~机械优化设计复习题及答案
机械优化设计复习题
一.单项选择题
1．一个多元函数()F X 在X *
附近偏导数连续，则该点位极小值点的充要条件为（ ） A ．()*0F X ?= B. ()*0F X ?=,()*H X 为正定
C ．()*0H X = D. ()*0F X ?=,()
*H X 为负定
2.为克服复合形法容易产生退化的缺点，对于n 维问题来说，复合形的顶点数K 应（ ）
A ． 1K n ≤+ B. 2K n ≥ C. 12n K n +≤≤ D. 21n K n ≤≤-
3．目标函数F （x ）=4x 21+5x 22，具有等式约束，其等式约束条件为h(x)=2x 1+3x 2-6=0,则目
标函数的极小值为（ ）
A ．1
B ． 19.05
C ．0.25
D ．0.1
4.对于目标函数F(X)=ax+b 受约束于g(X)=c+x ≤0的最优化设计问题，用外点罚函数法求解
时，其惩罚函数表达式Φ(X,M (k))为( )。
A. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k)为递增正数序列
B. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k)为递减正数序列
C. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k)为递增正数序列hn
D. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k)为递减正数序列
1.B
2.C
3.B
4.B
5.A
6.B
7.D
8.B
9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A
19.B.20.D 21.A 22.D 23.C 24.B 25.D 26.D 27.A 28.B 29.B 30.B
5.黄金分割法中，每次缩短后的新区间长度与原区间长度的比值始终是一个常数，此常数是
（ ）。 A.0.382 B.0.186 C.0.618 D.0.816
6.F(X)在区间［x 1,x 3］上为单峰函数，x 2为区间中一点，x 4为利用二次插值法公式求得的近
似极值点。如x 4-x 2>0,且F(x 4)>F(x 2)，那么为求F(X)的极小值，x 4点在下一次搜索区间将作为( )。
A.x 1
B.x 3
C.x 2
D.x 4
7.已知二元二次型函数F(X)=AX X 21T ，其中A=??????4221，则该二次型是( )的。 A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定
8.点罚函数法的罚因子为（ ）。
A.递增负数序列
B.递减正数序列
C.递增正数序列
D.递减负数序列
9.多元函数F(X)在点X *附近的偏导数连续，?F(X *)=0且H(X *
)正定，则该点为F(X)的
（ ）。 A.极小值点 B.极大值点 C.鞍点 D.不连续点
10.F(X)为定义在n 维欧氏空间中凸集D 上的具有连续二阶偏导数的函数，若H(X)正定，则
称F(X)为定义在凸集D 上的（ ）。
A.凸函数
B.凹函数
C.严格凸函数
D.严格凹函数
1.B
2.C
3.B
4.B
5.A
6.B
7.D
8.B
9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A
19.B.20.D 21.A 22.D 23.C 24.B 25.D 26.D 27.A 28.B 29.B 30.B
11.在单峰搜索区间[x 1 x 3] (x 1 x 2>x 4,并且其函数值F （x 4） A. [x 1 x 4] B. [x 2 x 3] C. [x 1 x 2] D. [x 4 x 3] 12.用变尺度法求一n 元正定二次函数的极小点，理论上需进行一维搜索的次数最多为（ ） A. n 次 B. 2n 次 C. n+1次 D. 2次 13.在下列特性中，梯度法不具有的是（ ）。 A.二次收剑性 B.要计算一阶偏导数 C.对初始点的要求不高 D.只利用目标函数的一阶偏导数值构成搜索方向 14.外点罚函数法的罚因子为（ ）。 A.递增负数序列 B.递减正数序列 C.递增正数序列 D.递减负数序列 15.点惩罚函数法的特点是（ ）。 A ．能处理等式约束问题 B.初始点必须在可行域中 C.初始点可以在可行域外 D.后面产生的迭代点序列可以在可行域外 16.约束极值点的库恩—塔克条件为?F(X)=)X (g i q 1i i ?λ-∑=，当约束条件g i (X)≤ 0(i=1,2,…,m)和λi ≥0时，则q 应为 ( )。 A.等式约束数目； B.不等式约束数目； C.起作用的等式约束数目 D.起作用的不等式约束数目 17 已知函数F(X)=-1222121x 2x x x 2x 2+-+，判断其驻点(1，1)是( )。 A.最小点 B.极小点 C.极大点 D.不可确定 18．对于极小化F(X)，而受限于约束g μ(X)≤0(μ=1,2,…,m)的优化问题，其点罚函数表达 式为（ ） A. Ф(X, r (k))=F(X)-r (k)11 /()g X u u m =∑ B. Ф(X, r (k))=F(X)+r (k)11/()g X u u m =∑ C. Ф(X, r (k))=F(X)-r (k)max[,()]01g X u u m =∑ D. Ф(X, r (k))=F(X)-r (k)min[,()]01g X u u m =∑ 19. 在无约束优化方法中，只利用目标函数值构成的搜索方法是( ) A. 梯度法 B. Powell 法 C. 共轭梯度法 D. 变尺度法 1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A 19.B.20.D 21.A 22.D 23.C 24.B 25.D 26.D 27.A 28.B 29.B 30.B 20. 利用0.618法在搜索区间［a,b ］确定两点a 1=0.382,b 1=0.618，由此可知区间［a,b ］ 的值是( ) A. ［0,0.382］ B. ［0.382,1］ C. ［0.618,1］ D. ［0,1］ 21. 已知函数F(X)=x 12+x 22-3x 1x 2+x 1-2x 2+1，则其Hessian 矩阵是( ) A. ??????--2332 B. ??????2332 C. ?? ????2112 D. ??????--3223 22. 对于求minF(X)受约束于g i (x)≤0(i=1,2,…,m)的约束优化设计问题，当取λi ≥0时，则约束极值点的库恩—塔克条件为( ) A. ?F(X)=∑=?λm 1 i i i (X)g ,其中λi 为拉格朗日乘子 B. -?F (X)= ∑=?λm 1 i i i (X)g ,其中λi 为拉格朗日乘子 C. ?F(X)= ∑=?λq 1 i i i (X)g ,其中λi 为拉格朗日乘子，q 为该设计点X 处的约束面数 D. -?F(X)= ∑=?λq 1 i i i (X)g ,其中λi 为拉格朗日乘子，q 为该设计点X 处的约束面数 23. 在共轭梯度法中，新构造的共轭方向S (k+1)为( ) A. S (k+1)= ?F(X (k+1))+β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数 B. S (k+1)=?F(X (k+1))－β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数 C. S (k+1)=-?F(X (k+1))+β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数 D. S (k+1)=-?F(X (k+1))－β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数 24. 用点罚函数法求目标函数F(X)=ax+b 受约束于g(X)=c-x ≥0的约束优化设计问题，其惩罚函数表达式为( ) A. ax+b-r (k)x -c 1，r (k)为递增正数序列 B. ax+b-r (k)x -c 1，r (k)为递减正数序列 C. ax+b+ r (k)x -c 1，r (k)为递增正数序列 D. ax+b+r (k)x -c 1，r (k)为递减正数序列 25. 已知F(X)=x 1x 2+2x 22+4,则F(X)在点X (0)=? ?????