庆阳四中课时教案 导数
庆 阳 四 中 课 时 教 案
科目：数学 授课教师：
年级
高二
课题
变化率
课型 新授课 主备人 左生才 课时 1 授课时间
教学目标
教学活动
修改补充
1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率
教师模块
一．创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．探究
问题 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单
位:dm )之间的函数关系是
如果将半径r 表示为体问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单
位:dm )之间的函数关系
如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么 分析:
⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了r(1)r(0)0.62(dm)-≈
气球的平均膨胀率为
)/(62.00
1)
0()1(L dm r r ≈--
⑵ 当V
从1增加到2时,气球半径增加了
)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为
)/(16.01
2)
1()2(L dm r r ≈-- 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均
膨胀率逐渐变小了．
思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球
的平均膨胀率是多少? （二）平均变化率概念:
1．上述问题中的变化率可用式子
学生模块
3． 则
平
均
变
化
率
为
=??=??x
f x y x
x f x x f x x x f x f ?-?+=
--)
()()()(111212 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率
=??x f 1
212)
()(x x x f x f --表示什么? 三．学生展示
1．质点运动规律为32
+=t s ，则在时间
)3,3(t ?+中相应的平均速度为 ．
2.物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动,求在
4s 附近的平均变化率.
3.过曲线y =f (x )=x 3上两点P （1，1）和Q (1+Δ
x ,1+Δy )作曲线的割线，求出当Δx =0.1时割线
的斜率.
四．反思总结
1．平均变化率的概念
2．函数在某点处附近的平均变化率
1. 国家环保局对长期超标排污，污染严重而未进行治理的单位，规定出一定期限，强令在此期限内完成排污治理. 下图是国家环保局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业连续检测的结果（W 表示排污量），哪个企业治理得比较好？为什么？
2. 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器
甲中水的体积0.1()52t V t -=?（单位：3
cm ）， 计算第一个10s 内V 的平均变化率.
．
教学重点、难点
课后反思
教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念
教学手段
h
t
o
庆阳四中课时教案
科目：数学授课教师：
年级高二课题导数的概念课型新授课主备人课时 1 授课时间教学目标教学活动修改补充
1、知识与技能：理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法；理解导数的几何意义；
2、过程与方法：先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义，培养转化问题的能力；最后求切线方程，培养转化问题的能力
3、情感态度及价值观；让学生感受事物之间的联系，体会数学的美。
教师模块
复习1：曲线上向上
11111
(,),(,)
P x y P x x y y
+?+?
的连线称为曲线的割线，斜率
y
k
x
?
==
?
复习2：设函数()
y f x
=在
x附近有定义当自
变量在
x x
=附近改变x?时，函数值也相应地
改变y
?=，如果当x
?
时，平均变化率趋近于一个常数l，则数l称为
函数()
f x在点
x的瞬时变化率.
记作：当x
?时，→l
二、新课导学
※学习探究
探究任务：导数的几何意义
问题1：当点(,())(1,2,3,4)
n n n
P x f x n=，沿着
曲线()
f x趋近于点
00
(,())
P x f x时，割线的变
化趋是什么？
新知：当割线P
n
P无限地趋近于某一极限位置
PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线
C在点P 处的切线
割线的斜率是：
n
k=
当点
n
P无限趋近于点P时，
n
k无限趋近于切线
PT的斜率. 因此，函数()
f x在
x x
=处的导数
就是切线PT的斜率k，即例1、求下列函数在
相应位置的导数
（1）2
f(x)x1
=+，2
=
x（2）
1
2
)
(-
=x
x
f，2
=
x
（3）3
)
(=
x
f，2
=
x
例2、函数)
(x
f满足2
)1('=
f，则当x无
限趋近于0时，
（1）=
-
+
x
f
x
f
2
)1(
)
1(
（2）=
-
+
x
f
x
f)1(
)
2
1(
展示1 :设f(x)在x=x0处可导，
（3）
x
x
f
x
x
f
?
-
?
