么关系？ 问题2：多边形的对角线数d 与边数n 有什么关系？[1] 问题3：某工厂一种产品的年产量是20件，计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的产量将随计划所定的x 的值而确定，y 与x 之间的关系应怎样表示？[2] 学生活动：学生自主学习教材第4-5页，发现书中显性问题，找出隐含问题，提出新问题，并尝试解决，记录解决问题的方案。然后，以小组为单位进行合作探究，讨论上述问题的解决方案，并进行组际交流，确定疑难点。 师生活动：教师或者学生充当能者，对小组共同筛选出的问题、重难点进行部分教学，对关键点进行点睛引导，师生互动，思维接龙，旨在突破难点。 预案：对问题1而言，如果学生不看展开图，直接说出答案，教师可追问：教材上展开图对求面积有什么作用？提醒学生思考展开图问题。如果学生看了展开图，却不知道它有何用？教师可追问：同学们，说一说符号语言y=6x 2中6的实际意义。请以小组为单位进行讨论。同时，对学生讨论的结果作鼓励性评价。如学生的答案是 y=4x ?x+x 2+x 2时，老师务必当众大力表扬：你的答案非常有创意，观察图很仔细，能够灵活利用书上的展开图求解，打破了思维定势，而且对过去学过的基础知识、方法、思想、基本活动经验进行了整合，变成了自己解决问题的锋利武器，你太有才了！同学们，这个同学就是我们学习的榜样，他今后很可能成为一位伟大的发明家。 对问题2而言，如果学生不能正确得到结论，教师用作图法引导：从一个顶点可以作多少条对角线？n 个顶点呢？从所有顶点作出的对角线是否有重复的？如果学生能得出正确结论，教师也可追问：同学们，说一说符号语言()132d n n =-中12 的实际意义。请同学们先作图，再回答。同时，对他们的解题思路作点评，鼓励他们用不同方法发现规律，树立学习自信心。 设计意图：以粉笔盒为教具，通过对粉笔盒面积求法的探究，不但能给学生提供展示平台，体验成功的机会，对学习产生自信，而且可以培养他们一题多解能力，筛选通法通解的意识。此外，对简单的实际问题，列出二次函数关系式，既巩固了方程法求函数关系式的思想，又为二次函数概念的形成提供感性素材。 3. 观察式子，形成二次函数概念 问题4：观察: ① y = 6x 2； ② 213-22 d n n =； ③ y = 20x 2+40x+20. 想一想函数①②③有什么共同点？ 师生活动：针对问题4，教师追问：同学们，函数关系式①、②、③究竟表示的是哪种函数？能否给这种函数取个名字？学生仔细观察，讨论函数的共同点，由此给函数取名。当学生取名困难时，老师可以从方法的角度进行诱导：根据函数表达式与自变量的关系，类比一次函数的命名，让学生对函数y=ax 2 +bx+c 进行命名，引出二次函数概念。

函数的最大值和最小值教案

函数的最大值和最小值教案 1.本节教材的地位与作用 本节主要研究闭区间上的持续函数最大值和最小值的求法和实际应用,分两课时,这里是第一课时,它是在学生已经会求某些函数的最值,并且已经掌握了性质:“如果f是闭区间[a,b]上的持续函数,那么f在闭区间[a,b]上有最大值和最小值”,以及会求可导函数的极值之后进行学习的,学好这一节,学生将会求更多的函数的最值,运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题.这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等严重的数学思想方法,学好本节,对于进一步完善学生的知识结构,培养学生用数学的意识都具有极为严重的意义. 2.教学重点 会求闭区间上持续开区间上可导的函数的最值. 3.教学难点 高三年级学生虽然已经具有一定的知识基础,但由于对求函数极值还不烂熟,特别是对优化解题过程依据的理解会有较大的困难,所以这节课的难点是理解确定函数最值的方法. 4.教学关键 本节课突破难点的关键是:理解方程f′=0的解,包含有指定区间内全部可能的极值点. 【教学目标】 根据本节教材在高中数学知识体系中的地位和作用,结合学生已有的认知水平,制定本节如下的教学目标: .知识和技能目标 理解函数的最值与极值的区别和联系.

