备战2010：高考数学专题精练(十)排列组合二项式

高考数学专题精练（十）排列组合二项式

一、选择题

1．r

n C （1≥>r n ，n ，Z r ∈）恒等于………………………………………………（ ） A ．

11-+-r n C r r n B ．11--+r n C r r n C ．111-++-r n C r r n D ．1

1

1-+-+r n C r r n 2．2

4

222222k

n

n n n n C C C C +++++ 的值为 （ ） A ．2n B ．212n - C ．21n - D ．2121n -- 3．与m

n C 1+相等的是 （ ）． A ．

m n C m n 1+ B ．m

n

C m n n -++11 C ．m n C n )1(+

D ．!

)1()1(m m n n n +-???+ 4．从4名男生和3名女生中选出4人参加迎新座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，不同的选法共 有（ ）

A ．140种

B ． 120种

C ．35种

D ．34种

5．16

的二项展开式中，有理项共有 （ ）

A ．2项

B ． 3项

C ． 4项

D ． 5项 二、填空题

1．若对任意实数y x ,都有()()()()()++++++++=-3232324150522222y y x a y y x a y y x a y x a y x ()5

54

42y a y y x a +++，则=+++++543210a a a a a a ．

2．在(1)(2)(3)(4)(5)x x x x x -----的展开式中，含4

x 的项的系数是__________． 3．用1,2,3,4,5,6六个数字组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，这样的六位数的个数是__________(用数字作答)．

4．在二项式9

的展开式中，第四项为_____________．

5．记123n a a a a 为一个n 位正整数，其中12,,,n a a a 都是正整数，

119,09(2,3,,)i a a i n ≤≤≤≤= ．若对任意的正整数(1)j j n ≤≤，至少存在另一个

正整数(1)k k n ≤≤，使得j k a a =，则称这个数为“n 位重复数”．根据上述定义，“五位

重复数”的个数为．____________．

6．5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，从这5张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 ．

7． 5

231x x ??

+ ???

的展开式中常数项为 （用数字作答）．

8．设21()2n

x x

+

的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为______________． 9．5位好友在节日期间互发信息问候，则所发送信息总数为 ．（用数字作答） 10．若*N n ∈，则-n n C 30

+-11

3n n C …… +n n n n C )1(3)1(1

1-+---0

3

C n n 的值是 ．

11．若二项式n x x

)21

(

+的展开式中的第6项是常数项，则n = ． 12．在6

(1)ax -的二项展开式中，若中间项的系数是160，则实数a = ． 13．五位同学各自制作了一张贺卡，分别装入5个空白信封内，这五位同学每人随机地抽取

一封，则恰好

有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是 ．

14．设a 为()sin x x x R ∈的最大值，则二项式6(

展开式中含2x 项的系数

是 ．

15．在二项式10

)1(+x 的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是 ．

16．2

6

1()x ax

+

的二项展开式中3x 的系数为52，则a =__________．

三、解答题

1．（本题满分14分）本题共4小题，第1、第2、第3小题每小题3分，第4小题5分。 杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家、杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律。下图是一个11阶杨辉三角：

（1）求第20行中从左到右的第4个数；

（2）若第n 行中从左到右第14与第15个数的比为

3

2

，求n 的值； （3）若n 阶（包括0阶）杨辉三角的所有

数的和；

（4）在第3斜列中，前5个数依次为1，3，

6，10，15；第4斜列中，第5个数

为35。

显然，1+3+6+10+15=35。事实上，一般地有这样的结论：第m 斜列中（从右上到左 下）前k 个数之和，一定等于第m+1斜列中第k 个数。试用含有m 、k ),(*

N k m ∈的数学公式表示上述结论，并给予证明。

第10部分：排列组合二项式

参考答案 一、选择题 1－5ADBDD 二、填空题 1．243- 2．－15 3．72

4．2

-

5．62784 6．

2

1 7．10 8．3 9．20 10．n

2 11．10 12．2- 13．

16 14．－192 15．

11

4 16．2 三、解答题

1．解：（1）.11403

20=C

…………3分

（2）由.34,32

1314321413

==-?