-11的最大变化率为( ) A. 10 B. 4 C. 2 D. 10 26.在复合形法中，若映射系数α已被减缩到小于一个预先给定的正数δ仍不能使映射点可 行或优于坏点，则可用（ ） A.好点代替坏点 B.次坏点代替坏点 C.映射点代替坏点 D.形心点代替坏点 1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A 19.B.20.D 21.A 22.D 23.C 24.B 25.D 26.D 27.A 28.B 29.B 30.B 27. 优化设计的维数是指( ) A. 设计变量的个数 B. 可选优化方法数 C. 所提目标函数数 D. 所提约束条件数 28.在matlab 软件使用中，如已知x=0:10，则x 有______个元素。 A. 10 B. 11 C. 9 D. 12 29.如果目标函数的导数求解困难时，适宜选择的优化方法是（ ）。 A. 梯度法 B. Powell 法 C. 共轭梯度法 D. 变尺度法 30.在0.618法迭代运算的过程中，迭代区间不断缩小，其区间缩小率在迭代的过程中（ ）。 A ．逐步变小 B 不变 C 逐步变大 D 不确定 二 填空 1.在一般的非线性规划问题中，kuhn-tucker 点虽是约束的极值点，但 是全域的最优点。 2.判断是否终止迭代的准则通常有 . 和 三种形式。 3.当有两个设计变量时，目标函数与设计变量关系是 中一个曲面。 4.函数在不同的点的最大变化率是 。 5.函数()2212144f x x x x =+-+，在点()[]132T X = 处的梯度为 。 6.优化计算所采用的基本的迭代公式为 。 7．多元函数F （x ）在点x *处的梯度▽F （x *）＝0是极值存在的 条件。 8．函数F （x ）=3x 21+x 22-2x 1x 2+2在点（1，0）处的梯度为 。 9．阻尼牛顿法的构造的迭代格式为 。 10．用二次插值法缩小区间时，如果p x x <2，p f f >2，则新的区间（a,b ）应取作 ， 用 以判断是否达到计算精度的准则是 。 11.外点惩罚函数法的极小点是从可行域之 向最优点逼近，点惩罚函数法的极小点是从可行域之 向最优点逼近。 12．罚函数法中能处理等式约束和不等式约束的方法是 罚函数法。 13.Powell 法是以 方向作为搜索方向。 14.当有n 个设计变量时，目标函数与n 个设计变量间呈 维空间超曲面关系。 1．不 2。距离.目标函数改变量.梯度 3。三维空间 4。不同的 5。[]T 42 6．k k k k d x x α+=+1 7。必要条件 8。][T 26- 9。()[]()k k k k x f x f x ??--12α 10．[]b x 2 ,ε<-a b ? 11.外. 12.。混合 13.。逐次构造共轭 14.。n+1 三 问答题 1. 变尺度法的基本思想是什么？ 2. 梯度法的基本原理和特点是什么？ 3．什么是库恩－塔克条件？其几何意义是什么？ 4. 在点罚函数法中，初始罚因子的大小对优化计算过程有何影响? 5. 选择优化方法一般需要考虑哪些因素? 6. 满足什么条件的方向是可行方向？满足什么条件的方向是下降方向？作图表示。 7. 简述传统的设计方法与优化设计方法的关系。 8. 简述对优化设计数学模型进行尺度变换有何作用。 9. 分析比较牛顿法.阻尼牛顿法和共轭梯度法的特点 10．为什么选择共轭方向作为搜索方向可以取得良好的效果？ 11．多目标问题的解与单目标问题的解有何不同？如何将多目标问题转化为单目标问题求 解？ 12.黄金分割法缩小区间时的选点原则是什么？为何要这样选点？ 四.计算题 1.用外点法求解此数学模型 ()()min .. 10F X x s t g x x =??? =-≤?? 2 将()22 121212262233f x x x x x x x =+++++写成标准二次函数矩阵的形式。 3 用外点法求解此数学模型 ：()()()12 211221min ..00 f X x x s t g X x x g X x =+=-≤=-≤ 4 求出()22 1122262420f x x x x x =-+-+的极值及极值点。 5 用外点法求解此数学模型 ：()()()()31211221min 13 ..100 f X x x s t g X x g X x = ++=-+≤=≥ 6．用点法求下列问题的最优解： 0312)(2112221≤-=?+-+=x g t s x x x x f m in （提示：可构造惩罚函数 []∑=-=2 1)(ln )(),(u u x g r x f r x φ，然后用解析法求解。）。 7.设已知在二维空间中的点[]T x x x 21=，并已知该点的适时约束的梯度 []T g 11--=?，目标函数的梯度[]T f 15.0-=?，试用简化方法确定一个适用 的可行方向。 8. 用梯度法求下列无约束优化问题：Min F(X)=x 12+4x 22，设初始点取为X (0)=[2 2]T ，以梯 度模为终止迭代准则，其收敛精度为5。 9. 对边长为3m 的正方形铁板，在四个角处剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何 剪法使水槽的容积最大？建立该问题的优化设计的数学模型。 10. 已知约束优化问题： )(0 )(025)(12 4)(m in 231222211221≤-=≤-=≤-+=?--=x x g x x g x x x g t s x x x f 试以[][][]T T T x x x 33,14,12030201===为复合形的初始顶点，用复合形法进 行一次迭代计算。 机械优化设计综合复习题参考答案 一.单项选择题 1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A 19.B.20.D 21.A 22.D 23.C 24.B 25.D 26.D 27.A 28.B 29.B 30.B 二 填空 1．不 2。距离.目标函数改变量.梯度 3。三维空间 4。不同的 5。[]T 42 6．k k k k d x x α+=+1 7。必要条件 8。][T 26- 9。()[]()k k k k x f x f x ??--12α 10．[]b x 2 ,ε<-a b ? 11.外. 12.。混合 13.。逐次构造共轭 14.。n+1 三 问答题 1.变尺度法的基本思想是：通过变量的尺度变换把函数的偏心程度降低到最低限度，显著地改进极小化方法的收敛性质。 2．梯度法的基本原理是搜索沿负梯度方向进行，其特点是搜索路线呈“之”字型的锯齿路线，从全局寻优过程看速度并不快。 3．库恩-塔克条件是判断具有不等式约束多元函数的极值条件。 ()()()() ()()????????????=≥???==???==??+??** =*∑m j m j x g n i x x g x x F j j j i j m j j i ,,2,10,,2,10,,2,101μμμ 库恩—塔克条件的几何意义是: 在约束极小值点*X 处，函数()x F 的负梯度一定能表示成所有起使用约束在该点梯度（法向量）的非负线性组合。 4．初始罚因子0r ，一般来说0r 太大将增加迭代次数，0r 太小会使惩罚函数的性态变坏，甚至难以收敛到极值点。 5．选择优化方法一般要考虑数学模型的特点，例如优化问题规模的大小，目标函数和约束函数的性态以及计算精度等。在比较各种可供选用的优化方法时，需要考虑的一个重要因素是计算效率。 6．可行条件应满足第二式： 7.下降条件应满足第一式： 搜索方向应与起作用的约束函数在k x 点的梯度及目标函数的梯度夹角大于或等于900。 -0)]([)()(>-?k T k S X F 0 )]([)()(≥?k T k j S X g J j ,...,2,1={ 8．数学模型的尺度变换是一种改善数学模型性态，使之易于求解的技巧。一般可以加速优化设计的收敛，提高计算过程的稳定性。 9．牛顿法的迭代关系式为： 阻尼牛顿法的迭代关系式为： 共轭梯度法的迭代关系式为： 牛顿法适合二次型问题，阻尼牛顿法有防止目标函数值上升的阻尼因子，适合非二次型问题，两者均需计算海森矩阵及其逆矩阵，计算量大。共轭梯度法用梯度构造共轭方向，仅需梯度计算且具有共轭性质，收敛速度快，不必计算海森矩阵，使用更加方便。 10．根据共轭方向的性质：从任意初始点出发顺次沿n 个G 的共轭方向进行一维搜索，最多经过n 次迭代就可找到二次函数的极小点，具有二次收敛性。 11．单目标问题的解一般是唯一理想解，多目标的解一般是相对理想解。多目标问题转成单目标问题的常用方法有：主要目标法.