进一步明确闭区间[a,b]上的持续函数f,在[a,b]上必有最大、最小值. 掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤. 2.过程和方法目标 了解开区间内的持续函数或闭区间上的不持续函数不一定有最大、最小值. 理解闭区间上的持续函数最值存在的可能位置:极值点处或区间端点处. 会求闭区间上持续,开区间内可导的函数的最大、最小值. 3.情感和价值目标 认识事物之间的的区别和联系. 培养学生观察事物的能力,能够自己发现问题,分析问题并最终解决问题. 提高学生的数学能力,培养学生的创新精神、实践能力和理性精神. 【教法选择】 根据皮亚杰的建构主义认识论,知识是个体在与环境相互作用的过程中逐渐建构的结果,而认识则是起源于主客体之间的相互作用. 本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间上的持续函数一定存在最大值和最小值之后,引导学生通过观察闭区间内的持续函数的几个图象,自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置,进而探索出函数最大值、最小值求解的方法与步骤,并优化解题过程,让学生主动地获得知识,老师只是进行合适的引导,而不进行全部的灌输.为突出重点,突破难点,这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学. 【学法指导】 对于求函数的最值,高三学生已经具备了优良的知识基础,剩下的问题就是有没有一种更大凡的方法,能运用于更多更繁复函数的求最值问题?教学设计中注意激发起学生剧烈的求知欲望,使得他们能积极主动地观察、分析、归纳,以形成认识,参与到课堂活动中,充分发挥他们作为认知主体的作用.

第05讲-函数的单调性与最值(讲义版)

第05讲-函数的单调性与最值 一、考情分析 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． 二、知识梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数减函数 定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M?A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当 Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称 函数y＝f(x)在区间M上是增 函数 Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y ＝f(x)在区间M上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 (2)上是增函数或是减函数， 性，区间M称为单调区间. 2.函数的最值 前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论M为最大值M为最小值 [方法技巧] 1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值).

2.函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1 f （x ） 的单调性相反. 3.“对勾函数”y ＝x ＋a x (a >0)的增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ]. 三、 经典例题 考点一 确定函数的单调性(区间) 【例1－1】（2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试（理））如果函数f(x)在[a ，b]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b](x 1≠x 2)，下列结论不正确的是( ) A ． ()()1212 f x f x x x -->0 B ．f(a)0 D ．()() 2121x x f x f x -->0 【答案】B 【解析】 试题分析：函数在[a ，b]上是增函数则满足对于该区间上的12,x x ，当12x x <时有()()12f x f x <，因此 ()()1212 0f x f x x x ->-，(x 1－x 2) [f(x 1)－f(x 2)]>0， ()() 21 210x x f x f x ->-均成立，因为不能确定12,x x 的 大小，因此f(a)

示范教案(单调性与最大(小)值第课时)

示范教案（1.3.1 单调性与最大（小）值 第2课时） 导入新课 思路1.某工厂为了扩大生产规模,计划重新建造一个面积为10 000 m 2的矩形新厂址,新厂址的长为x m ，则宽为x 10000m ，所建围墙ym ，假如你是这个工厂的厂长,你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地,使得新厂址的围墙y 最短? 学生先思考或讨论，教师指出此题意在求函数y=2(x+ x 10000),x>0的最小值.引出本节课题：在生产和生活中，我们非常关心花费最少、用料最省、用时最省等最值问题，这些最值对我们的生产和生活是很有帮助的.那么什么是函数的最值呢?这就是我们今天学习的课题.用函数知识解决实际问题，将实际问题转化为求函数的最值，这就是函数的思想，用函数解决问题. 思路 2.画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ ①f(x)=-x+3；②f(x)=-x+3,x ∈［-1,2］； ③f(x)=x 2+2x+1;④f(x)=x 2+2x+1,x ∈［-2,2］. 学生回答后，教师引出课题：函数的最值. 推进新课 新知探究 提出问题 ①如图1-3-1-11所示，是函数y=-x 2-2x 、y=-2x+1,x ∈［-1,+∞)、y=f(x)的图象.观察这三个图象的共同特征. 图1-3-1-11 ②函数图象上任意点P(x,y)的坐标与函数有什么关系？ ③你是怎样理解函数图象最高点的? ④问题1中，在函数y=f(x)的图象上任取一点A(x,y)，如图1-3-1-12所示，设点C 的坐标为(x 0,y 0)，谁能用数学符号解释：函数y=f(x)的图象有最高点C ？ 图1-3-1-12 ⑤在数学中，形如问题1中函数y=f(x)的图象上最高点C 的纵坐标就称为函数y=f(x)的最大值.谁能给出函数最大值的定义？ ⑥函数最大值的定义中f(x)≤M 即f(x)≤f(x 0)，这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？ ⑦函数最大值的几何意义是什么？