=n n C C n

n 解得 …………6分

（3）.1222211

2-=+++++n n

…………9分 （4）.1121

1

1m

k m m k m m m m m C C C C -+--+---=+++

…………11分

证明：

分

右式左式14.11221

2

1111211

2111 ==+==+++=+++=

+++=-+--+-+--+-++--+--++---m

k m m k m m k m m k m m m m m m k m m m m m m k m m m m m C C C C C C C C C C C C

注：若第（4）小题中数学公式写成1

11++-++=+++m k m m k m m m m m C C C C ，本小题扣2分。

高考理科数学复习排列组合二项式定理真题解析

专题10 排列组合二项式定理 排列、组合与二项式定理是高中数学中内容相对独立的一个部分，排列、组合的知识为概率与统计中的计数问题提供了一定的方法． 这部分内容的试题有一定的综合性与灵活性，要注意与其他数学知识的联系，注意与实际生活的联系．通过对典型例题的分析，总结思维规律，提高解题能力． §10－1 排列组合 【知识要点】 1．分类计数原理与分步计数原理． 2．排列与组合． 3．组合数的性质： (1)； (2)． 【复习要求】 理解和掌握分类计数与分步计数两个原理．在应用分类计数原理时，要注意“类”与“类”之间的独立性和等效性，在应用分步计数原理时，要注意“步”与“步”之间的相关性和连续性． 熟练掌握排列数公式和组合数公式，注意题目的结构特征和联系；掌握组合数的两个性质，并应用于化简、计算和论证． 正确区别排列与组合的异同，体会解计数问题的基本方法，正确处理附加的限制条件． 【例题分析】 例1 有3封信，4个信筒． (1)把3封信都寄出，有多少种寄信方法? (2)把3封信都寄出，且每个信筒中最多一封信，有多少种寄信方法? ?=-=-=m n m n m n m n A A m n m n C m n n A )!(!!,)!(!m n n m n C C -=1 1-++=m n m n m n C C C

【分析】(1)分3步完成寄出3封信的任务：第一步，寄出1封信，有4种方法；第二步，再寄出1封信，有4种方法；第三步，寄出最后1封信，有4种方法，完成任务．根据分步计数原理，共有4×4×4＝43＝64种寄信方法． (2)典型的排列问题，共有＝24种寄信方法． 例2 在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A ，B 两种作物，每种作物种植1垄，为有利于作物生长，要求A ，B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有______种． 解：设这10垄田地分别为第1垄，第2垄，…，第10垄，要求A ，B 两垄作物的间隔不少于6垄，所以第一步选垄的方式共有(1，8)，(1，9)，(1，10)，(2，9)，(2，10)，(3，10)这6种选法，第二步种植两种作物共有＝2种种植法，所以共有6×2＝12种选垄种植方法． 【评述】排列组合是解决计数问题的一种重要方法．但要注意，计数问题的基本原理是分步计数原理和分类计数原理，是最普遍使用的，不要把计数问题等同于排列组合问题． 对某些计数问题，当运用公式很难进行时，适时采取原始的分类枚举方法往往是最好的．如例2． 在具体的计数问题的解决过程中，需要决策的是，这个计数问题需要“分步”还是“分类”完成，再考虑这个计数问题是排列问题、组合问题还是一般的计数问题．如例1的两个问题． 例3 某电子表以6个数字显示时间，例如09:20:18表示9点20分18秒．则在0点到10点之间，此电子表出现6个各不相同数字来表示时间的有______次． 【分析】分步来确定电子表中的六个数字如下： 第一步：确定第一个数字，只能为0，只有1种方法； 第二步：确定第三位数字，只能为0至5中的一个数(又不能与首位相同)，所以只有5种方法； 第三步：确定第五位数字，也只能为0至5中的一个数(又不能与首位，第三位相同)，所以只有4种方法； 第四步：确定剩下三位数字，0至9共10个数字已用了3个，剩下的7个数字排列在2， 4，6位共有种排法． 由分步计数原理得：1×5×4×＝4200种． 3 4A 2 2A 37A 3 7A

排列组合与二项式定理知识点

排列组合与二项式定理知识点

第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：n m 种） 二、排列. 1. ⑴对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．． 排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. ⑷排列数公式： ) ,,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--=Λ 注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 1 1 --=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C

2. 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排 列个数等于! !...!!2 1 k n n n n n =. 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3 ! 2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列 个数1!3!3==n . 三、组合. 1. ⑴组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. ⑵组合数公式： )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -= +--==Λ ⑶两个公式：①;m n n m n C C -= ②m n m n m n C C C 11+-=+ ①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合. （或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一

