立体几何专题训练
14、如图,在三棱锥P ABC -中,2AC BC ==,
90ACB ∠=,AP BP AB ==,PC AC ⊥.
(Ⅰ)求证:PC AB ⊥;
(Ⅱ)求二面角B AP C --的平面角的余弦值; (Ⅲ)求点C 到平面APB 的距离.
A
C
B
P
15、如图,α⊥β,α∩β=l , A ∈α, B ∈β,点A 在直线l 上的射影为A 1, 点B 在l 的射影为B 1,已知AB=2,AA 1=1, BB 1=2, 求: (Ⅰ) 直线AB 分别与平面α,β所成角的大小; (Ⅱ)二面角A 1-AB -B 1的平面角的正弦值
A B
A 1
B 1 α
β
l
16、如图,在四棱锥ABCD
P-中,底面ABCD是矩形.已知
60
,2
2
,2
,2
,3=
∠
=
=
=
=PAB
PD
PA
AD
AB.
(Ⅰ)证明⊥
AD平面PAB;
(Ⅱ)求异面直线PC与AD所成的角的正切值;
(Ⅲ)求二面角A
BD
P-
-的平面角的正切值
18.如图,在直三棱柱
111
ABC A B C
-中,平面
1
A BC⊥侧面
11
.
A ABB
(Ⅰ)求证:;
AB BC
⊥
(Ⅱ)若
1
AA AC a
==,直线AC与平面
1
A BC所成的角为θ,
二面角
1
,.
2
A BC A
π
?θ?
--+=
的大小为求证:
立体几何专题训练参考答案
13.(08全国18)四棱锥A BCDE -中,底面BCDE 为矩形,侧面
ABC ⊥底面BCDE ,2BC =
,CD =,AB AC =.
(Ⅰ)证明:AD CE ⊥;
(Ⅱ)设CE 与平面ABE 所成的角为
45,求二面角C AD E --的平面角的余弦值.
解:(1)取BC 中点F ,连接DF AB AC =,∴AF BC ⊥,
又面ABC ⊥面BCDE ,∴AF ⊥∴AF CE ⊥.
tan tan 2CED FDC ∠=∠=, ∴90OED ODE ∠+∠=,∴∠CE ∴⊥面ADF ,CE AD ∴⊥.
(2)在面ACD 内过C 点作AD 的垂线,垂足为G .
CG AD ⊥,CE AD ⊥,AD ∴⊥面CEG ,EG AD ∴⊥, 则CGE ∠即为所求二面角的平面角.
23AC CD CG AD ==,DG =,EG ==,
CE =222cos 2CG GE CE CGE CG GE +-∠==,
πarccos CGE ∴∠=-??
,即二面角C AD E --的大小
πarccos -??
.
14.(08北京卷16)如图,在三棱锥P ABC -中,2AC BC ==,90ACB ∠=,AP BP AB ==,PC AC ⊥. (Ⅰ)求证:PC AB ⊥;
(Ⅱ)求二面角B AP C --的平面角的正弦值;
(Ⅲ)求点C 到平面APB 的距离.
解法一:
(Ⅰ)取AB 中点D ,连结PD CD ,. AP BP =,PD AB ∴⊥. AC BC =,CD AB ∴⊥.
PD CD D =,AB ∴⊥平面PCD . PC ?平面PCD , PC AB ∴⊥. (Ⅱ)AC BC =,AP BP =, APC BPC ∴△≌△. 又PC AC ⊥,PC BC ∴⊥.
又90ACB ∠=,即AC BC ⊥,且AC PC C =, BC ∴⊥平面PAC .
取AP 中点E .连结BE CE ,. AB BP =,BE AP ∴⊥.
EC 是BE 在平面PAC 内的射影, CE AP ∴⊥.
BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角. 在BCE △中,90BCE ∠=,2BC =,BE AB =
= sin BC BEC BE ∴∠=
=. ∴二面角B AP C --的大小为arcsin
3
. (Ⅲ)由(Ⅰ)知AB ⊥平面PCD , ∴平面APB ⊥平面PCD .