+)
(
)
4
(
0无限趋近于
1，则)
(
x
f'=___________
（4）
x
x
f
x
x
f
?
-
?
-)
(
)
4
(
0无限趋近于
1，则)
(
x
f'=________________
学生模块
当点
n
P无限趋近于点P时，
n
k无限趋近于切线
PT的斜率. 因此，函数()
f x在
x x
=处的导数就
是切线PT的斜率k，即例1、求下列函数在相
应位置的导数
（1）1
)
(2+
=x
x
f，2
=
x（2）
1
2
)
(-
=x
x
f，2
=
x
（3）3
)
(=
x
f，2
=
x
例2、函数)
(x
f满足2
)1('=
f，则当x无限
趋近于0时，
（1）=
-
+
x
f
x
f
2
)1(
)
1(
（2）=
-
+
x
f
x
f)1(
)
2
1(
展示2 :设f(x)在x=x0处可导，
（3）
x
x
f
x
x
f
?
-
?
+)
(
)
4
(
0无限趋近于1，
则)
(
x
f'=___________
教学重点、难点课后反思
教学重点：
1、导数的求解方法和过程；
2、导
数符号的灵活运用
教学难点：
1、导数概念的理解；
2、导函数的
理解、认识和运用
教学手段
庆阳四中课时教案
科目：数学授课教师：
年级高二课题导函数的概念课型新授课主备人课时 1 授课时间教学目标教学活动修改补充
1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；
2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；
3．会求函数在某点的导数
教师模块
【引入探索】
圆的切线
直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆
相切。这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点
叫做切点。
问题：能不能把圆的切线推广为一般曲线
的切线呢？（请学生说出推广的结果后，教师
引导学生加以剖析）。
1．曲线的切线
1）观察图形得出：相切可能不止一个交
点，有惟一交点的也不一定是相切。所以对于
一般的曲线，必须重新寻求曲线切线的定义。
2．曲线的切线
1）观察图形得出：相切可能不止一个交
点，有惟一交点的也不一定是相切。所以对于
一般的曲线，必须重新寻求曲线切线的定义。
2）作图，按书上讲解，再用几何画板演
示一次。
3）一般地，已知函数)
(x
f
y=的图象是曲线
C，P（
,y
x），Q（y
y
x
x?
+
?
+
,）是曲
线C上的两点，当点Q沿曲线逐渐向点P接近
时，割线PQ绕着点P转动.
例题P（1,2）是曲线2x
y=+1上的
一点，Q是曲线上点P附近的一个点，当点Q
沿曲线逐渐向点P趋近时割线PQ的斜率的变
化情况.（图略）
3．巩固练习 P111练习1，2（处理：
学生自求）
4．瞬时速度
例题一个小球自由下落，它在下落3
秒时的速度是多少？
说明：1）上例中，如果运用物理所学地匀变
速直线运动地速度公式，可得
v t=v0+at=gt=29.4(m/s)这与上面用平均速度
的极限求得的瞬时速度是一样的。
2）这种速度的极限求法适用范围就比较
广，只要知道运动的规律（函数表达式），即
可求出任一时刻的瞬时速度。
学生模块
学生归纳一般地，设物体的运动规律是s
＝s（t），则物体在t到（t＋t?）这段时间内
的平均速度为
t
t s
t
t s
t
s
?
-
?
+
=
?
?)(
)
(
. 如果t?
无限趋近于0时，
t
s
?
?
无限趋近于某个常数a，
就说当t?趋向于0时，
t
s
?
?
的极限为a，这时a
就是物体在时刻t的瞬时速度.
5．巩固练习：P113练习1，2（处理：学生
自求）
小结
瞬时速度是平均速度
t
s
?
?
当t?趋近于0时
的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是
割线斜率
x
y
?
?