排列组合与二项式定理精华总结

排列组合 知识点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理：分类相加，分步相乘。 二、排列：元素是有顺序的 （1）：对排列定义.：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. （2）：排列数公式： ),,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--=Λ 注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 1 1 --=m n m n nA A 规定10==n n n C C （3）： 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中有限重复数为n 1、n 2……n k ，且 n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于! !...!! 21k n n n n n = . 三、组合：元素没有顺序之分 （1）：组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. （2）：组合数公式：)! (!!! )1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ （3）：两个性质：①;m n n m n C C -= ②m n m n m n C C C 11+-=+ （4）：常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如： )!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n Λ（利用! 1 )!1(1!1n n n n --=-） ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法. v. 递推法（即用m n m n m n C C C 11+-=+递推）如：4 13353433+=+++n n C C C C C Λ. vi. 构造二项式. 如：n n n n n n C C C C 222120)()()(=+++Λ 证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数，左边为 2 2120022110) ()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=?++?+?+?--ΛΛ，而右边n n C 2= 四、排列、组合综合 （1）直接法 （2）间接法 （3）捆绑法 （4）插空法 （5）占位法 （6）调序法 （7）平均法 （8）隔板法 （9）定位问题 （10）指定元素排列组合问题 五、二项式定理. 1. ⑴二项式定理：n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+--ΛΛ. 展开式具有以下特点：

排列组合二项式定理知识点

排列组合项定理考试内容：分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式． 组合．组合数公式．组合数的两个性质．二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求： （1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． （3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题． （4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． 排列组合二项定理知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可．以．有．重．复．元．素．的排列. 从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以 从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m- m?…m = m n..例

3! 1 . 3! 如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ (解: m n 种) 二、排列. 1.(1)对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取 m (贰n )个元素，按照一定顺序 排成一列， 叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺 序也必须完全相同. ⑶排列数. 从n 个不同元素中取出m (mcn)个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取 出 m 个元素的一个排列.从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用 符号表 示. ⑷排列数公式： 注意：n n! (n 1)! n!规定 0! = 1 m m m m 1 m m 1 m m 1 On, A n 1 A n A m C n A n mA n A n nA n 1 /规^定 C n C n 1 2.含有可重元素的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集 S 有k 个不同元素a 1, a 2,……a n 其中限重复数为n 1、n ..... n k ,且n = n 计尊+ .. n k ,则S 的排列 例如：已知数字3、2、2,求其排列个数n 喈3又例如：数字5、5、5、 求其排列个数？其排列个数 个数等于n n! n !n 2!...n k

排列组合与二项式定理的综合练习题

排列组合与二项式定理的综合应用 1．已知（1+a x ）(1+x)5的展开式中x 2 的系数为5，则a = （A ）-4 （B ）-3 （C ）-2 （D ）-1 2．若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则：等于（） A ．55 B ．-l C ．52 D ．52- 3，则的值为 A ． B ．C 4．学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（） A.36种 B.30种 C.24种 D.6种 5．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 (A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种 6．()()8 x y x y -+的展开式中27x y 的系数为________.（用数字填写答案） 7．(x-2)6的展开式中3x 的系数为.（用数字作答） 8．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝________. 9．有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数： (1)选其中5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排成一排，甲不站在排头也不站在排尾； (4)全体排成一排，女生必须站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻； (6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人． 10．7个人排成一排，按下列要求各有多少种排法？ (1)其中甲不站排头，乙不站排尾； (2)其中甲、乙、丙3人必须相邻； (3)其中甲、乙、丙3人两两不相邻； (4)其中甲、乙中间有且只有1人； (5)其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列． 2312420)()(a a a a a +-++16-16

