直线方程的一般式及应用

§1.2.2直线方程的一般式及应用

班级 姓名 组号 分值

学法指导：

1、利用10分钟阅读教材65~67页，并完成本节导学案的预习案，

2、认真限时完成，规范书写，课上小组合作探究，答疑解惑。

学习目标：

1、知识与技能

（1）掌握直线方程的一般式0=++C By Ax （,A B 不同时为0）理解直线方程的一般式包含的两方面的含义：①直线的方程是都是关于,x y 的二元一次方程；②关于,x y 的二元一次方程的图形是直线．

（2）掌握直线方程的各种形式之间的互相转化． 2、过程与方法

学会用分类讨论的思想方法解决问题。体会坐标法的数形结合思想。 3、情态态度与价值观

认识事物之间普遍联系与相互转化,用联系的观点看问题,感受数学文化的价值和底蕴。

学习重、难点：

1、重点：直线方程的一般式及各种形式之间的互相转化和数形结合思想的应用。

2、难点：对直线方程一般式的理解与应用，灵活应用直线的各种形式方程。

【预习案】

（一）直线方程的一般式：

在平面直角坐标系中，直线可分为两类：一类是与x 轴不垂直的；另一类是与x 轴垂直的，它们的方程可以分别写为直线y kx b =+和1x x =两种形式，它们又都可以变形为

0Ax By C ++=（A 、B 不同 时为0）的形式，我们把形如关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=（A 、B 不同 时为0）称为直线方程的一般形式。

（二）直线和二元一次方程的对应关系：

在平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于,x y 的二元一次方程来表示，反过来，每一个关于,x y 的二元一次方程都表示直线。

事实上，对于任意一个关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=（A 、B 不同 时为0）：

当0B ≠时，可变为A C y x B B =-

-，它表示一条与x 轴不垂直的直线，其中A

B

-为直线的斜率；当0B =时，则0A ≠，所以可变为C

x A

=-，它表示一条与x 轴垂直的直线。

【结论】

1.在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用关于,x y 的二元一次方程

0Ax By C ++=（A 、B 不同时为0）来表示。

2.直线和二元一次方程是一一对应关系；

3.一般情况下，如果题中不作特别说明，所求直线方程都要化成一般形式。

（三）写出下列直线的方程：

1. 经过点(4,0),(0,3)A B -；

2.斜率为2

，在y 轴上的截距为4；

3.经过点(1,2),(3,1)M N -

【我的疑问】

【探案究】

例1、把直线l 的斜截式方程1

32

y x =+化成一般形式、截距式，求出它在,x y 轴上的截距，并画出图形。

解：化为一般形式：260.x y -+=

截距式：

1.63

x y

+=-故直线l 在,x y 轴上的截距分别为6,3-

例2、三角形的顶点(5,0)A -、B(3,-3)、C(0,2)，求这个三角形三边所在的直线方程

解法1：（点斜式）303358AB k --==-+，202055AC k -==+，235

033

BC k +==--，所以由直线方程的点斜式可得：直线AB 、直线AC 、直线BC 的方程分别为：3

(5)8

y x =-+，

2(5)5y x =+，5

2.3

y x -=-即38150,25100,5360x y x y x y ++=-+=+-=分别为

三边所在的直线方程。

解法2：（两点式）

解法3：（斜截式）

解法4：（一般式）

例3、已知直线l 在两坐标轴上的截距之和等于3，且与两坐标轴围成的三角形面积等于2，求直线l 的方程。

解：设所求直线l 的方程为1x y a b +=，则有3

122

a b ab +=??

?=??；所以有34a b ab +=??=?或34a b ab +=??=-?，

因为前一个方程组无解，而后一个方程组解为：4

1a b =??

=-?

或14a b =-??=?，

故所求直线l 的方程为：440x y --=或440.x y -+=

思考题：过点(1,2)P 的直线l 与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于,A B 两点，当

ABC ?的面积最小时，求直线l 的方程。

解：设(,0),(0,)A a B b ，则直线l 的方程可写为

1x y

a b

+=，由于点(1,2)P 在直线上，

所以有，1218,ab a b =

+≥?≥当且仅当12a b

=，即2,4a b ==时取等号。所以1

42

ABC S ab ?=≥，此时(2,0),(0,4)A B ，点(1,2)P 恰好为线段AB 的中点。

此题能否进一步推广呢？即：若过点00(,)P x y 的直线l 与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于,A B 两点，当ABC ?的面积最小时，点00(,)P x y 也为线段AB 的中点吗？