三年级上册英语Unit 2 第二课时 教案

小学英语PEP人教版教材三年级上册 Unit 2 Colours教案 Unit 2 Colours 第一课时 教学目标： 1 能用英语进行简单的打招呼及用This is……向别人介绍身边的人。 2 通过创设实际情景，让学生能在相应的情景中准确运用以上句型。 3 培养学生正确、自然的模仿语音、语调的能力。教学重点：This is ……句型的学习。 教学难点： 1、This is ……的得体运用。 2、This is …… 句型字母i 及th的发音不容易到位。 教具准备： 1、本课Let's talk/ 部分的教学课件。 2、本课时教学配套的录音带，以及歌曲"Hello"“Good morning”的录音带。 3、Mr. Jones, Miss White, Miss Green 的头饰。 4、小星星的贴贴。 教学过程： Step1 热身、复习(Warm-up/Revision) （1）播放歌曲Good morning，让学生跟唱，集中学生注意力，调动学生学习兴趣。 （2）游戏Do a game. "SIMON SAYS" 指令是第一单元B.Let's do的内容。（3）师生同唱歌曲"Hello"。教师可以边唱边用手势示意学生，将歌曲中的人名改为同班同学的名字。 （4）教师用头饰介绍人物。例如：教师举起Miss White的头饰说：This is Miss white 然后戴上Miss white的头饰说：Good morning, boys and girls. I'm Miss white （5）请三个学生扮演Mr. Jones, Miss White, Miss Green ，用唱歌的形式互相问候。"Hello" Step2 呈现新课(Presentation) （1）师生观看教学课件。课件内容为Let's talk/A 的内容。教师利用与教材内容相同的教学课件，使学生一目了然，既了解了句型的含义，又了解句型运用的情景。 （2）再次观看课件，教师提问：T: What are they doing? （3）教师演示Let's talk/A 的内容，使学生进一步理解对话。方法为：教师戴上Miss White 的头饰，左手举起Mr. Jones的头饰，右手举起Miss Green 的头时，用不同声调引出对话内容。在此次演示活动中，教师强调This is……。 （4）教师提问：Miss White 是如何介绍Miss Green 给Mr. Jones的？Miss Green 和Mr. Jones是怎样用英语打招呼的。 （5）听本课时Let's talk/A 教学配套的录音带，学生跟读并模仿发音。教师注意带读不易掌握的读音，如：This is……一句中的元音字"i" 的读音是[i] ，提示学生要读得短促些。而this一词中的th 在发音时，要让舍尖顶住上齿，教师可以夸大口型，让学生了解发音方法。教师要适当纠正，切不可一味的纠正发音，打击孩子学习的积极性。 （6）分组练习。每三个学生一组进行练习Good morning ,this is ……,给表现好的小组奖励小星星贴贴。

函数的单调性与最值(含例题详解)

函数的单调性与最值 一、知识梳理 1．增函数、减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D?I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1f(x2) ． 2．单调区间的定义 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3．函数的最值 前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件①对于任意x∈I，都有 f(x)≤M；②存在x0∈I，使得 f(x0)＝M ①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；②存在 x0 ∈ I，使得f(x0) ＝M 结论M为最大值M为最小值 注意： 1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 2．两函数f(x)，g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但 f(x)·g(x)，1等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比． f( x) ［试一试］ 1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A．y＝ln(x＋2) B．y＝－x＋1 D．y＝x＋1 解析：选 A 选项 A 的函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数． 2．函数f(x)＝x2－2x(x∈［－2,4］)的单调增区间为___ ；f(x)max＝ ________ . 解析：函数f(x)的对称轴x＝1，单调增区间为［1,4］，f(x)max＝f(－2)＝f(4)＝8. 答案：

九年级(下)第六章 二次函数 第9课时 二次函数的应用(一)

第9课时二次函数的应用（一）（附答案） 1．如图，AB为半圆的直径，点P为AB上一动点，动点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，运动时间为t，分别以AP与PB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图象大致为 ( ) 2．(2012．安徽)如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O 过A点的切线交于点B，且∠APB＝60°，设OP＝x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是 ( ) 3．出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出（8－x）个，则当x＝_______元时，一天出售该种手工艺品的总利润y最大． 4．将一条长为16 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是_______cm2． 5．某种火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h＝－5t2＋150t＋10表示，经过_______s，火箭达到它的最高点． 6．用长度为20 m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2x m．当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积．