高二数学排列组合二项式定理单元测试题带答案

排列、组合、二项式定理与概率测试题 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．) 1、如图所示的是2008年北京奥运会的会徽，其中的“中国印”的外边是由 四个色块构成，可以用线段在不穿越另两个色块的条件下将其中任意两个色 块连接起来(如同架桥)，如果用三条线段将这四个色块连接起来，不同的连 接方法共有 ( ) A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种 2、从6名志愿者中选出4个分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，其中甲乙两名志愿者不能从事翻译工作，则不同的选排方法共有（） A．96种 B．180种 C．240种D．280种 3、五种不同的商品在货架上排成一排，其中a、b两种必须排在一起，而c、d两种不能排在一起，则不同的选排方法共有（） A．12种 B．20种 C．24种 D．48种 4、编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（） A . 10种 B. 20种 C. 30种 D . 60种 5、设a、b、m为整数（m>0),若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m 同余.记为a≡b(mod m)。已知a=1+C120+C220·2+C3 20·22+…+C20 20 ·219，b≡a(mod 10)，则b的值可以是（） .2011 C 6、在一次足球预选赛中，某小组共有5个球队进行双循环赛(每两队之间赛两场)，已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．积分多的前两名可出线(积分相等则要比净胜球数或进球总数)．赛完后一个队的积分可出现的不同情况种数为 A．22种 B．23种 C．24种 D．25种

排列组合二项式定理与概率统计

排列组合二项式定理与概率统计 重点知识回顾 1. 排列与组合 ⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关, 分类计数原理与分类有关 ⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合, ⑶排列与组合的主要公式 _ r — r+1 项是 T r+1 =C n a n r b r . ⑵二项展开式的通项公式 二项展开式的第r+1项T r+1=c n a n —r b r （r=0,1,…叫）做二项展开式的通项公式。 ⑶二项式系数的性质 ① 在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， 即 c n = c n r （r=0,1,2，…,n ）. 项和第n 3项）的二项式系数相等，并且最大，其值为 2 A n = n! =n(n — 1)(n — 2) ....... 2 ? 1. ②组合数公式： c m n! n(n 1) (n m 1) (m < n) m!( n m)! m (m 1) 2 1 ③组合数性质： ①c m ㈡ m (m < n) ② c 0 c ； c n 2 c ； 2n ③ Cn Cn c 4 C n c 1 c 3 C n C n 2n 1 2.二项式定理 ⑴二项式定理 (a +b)n =C 0a n +c n a n — 1 r b+ …+C n a n r b r +… + c n b n ,其中各项系数就是组合数c n ，展开式共有n+1项，第 问题?区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关, 与顺序有关的属于排列问题, 与顺序无关的属于组合问题 求共有多少种方法的 ①排列数公式: A m n! (n m)! n(n 1) (n m 1) (m

排列组合与二项式定理及概率应用综合

第一讲 排列组合概念及简单应用 排列和排列数公式 A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！ (n －m )！(m ，n ∈N *，并且m ≤n ) A n n ＝n ！＝n ×(n －1)×(n －2)×…×3×2×1. 规定：0！＝1. 组合与组合数公式 1．组合数公式 C m n ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！＝n ！m ！(n －m )！(m ，n ∈N *，并且 m ≤n ) 2．组合数的性质 (1)C m n ＝C n －m n (2)C m n ＋1＝C m n ＋C m － 1n 常规题型 一、投信问题 1、个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同. （1）从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？ （2）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？ 2、五位旅客到一个城市出差，这个城市有6家旅馆，有多少种住宿方法？ 3、12名旅客在一辆火车上，共有六个车站，有多少种下车方案？ 4、3个同学在一座只有两个楼梯的楼上下楼，有几种下楼方案？ 二、染色问题 1、如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数. 2. 如图所示，用五种不同的颜色分别给A ，B ，C ，D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种． 3.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种．

2017高考复习---排列组合与二项式定理

2017高考复习---排列组合与二项式定理 1．在8奖券中有一、二、三等奖各1，其余5无奖．将这8奖券分配给4个人，每人2，不同的获奖情况有种（用数字作答）． 2．某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有种．（用数字作答） 3．把座位编号为1、2、3、4、5的五电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一，至多两，且分得的两票必须是连号，那么不同的分法种数为．（用数字作答） 4．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有种（用数字作答） 5．在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为． 6．将序号分别为1，2，3，4，5的5参观券全部分给4人，每人至少1，如果分给同一人的2参观券连号，那么不同的分法种数是． 7．展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于． 8．在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是． 9．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是． 10．用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有个．（用数字作答） 11．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种．（以数字作答） 12．若将函数f（x）=x5表示为f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，其中a0，a1，a2，…a5为实数，则a3=． 13．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有个． 14．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有种（用数字作答）．