（课下探究）

【训练案】

1． 直线b ax y +=（b a +＝0，0ab ≠）的图象可能是 （ D ）

2. 已知直线0Ax By C ++=（A,B 不同时为0）过第一、二、三象限，则（ （Ⅳ） ） （Ⅰ）0,0AB BC >> （Ⅱ）0,0AB BC ><（Ⅲ）0,0AB BC <>（Ⅳ）0,0AB BC << 3．直线(4)y k x =-必过定点________________（4,0）；当0A B C ++=时，直线

0Ax By C ++=必通过定点____________。

（1,1） 4．已知实数,x y 满足关系：2

22(11).y x x x =-+-≤≤试求：3

2

y x ++最大值和最小值

（学有余力同学课下探究）。

小结：

反思：

直线方程的应用(习题及答案)

2 2 2 2 2 ? 例题示范 扫一扫 对答案 直线方程的应用（习题） 例 1：若过点 A (4，0)的直线 l 与圆(x -2)2+y 2=1 有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是 ． 思路分析： 根据圆的标准方程，画出符合题意的图形．直线与圆有公共点， 说明直线与圆的位置关系为相切或相交，其中相切为临界状态． 计算直线与圆相切时直线的斜率： 如图，设圆心为点 B ，直线 AM ，AN 分别与圆相切于点 M ，N ， 则 BM ⊥AM ，BN ⊥AN ，且 BM =BN =1，AB =2， 所以∠MAB =∠NAB =30°， 进而可得k AM = - 3 ，k = 3 ， 3 AN 3 结合图形易得直线 l 的斜率的取值范围是[- 3 ， 3 ] ． 3 3 例 2：在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x 2+y 2-4x =0．若直线 l ：y =k (x +1)上存在一点 P ，使过 P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数 k 的取值范围是 ． 思路分析： 由题意，圆 C ：(x -2)2+y 2=4，圆心 C (2，0)，半径 r =2． ∵过点 P 的两条切线相互垂直， ∴过点 P ，C 以及两切点组成的四边形是正方形， ∴对角线 PC = 2r = 2 ， 即 l 上存在一点到圆心的距离等于2 ， ∴圆心 C 到直线 l ：kx -y +k =0 的距离小于或等于2 ， 2k + k 即 ≤ 2 ， k 2 +1 解得-2 ≤ k ≤ 2 ． 2

1

3 ? 巩固练习 1. 若直线l ：y = kx - 与直线2x +3y -6=0 的交点位于第一象限， 则直线 l 的倾斜角的取值范围是（ ） A ．[30°，60°) B ．[30°，90°] C ．(60°，90°) D ．(30°，90°) 2. 已知点 M (2，-3)，N (-3，-2)，若直线 l ：y =ax -a +1 与线段 MN 相交，则实数 a 的取值范围是（ ） A ． a ≥ 3 或 a ≤ - 4 4 C ． 3 ≤ a ≤ 4 4 B ． - 4 ≤ a ≤ 3 4 D ． - 3 ≤ a ≤ 4 4 3. 若点 P (x ，y )在以 A (-3，1)，B (-1，0)，C (-2，0)为顶点的 △ABC 的内部（不包括边界），则 y - 2 的取值范围是（ ） x -1 A ．[ 1 ，1] 2 B ． ( 1 ，1) 2 C ．[ 1 ，1] 4 D ． ( 1 ，1) 4 4. 过点 A (2，1)以及两直线 x -2y -3=0 与 2x -3y -2=0 的交点的直线方程是（ ） A ．2x +y -5=0 B ．5x -7y -3=0 C ．x -3y +5=0 D ．7x -2y -4=0 5. 过点(2，3)，且到原点的距离最大的直线方程是（ ） A ．3x +2y -12=0 B ．2x +3y -13=0 C ．x =2 D ．x +y -5=0 2