线性加权法.理想点法.平方和加权法.分目标乘除法.功率系数法和极大极小法。 12．选点原则是插入点应按0.618分割区间。因为这样选点可以保持两次迭代区间的相同比例分布，具有相同的缩短率。 四.计算题 1．提示：先转化为惩罚函数形式 答案1=x 2．二次函数的矩阵标准形式为C x B Gx x T T ++2 1 答案为??????? ??????? ??1222421T x x +[]32x +3 3．参考第六章复习题提示 结果为][T x 00 = 4. 用梯度计算极值点 答案为][T 15 .1 5. 先构造外点罚函数 答案为][T 01- 11()k k k k f β++=-?+d x d 121[()]()(0,1,2,)k k k k f f k +-=-??=x x x x 121[()]() (0,1,2,)k k k k k f f k α+-=-??=x x x x 212 ()()k k k f f β+?=?x x 6. 先构造点罚函数 答案为][T 31 7. 用图解法，先画出约束函数梯度及目标函数梯度，做两者的垂线，与两梯度夹角均大于900的任意方向均可。 8. 以负梯度为搜索方向进行迭代计算 答案为[]T 00 9. 设剪掉的正方形边长为1x 数学模型为 Min []12) 23()(x x x F -= ..t s 01≥x 0231≥-x 10. 提示 先算三点的目标函数值并排序，将最差点沿其余点中心进行反射，计算反射点函数值并判断可行性。 答案为][T 5.31 4、最优点、最优值和最优解 答：选取适当优化方法，对优化设计数学模型进行求解，可解得一组设计变量，记作: x * = [x1* , x2* , x3* , . . . , x n *]T 使该设计点的目标函数F (x*)为最小，点x*称为最优点(极小点)。相应的目标函数值F (x*) 称为最优值(极小值)。一个优化问题的最优解包着最优点(极小点)和最优值(极小值) 。把最优点和最优值的总和通称为最优解。 或： 优化设计就是求解n个设计变量在满足约束条件下使目标函数达到最小值，即 min f(x)=f(x*) x €R n s.t. g u (x)w 0,u= 1,2,... ,m； h v (x) = 0,v= 1,2,... ,p 机械优化设计习题及参考答案 1-1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。 答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。求设计变量向量[]12T n x x x x =L 使 ()min f x → 且满足约束条件 ()0 (1,2,)k h x k l ==L ()0 (1,2,)j g x j m ≤=L 2-1.何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？ 答：二元函数f(x 1,x 2)在x 0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的 形式：?? ??????????????=??+??=??2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d f ρ 令xo T x f x f x f x f x f ?? ????????=????=?21]2 1[)0(， 则称它为函数f （x 1，x 2）在x 0点处的梯度。 （1）梯度方向是函数值变化最快方向，梯度模是函数变化率的最大值。 （2）梯度与切线方向d 垂直，从而推得梯度方向为等值面的法线方向。梯度)0(x f ?方向为函数变化率最大方向，也就是最速上升方向。负梯度-)0(x f ?方向为函数变化率最小方向，即最速下降方向。 2-2.求二元函数f （x 1，x 2）=2x 12+x 22-2x 1+x 2在T x ]0,0[0=处函数变化率最 大的方向和数值。 解：由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向，这里用单位向量p 表示，函数变化率最大和数值时梯度的模)0(x f ?。求f （x1，x2）在x0点处的梯度方向和数值，计算如下： ()??? ???-=????? ?+-=???? ??????????=?120122214210x x x x f x f x f 2 221)0(?? ? ????+??? ????=?x f x f x f =5 ????? ???????-=??????-=??=5152512)0()0(x f x f p ? 2-3.试求目标函数()2 221212143,x x x x x x f +-=在点X 0=[1,0]T 处的最速下 降方向，并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。 解：求目标函数的偏导数 212 21124,46x x x f x x x f +-=??-=?? 则函数在X 0=[1,0]T 处的最速下降方向是 ??????-=??????-+-=?????? ??????????-=-?=====462446)(0 121210 1210 2121x x x x x x x x x f x f X f P 这个方向上的单位向量是： 13]2,3[4 )6(]4,6[T 22T -=+--==P P e 新点是 第一题 考察温度对烧碱产品得率的影响，选了四种不同温度进行试验，在同一温度下进行了5次试验（三数据见下表）。希望在显着性水平为。 1.SSE的公式 2.SSA的公式 3.将表格粘贴进Excel，然后进行数据分析，勾选标于第一行，显示在下面 P=，远小于，所以是显着的 “方差分析” “响应C1C2C3C4” “选单因素未重叠” 4.打开Minitab，复制表格， “统计” 点击“比较”勾选第一个，确定 结果:工作表3 单因子方差分析:60度,65度,70度,75度 来源自由度SSMSFP 因子误差合计 S==%R-Sq（调整）=% 平均值（基于合并标准差）的单组95%置信区间 水平N平均值标准差------+---------+---------+---------+--- 60度度度度合并标准差= Tukey95%同时置信区间 所有配对比较 单组置信水平=% 60度减自: 下限中心上限------+---------+---------+---------+--- 65度度度度减自: 下限中心上限------+---------+---------+---------+--- 70度度度减自: 下限中心上限------+---------+---------+---------+--- 75度获得结果，区间相交包含的不明显，反之明显 第二题 为研究线路板焊点拉拔力与烘烤温度、烘烤时间和焊剂量之间关系。从生产过程中收集20批数据，见下表: 1.将表格粘贴进Minitab，然后“统计”“回归”“回归”“响应，变量”“图形，四 合一” 2.P小于，显着 4.残差分析 第三题 钢片在镀锌前需要用酸洗方法除锈， 为提高除锈效率，缩短酸洗时间，需 要寻找好的工艺参数。现在试验中考 察如下因子与水平： 百度文库 《机械优化设计》复习题及答案 一、填空题 、用最速下降法求 2 2 2 2 的最优解时，设X （0）T ，第一步迭代 1 1 ＝[,] 1 f(X)=100(x - x ) +(1- x ) 的搜索方向为 [-47;-50] 。 2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向二是计算最佳步长因子。 3、当优化问题是 __凸规划 ______的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。 4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和 终点，它们的函数值形成高-低-高趋势。 5、包含 n 个设计变量的优化问题，称为n 维优化问题。 、函数 1 X T HX B T X C 的梯度为HX+B 。 6 2 7、设 G 为 n×n 对称正定矩阵，若 n 维空间中有两个非零向量0，d1，满足 (d0 T1 ，d ) Gd =0 则 d0、d1之间存在 _共轭_____关系。 8、设计变量、约束条件、目标函数是优化设计问题数学模型的基本要素。 9、对于无约束二元函数 f (x1 , x2 ) ，若在 x 0 ( x10 , x20 ) 点处取得极小值，其必要条件是梯 度为零，充分条件是海塞矩阵正定。 