过C 作CH PD ⊥,垂足为H . 平面APB 平面PCD PD =, CH ∴⊥平面APB .
CH ∴的长即为点C 到平面APB 的距离.
由(Ⅰ)知PC AB ⊥,又PC AC ⊥,且AB AC A =, PC ∴⊥平面ABC .CD ?平面ABC ,PC CD ∴⊥. 在Rt PCD △中,1
2
CD AB =
=PD PB == 2PC ∴==.
3
32=?=PD CD PC CH .
∴点C 到平面APB .
15、(08福建卷18)如图,α⊥β,α∩β=l , A ∈α, B ∈β,点A 在直线l 上的射影为A 1, 点B 在l 的射影为B 1,已知AB=2,AA 1=1, BB 1=2, 求:
(Ⅰ) 直线AB 分别与平面α,β所成角的大小;
(Ⅱ)二面角A 1-AB -B 1的平面角的正弦值
解法一: (Ⅰ)如图, 连接A 1B,AB 1, ∵α⊥β, α∩β=l ,AA 1⊥l , BB 1⊥l ,
∴ AA 1⊥β, BB 1⊥α. 则∠BAB 1,∠ABA 1分别是AB 与α和β所成的角.
Rt △BB 1A 中, BB 1=2 , AB=2, ∴sin ∠BAB 1 = BB 1AB = 2
2
. ∴∠
BAB 1=45°.
Rt △AA 1B 中, AA 1=1,AB=2, sin ∠ABA 1=AA 1AB = 1
2
, ∴∠ABA 1= 30°.
故AB 与平面α,β所成的角分别是45°,30°.
(Ⅱ) ∵BB 1⊥α, ∴平面ABB 1⊥α.在平面α内过A 1作A 1E ⊥AB 1交AB 1于E
则A 1E ⊥平面AB 1B ,过E 作EF ⊥AB 交AB 于F ,连接A 1F ,则A 1F ⊥AB ∴ ∠A 1FE 就是所求二面角的平面角.
∠BAB 1=45° ∴ AB 1=B 1B= 2 ∴ A 1B=AB 2-AA 12 =4-1 = 3.
由AA 1·A 1B=A 1F ·AB 得 A 1F=AA 1·A 1B AB = 1×32 = 3
2
∴ sin ∠A 1FE = A 1E A 1F = 63 ∴ 二面角A 1-AB -B 1的大小为arcsin 6
3
.
解法二:
(Ⅱ) 如图,建立坐标系, 则A 1(0,0,0),A(0,0,1),B 1(0,1,0),B(2,1,0)
在AB 上取一点F(x,y,z),则存在t ∈R,使得AF →=tAB →
即(x,y,z -1)=t(2,1,-1)
∴点F 的坐标为(2t, t,1-t),要使A 1F →⊥AB →,须A 1F →·AB →
=0,
即(2t, t,1-t) ·(2,1,-1)=0, 2t+t -(1-t)=0 解得t=1
4
∴点F 的坐标为(24,-14, 34 ) ∴ A 1F →
=(24,14, 34
)
设E 为AB 1的中点,则点E 的坐标为(0,12, 12) ∴ EF →
=(24,-14,14
).
又EF →·AB →=(24,-14,14)·(2,1,-1)= 12 - 14 - 14
=0, ∴EF →⊥AB →
∴ ∠A 1FE 为所求二面角的平面角.
A B
A 1
B
α β
l
E
F
A C B
D
P A
B
P C
E
A
B
cos ∠A 1FE= A 1F →·EF →|A 1F →|·|EF →| = (24,14,34)·(24,-14,14)216+116+916 ·216+116+116 = 18-116+
3
1634 ·
12 = 1
3 =
3
3
∴ 二面角A 1-AB -B 1的大小为arccos
33
.