3.2 直线的方程 单元测试

3. 2 直线的方程 单元测试 1. 下列命题中正确的是： （ ） A 、经过点P 0（x 0, y 0）的直线都可以用方程y －y 0=k (x －x 0)表示 B 、经过定点A （0, b ）的直线都可以用方程y =kx +b 表示 C 、经过任意两个不同点P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)的直线都可用方程 （x 2－x 1）(y －y 1)=(y 2－y 1)(x －x 1)表示 D 、不经过原点的直线都可以用方程 1=+b y a x 表示 2. 直线x cosα+y si n α+1=0,α)2,0(π∈的倾斜角为( ) A α B 2 π－α C π－α D 2 π+α 3. 以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）为端点的线段的垂直平分线方程是（ ） A.3x －y －8=0 B .3x +y +4=0 C. 3x －y +6=0 D. 3x +y +2=0 4．方程012)1(=++--a y x a )(R a ∈表示的直线( ) A.恒过(－2, 3) B. 恒过(2, 3) C. 恒过(－2, 3)或(2, 3) D.都是平行直线 5. 过点Ｍ(2, 1)的直线与x 轴，y 轴分别交于Ｐ,Ｑ两点，且｜ＭＰ｜＝｜ＭＱ｜,则l 的方程是（ ） A. x －2y +3=0 B. 2x －y －3=0 C .2x +y －5=0 D. x +2y －4=0 6. 直线2x +y +m =0和x +2y +n =0的位置关系是（ ） A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.不能确定 7．把直线l 1: x +3y －1=0沿y 轴负方向平移1个单位后得到直线l 2，又直线l 与直线l 2关于x 轴对称，那么直线l 的方程是（ ） A. x －3y +2=0 B. x －3y －4=0 C. x －3y －2=0 D. x －3y +4=0 8. 如图，直线 ax y 1 - =的图象可能是（ ） A B C D 9．设A 、B 两点是x 轴上的点，点P 的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA 的方程为x －y+1=0，则PB 的方程为 （ ） A ．x+y －5=0 B ．2x －y －1=0 C ．2 y －x －4=0 D ．2x +y －7=0 10．过点P （1，－2），且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( ) A.4条 B.3条 C.2条 D.1条 11. 直线l 1, l 2在x 轴上的截距都是m ，在y 轴上的截距都是n ，则l 1, l 2满足（ ） A ．平行 B ．重合 C ．平行或重合 D ．相交或重合 12. 已知直线l 1的方程为y =x ，直线l 2的方程为ax －y =0（a 为实数）．当直线l 1与直线l 2的夹角在（0， 12 π ）之间变动时，a 的取值范围是（ ）

直线的参数方程及其应用举例

直线的参数方程及应用 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向）过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数， 又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α 即? ??+=+=αα sin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P |＝|t| ① 当t>0时，点P 在点P 0的上方； ② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方； 特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线?+=0t x x ④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧； ⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧； 问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是不是一 对应关系？ 我们把直线l 看作是实数轴， 以直线l 向上的方向为正方向，以定点 这样参数t 便和这条实数轴上的点P 一一对应关系. 问题3：P 1、P 2为直线l 上两点所对应的参数分别为t 1、t 2 ， x x

(推荐)高中数学直线与方程知识点总结

直线与方程 1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα ⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 4、直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，

如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即

直线的点斜式方程 1、 直线的点斜式方程：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k )(00x x k y y -=- 2、、直线的斜截式方程：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b b kx y += 3.2.2 直线的两点式方程 1、直线的两点式方程：已知两点),(),,(222211 y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠ y-y1/y-y2=x-x1/x-x2 2、直线的截距式方程：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a 3.2.3 直线的一般式方程 1、直线的一般式方程：关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0） 2、各种直线方程之间的互化。 3.3直线的交点坐标与距离公式 3.3.1两直线的交点坐标 1、给出例题：两直线交点坐标 L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0 解：解方程组 3420 2220x y x y +-=??++=? 得 x=-2，y=2

直线与直线方程复习

? 知识网络 ? 课堂学习 题型1：直线的倾斜角与斜率 倾斜角 ()??90,0 ?90 ()??180,90 斜率 取值 ()+∞,0 不存在 ()0,∞- 增减性 / 递增 / 递增 1、直线的倾斜角 2、两直线的平行与垂直 3、直线的五种方程 4、两直线的交点坐标 5、距离公式 ① 直线的倾斜角：?<≤?1800α ② 直线的斜率：()?≠=90tan ααk ③ 已知两点求斜率：()121 21 2x x x x y y k ≠--= ① 平行：21//l l ，则21k k =或21k k 、不存在 ② 垂直：21l l ⊥，则121-=?k k 或01=k 且2k 不存在 ① 联立两直线方程，求交点坐标 ① 点斜式：()00x x k y y -=- ② 斜截式：b kx y += ③ 两点式： 1 21 121x x x x y y y y --=-- ④ 截距式： 1=+b y a x ⑤ 一般式：0=++C By Ax （B A 、不能同时为零） ①两点间距离：()()21221221y y x x P P -+-= ②点()000y x P 、到直线0:=++C By Ax l 距离2 2 00B A C By Ax d +++= 直线方程