10、库恩-塔克条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作 用的各约束函数梯度的非负线性组合。 11 、用黄金分割法求一元函数 f ( x) x2 10 x 36的极小点，初始搜索区间 [ a,b] [ 10,10] ，经第一次区间消去后得到的新区间为[,] 。 12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量、约束条件目标函数、 13、牛顿法的搜索方向 d k= ，其计算量大，且要求初始点在极小点逼近位置。 14、将函数f(X)=x 2 2 表示成 1 X T HX T X C 的形 1 +x2 -x1x2-10x1-4x2+60 2 B 式。 15、存在矩阵 H，向量 d ，向量 d ，当满足(d1)TGd2=0 ，向量 d 和向量 d 1 2 1 2 是关于 H 共轭。 16、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因 子 r 数列，具有由小到大趋于无穷特点。 17、采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即 机械优化设计习题及参考答案 1-1、简述优化设计问题数学模型的表达形式。 答:优化问题的数学模型就是实际优化设计问题的数学抽象。在明确设计变量、约束条件、目标函数之后,优化设计问题就可以表示成一般数学形式。求设计变量向量[]12 T n x x x x =使 ()min f x → 且满足约束条件 ()0 (1,2,)k h x k l == ()0(1,2,)j g x j m ≤= 2-1、何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？ 答:二元函数f(x 1,x 2)在x 0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的形式:?? ??????????????=??+??=??2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d f 令xo T x f x f x f x f x f ?? ????????=????=?21]21[)0(, 则称它为函数f(x 1,x 2)在x 0点处的梯度。 (1)梯度方向就是函数值变化最快方向,梯度模就是函数变化率的最大值。 (2)梯度与切线方向d 垂直,从而推得梯度方向为等值面的法线方向。梯度)0(x f ?方向为函数变化率最大方向,也就就是最速上升方向。负梯度-)0(x f ?方向为函数变化率最小方向,即最速下降方向。 2-2、求二元函数f(x 1,x 2)=2x 12+x 22-2x 1+x 2在T x ]0,0[0=处函数变化率最 大的方向与数值。 解:由于函数变化率最大的方向就就是梯度的方向,这里用单位向量p 表 示,函数变化率最大与数值时梯度的模)0(x f ?。求f(x1,x2)在x0点处的梯度方向与数值,计算如下: ()??????-=??????+-=???? ??????????=?120122214210x x x x f x f x f 2221)0(?? ? ????+??? ????=?x f x f x f =5 ????? ???????-=??????-=??=5152512)0()0(x f x f p 2-3、试求目标函数()2221212143,x x x x x x f +-=在点X 0=[1,0]T 处的最速下降 方向,并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。 解:求目标函数的偏导数 212 21124,46x x x f x x x f +-=??-=?? 则函数在X 0=[1,0]T 处的最速下降方向就是 ??????-=??????-+-=????????????????-=-?=====462446)(0121210 121021 21x x x x x x x x x f x f X f P 这个方向上的单位向量就是: 13]2,3[4 )6(]4,6[T 22T -=+--==P P e 新点就是 ????? ???????-=+=132133101e X X 新点的目标函数值 .. 第一、填空题 1.组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。 2.函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ??=????点处的梯度为120-?? ? ??? ，海赛矩阵 为2442-?? ? ?-?? 3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要能用 来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数 。 4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题，的基础上力求简洁 。 5.约束条件的尺度变换常称 规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。 6.随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定，此法是指依次迭代的步 长按一定的比例 递增的方法。 7.最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为 梯度法，其收 敛速度较 慢 。 8.二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ?=必要条件是该点处的海赛矩阵正定 9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无 约束优化问题，这种方法又被称为 升维 法。 10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩，收缩，压缩 11坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题 12．在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束， ，另外应当尽量减少不必要的约束 。 13．目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+1, 空间中描述出来，为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况，常采用 目标函数等值面 的方法。 14.数学规划法的迭代公式是 1 k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 和 计算最佳步长 15协调曲线法是用来解决 设计目标互相矛盾 的多目标优化设计问题的。 16.机械优化设计的一般过程中， 建立优化设计数学模型 是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。 第一、填空题 1.组成优化设计的数学模型的三要素是 设计变量 、目标函数 和 约束条件 。 2.可靠性定量要求的制定，即对定量描述产品可靠性的 参数的选择 及其 指标的确定 。 3.多数产品的故障率随时间的变化规律，都要经过浴盆曲线的 早期故障阶段 、 偶然故障阶段 和 耗损故障阶段 。 4.各种产品的可靠度函数曲线随时间的增加都呈 下降趋势 。 5.建立优化设计数学模型的基本原则是在准确反映 工程实际问题 的基础上力求简洁 。 6.系统的可靠性模型主要包括 串联模型 、 并联模型 、 混联模型 、 储备模型 、 复杂系统模型 等可靠性模型。 7. 函数f(x 1,x 2)=2x 12 +3x 22-4x 1x 2+7在X 0=[2 3]T 点处的梯度为 ，Hession 矩阵为 。 （2.）函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ??=????点处的梯度为120-?? ????，海赛矩阵为2442-???? -?? 8.传统机械设计是 确定设计 ；机械可靠性设计则为 概率设计 。 9.