16、(08天津卷19)如图,在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD
是矩形.已知
60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB .
(Ⅰ)证明⊥AD 平面PAB ;
(Ⅱ)求异面直线PC 与AD 所成的角的正切值; (Ⅲ)求二面角A BD P --的平面角的正切值。
(Ⅰ)证明:在PAD ?中, 由题设22,2==PD PA 可得
222PD AD PA =+于是PA AD ⊥. 在矩形ABCD 中,
AB AD ⊥.又A AB PA = ,
所以⊥AD 平面PAB .
(Ⅱ)解:由题设,AD BC //,所以PCB ∠(或其补角)是异面直线PC 与AD 所成的角. 在PAB ?中,由余弦定理得
由(Ⅰ)知⊥AD 平面PAB ,
?PB 平面PAB ,
所以PB AD ⊥,因而PB BC ⊥, 于是PBC ?是直角三角形,
故2
7
tan ==BC PB PCB . 所以异面直线PC 与AD 所成的角的大
小为2
7
arctan .
(Ⅲ)解:过点P 做AB PH ⊥于H ,过点H 做BD HE ⊥于E ,连
结PE
因为⊥AD 平面PAB ,?PH 平面PAB ,所以PH AD ⊥.又
A A
B AD = ,
因而⊥PH 平面ABCD ,故HE 为PE 再平面ABCD 内的射影.由三垂线定理可知,
PE BD ⊥,从而PEH ∠是二面角A BD P --的平面角。
由题设可得,
13
4
,13,2,
160cos ,360sin 2
2=
?==+==-==?==?=BH BD AD HE AD AB BD AH AB BH PA AH PA PH 于是再PHE RT ?中,439
tan =PEH
所以二面角A BD P --的大小为439
arctan . 17、(08上海卷16)如图,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E 是BC 1的中点.求直线DE 与平面ABCD 所成角的正切值。
【解】过E 作EF ⊥BC ,交BC 于F ,连接DF. ∵ EF ⊥平面ABCD ,
∴ ∠ED F 是直线DE 与平面ABCD
所成的角. ……………4分 由题意,得EF =11
1.2
CC = ∵
1
1,2
CF CB DF =
=∴=..8分 ∵ EF ⊥DF , ∴ tan 5EF EDF DF ∠=
=……………..10分 故直线DE 与平面ABCD 所成角的大小是arctan 5.12分
18. (08湖北卷18)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,平面1A BC ⊥侧面11.A ABB
(Ⅰ)求证: ;AB BC ⊥
(Ⅱ)若1AA AC a ==,直线AC 与平面1A BC 所成的角为θ,二面角1,.2
A BC A π?θ?--+=的大小为求证:
(Ⅰ)证明:如右图,过点A 在平面A 1ABB 1内作AD ⊥A 1B 于D ,则
由平面A 1BC ⊥侧面A 1ABB 1,且平面A 1BC ∩侧
面A 1ABB 1=A 1B ,
得AD ⊥平面
A 1BC .又BC 平面A 1BC 所以AD ⊥BC .
因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱,
则AA 1⊥底面ABC ,所以AA 1⊥BC .
又AA 1∩AD =A ,从而BC ⊥侧面A 1ABB 1, 又AB 侧面A 1
ABB 1, 故AB ⊥BC .
(Ⅱ)证法1:连接CD ,则由(Ⅰ)知∠ACD 就是直线AC 与平面A 1BC
所成的角,∠ABA 1就是二面角A 1-BC -A 的颊角,即∠ACD =θ,∠ABA 1=?.
7
cos 22
2=?
?-+=PAB AB PA AB PA PB
于是在Rt ΔADC 中,sin θ=
a
AD
AC AD =
,在Rt ΔADA 1中,sin ∠AA 1D =
a
AD
AA AD 1,
∴sin θ=sin ∠AA 1D ,由于θ与∠AA 1D 都是锐角,所以θ=∠
AA 1D . 又由Rt ΔA 1AB 知,∠AA 1D +?=∠AA 1B +?=
2
π
,故θ+?=2
π.