考点1：直线的倾斜角 例1、过点),2(a M -和)4,(a N 的直线的斜率等于1, 则a 的值为( ) A 、1 B 、4 C 、1或3 D 、1或4 变式1：已知点)3,1(A 、)33,1(-B ，则直线AB 的倾斜角是（ ） A 、?60 B 、?30 C 、?120 D 、?150 变式2：已知两点()2,3A ，()1,4-B ，求过点()1,0-C 的直线l 与线段AB 有公共点求直线l 的斜率k 的取值范围 考点2：直线的斜率及应用 斜率公式 1 21 2x x y y k --= 与两点顺序无关，即两点的横纵坐标在公式中的前后次序相同； 斜率变化分两段， 2 π 是分界线，遇到斜率要特别谨慎 例1：已知R ∈θ，则直线013sin =+-y x θ的倾斜角的取值范围是（ ） A 、[]?30,0 B 、[)??180,150 C 、[][)???180,15030,0 D 、[]??150,30 例2、三点共线——若三点()2,2A 、()0,a B 、()b C ,0，()0≠ab 共线，则 b a 1 1+的值等于 变式2：若()3,2-A 、()2,3-B 、?? ? ??m C ,21三点在同一直线上，则m 的值为（ ） A 、2- B 、2 C 、2 1- D 、 2 1 考点3：两条直线的平行和垂直 对于斜率都存在且不重合的两条直线 21l l 、，2121//k k l l =?，12121-=??⊥k k l l 。若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少要特别注意 例、已知点()2,2M ，()2,5-N ，点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 点坐标。 (1)OPN MOP ∠=∠(O 是坐标原点)；(2) MPN ∠是直角 题型2：直线方程 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜 ()00x x k y y -=- ()11y x 、为直线上一定点，k 为斜率 不包括垂直于x 轴的直线

直线的参数方程及其应用举例

直线的参数方程及应用 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向）过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P| 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P| P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数， 又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α 即? ??+=+=ααsin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P|＝|t| ① 当t>0时，点P 在点P 0的上方； ② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方； 特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线?+=0t x x ④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧； ⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧； 问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是不是一 对应关系？ 我们把直线l 看作是实数轴， 以直线l 向上的方向为正方向，以定点 这样参数t 便和这条实数轴上的点P 一一对应关系. 问题3：P 1、P 2为直线l 则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？ x x

《直线与方程》单元测试卷

《直线与方程》单元测试题 1．若直线x ＝2015的倾斜角为α，则α( ) A ．等于0° B ．等于180° C ．等于90° D ．不存在 2．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0 3．已知三角形ABC 的顶点坐标为A (－1，5)，B (－2，－1)，C (4，3)，若M 是BC 边的中点，则中线AM 的长为( ) A ．4 2 C ．2 5 D ．213 4．若光线从点P (－3，3)射到y 轴上，经y 轴反射后经过点Q (－1，－5)，则光线从点P 到点Q 走过的路程为( )A ．10 B ．5＋17 C ．4 5 D ．217 5．到直线3x －4y －1＝0的距离为2的直线方程是( ) A ．3x －4y －11＝0 B ．3x －4y －11＝0或3x －4y ＋9＝0 C ．3x －4y ＋9＝0 D ．3x －4y ＋11＝0或3x －4y －9＝0 6．直线5x －4y －20＝0在x 轴上的截距，在y 轴上的截距和斜率分别是( ) A ．4，5，54 B ．5，4，54 C ．4，－5，54 D ．4，－5，4 5 7．若直线(2m －3)x －(m －2)y ＋m ＋1＝0恒过某个点P ，则点P 的坐标为( ) A ．(3，5) B ．(－3，5) C ．(－3，－5) D ．(3，－5) 8．如图D3-1所示，直线l 1：ax －y ＋b ＝0与直线l 2：bx ＋y －a ＝0(ab ≠0)的图像应该是( ) 图D3-1 9．若直线3x ＋y －3＝0与直线6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为( ) A ．4 13 13 10 10．点P (7，－4)关于直线l ：6x －5y －1＝0的对称点Q 的坐标是( ) A ．(5，6) B ．(2，3) C ．(－5，6) D ．(－2，3) 11．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) 12．已知△ABC 的三个顶点分别是A (0，3)，B (3，3)，C (2，0)，若直线l ：x ＝a 将△ABC 分割成面积相等的两部分，则a 的值是( ) B ．1＋ 22 C ．1＋33 13．过两直线x －3y ＋1＝0和3x ＋y －3＝0的交点，并且与原点的最短距离为1 2的直线的方程为________． 14．已知a ，b 满足a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点________． 15．过点(－2，－3)且在x 轴、y 轴上的截距相等的直线方程是________． 16．已知点A(1，－1)，点B(3，5)，点P 是直线y ＝x 上的动点，当|PA|＋|PB|的值最小时，点P 的坐标是________． 17．已知直线l 经过点(0，－2)，其倾斜角的大小是60°. (1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积．