高中数学排列组合与二项式定理知识点总结

排列组合与二项式定理知识点 １．计数原理知识点 ①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM (分步) ②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM (分类) ２．排列（有序）与组合（无序） Anm=n(n－1)(n－2)(n－3)…(n－m+1)=n!/(n-m)! Ann =n! Cnm = n!/(n-m)!m! Cnm= Cnn－m Cnm＋Cnm＋1= Cn+1m+1 k?k!=(k+1)!－k! ３．排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排 排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置. 捆绑法（集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑） 插空法（解决相间问题）间接法和去杂法等等 在求解排列与组合应用问题时，应注意： (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题； (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理； (3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏； (4)列出式子计算和作答. 经常运用的数学思想是： ①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想. ４．二项式定理知识点： ①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an－1b1+ Cn2an－2b2+ Cn3an－3b3+…+ Cnran－rbr+-…+ Cn n－1abn－1+ Cnnbn 特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn ②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn－m 最大二项式系数在中间。（要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项） 所有二项式系数的和：Cn０+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n 奇数项二项式系数的和＝偶数项而是系数的和 Cn０+Cn２+Cn４+ Cn６+ Cn８+…＝Cn１+Cn３+Cn５+ Cn７+ Cn９+…=2n -1 ③通项为第r+1项：Tr+1= Cnran－rbr 作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。 5.二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。 6.注意二项式系数与项的系数（字母项的系数，指定项的系数等，指运算结果的系数）的区别，在求某几项的系数的和时注意赋值法的应用。

排列组合 二项式定理知识点

排列组合二项定理考试内容： 分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式． 组合．组合数公式．组合数的两个性质． 二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求： （1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． （3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题． （4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． 排列组合二项定理知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可．以有 ．．重复 ．．的排列. ．．元素 从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m = m n.. 例

如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解： n m 种） 二、排列. 1. ⑴对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. ⑷排列数公式： 注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于! !...!! 21k n n n n n = . 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3! 2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1! 3!3==n .

排列组合和二项式定理教材分析

第十章排列组合和二项式定理教材分析 作为高中数学必修内容的一个部份，本章在整个高中数学中占有重要地位以计数问题为主要内容的排列与组合，属于现在发展很快且在计算机领域获得广泛应用的组合数学的最初步知识，它不仅有着许多直接应用，是学习概率理论的准备知识，而且由于其思维方法的新颖性与独特性，它也是培养学生思维能力的不可多得的好素材；作为初中一种多项式乘法公式推广二项式定理，不仅使前面组合等知识的学习得到强化，而且与后面概率中的二项分布有着密切联系 本章教学约需17课时，具体分配如下： 10．1加法原理和乘法原理约2课时 10．2排列约4课时 10．3组合约5课时 10．4二项式定理约4课时 小结与复习约2课时 一、内容分析 本章从学习加法原理和乘法原理开始，应该说，这两个基本原理在本章的学习中占有重要地位；其作用并不限于用来推导排列数、组合数公式，实际上其解决问题的思想方法贯穿在整个学习的始终：当将一个较复杂的问题通过分类进行分解时，用的是加法原理；当将它通过分步进行分解时，用的是乘法原理在此基础上，研究排列与组合，运用归纳法导出排列数公式与组合数公式，并提出组合数的两个性质，以简化组合数的计算和为推导二项式定理作好铺垫 的学习深化一步，而且为学习后面的独立重复试验，二项分布作了准备 本章还为部分学有余力的学生安排了阅读材料《从集合的角度看排列、组合和概率》，通过这篇材料，可以看到排列、组合与概率这两类看上去并无共同之处的概念间的内在联系例如，求组合数及其相应的等可能性事件的概率，可分别看成是在一个全集下的某个子集到数的集合的不同的映射，可见从集合的角度去认识这些概念，可加深对其本质和内在联系的认识，此外，由于集合及其关系可用图形表示，便于将一些较复杂的问题分析清楚，因此运用集合的方法可以较为顺利地求解一些较为复杂的应用题 二、教学要求 1．掌握加法原理与乘法原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题 2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数计算公式，并能用它们解决一些简单的应用问题 3.掌握二项式定理和二项展开式的性质并能用它们计算和证明一些简单的问题 三、考点诠释 （1）两个原理（分类计数原理、分步计数原理） 分类和分步的区别，关键是看事件能否完成，事件完成了就是分类；必须要连续若干步才能完成的则是分步.分类要用加法原理将种数相加；分步要用乘法原理，分步后再将种数相乘. （2）两个概念（排列、组合） 排列与组合是既有联系又有区别的两类问题，它们都是从n个不同元素中任取m个不同元素.但是前者要求将元素排成一个顺序，后者对此不做要求.若不理解排列问题和组合问题的区别，在分析实际问题时就会犯错误. （3）两类基本公式