D C 1 A 1 B 1 C 1 D B C A D 立体几何专题----空间角 知识点归纳 1、异面直线所成的角 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′ 与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角). a b 注1:异面直线所成的角的范围( 0O , 90O ] 注2:如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角,我们就称这两条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b 注3:在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等) 2 、直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角 (1)一条直线垂直于平面,它们所成的角是直角 (2)一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是0 ?的角 (3)直线和平面所成角的范围是[0?,90?] 3、二面角: 如右图在二面角的棱l取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则 叫做二面角的平面角. 注:①二面角的平面角的大小与O点位置_____ _。 ②二面角的平面角的范围是_______ 。 ③平面角为______的二面角叫做直二面角。 试题探究: 1、如图:表示正方体 1 1 1 1 D C B A ABCD-, 求异面直线 1 1 CC BA和所成的角。 2、空间四边形ABCD中,2 AD BC ==,,E F分别是, AB CD的中点,3 EF=, 求异面直线, AD BC所成的角。 3、在单位正方体 1111 ABCD A B C D -中,试求直线 1 BD与平面ABCD所成的角. 4、在单位正方体 1111 ABCD A B C D -中,求直线 11 A C与截面 11 ABC D所成的角. 5、将一副三角板如图拼接,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,∠BDC=60°,且平面ABC⊥平面BCD, (1)求证:平面ABD⊥平面ACD;(2)求二面角A-BD-C的正切值;(3)求异面直线AD与BC所成角的余弦值. a′O b′ a P α O A O A B D C A 1 B 1 C 1 D A F E D B A B D B 1 A 1 C 1 D 1
… 数学立体几何练习题 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的. 1.如图,在正方体-A 1B 1C 1D 1中,棱长为a ,M 、N 分别为 A 1 B 和上 的点,A 1M ==,则与平面1C 1C 的位置关系是( ) A .相交 B .平行 C .垂直 D .不能确定 2.将正方形沿对角线折起,使平面⊥平面,E 是中点,则AED ∠的大小为( ) A.45 B.30 C.60 D.90 ] 3.,,是从P 引出的三条射线,每两条的夹角都是60o,则直线 与平面所成的角的余弦值为( ) A .12 B 。 3 C 。 3 D 。 6 4.正方体—A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是1与1的中点,则直线与D 1F 所成角的余弦值是 A .15 B 。13 C 。12 D 。 3 5. 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中,O 是底面的中心,E 、 F 分别是1CC 、的中点,那么异面直线和1FD 所成的角的余弦值等于( ) A . 5 10 B .32 C . 5 5 D . 5 15
6.在正三棱柱1B 1C 1中,若2,A A 1=1,则点A 到平面A 1的距离为( ) A . 4 3 B . 2 3 C . 4 33 D .3 : 7.在正三棱柱1B 1C 1中,若1,则1与C 1B 所成的角的大小为 ( ) o B. 90o o D. 75o 8.设E ,F 是正方体1的棱和D 1C 1的中点,在正方体的12条面对 角线中,与截面A 1成60°角的对角线的数目是( ) A .0 B .2 C .4 D .6 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.在正方体-A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别为棱1和1的中点,则 〈CM ,1D N 〉的值为. 10.如图,正方体的棱长为1,C 、D 分别是两条棱的中点, A 、B 、M 是顶点, 那么点M 到截面的距离是 . 11.正四棱锥的所有棱长都相等,E 为中点,则直线与截面所成的角为 . 12.已知正三棱柱1B 1C 1的所有棱长都相等,D 是A 1C 1的中点,则 直线与平面B 1所成角的正弦值为 . : 13.已知边长为的正三角形中,E 、F 分别为和的中点,⊥面, 且2,设平面α过且与平行,则与平面α间的距离 A B | D C