直线与方程测试题含答案

第三章 直线与方程测试题 一．选择题1．若直线过点(3,－3)且倾斜角为30°,则该直线的方程为（ ） A ．y ＝3x －6 B. y ＝ 33x ＋4 C . y ＝33x －4 D. y ＝3 3x ＋2 2. 如果A (3, 1)、B (－2, k )、C (8, 11), 在同一直线上，那么k 的值是（ ）。 A. －6 B. －7 C. －8 D. －9 3. 如果直线 x ＋by ＋9=0 经过直线 5x －6y －17=0与直线 4x ＋3y ＋2=0 的交点，那么b 等于（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 直线 (2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m =0的倾斜角是450, 则m 的值为（ ）。 A.2 B. 3 C. －3 D. －2 5.两条直线023=++m y x 和0323)1(2=-+-+m y x m 的位置关系是( ) A.平行 B .相交 C.重合 D.与m 有关 *6．到直线2x +y +1=0的距离为55 的点的集合是( ) A.直线2x+y －2=0 B.直线2x+y=0 C.直线2x+y=0或直线2x+y －2=0 D .直线2x+y=0或直线2x+2y+2=0 7直线02=+-b y x 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么b 的取值范围是（ ） Ａ．[]2,2- Ｂ．(][)+∞?-∞-,22, Ｃ．[)(]2,00,2?- Ｄ．()+∞∞-,

*8．若直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于M，N两点，且MN的中点是P（1，－1），则直线l的斜率是（） A．－2 3 B． 2 3 C．－ 3 2 D． 3 2 9．两平行线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为213 13 ，则 c＋2 a的 值是( ) A .±1 B. 1 C. -1 D . 2 10．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是（） A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0 **11．点P到点A′（1，0）和直线x＝－1的距离相等，且P到直线y＝x的距 离等于 2 2 ，这样的点P共有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 *12．若y＝a｜x｜的图象与直线y＝x＋a（a＞0） 有两个不同交点，则a的取值范围是（） A．0＜a＜1 B．a＞1 C．a＞0且a≠1 D．a＝1 二．填空题（每小题5分，共4小题，共20分） 13. 经过点(－2,－3) , 在x轴、y轴上截距相等的直线方程是；或。

直线的参数方程及其应用举例

直线的参数方程及应用 问题1:(直线由点与方向确定) 求经过点P 0(00,y x ),倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)就是直线l 上任意一点,(方向为直线L 的正方向)过点P 作y 轴的平行线,P 0作x 轴的平行线,两条直线相交于Q 点、 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0与P 重合时, P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时,P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t,t 为参数, 又∵P 0Q ＝0x x -, 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α 即???+=+=α αsin cos 00t y y t x x 就是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t,t 为参数,t 的几何意义就是:有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量,且|P 0P |＝|t| ① 当t>0时,点P 在点P 0的上方; ② 当t ＝0时,点P 与点P 0重合; ③ 当t<0时,点P 在点P 0的下方; 特别地,若直线l 的倾斜角α＝0时,直线l ?+=0t x x ④ 当t>0时,点P 在点P 0的右侧; ⑤ 当t ＝0时,点P 与点P 0重合; ⑥ 当t<0时,点P 在点P 0的左侧; 问题2:直线l 上的点与对应的参数t 对应关系？ 我们把直线l 瞧作就是实数轴, 以直线l 向上的方向为正方向,以定点P 0 为原点,以原坐标系的单位长为单位长, 这样参数t 便与这条实数轴上的点P 一一对应关系、 问题3:P 1、P 2为直线l 则P 1P 2＝？,∣P 1P 2∣=？ P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1,∣P 1P 2∣=∣ t 2－t 1∣ x x

必修二《直线与方程》单元测试题(含详细答案)

第三章《直线与方程》单元检测试题 时间120分钟，满分150分。 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1．已知点A (1，3)，B (－1，33)，则直线AB 的倾斜角是( ) A ．60° B ．30° C ．120° D ．150° [答案] C 2．直线l 过点P (－1,2)，倾斜角为45°，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x －y －3＝0 D ．x －y ＋3＝0 [答案] D 3．如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－6 C ．32 D ．23 [答案] B 4．直线x a 2－y b 2＝1在y 轴上的截距为( ) A ．|b | B ．－b 2 C ．b 2 D ．±b [答案] B 5．已知点A (3,2)，B (－2，a )，C (8,12)在同一条直线上，则a 的值是( ) A ．0 B ．－4 C ．－8 D ．4 [答案] C 6．如果AB <0，BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 [答案] D 7．已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( ) A ．－2 B ．－7 C ．3 D ．1