当x
?趋近于0时的极限。
1．判断曲线2
2x
y=在点P（1,2）处是
否有切线，如果有，求出切线的方程。
物体的运动方程为s=t3+10，试求物体在t=3
时的瞬时速度
教学重点、难点课后反思
重点导数的定义与求导数的方法
难点理解导数的概念的经历
教学手段
庆 阳 四 中 课 时 教 案
科目：数学 授课教师：
年级
高二
课题
§3.5对数函数与指数函数的导数
课型
新授课
主备人
课时
1
授课时间
教学目标
教学活动
修改补充
熟记x x a e a x x log ,ln ,,的导数公
式，并能求简单的初等函数的导数 培养学生的运算能力，分析和解决
问题的能力
德育渗透点： 能用辨证的观点去认识规律刑的抽象的公式
美育渗透点： 公式的简洁、抽象、应用的广泛灵活
教师模块
情景设置 前面几节课我们学习了常数函数、幂函数、三角函数以及正余弦函数的求导法则，我们一起回顾一下。（回忆公式） 求下列几个函数的导数：
（1）y=sinx 3
+sin 3
3x ；（2）1
22sin -=x x
y
【探索研究】 一、对数函数的导数 ()e x
x a a log 1
log =' 公式一 说明：此公式的记忆要点是：将x 拿到对数前面并“倒”一下，原来x 的地方换成“e ” 练习1：求下列对数函数的导数（随手写出） （1）x lg ；（2）)2(log 2-x a （3）)lg(sin x （4）x ln
例2 求21lg x y -=
处理：例2放在第（3）题后讲解
公式三
说明：指导学生记忆此公式，并说明a 应为正
数。 练习3：求下列指数函数的导数（随手写出）
（1）3x ；（2）x 3+3x ；（3）a 5x ；（4）e x
； ()x
x
e
e ='
公式四
练习4：求下列指数函数的导数（随手写出）
（1）e 3x ；（2）x 2e x ；（3）e 2x
cos3x ；（4）x n e -x
练习5：求下列指数函数的导数（随手写出）
（1） y=e x sinx ；（2）y=e x
ln 练习4：求下列指数函数的导数（随手写
出）
（1）e 3x ；（2）x 2e x ；（3）e 2x
cos3x ；（4）x n e -x 练习5：求下列指数函数的导数（随手写
出）
（1）y=e x sinx ；（2）y=e x
lnx
学生模块 展示任务 1． 求下列函数的导数 （1）)sin(b ax e y +=；（2）)12cos(3+x a x ；（3）()
2
sin 1-x e
说明：一些复杂的求导问题基本为复合函数求导问题，按照复合函数的求导方法，首先要选好中间变量，然后应用基本导数公式就可以顺利求解了。
2． 已知||ln x y =，求y '
说明：遇到绝对值时，先要对绝对值中因式进行讨论。（另解：2ln x y =）
练习4：求下列指数函数的导数（随手写出）
（1）e 3x ；（2）x 2e x ；（3）e 2x cos3x ；（4）x n e -x
练习5：求下列指数函数的导数（随手写出）
（1）y=e x sinx ；（2）y=e x
lnx
3． 求下列函数的导数 （1）242
sin
x x
x -+?；（2）)1ln(1
ln +-+=
x x x
x y ；（
3
）
x
x
y sin 1sin 1-+=
答案：（242cos 22sin
x
x
x x x --
+）；2)1(ln +x x 32)1(2412
2
x x e xe x
x x --
+ 教学重点、难点
课后反思
应用公式求简单的初等函数的导数 公式的正确应用
教学手段
庆阳四中课时教案
科目：数学授课教师：
年级高二课题导数的几何意义课型新授课主备人课时 1 授课时间教学目标教学活动修改补充
1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；
2．理解曲线的切线的概念；3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题
教师模块
一．创设情景
（一）平均变化率、割线的斜率
（二）瞬时速度、导数
我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x0处
的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近
的变化情况，导数
()
f x
'的几何意义是什么
呢？
曲线的切线及切线的斜率：如图 3.1-2，当
(,())(1,2,3,4)
n n n
P x f x n=沿着曲线()
f x趋
近于点
00
(,())
P x f x时，割线
n
PP的变化趋势
是什么？说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么
当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P
处的切线的斜率.