7．(2012．淮安)国家和地方政府为了提高农民种粮的积极性，每亩地每年发放种粮补贴120元，种粮大户老王今年种了150亩地，计划明年再承租50～150亩土地种粮以增加收入，考虑各种因素，预计明年每亩种粮成本y（元）与种粮面积x(亩)之间的函数关系如图所示： (1)今年老王种粮可获得补贴多少元？ (2)根据图象，求y与x之间的函数关系式； (3)若明年每亩的售粮收入能达到2140元，求老王明年种粮总收入W(元)与种粮面积x（亩）之间的函数关系式．当种粮面积为多少亩时，总收入最高？并求出最高总收入． 8．(2012．南京)某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图，在⊙O1和扇形O2CD中，⊙O1与O2C、O2D分别相切于A、B，∠CO2D＝60°，E、F是直线O1O2与⊙O1、扇形O2CD的两个交点，EF＝24 cm，设⊙O1的半径为x cm． (1)用含x的代数式表示扇形O2CD的半径； (2)若⊙O1和扇形O2CD两个区域的制作成本分别为0.45元／cm2和0.06元／cm2，当⊙O1的半径为多少时，该玩具成本最小？ 9．（2012．日照）如图，矩形ABCD的两边长AB＝18 cm，AD＝4 cm，点P、Q分别从A、B 同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度匀速运动，设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y(cm2)． (1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)求△PBQ的面积的最大值．

Unit 2 My favourite season第二课时教案

人教版PEP五年级下册 Unit 2 My favourite season第二课时教案 教学内容： A Let’s learn/Let’s play 词汇： spring, summer, autumn, winter, season 教学目的： 1. 能够听、说、读、写五个有关季节的单词：spring, summer, autumn, winter, season。 2. 能够在语境中正确运用这五个单词。 3. 能够完成“读一读，连一连”的活动。 教学重点： 能够听、说、读、写五个有关季节的单词：spring, summer, autumn, winter, season。 教学难点： 能够听、说、读、写五个有关季节的单词：spring, summer, autumn, winter, season。 教学方法：听、读、说、写、合作交流。 教具准备：教师准备复读机和磁带再加PPT，学生预习。 授课类型：词汇课 教学过程： （一）热身／复习（Warm-up/Revision） 活动一：看一看，演一演 教学参考时间：3分钟 教师出示四个季节的卡片，引导学生边看，边表演出每个季节的气候，可以请一个孩子表演，大家说出季节。 活动二：读一读 教学参考时间：3分钟 教师出示单词卡片，学生抢答或学生开火车认读。同时，按照四季顺序，然学生排列词汇，并认读。 活动三：听听，唱唱 教学参考时间：3分钟 教师播放本单元中Let’s sing中的歌曲，孩子们边听边唱边演。 （二）呈现新课（Presentation）

活动四：听听，连连 教学参考时间：3分钟 教师在黑板上写下班中随意三个同学的名字，然后将表示季节的单词卡贴在黑板上。教师和“榜上有名”的三个同学分别进行What’s your favourite seas on？的对话。全班同学听完后，共同完成连线活动。 活动五：说一说 教学参考时间：5分钟 教师提问What’s your favourite season? 学生根据实际做答（Winter.）。教师询问：Why? 学生结合实际回答(I can play snow.)。教师询问1-2名学生后，将句型变为“Which season do you like best?”并引导学生回答。教师板书句型，示意学生将此句型和What’s your favourite season?进行比较。最后，教师带读，学生跟读。 活动六：模仿对话 教学参考时间：8分钟 教师播放Let’s talk部分的录音，提问学生：How many people in this dialogue? Who are they?Which season does Mike /Zhang like best?Why? 听录音后，重复听到的句子，并出示课件，让学生观看每张图片下的表示气候的词汇，然后在认读的基础上，教师和学生仿例示范一组对话，最后进行小组对话。 （三）趣味操练（Practice） 活动七：小调查 教学参考时间：教师结合课堂教学的具体时间进行，或课外进行。 学生在规定的时间里运用本课新句型Which season do you like best?完成对五个以上同学的调查，并要求回答的同学对季节气候进行描述。 活动八：游戏——找朋友 教学参考时间：3分钟 学生两人一组互相询问：Which season do you like best? 然后同时说出答案，答案一样的两人成为朋友，不一样的学生再重新开始游戏。 （四）巩固和扩展（Consolidation and extension） 活动九：听力练习 教学参考时间：5-6分钟 完成活动手册的相关内容并公布答案。