[答案] C 8．经过直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＝5＝0的交点，并且经过原点的直线方程是( ) A ．19x －9y ＝0 B ．9x ＋19y ＝0 C ．3x ＋19y ＝0 D ．19x －3y ＝0 [答案] C 9．已知直线(3k －1)x ＋(k ＋2)y －k ＝0，则当k 变化时，所有直线都通过定点( ) A ．(0,0) B ．(17，27) C ．(27，17) D ．(17，114) [答案] C 10．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0 [答案] D 11．已知直线l 的倾斜角为135°，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( ) A ．－4 B ．－2 C ．0 D ．2 [答案] B 12．等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，若点A ，C 的坐标分别为(0,4)，(3,3)，则点 B 的坐标可能是( ) A ．(2,0)或(4,6) B ．(2,0)或(6,4) C ．(4,6) D ．(0,2) [答案] A 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为_________. [答案] －2 3 [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2 2 ＝－1，又y 1＝1，∴y 2＝－3，代入方程x －y －7＝0，得x 2＝4，即B (4，－3)，又 x 1＋x 2 2＝1，∴x 1＝－2，即A (－2,1)，∴k AB ＝ －3－1 4－－2

直线的参数方程教案

直线的参数方程 教学目标： 1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用． 2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想． 3. 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度． 教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程． 教学难点：通过向量法，建立参数t（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标,x y之间的联系． 教学方式：启发、探究、交流与讨论. 教学手段：多媒体课件． 教学过程： 一、回忆旧知，做好铺垫 教师提出问题： 1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程． 2.直线的方向向量的概念． 0 / 13

3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？ 4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程． 5.如何建立直线的参数方程？ 这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善，问题5不急于让学生回答，先引起学生的思考． 【设计意图】通过回忆所学知识，为学生推导直线的参数方程做好准备． 二、直线参数方程探究 1．回顾数轴，引出向量 数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？ 教师提问后，让学生思考并回答问题． 教师引导学生明确：如果数轴原点为O ，数1所对应的点为A ，数轴上点M 的坐标为t ，那么： ①OA 为数轴的单位方向向量，OA 方向与数轴的正方向一致，且OM tOA =；②当OM 与OA 方向一致时（即OM 的方向与数轴正方向一致时），0t >； 当OM 与OA 方向相反时（即OM 的方向与数轴正方向相反时），0t <； 当M 与O 重合时，0t =； ③||OM t =．教师用几何画板软件演示上述过程．

直线与直线的方程(超经典)

课题：直线与直线方程 考纲要求： ① 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；② 理解直线的倾斜角和斜率概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；③掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式和一般式），了解斜截式与一次函数的关系. 教材复习 1.倾斜角：一条直线l 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范 围为[)0,π.斜率：当直线的倾斜角不是90?时，则称其正切值为该直线的斜率，即 tan k α=;当直线的倾斜角等于90?时，直线的斜率不存在。 2.过两点()111,P x y ,()222,P x y ()12x x ≠的直线的斜率公式:21 21 tan y y k x x α-== - 若12x x =，则直线12P P 的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90?. 3.（课本36P ）直线的方向向量：设,A B 为直线上的两点，则向量AB 及与它平行的向量都 称为直线的方向向量.若()11,A x y ，()22,B x y ，则直线的方向向量为AB =()2121,x x y y --. 直线0Ax By C ++=的方向向量为(),B A -.当12x x ≠时，()1,k 也为直线的一个方向向量. 4.直线方程的种形式：

1.直线的倾斜角与斜率的关系：斜率k 是一个实数，当倾斜角90α≠?时，tan k α=，直线都有倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90?的直线无斜率． 2.求直线方程的方法： ()1直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中系数，写出直线方程； ()2待定系数法：先根据已知条件设出直线方程．再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程． 3. ()1求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论．()2在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论． 4.直线方程一般要给出一般式. 典例分析： 考点一 直线的倾斜角和斜率 问题1. 已知两点()1,2A -，(),3B m .()1求直线AB 的斜率k 和倾斜角α； () 2求直线AB 的方程；()3若实数13m ?? ∈--???? ，求AB 的倾斜角α的范围. 问题2．()1（01河南）已知直线l 过点()0,0P 且与以点()2,2A --，()1,1B -为 端点的线段相交，求直线l 的斜率及倾斜角α的范围.()2求函数sin 1 3cos y θθ -=+的值域.