排列组合和排列组合计算公式复习过程

排列组合公式/排列组合计算公式 排列P------和顺序有关 组合C -------不牵涉到顺序的问题 排列分顺序,组合不分 例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列" 把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2．组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3．其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.

n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为 c(m+k-1,m). 排列（Pnm(n为下标，m为上标)） Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标）=n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n 组合（Cnm(n为下标，m为上标)） Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n 分别为上标和下标）=1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n； Cnm=Cnn-m 2008-07-08 13:30 公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。 公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。 N-元素的总个数 R参与选择的元素个数

排列组合与二项式定理知识点

高中数学第十章-排列组合二项定理 考试内容： 分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式． 组合．组合数公式．组合数的两个性质． 二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求： （1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． （3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题． （4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． §10. 排列组合二项定理 知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可．以有．．重复．．元素．． 的排列. 从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：n m 种） 二、排列. 1. ?对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ?相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ?排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的 一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. ?排列数公式： ),,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--= 注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11 --=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数

(完整版)排列组合二项式定理知识总结,推荐文档

n n +1n n n 排列组合、二项式定理总结复习 1，分类计数原理 完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情） 分步计数原理 完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的 方法 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 组合数 从 n 个不同元素中，任取 m （m ≤n ）个元素的所有组合个数 m n m = n ! n m !(n - m )! 性质 C m = C n -m C m = C m + C m -1 排列组合题型总结 一． 直接法 1 .特殊元素法 例 1 用 1，2，3，4，5，6 这 6 个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 C C

（1）数字 1 不排在个位和千位 （2）数字 1 不在个位，数字 6 不在千位。 分析：（1）个位和千位有 5 个数字可供选择A2 ，其余 2 位有四个可供选择A2 ，由乘法原理： 5 4 A2 A2 =240 5 4 2．特殊位置法 （2）当 1 在千位时余下三位有A3 =60，1 不在千位时，千位有A1 种选法，个位有A1 种，余下 5 4 4 的有A2 ，共有A1 A1 A2 =192 所以总共有 192+60=252 4 4 4 4 二间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法A4 - 2 A3 +A2 =252 6 5 4 Eg 有五张卡片，它的正反面分别写 0 与 1，2 与 3，4 与 5，6 与 7，8 与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？ 分析：：任取三张卡片可以组成不同的三位数C 3 ? 23 ?A3 个，其中 0 在 5 3 百位的有C 2 ? 22 ?A2 个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数 4 2 C 3 ? 23 ?A3 - C 2 ? 22 ?A2 =432 5 3 4 2 Eg 三个女生和五个男生排成一排 （1）女生必须全排在一起有多少种排法（捆绑法） （2）女生必须全分开（插空法须排的元素必须相邻） （3）两端不能排女生 （4）两端不能全排女生 （5）如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不同的排法

排列组合与二项式定理的综合练习题

排列组合与二项式定理的综合应用 1．()()5121x x -+的展开式中3x 的系数为（ ） A ．10 B ．-30 C ．-10 D ．-20 2．若()()72801281212x x a a x a x a x +-=++++…，则0127a a a a ++++…的值为（ ） A ．2- B ．3- C ．253 D ．126 3．()()512x x +-的展开式中2x 的系数为（ ） ． A ．25 B ．5 C ．-15 D ．-20 4．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A ．40种 B ．60种 C ．100种 D ．120种 5．从5名学生中选出4名分别参加A ，B ，C ，D 四科竞赛，其中甲不能参加C ，D 两科竞赛，则不同的参赛方案种数为( ) 6．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为( ) A.828 9A A B.82810A A C.8287A A D.8286A A 7．小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈，包括他共7人，一天爸爸从果园里摘了7个大小不同的梨，给家里每人一个.小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的一个，则梨子的不同分法共有（ ） A ．96种 B ．120种 种 D ．720种 8．已知身穿红，黄两种颜色衣服的各两人，身穿蓝衣服的有1人，现将五人排成一列，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法有（ ） 种 种 种 种 9．3n x ?+??的展开式中，各项系数之和为A ，各项的二项式系数之和为B ，且72A B +=，则展开式中常数项为（ ） 10．从1,3,5,7,9中任取3个数字，从2,4,6,8中任取两个数字，一共可以组成没有重复数字的五位偶数的个数为（ ） A ．2880 B ．7200 C ． 1440 D ．60 11．某中学四名高二学生约定“五一”节到本地区三处旅游景点做公益活动，如果每个景点至少一名同学，且甲乙两名同学不在同一景点，则这四名同学的安排情况有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．30种 D ．40种 12．51 ()(21)ax x x +-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）