立体几何初步 1、柱、锥、台、球的结构特征 (1)棱柱: 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与 高的比的平方。 (3)棱台: 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台:定义:以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。 (7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图 定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、 俯视图(从上向下) 注:正视图反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体的高度和宽 度。 3、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点:①原来与x 轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变; ②原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行,长度为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 (1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 (2)特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高,'h 为斜高,l 为母线) ch S 直棱柱侧面积rh S 2圆柱侧'21ch S 正棱锥侧面积rl S 圆锥侧面积')(21 21h c c S 正棱台侧面积l R r S )(圆台侧面积l r r S 2圆柱表l r r S 圆锥表2 2R Rl rl r S 圆台表(3)柱体、锥体、台体的体积公式 V Sh 柱2V Sh r h 圆柱13V Sh 锥h r V 2 31圆锥''1 ()3V S S S S h 台''2 211()()33V S S S S h r rR R h 圆台(4)球体的表面积和体积公式:V 球=3 43R ;S 球面=2 4R 4、空间点、直线、平面的位置关系 公理1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 应用:判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理1:,,,A l B l A B l 公理2:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号:平面α和β相交,交线是a ,记作α∩β=a 。 符号语言:,P A B A B l P l I I 公理2的作用: ①它是判定两个平面相交的方法。 ②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点。
文科立体几何线面角二面角专题 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、解答题 1.如图,在三棱锥中,,,为的中点.(1)证明:平面; (2)若点在棱上,且二面角为,求与平面所成角的正弦值. 2.如图,在三棱锥中,,,为的中点.(1)证明:平面; (2)若点在棱上,且,求点到平面的距离. 3.(2018年浙江卷)如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.
(Ⅰ)证明:AB1⊥平面A1B1C1; (Ⅱ)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值. 4.如图,在三棱柱中,点P,G分别是,的中点,已知⊥平面 ABC,==3,==2. (I)求异面直线与AB所成角的余弦值; (II)求证:⊥平面; (III)求直线与平面所成角的正弦值. 5.如图,四棱锥,底面是正方形,,,,分别是,的中点.
(1)求证; (2)求二面角的余弦值. 6.如图,三棱柱中,侧棱底面,且各棱长均相等.,,分别为棱,,的中点. (1)证明:平面; (2)证明:平面平面; (3)求直线与直线所成角的正弦值. 7.如图,在四边形ABCD中,AB//CD,∠AB D=30°,AB=2CD=2AD=2,DE⊥平面ABCD,EF//BD,且BD=2EF. (Ⅰ)求证:平面ADE⊥平面BDEF; (Ⅱ)若二面角C BF D的大小为60°,求CF与平面ABCD所成角的正弦值. 8.如图,在四棱锥中,平面,,,
,点是与的交点,点在线段上,且. (1)证明:平面; (2)求直线与平面所成角的正弦值. 9.在多面体中,底面是梯形,四边形是正方形,,,,, (1)求证:平面平面; (2)设为线段上一点,,求二面角的平面角的余弦值. 10.如图,在多面体中,四边形为等腰梯形,,已知,,,四边形为直角梯形,,. (1)证明:平面,平面平面;
立体几何 G5 空间中的垂直关系 18.、[2014·广东卷] 如图1-4,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC于点F,FE∥CD,交PD于点E. (1)证明:CF⊥平面ADF; (2)求二面角D- AF- E的余弦值. 图1-4 19.、[2014·湖南卷] 如图1-6所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD =O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形. (1)证明:O1O⊥底面ABCD; (2)若∠CBA=60°,求二面角C1-OB1-D的余弦值. 19.解:(1)如图(a),因为四边形ACC1A1为矩形,所以CC1⊥AC.同理DD1⊥BD. 因为CC1∥DD1,所以CC1⊥BD.而AC∩BD=O,因此CC1⊥底面ABCD. 由题设知,O1O∥C1C.故O1O⊥底面ABCD. (2)方法一:如图(a),过O1作O1H⊥OB1于H,连接HC1. 由(1)知,O1O⊥底面ABCD O1O⊥A1C1. 又因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,所以四边形A1B1C1D1是菱形, 因此A1C1⊥B1D1,从而A1C1⊥平面BDD1B1,所以A1C1⊥OB1,于是OB1⊥平面O1HC1. 进而OB1⊥C1H.故∠C1HO1是二面角C1-OB1-D的平面角.