直线方程的一般式及应用

§1.2.2直线方程的一般式及应用 班级姓名组号分值 学法指导： 1、利用10分钟阅读教材65~67页，并完成本节导学案的预习案， 2、认真限时完成，规范书写，课上小组合作探究，答疑解惑。 学习目标： 1、知识与技能 （1）掌握直线方程的一般式0=++C By Ax （,A B 不同时为）理解直线方程的一般式包含的两方面的含义：①直线的方程是都是关于,x y 的二元一次方程；②关于,x y 的二元一次方程的图形是直线． （2）掌握直线方程的各种形式之间的互相转化． 2、过程与方法 学会用分类讨论的思想方法解决问题。体会坐标法的数形结合思想。 3、情态态度与价值观 认识事物之间普遍联系与相互转化,用联系的观点看问题,感受数学文化的价值和底蕴。 学习重、难点： 1、重点：直线方程的一般式及各种形式之间的互相转化和数形结合思想的应用。 2、难点：对直线方程一般式的理解与应用，灵活应用直线的各种形式方程。 【预习案】 （一）直线方程的一般式： 在平面直角坐标系中，直线可分为两类：一类是与轴不垂直的；另一类是与轴垂直的，它们的方程可以分别写为直线y kx b =+和1x x =两种形式，它们又都可以变形为0Ax By C ++=（A 、B 不同时为0）的形式，我们把形如关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=（A 、B 不同时为0）称为直线方程的一般形式。 （二）直线和二元一次方程的对应关系： 在平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于,x y 的二元一次方程来表示，反过来，每一个关于,x y 的二元一次方程都表示直线。

事实上，对于任意一个关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=（A 、B 不同时为0）： 当0B ≠时，可变为A C y x B B =- -，它表示一条与轴不垂直的直线，其中A B -为直线的斜率；当0B =时，则0A ≠，所以可变为C x A =-，它表示一条与轴垂直的直线。 【结论】 1.在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用关于,x y 的二元一次方程 0Ax By C ++=（A 、B 不同时为0）来表示。 2.直线和二元一次方程是一一对应关系； 3.一般情况下，如果题中不作特别说明，所求直线方程都要化成一般形式。 （三）写出下列直线的方程： 1.经过点(4,0),(0,3)A B -； 2.斜率为 2 ，在轴上的截距为； 3.经过点(1,2),(3,1)M N - 【我的疑问】 【探案究】

必修2《直线与方程》单元测试题

必修2《直线与方程》单元测试题 （时间：120分钟，满分：150分） 班别 姓名 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.若直线过点（１，２），（４，２＋ 3 ），则此直线的倾斜角是（ ） Ａ ３０° Ｂ ４５° Ｃ ６０° Ｄ ９０° 2. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a=（ ） A 、 -3 B 、-6 C 、2 3 D 、3 2 3. 已知点A （1,2），B （3,4），C （5,6），D （7,8），则直线AB 与CD 直线的位置关系是（ ） （A ）平行 （B ）垂直 （C ）相交但不垂直 （D ）重合 4. 点Ｍ（４，m ）关于点Ｎ（n, － 3）的对称点为Ｐ（６，－９），则（ ） Ａ m ＝－３，n ＝１０ Ｂ m ＝３，n ＝１０ Ｃ m ＝－３，n ＝５ Ｄ m ＝３，n ＝５ 5.直线的倾斜角的取值范围是（ ） Ａ 0°≤α＜180° B 0°≤α＜180°且α≠90° C 0°≤α＜360° D 0°≤α≤180° 6.过点Ｍ（２,１）的直线与Ｘ轴，Ｙ轴分别交于Ｐ,Ｑ两点，且｜ＭＰ｜＝｜ＭＱ｜, 则Ｌ的方程是（ ） Ａ x-2y+3=0 B 2x-y-3=0 C 2x+y-5=0 D x+2y-4=0 7. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是（ ） A （-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2）

8. 直线0202=++=++n y x m y x 和的位置关系是 （A ）平行 （B ）垂直 （C ）相交但不垂直 （D ）不能确定 9. 如图1，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则必有（ ） A. k 1