串联系统的可靠度将因其组成单元数的增加而 降低 ，且其值要比可靠 度 最低 的那个单元的可靠度还低。 10.与电子产品相比，机械产品的失效主要是 耗损型失效 。 11. 机械可靠性设计 揭示了概率设计的本质。 12. 二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ?=必要条件是该点处的海赛矩阵正定。 13.对数正态分布常用于零件的 寿命疲劳强度 等情况。 14.加工尺寸、各种误差、材料的强度、磨损寿命都近似服从 正态分布 。 15.数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 模型求解 两方面的内容。 17.无约束优化问题的关键是 确定搜索方向 。 18.多目标优化问题只有当求得的解是 非劣解 时才有意义，而绝对最优解存在的可能性很小。 19.可靠性设计中的设计变量应具有统计特征，因而认为设计手册中给出的数据 《机械优化设计》复习题及答案 一、填空题 1、用最速下降法求f(X)=100(x 2- x 12) 2+(1- x 1) 2的最优解时，设X （0）＝[-0.5,0.5]T ，第一步迭代的搜索方向为[-47;-50] 。 2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向 二是计算最佳步长因子 。 3、当优化问题是__凸规划______的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。 4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成 高-低-高 趋势。 5、包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。 6、函数 C X B HX X T T ++2 1的梯度为 HX+B 。 7、设G 为n×n 对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量d 0，d 1，满足(d 0)T Gd 1=0，则d 0、d 1之间存在_共轭_____关系。 8、 设计变量 、 约束条件 、 目标函数 是优化设计问题数学模型的基本要素。 9、对于无约束二元函数),(21x x f ，若在),(x 20100x x 点处取得极小值，其必要条件是 梯度为零 ，充分条件是 海塞矩阵正定 。 10、 库恩-塔克 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。 11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点，初始搜索区间 ]10,10[],[-=b a ，经第一次区间消去后得到的新区间为 [-2.36,2.36] 。 12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量 、约束条件 目标函数 、 13、牛顿法的搜索方向d k = ，其计算量 大 ，且要求初始点在极小点 逼近 位 置。 14、将函数 f(X)=x 12+x 22-x 1x 2-10x 1-4x 2+60 表示成 C X B HX X T T ++2 1的形式 。 15、存在矩阵H ，向量 d 1，向量 d 2，当满足 (d1)TGd2=0 ，向量 d 1和向量 d 2是关于H 共轭。 16、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子r 数列，具有 由小到大趋于无穷 特点。 17、采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即求 。 第一、填空题 1.组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。 2.函数()2 2 121 212,45f x x x x x x =+-+在024X ??=????点处的梯度为120-?? ???? ，海赛矩阵 为2442-????-?? 3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用 来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数 。 4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题，的基础上力求简洁 。 5.约束条件的尺度变换常称 规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。 6.随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定，此法是指依次迭代的步 长按一定的比例 递增的方法。 7.最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为 梯 度法，其收敛速度较 慢 。 8.二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ?=必要条件是该点处的海赛矩阵正定 9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无 约束优化问题，这种方法又被称为 升维 法。 10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩 11坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题 12．在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束， ，另外应当尽量减少不必要的约束 。 13．目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+1, 空间中描述出来，为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况，常采用 目标函数等值面 的方法。 14.数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 和 计算最佳步长 15协调曲线法是用来解决 设计目标互相矛盾 的多目标优化设计问题的。 机械优化设计试卷期末考试及答案 第一、填空题 1.组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。 2.函数()2 2 121 212,45f x x x x x x =+-+在024X ?? =???? 点处的梯度为120-??????，海赛矩阵 为2442-????-?? 3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用 来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数 。 4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题，的基础上力求简洁 。 5.约束条件的尺度变换常称 规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。 6.随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定，此法是指依次迭代的步 长按一定的比例 递增的方法。 7.最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为 梯度 法，其收敛速度较 慢 。 8.二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ?=必要条件是该点处的海赛矩阵正定 9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无 约束优化问题，这种方法又被称为 升维 法。 10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩 11坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题 12．在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束， ，另外应当尽量减少不必要的约束 。 