不妨设AB =2.因为∠CBA =60°,所以OB =3,OC =1,OB 1=7. 在Rt △OO 1B 1中,易知O 1H =OO 1·O 1B 1OB 1=237.而O 1C 1=1,于是C 1H =O 1C 21+O 1H 2 = 1+12 7 = 197 . 故cos ∠C 1HO 1=O 1H C 1H = 23 7197 =25719. 即二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为257 19 . 方法二:因为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等,所以四边形ABCD 是菱形,因此AC ⊥BD .又O 1O ⊥底面ABCD ,从而OB ,OC ,OO 1两两垂直. 如图(b),以O 为坐标原点,OB ,OC ,OO 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系O -xyz ,不妨设AB =2.因为∠CBA =60°,所以OB =3,OC =1,于是相关各点的坐标为O (0,0,0), B 1(3,0,2), C 1(0,1,2). 易知,n 1=(0,1,0)是平面BDD 1B 1的一个法向量. 设n 2=(x ,y ,z )是平面OB 1C 1的一个法向量,则?????n 2·OB →1=0,n 2·OC →1=0,即???3x +2z =0, y +2z =0. 取z =-3,则x =2,y =23,所以n 2=(2,23,-3). 设二面角C 1-OB 1-D 的大小为θ,易知θ是锐角,于是 cos θ=|cos 〈,〉|=??????n 1·n 2|n 1|·|n 2|=2319=25719. 故二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为25719 . 19. 、、[2014·江西卷] 如图1-6,四棱锥P - ABCD 中,ABCD 为矩形,平面PAD ⊥平面ABCD . 图1-6 (1)求证:AB ⊥PD .
-立体几何中的传统法求空间角 知识点: 一.异面直线所成角:平移法 二.线面角 1.定义法:此法中最难的是找到平面的垂线.1.)求证面垂线,2).图形中是否有 面面垂直的结构,找到交线,作交线的垂线即可。 2.用等体积法求出点到面的距离sinA=d/PA 三.求二面角的方法 1、直接用定义找,暂不做任何辅助线; 2、三垂线法找二面角的平面角. 例一:如图,在正方体错误!未找到引用源。中,错误!未找到 引用源。、错误!未找到引用源。分别是错误!未找到引用 源。、错误!未找到引用源。的中点,则异面直线错误!未 找到引用源。与错误!未找到引用源。所成的角的大小是 ______90______. 考向二线面角 例二、如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩 形,AD⊥PD,BC=1, ,PD=CD=2. (I)求异面直线PA与BC所成角的正切值;(II)证明平面PDC⊥平面ABCD; (III)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。 N A 1
练 习 : 如图 , 在 三棱锥 P ABC -中, PA ⊥底面 ,, 60,A B C P A A B A B C B C A ?? =∠=∠=, 点D ,E 分别在棱,PB PC 上,且//DE BC (Ⅰ)求证:BC ⊥平面PAC ; (Ⅱ)当D 为PB 的中点时,求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值; (Ⅰ)∵PA ⊥底面ABC ,∴PA ⊥BC . 又90BCA ? ∠=,∴AC ⊥BC . ∴BC ⊥平面PAC . (Ⅱ)∵D 为PB 的中点,DE//BC ,