直线与方程基础练习题

直线与方程基础练习题 一、选择题 1．过点(1,0)且与直线220x y --=平行的直线方程是（ ） A ．210x y +-= B ．210x y -+= C ．220x y +-= D ．210x y --= 2．已知直线l 过点（0，7），且与直线42y x =-+平行，则直线l 的方程为（ ）. A. 47y x =-- B. 47y x =- C. 47y x =-+ D. 47y x =+ 3．过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程是( ) A ．x －2y ＋7＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x －2y －5＝0 D ．2x ＋y －5＝0 4．已知直线l 的方程为2 0(0)x y a a --=≠,则下列叙述正确的是( ) A. 直线不经过第一象限B. 直线不经过第二象限C. 直线不经过第三象限 D. 直线不经过第四象限 5．过点(1,3)-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A.072=+-y x B.012=-+y x C ．250x y --= D ．052=-+y x 6．已知两条直线01:1=-+y x l ，023:2=++ay x l 且21l l ⊥，则a = ． -3 D ．3 7．在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 8．若三点(2,3),(5,0),(0,)(0)A B C b b ≠共线，则b = A ．2 B ．3 C ．5 D ．1 9．如果直线（m+4）x+（m+2）y+4=0与直线(m+2)x+(m+1)y-1=0互相平行，则实数m 的值等于( ) A 、0 B 、2 C 、-2 D 、0或-2 10．已知直线αsin :1x y l =和直线c x y l +=2:2，则直线1l 与2l （ ）。 A.通过平移可以重合B.不可能垂直C.可能与x 轴围成等腰直角三角形 D.通过1l 上某一点旋转可以重合 11．已知点A(0, –1)，点B 在直线x –y+1=0上，直线AB 垂直于直线x+2y –3=0，则点B 的坐标是( ) A.(–2, –3) B.(2, 3) C.(2, 1) D.(–2, 1)

直线方程的应用(习题)

直线方程的应用（习题） ?例题示范 例1：若过点A(4，0)的直线l与圆(x-2)2+y2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_______________． 思路分析： 的位置关系为相切或相交，其中相切为临界状态． 计算直线与圆相切时直线的斜率： 如图，设圆心为点B，直线AM，AN分别与圆相切于点M，N， 则BM⊥AM，BN⊥AN，且BM=BN=1，AB=2， 所以∠MAB=∠NAB=30°， 进而可得 AM AN k k == 结合图形易得直线l的斜率的取值范围是[ 33 -，． 例2：在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2-4x=0．若直线l：y=k(x+1)上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是_______________． 思路分析： 由题意，圆C：(x-2)2+y2=4，圆心C(2，0)，半径r=2． ∵过点P的两条切线相互垂直， ∴过点P，C以及两切点组成的四边形是正方形， ∴对角线PC== 即l上存在一点到圆心的距离等于 ∴圆心C到直线l：kx-y+k=0的距离小于或等于， 解得k -≤． ?巩固练习

1.若直线l：y kx =2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（） A．[30°，60°) B．[30°，90°] C．(60°，90°) D．(30°，90°) 2.已知点M(2，-3)，N(-3，-2)，若直线l：y=ax-a+1与线段MN相交，则实数 a的取值范围是（） A． 3 4 4 a a- ≥≤ 或B． 3 4 4 a -≤≤ C．3 4 4 a ≤≤D． 3 4 4 a -≤≤ 3.若点P(x，y)在以A(-3，1)，B(-1，0)，C(-2，0)为顶点的△ABC的内部（不 包括边界），则 2 1 y x - - 的取值范围是（） A． 1 [1] 2 ，B． 1 (1) 2 ，C． 1 [1] 4 ，D． 1 (1) 4 ， 4.过点A(2，1)以及两直线x-2y-3=0与2x-3y-2=0的交点的直线方程是（） A．2x+y-5=0 B．5x-7y-3=0 C．x-3y+5=0 D．7x-2y-4=0 5.过点(2，3)，且到原点的距离最大的直线方程是（） A．3x+2y-12=0 B．2x+3y-13=0 C．x=2 D．x+y-5=0 6.已知点M(2，3)，N(4，-5)，直线l经过点P(1，2)，且点M，N到直线l的 距离相等，则直线l的方程是（）

必修2第三章 直线与方程单元测试卷

必修2 第三章 《直线与方程》过关检测 时间：100分钟 满分：100分 制卷：王小凤 学生姓名 一．选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分） 1．直线()为常数a a y x 03=+-的倾斜角为( ) A ． 3π B ．6 π C ．32π D ．65π 2．若方程014)()32(2 2 =+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足( ) A ． 0≠m B ． 2 3 -≠m C ． 1≠m D ． 1≠m ，2 3 -≠m ，0≠m 3．若两条直线x +（1 + m ）y + m －2 = 0与mx + 2y + 8 = 0平行，则( ) A ．m = 1或－2 B ．m = 1 C ．m =－2 D ．3 2=m 4．以()1,3A ，()5,1B -为端点的线段的垂直平分线方程是（ ） A ．380x y --= B ．340x y ++= C ．360x y -+= D ．320x y ++= 5．若点()1,1+-m m A ，()m m B ,关于直线l 对称，则直线l 的方程是( ) A ．01=-+y x B ．01=+-y x C ．01=++y x D ．01=--y x 6．在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是( ) x y O x y O x y O x y O 7．若直线0=++c by ax 在第一、二、三象限，则( ) A ．0,0>>bc ab B ．0,0<>bc ab C ．0,0>