13．目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+1, 空间中描述出来，为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况，常采用 目标函数等值面 的方法。 第一章习题答案 1-1 某厂每日（8h 制）产量不低于1800件。计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为25件／h ，正确率为98％，计时工资为4元／h ；二级检验员标准为：速度为15件／h ，正确率为95％，计时工资3元／h 。检验员每错检一件，工厂损失2元。现有可供聘请检验人数为：一级8人和二级10人。为使总检验费用最省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？ 解：（1）确定设计变量； 根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ?? ????=? ??? ??二级检验员一级检验员 21x x ； （2）建立数学模型的目标函数； 取检验费用为目标函数，即： f (X ) = 8*4*x 1+ 8*3*x 2 + 2（8*25*0.02x 1 +8*15*0.05x 2 ） =40x 1+ 36x 2 （3）本问题的最优化设计数学模型： min f (X ) = 40x 1+ 36x 2 X ∈R 3· s.t. g 1(X ) =1800-8*25x 1+8*15x 2≤0 g 2(X ) =x 1 -8≤0 g 3(X ) =x 2-10≤0 g 4(X ) = -x 1 ≤0 g 5(X ) = -x 2 ≤0 1-2 已知一拉伸弹簧受拉力F ，剪切弹性模量G ，材料重度r ，许用剪切应力[]τ，许用最大变形量[]λ。欲选择一组设计变量T T n D d x x x ][][2 32 1 ==X 使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数3n ≥， 簧丝直径0.5d ≥，弹簧中径21050D ≤≤。试建立该优化问题的数学模型。 注：弹簧的应力与变形计算公式如下 3 22234 881 ,1,(2n s s F D FD D k k c d c d Gd τλπ==+==旋绕比）， 解： （1）确定设计变量； 根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ????? ? ????=??????????n D d x x x 2321； （2）建立数学模型的目标函数； 取弹簧重量为目标函数，即： f (X ) = 322 12 4 x x rx π （3）本问题的最优化设计数学模型： 2.函数 f (x 1, x 2 ) = x 12 + x 22 - 4x 1x 2 + 5 在 X 0 = ? ? 点处的梯度为 ? ? ，海赛矩阵 为 ? ? 机械优化设计期末复习题 一、填空题 1.组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。 ?2? ?-12? ?4? ? 0 ? ? 2 ?-4 -4? 2 ? 3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要 求是能用来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数 。 4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题，的 基础上力求简洁 。 5.约束条件的尺度变换常称 规格化，这是为改善数学模型性态常用的一 种方法。 6.随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定，此法是指依次 迭代的步长按一定的比例 递增的方法。 7.最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为 梯度法，其收敛速度较 慢 。 8.二元函数在某点处取得极值的必要条件是 ?f (X 0 ) = 0 , 充分条件是该 点处的海赛矩阵正定 9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题 变成 无约束优化问题，这种方法又被称为 升维 法。 10 改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩 11 坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优 化问题 12．在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束， ，另 外应当尽量减少不必要的约束 。 13．目标函数是 n 维变量的函数，它的函数图像只能在 n+1, 空间中描 《机械优化设计》复习题及答案 、填空题 1、用最速下降法求f(X)=100(x2- X12) 2+(1- x i) 2的最优解时，设X (°)=[-0.5,0.5]T，第一 步迭代的搜索方向为[-47;-50]_________________ 。 2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向二是计算最佳步长因 子 ________ 。 3、当优化问题是—凸规划______ 的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。 4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和 终点，它们的函数值形成高-低-高___________ 趋势。 5、包含n个设计变量的优化问题，称为__n _______ 维优化问题。 1 6、函数—X T HX B T X C的梯度为HX+B 。 2 7、设G为n>n对称正定矩阵，若n维空间中有两个非零向量d0，d1，满足(d°)T Gd—=0, 则d0、d1之间存在—共轭 ______ ■关系。 8、设计变量、约束条件______________ 、目标函数________________ 是优化设计问题数学模型的基本要素。 9、对于无约束二元函数f(X1,X2)，若在X°(X10,X20)点处取得极小值，其必要条件是_梯度为 零，充分条件是海塞矩阵正定 ______________ 。 10、 ________________ 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作 用的各约束函数梯度的非负线性组合。 11、用黄金分割法求一元函数f (x) x2 10x 36的极小点，初始搜索区间 [a,b] [ 10,10]，经第一次区间消去后得到的新区间为[-2.36236] 。 12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设_________ 、 13、牛顿法的搜索方向d k= ______ ，其计算量大，且要求初始点在极小点逼近位置。 14、将函数f(X)=x 12+X22-X1X2-10x1-4x2+60 表示成-X T HX B T X C 的形 2 式 ________________________ 。 15、存在矩阵H，向量d1，向量d2,当满足(d1)TGd2=0 ，向量d1和向量d2是关于H共轭。 16、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因 子r数列，具有____________ 由小到大趋于无穷 ________________ 特点。 17、采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即 求 _____________ 。 机械优化设计复习题 一、单项选择题 1.机械优化设计中，凡是可以根据设计要求事先给定的独立参数，称为（ ） （P19-21） A ． 设计变量 B ．目标函数 C ．设计常量 D ．约束条件 2.下列哪个不是优化设计问题数学模型的基本要素（ ）（P19-21） A ．设计变量 B .约束条件 C .目标函数 D .最佳步长 3.凡在可行域内的任一设计点都代表了一允许采用的方案，这样的设计点为（ ） （P19-21） A .边界设计点 B .极限设计点 C .外点 D .