∴1 2 DE BC = , 又由(Ⅰ)知,BC ⊥平面PAC , ∴DE ⊥平面PAC ,垂足为点E . ∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角, ∵PA ⊥底面ABC ,∴PA ⊥AB ,又PA=A B , ∴△ABP 为等腰直角三角形,∴ AD AB = , ∴在Rt △ABC 中,60ABC ? ∠=,∴1 2 BC AB = . ∴在Rt △ADE 中,sin 24 DE BC DAE AD AD ∠= ==, 考向三: 二面角问题 在图中做出下面例题中二面角 例三:.定义法(2011广东理18) 如图5.在椎体P-ABCD 中,ABCD 是边长为1的棱形, 且∠DAB=60?,PA PD == E,F 分别是BC,PC 的中点. (1) 证明:AD ⊥平面DEF; (2) 求二面角P-AD-B 的余弦值. 法一:(1)证明:取AD 中点G ,连接PG ,BG ,BD 。 因PA=PD ,有PG AD ⊥,在ABD ?中,1,60AB AD DAB ==∠=?,有ABD ?为 等边三角形,因此,BG AD BG PG G ⊥?=,所以AD ⊥平面 PBG ,.AD PB AD GB ?⊥⊥ 又PB//EF ,得AD EF ⊥,而DE//GB 得AD ⊥DE ,又FE DE E ?=,所以AD ⊥ 平面DEF 。
2 立体几何训练题 -、选择题:每题 4分,共40分. 1. 下列图形中,不是正方体的展开图的是 ---------------------- ( ) 2. 已知直线m 〃平面〉,直线n 在〉内,贝U m 与n 的关系为( ) A 平行 B 相交 C 相交或异面 D 平行或异面 3. 设A A 是正方体的一条棱,这个正方体中与 A A 平行的棱共有( ) A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 4?若长方体三个面的面积分别是 、、2 , ,3,-、6,则长方体的对角线的长等于( A 2.2 B 3.2 C .3 D .6 5. 如图,如果 MC —菱形ABCD 所在平面,那么 MA 与BD 的位置关系是( ) A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直 6. 下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一 个平面; C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面; D 一个平面内任何一条直线都平行于 另一个平面 7. 已知直线m _平面a ,直线n 平面3,下列说法正确的是() A 若 a// 3,则 m _ n ; B 若 a _ 3,贝U m//n ; C 若 m//n ,则 a - 3 ; D 若 m_n , 则 a // 3。 & 一个正三棱锥的底面边长为 6.3 ,高为4 ,则这个正三棱锥的侧面积是( ) A 24 、3 B 36^3 C 45.3 D 72. 3 -i-r-/ 厶At I >—11 I-、,厶At A-t t r —z~ 4二,那么圆柱的体积等于 ( ) 9.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 3 A 80cm 3 B 112cm 3 C 56 cm D 3 336cm 10?球面上有二个点 A, B , C,且 AB= 3 , ,BC= 4 , AC= 5 ,球心至U 平面 ABC 的距离为球的 半 1
专题一 立体几何 班级: _____ 姓名: _____ 学号: _____ 一、选择题(4分×10=40分) 1.直线12,l l 和α,12//l l ,a 与1l 平行,则a 与2l 的关系是 A .平行 B .相交 C .垂直 D .以上都可能 2.若线段AB 的长等于它在平面内射影长的3倍,则这条斜线与平面所成角的余弦值为 A .1 3 B . 3 C .2 D .23 3.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,B 1C 与平面DD 1B 1B 所成的角的大小为 A .15o B .30o C .45o D .60o 4.有下列命题:①空间四点共面,则其中必有三点共线;②空间四点不共面,则其中任何三点不共线;③空间四点中有三点共线,则此四点共面;④空间四点中任何三点不共线,则此四点不共面.其中正确的命题是 A .②③ B .①②③ C .①③ D .②③④ 5.有一山坡,倾斜度为300,若在斜坡平面上沿着一条与斜坡底线成450角的直线前进1公里,则升高了 A .米 B . 米 C .米 D . 500米 6.已知三条直线,,a b l 及平面,αβ,则下列命题中正确的是 A .,//,//b a b a αα?若则 B .