排列组合二项式定理专题复习

排列、组合、二项式定理 考纲导读 1. 掌握分类计数原理与分步计数原理、并能用它分析和解决一些简单的应用问题. 2. 理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题. 3. 理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些简单的应用 问题. 4. 掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题. 知识网络 排列概念 高考导航 排列与组合高考重点考察学生理解问题、综合运用分类计数原理和分步计数原理分析问题 和解决问题的能力及分类讨论思想. 它是高中数学中从内容到方法都比较独特的一个组成部 分，是进一步学习概率论的基础知识. 由于这部分内容概念性强， 抽象性强，思维方法新颖， 同时解题过程中极易犯“重复”或“遗漏”的错误，而且结果数目较大，无法一一检验，因 此学生要 学好本节有一定的难度. 解决该问题的关键是学习时要注意加深对概念的理解， 掌 握知识的内在联系和区别，严谨而周密地去思考分析问题. 二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识， 高考重点考查展开式及通项， 难度 与课本内容相当?另外利用二项式定理及二项式系数的性质解决一些较简单而有趣的小题， 在高考中 也时有出现. 第1课时 两个计数原理 理（也称加法原理）：做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法 中有m 种不同的方法，在第二类办法中有 m 2种不同的方法， ，在第 n 类办法中有 m 种 不同的方法，那么完成这件事共有 N= ___________________ 种不同的方法. 2. 分步计数原理（也称乘法 原理）：做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 排列组合 二项式定理 两个计数原理 排列 组合 排列数公式 组合概念 组合数公式 —组合数性质 应用 二项式定理 通项公式 应用 .项式系数性质

高考题汇编排列组合与二项式定理

2010年高考数学试题分类汇编——排列组合与二项式定理 （2010全国卷2理数）（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 （A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种 【答案】B 【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力. 【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有 种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有 种方法，共有种，故选B. （2010全国卷2文数）（9）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 （A ） 12种 (B) 18种 (C) 36种 (D) 54种 【解析】B ：本题考查了排列组合的知识 ∵先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有 246C =，余下放入最后一个信封，∴共有24318C = （2010江西理数）6. (8 2展开式中不含．．4 x 项的系数的和为（ ） A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】B 【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难则反。 采用赋值法，令x=1得：系数和为1，减去4 x 项系数80882(1)1C -=即为所求，答案为0. （2010重庆文数）（10）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天 . 若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有 （A ）30种 （B ）36种 （C ）42种 （D ）48种 解析：法一：所有排法减去甲值14日或乙值16日，再加上甲值14日且乙值16日的排法 即221211 6454432C C C C C C -?+=42 法二：分两类 甲、乙同组，则只能排在15日，有2 4C =6种排法

专题09 排列组合、二项式定理(教学案)-2014年高考数学二轮复习精品资料(原卷版)

【高效整合篇】 一．考场传真 1.【2012年辽宁卷】一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ） A.3×3！ B.3×(3！)3 C.(3！)4 D. 9！ 2.【2013年浙江卷】将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排，且B A ,均在C 的同侧，则不同的排法共有________种（用数字作答）. 3.【2013年重庆卷】从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________(用数字作答) 4.【2013年新课标（I ）】设m 为正整数，m y x 2)(+展开式的二项式系数的最大值为a ，12)(++m y x 展开式的二项式系数的最大值为b ，若b a 713=，则m ＝( ) A.5 B.6错误！未找到引用源。 C.7 D.8 二．高考研究 1.考纲要求

（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理 ①理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理； ②会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题. （2）排列与组合 ①理解排列、组合的概念. ②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. ③能解决简单的实际问题. （3）二项式定理 ①能用计数原理证明二项式定理. . ②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 一．基础知识整合 1.应用两个计数原理解题的方法 (1)在应用分类计数原理和分步计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类计数原理． (2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化． 2.排列、组合数公式及相关性质 （1）排列数公式：