可行点 4.当设计变量的数量n 在下列哪个范围时，该设计问题称为中型优化问题 （P19-21） A .n<10 B .n=10~50 C .n<50 D .n>50 5. 机械最优化设计问题多属于什么类型优化问题（ ）（P19-24） A .约束线性 B .无约束线性 C .约束非线性 D .无约束非线性 6. 工程优化设计问题大多是下列哪一类规划问题（ ）（P22-24） A .多变量无约束的非线性 B .多变量无约束的线性 C .多变量有约束的非线性 D .多变量有约束的线性 7. n 元函数在()k x 点附近沿着梯度的正向或反向按给定步长改变设计变量时，目 标函数值（ ）（P25-28） A .变化最大 B .变化最小 C .近似恒定 D .变化不确定 8.()f x ?方向是指函数()f x 具有下列哪个特性的方向（ ）（P25-28） A . 最小变化率 B .最速下降 C . 最速上升 D .极值 9. 梯度方向是函数具有（ ）的方向 （P25-28） A ．最速下降 B ．最速上升 C ．最小变化 D ．最大变化率 10. 函数()f x 在某点的梯度方向为函数在该点的（）（P25-28） A .最速上升方向 B .上升方向 C .最速下降方向 D .下降方向 11. n 元函数()f x 在点x 处梯度的模为（ ）（P25-28） A .f ?= B .12...n f f f f x x x ????=++??? C .22212()()...()n f f f f x x x ????=++??? D .f ?=12.更适合表达优化问题的数值迭代搜索求解过程的是（ ） （P25-31） A ．曲面或曲线 B ．曲线或等值面 C ．曲面或等值线 D ．等值线或等值面 13.一个多元函数()f x 在*x 点附近偏导数连续，则该点为极小值点的充要条件 （ ）（P29-31） A.*()0f x ?= B. *()0G x = C. 海赛矩阵*()G x 正定 D. **()0G()f x x ?=，负定 机械优化设计复习题 一.单项选择题 1．一个多元函数()F X 在X * 附近偏导数连续，则该点位极小值点的充要条件为（ ） A ．() *0F X ?= B. ()* 0F X ?=,() *H X 为正定 C ．() *0H X = D. ()* 0F X ?=,() *H X 为负定 2.为克服复合形法容易产生退化的缺点，对于n 维问题来说，复合形的顶点数K 应（ ） A ． 1K n ≤+ B. 2K n ≥ C. 12n K n +≤≤ D. 21n K n ≤≤- 3．目标函数F （x ）=4x 2 1+5x 22，具有等式约束，其等式约束条件为h(x)=2x 1+3x 2-6=0,则目 标函数的极小值为（ ） A ．1 B ． 19.05 C ．0.25 D ．0.1 4.对于目标函数F(X)=ax+b 受约束于g(X)=c+x ≤0的最优化设计问题，用外点罚函数法求解 时，其惩罚函数表达式Φ(X,M (k) )为( )。 A. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k) 为递增正数序列 B. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k) 为递减正数序列 C. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k) 为递增正数序列hn D. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k) 为递减正数序列 1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A 19.B.20.D 21.A 22.D 23.C 24.B 25.D 26.D 27.A 28.B 29.B 30.B 5.黄金分割法中，每次缩短后的新区间长度与原区间长度的比值始终是一个常数，此常数是（ ）。 A.0.382 B.0.186 C.0.618 D.0.816 6.F(X)在区间［x 1,x 3］上为单峰函数，x 2为区间中一点，x 4为利用二次插值法公式求得的近似极值点。如x 4-x 2>0,且F(x 4)>F(x 2)，那么为求F(X)的极小值，x 4点在下一次搜索区间内将作为( )。 A.x 1 B.x 3 C.x 2 D.x 4 7.已知二元二次型函数F(X)= AX X 21T ，其中A=?? ????4221，则该二次型是( )的。 A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定 8.内点罚函数法的罚因子为（ ）。 A.递增负数序列 B.递减正数序列 C.递增正数序列 D.递减负数序列 9.多元函数F(X)在点X * 附近的偏导数连续，?F(X * )=0且H(X * )正定，则该点为F(X)的 （ ）。 A.极小值点 B.极大值点 C.鞍点 D.不连续点 10.F(X)为定义在n 维欧氏空间中凸集D 上的具有连续二阶偏导数的函数，若H(X)正定，则称F(X)为定义在凸集D 上的（ ）。 、绪论 1. 思考题 1.何为约束优化设计问题 ?什么是无约束优化设计问题 ?试各举一例说明。机械优化设计问题多属哪一类？ 2.一般优化问题的数学模型包括哪些部分?写出一般形式的数学模型。 3.机械优化设计的过程是怎样的 ?它与常规的机械设计有什么不同 ? 4.怎样判断所求得的最优解是不是全局最优解？ 5.试简述优化算法的迭代过程。 6.何为可行域？为什么说当存在等式约束则可行域将大为缩小?当优化问题中有—个等式约束时 可行域是什么 ?当优化问题中有两个等式约束时可行域是什么?当 n 维优化问题中有 n 个等式约束时可 行域是什么？ 7.什么是内点、什么是外点 ?在优化设计中内点和外点都可以作为设计方案吗?为什么 ? 8.试写出第一节中第三个问题的数学模型。 9.目标函数及其等值线（等值面）的意义和特性是什么？ 2.习题 1.设计一容积为 V 的平底、无盖圆柱形容器，要求消耗原材料最少，试建立其优化设计的数学模型，并指出属于哪一类优化问题。 2.当一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为S 时，怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优 化问题的数学模型，并回答： ①属于几维的优化问题？ ②是线性规划还是非线性规划？ 3.欲造容积为 V 的长方形无盖水箱，问应如何选定其长、宽、高尺寸，才能使用料消耗最少？试写出其数学模型。 4.试求直径为 D 的圆内所有内接三角形面积中的最大值。 5?在曲面f l（X l,X2,X3）=0上找一点P l,在曲面f2（X l,X2,X3）=0上找一点卩2,使得P l与卩2的距离为最短，试建立优化问题的数学模型。 6?有一薄铁皮，宽b=14cm，长L=24cm，制成如图2-9所示的梯形槽，求边长 X和倾斜角a为多大时，槽的容积最大？试写出此问题的优化设计模型并指出该问题属于哪一类的优化设计问题。 7?欲制一批如图 2-12所示的包装纸箱，其顶和底由四边延伸的折纸板组成。要求纸箱的容积为 2m3,问如何确定a、b和c的尺寸，使所用的纸板最省。试写出该优化问题的数学模型。 8?—根长I的铅丝截成两段，一段弯成圆圈，另一段弯折成方形。问应以怎样的比例截断铅丝，才能使圆和方形的面积之和为最大,试写出这一优化问题的数学模型。 9?某厂生产A、B两种产品：A每桶需用煤90kN、电4度、劳动日3个，获利润700元；B每桶需用煤40kN、电5度、劳动日10个，获利润1200元。但计划规定可用煤 3600kN、电200度、劳动 日 300 个,试问 A、 B 各生产多少桶时利润最大？列出其教学模型,并说明属于何种数学规划问题? 10.某厂生产两种机器，两种产品生产每台所 机械优化设计期末复习题 一、填空题 1.组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。 2.函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ?? =????点处的梯度为120-?? ???? ，海赛矩阵为 2442-?? ??-?? 3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数 。 4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题，的基础上力求简洁 。 