若,a b αα⊥⊥,则//a b C . 若,a b ααβ?=I ,则//a b D .若,,,,a b l a l b αα??⊥⊥则l α⊥ 7.已知P 是△EFG 所在平面外一点,且PE=PG ,则点P 在平面EFG 内的射影一定在△EFG 的 A .∠FEG 的平分线上 B .边EG 的垂直平分线上 C .边EG 的中线上 D .边EG 的高上 8 .若一正四面体的体积是3,则该四面体的棱长是 A . 6cm B . C .12cm D .9.P 是△ABC 所在平面α外一点,PA ,PB ,PC 与α所成的角都相等,且PA ⊥BC ,则 △ABC 是 A .等边三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形 D .等腰直角三角形 10.如图,在多面体ABCDEF 中,已知ABCD 是边长为3的正方形,EF//AB ,EF= 32 ,C D E F
中小学1对1课外辅导专家 武汉龙文教育学科辅导讲义 授课对象 冯芷茜 授课教师 徐江鸣 授课时间 2013-9-19 授课题目 立体几何中的空间角 课 型 复习课 使用教具 讲义、纸、笔 教学目标 熟悉高考中立体几何题型的一般解法 教学重点和难点 重点:运用空间直角坐标系的方法解决立体几何问题 难点:二面角,线面角的空间想象能力 参考教材 人教版高中教材 高考考纲 历年高考真题 教学流程及授课详案 【知识讲解】 空间角的求法:(所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题,尤其是直角三角形) (1)异面直线所成的角:通过直线的平移,把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。异面直线所成角的范围:o o 900≤<α; 注意:若异面直线中一条直线是三角形的一边,则平移时可找三角形的中位线。有的还可以 通过补形,如:将三棱柱补成四棱柱;将正方体再加上三个同样的正方体,补成一个底面是正方形的长方体。 (2)线面所成的角:①线面平行或直线在平面内:线面所成的角为o 0; ②线面垂直:线面所成的角为o 90; ③斜线与平面所成的角:范围o o 900<<α;即也就是斜线与它在平面内的射影所成的角。 (3)二面角:关键是找出二面角的平面角。方法有:①定义法;②三垂线定理法;③垂面法; 注意:还可以用射影法:S S ' cos =θ;其中θ为二面角βα--l 的大小,S 为α内的一个封 闭几何图形的面积;'S 为α内的一个封闭几何图形在β内射影图形的面积。一般用于解选择、填空题。 时 间 分 配 及 备 注
【题海拾贝】 例1在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA垂直于底面,E、F分别是AB、PC的中点. EF平面P AD; (1)求证:// (2)当平面PCD与平面ABCD成多大二面角时, EF平面PCD? 直线 例2已知多面体ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,AC = AD = CD = DE = 2a,AB = a, F为CD的中点. (Ⅰ)求证:AF⊥平面CDE; (Ⅱ)求异面直线AC,BE所成角余弦值; (Ⅲ)求面ACD和面BCE所成二面角的大小.
建立空间直角坐标系,解立体几何高考题 立体几何重点、热点: 求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等. 常用公式: 1 、求线段的长度: 222z y x AB ++==()()()2 12212212z z y y x x -+-+-= 2、求P 点到平面α的距离: PN = ,(N 为垂足,M 为斜足,为平面α的法向量) 3、求直线l 与平面α所成的角:|||||sin |n PM ?= θ,(l PM ?,α∈M ,为α的法向量) 4、求两异面直线AB 与CD 的夹角:cos = θ 5、求二面角的平面角θ:|||||cos |21n n ?= θ,( 1n ,2n 为二面角的两个面的法向量) 6、求二面角的平面角θ:S S 射影 = θ cos ,(射影面积法) 7、求法向量:①找;②求:设, 为平面α内的任意两个向量,)1,,(y x =为α的法向量, 则由方程组?????=?=?0 n b n a ,可求得法向量.