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2005线性代数试卷A

一、选择（每题4分，共20分）

1. 设A 、B 均为n 阶矩阵，当（）时，(A+B)(A-B)=A 2-B 2不成立。

(A) A=E

(B) A,B 为任意矩阵

(D) A=B

2. 设行列式D=nn n n n n a a a a a a a a a ............

(2)

1222

21112

11，则nn n n n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka .....................212222111211＝（）

(A)

k k D (B)

k n D (C)

n k D (D) kD 3. 线性方程组Ax=b ，其中A 为m ×n 阶矩阵，则（）

(A) 当R(A)=m 时，必有解

(B) m=n 时，有唯一解

(D) R(A)

4. 下面命题正确的是（）

(A) 如矩阵AB=E ，则A 可逆且A -1=B

(B) 如矩阵A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则A+B 必可逆

(D) 如矩阵A ，B 均为n 阶不可逆矩阵，则AB 必不可逆

5. 设向量组a 、b 、c 线性无关，向量组a 、b 、d 线性相关，则（）

(A) a 必可由b ，c ，d 线性表示

(B) b 必不可由a ，c ，d 线性表示

(D) d 必不可由a ，b ，c 线性表示

二、填空（每题4分，共20分）

1. 设行列式D= n n

n n a b b a b a b 0...00 (000)

..................00 0

00...0a 11221

1-- ＝ 2. 已知()T 3,2,11=α,()T 1,2,32=α,()T 2,0,23-=α,()T

4,2,14=α,则31α+22α-53α+44α=

3. 已知A ，B 均是3阶矩阵，且A =5，2-=B ，则1*3

1-B A ＝ 4. 当k= 1 时，A=????

?????k 23654321不可逆。 5. 已知三阶矩阵A 的特征值为-1,2,3，则(2A) -1的特征值为

三、计算（每题10分，共30分；附加题10分）

1. 已知()1,2,11=α,()6,2,42=α,()4,0,33=α,()6,1,54=α，求该向量组的一个极大无关组，并把其他向量用该极大无

关组线性表示。

2. 已知矩阵A=??????????--011220111，B=????

??????-660204122，求矩阵X ，使AX=B 。 3. 求一个正交的相似变化矩阵，将矩阵A=????

??????----542452222化为对角矩阵。 4. （附加题）已知三维空间的两组基：()T 1,1,11=α,()T 1,0,12-=α,()T 1,0,13=α，

()T 1,2,11=β,()T 4,3,22=β,()T 3,4,33=β。求由基321,,ααα, 到 321,,βββ的过渡矩阵，并求一个向量γ，使它在这两组基下的坐标互为相反数。

四、证明（每题10分，共30分；附加题10分）

1. 证明满足A 2-3A-2E=0的n 阶方阵A 是可逆矩阵，并求出A -1。

2. 设A 为m ×n 矩阵，B 为n ×m 矩阵，

a) 若m>n ，请问AB 是否可逆，并证明之

b) 若m

3. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *，证明

a) 若A =0，则*A =0。

b) *A =1-n A 。

4. （附加题）n 阶对称矩阵的全体V 对于矩阵的线性运算构成一个

)1(+n n 维线性空间。给出n 阶矩阵P ，以A 表示V 中的任一元素，试证变换T(A)=P T AP 是线性变换。