5.约束条件的尺度变换常称 规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。 6.随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定，此法是指依次迭代的步长按一定的比例 递增的方法。 7.最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为 梯度法，其收敛速度较 慢 。 8.二元函数在某点处取得极值的必要条件是()00f X ?= , 充分条件是该点处的海赛矩阵正定 9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无约束优化问题，这种方法又被称为 升维 法。 10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩 11坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题 12．在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束， ，另外应当尽量减少不必要的约束 。 13．目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+1, 空间中描 述出来，为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况，常采用 目标函数等值面 的方法。 14.数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 和 计算最佳步长 。 15协调曲线法是用来解决 设计目标互相矛盾 的多目标优化设计问题的。 16.机械优化设计的一般过程中， 建立优化设计数学模型 是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。 二、选择题 1、下面 方法需要求海赛矩阵。 A 、最速下降法 B 、共轭梯度法 C 、牛顿型法 D 、DFP 法 2、对于约束问题 ()()()()2212221122132min 44 g 10 g 30 g 0 f X x x x X x x X x X x =+-+=--≥=-≥=≥ 根据目标函数等值线和约束曲线，判断()1[1,1]T X =为 ， ()2 51[,]22 T X =为 。 A ．内点；内点 B. 外点；外点 C. 内点；外点 D. 外点；内点 3、内点惩罚函数法可用于求解__________优化问题。 A 无约束优化问题 B 只含有不等式约束的优化问题 ~机械优化设计复习试 题与答案 https://www.wendangku.net/doc/ac3685673.html,work Information Technology Company.2020YEAR 机械优化设计复习题 一.单项选择题 1．一个多元函数()F X 在X * 附近偏导数连续，则该点位极小值点的充要条件为（ ） A ．()*0F X ?= B. ()*0F X ?=,()*H X 为正定 C ．()*0H X = D. ()*0F X ?=,()*H X 为负定 2.为克服复合形法容易产生退化的缺点，对于n 维问题来说，复合形的顶点数K 应（ ） A ． 1K n ≤+ B. 2K n ≥ C. 12n K n +≤≤ D. 21n K n ≤≤- 3．目标函数F （x ）=4x 21+5x 2 2，具有等式约束，其等式约束条件为h(x)=2x 1+3x 2- 6=0,则目标函数的极小值为（ ） A ．1 B ． 19.05 C ．0.25 D ．0.1 4.对于目标函数F(X)=ax+b 受约束于g(X)=c+x ≤0的最优化设计问题，用外点罚函数法求解时，其惩罚函数表达式Φ(X,M (k) )为( )。 A. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k)为递增正数序列 B. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k)为递减正数序列 C. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k)为递增正数序列hn D. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k)为递减正数序列 1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A 19.B.20.D 21.A 22.D 23.C 24.B 25.D 26.D 27.A 28.B 29.B 30.B 5.黄金分割法中，每次缩短后的新区间长度与原区间长度的比值始终是一个常数，此常数是（ ）。 A.0.382 B.0.186 C.0.618 D.0.816 6.F(X)在区间［x 1,x 3］上为单峰函数，x 2为区间中一点，x 4为利用二次插值法公式求得的近似极值点。如x 4-x 2>0,且F(x 4)>F(x 2)，那么为求F(X)的极小值，x 4点在下一次搜索区间内将作为( )。 A.x 1 B.x 3 C.x 2 D.x 4 7.已知二元二次型函数F(X)=AX X 21T ，其中A=?? ????4221，则该二次型是( )的。 A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定 8.内点罚函数法的罚因子为（ ）。 A.递增负数序列 B.递减正数序列 C.递增正数序列 D.递减负数序列 《机械优化设计》复习题 一、填空 1、用最速下降法求f(X)=100(x 2- x 12) 2+(1- x 1) 2的最优解时，设X （0）＝[-0.5,0.5]T ，第一步迭代的搜索方向为[-47;-50] 。 2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向 二是计算最佳步长因子 。 3、当优化问题是__凸规划______的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。 4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成 高-低-高 趋势。 5、包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。 6、函数 C X B HX X T T ++2 1的梯度为 HX+B 。 7、设G 为n ×n 对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量d 0，d 1，满足(d 0)T Gd 1=0，则d 0、d 1之间存在_共轭_____关系。 8、 设计变量 、 约束条件 、 目标函数 是优化设计问题数学模型的基本要素。 9、对于无约束二元函数),(21x x f ，若在),(x 20100x x 点处取得极小值，其必要条件是 梯 度为零 ，充分条件是 海塞矩阵正定 。 10、 库恩-塔克 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。 11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点，初始搜索区间 ]10,10[],[-=b a ，经第一次区间消去后得到的新区间为 [-2.36,2.36] 。 12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量 、约束条件 目标函数 、 13、牛顿法的搜索方向d k = ，其计算量 大 ，且要求初始点在极小点 逼近 位置。 14、将函数f(X)=x 12+x 22-x 1x 2-10x 1-4x 2+60表示成 C X B HX X T T ++2 1的形式 。 15、存在矩阵H ，向量 d 1，向量 d 2，当满足 (d1)TGd2=0 ，向量 d 1和向量 d 2是关于H 共轭。 16、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子r 数列，具有 由小到大趋于无穷 特点。机械优化设计试卷期末考试及答案(补充版)
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