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率
的一种方法;
②切线斜率的本质—函数在
x x
=
处的导数.
（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位
置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断
与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯
一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切
线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,
甚至可以无穷多个.
我们发现,当点
n
P沿着曲线无限接近点P即
Δx→0时,割线
n
PP趋近于确定的位置，这个确
定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.
问题：⑴割线
n
PP的斜率
n
k与切线PT的斜率
k有什么关系？
⑵切线PT的斜率k为多少？
容易知道，割线
n
PP的斜率是
()()
n
n
n
f x f x
k
x x
-
=
-
,当点
n
P沿着曲线无限接
近点P时，
n
k无限趋近于切线PT的斜率k，
即00
()()
lim()
x
f x x f x
k f x
x
?→
+?-
'
==
?
学生模块
函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点
00
(,())
x f x处的切线的斜率，
即00
()()
()lim
x
f x x f x
f x k
x
?→
+?-
'==
?
说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出P点的坐标;
②求出函数在点
x处的变化率
00
()()
()lim
x
f x x f x
f x k
x
?→
+?-
'==
?
，得到
曲线在点
00
(,())
x f x的切线的斜率；
③利用点斜式求切线方程.
例1:（1）求曲线y=f(x)=x
2+1在点P(1,2)处的切
线方程.
（2）求函数y=3x
2在点(1,3)处的导数.
例2．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运
动中高度随时间变化的函数
2
() 4.9 6.510
h x x x
=-++，根据图像，请
描述、比较曲线()
h t在
t、
1
t、
2
t附近的变
化情况．
教学重点、难点课后反思
教学重点：曲线的切线的概念、切线的
斜率、导数的几何意义；
教学难点：导数的几何意
教学手段
庆 阳 四 中 课 时 教 案
科目：数学 授课教师：
年级
高二
课题
几个常用函数的导数
课型 新授课 主备人 课时 1 授课时间
教学目标
教学活动
修改补充
教学目标：
1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、
2y x =、1
y x
=
的导数公式； 2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．
教师模块
一．创设情景
我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，
如何求它的导数呢？
由导数定义本身，给出了求导数的最基本
的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，
有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导
数． 二．新课讲授
1．函数()y f x c ==的导数 根
据
导
数
定
义
，
因
为
()()0?+?--===???y f x x f x c c
x x x
所
以
00
lim lim 00x x y
y x ?→?→?'===?
0y '=表示函数y c =图像（图3.2-1）上每一
点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的
瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．
表示函数0
lim x y x δ→=图像（图3.2-2）上每一点
处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．
3．函数2()y f x x ==的导数
因为
22
()()()y f x x f x x x x x x x ?+?-+?-==??? 222x 2x x (x)x 2x x x +?+?-==+?? 所以00
lim
lim (2)2x x y
y x x x x ?→?→?'==+?=?
2y x '=表示函数2y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的
变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导
数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2
y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2
y x =增加得越来越快．若2
y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．
学生模块
4．函数1
()y f x x
==
的导数 因为11
()()y f x x f x x x x x x x
-
?+?-+?==
??? 2()1()x x x x x x x x x x
-+?==-+??+?? 所以220011lim lim ()x x y y x x x x x
?→?→?'==-=-?+?? 函数 导数
1y x = 21
y x '=-
（2）推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=
4．求函数y x =
的导数
教学重点、难点
课后反思
教学重点：四种常见函数y c =、
y x =、2y x =、的导数公式
教学难点： 四种常见函数的导数公式
教学手段
庆阳四中课时教案
科目：数学授课教师：
年级高二课题基本初等函数的导数公式及导数的运算法
则
课型新授课主备人课时 1 授课时间教学目标教学活动修改补充
教学目标：
1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则；
3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．
教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则
教师模块
四种常见函数y c
=、y x
=、2
y x
=、
1
y
x
=的导数公式及应用
函数
y c
='0
y=
*
()()
n
y f x x n Q
==∈'1n
y nx-
=
sin
y x
='cos
y x
=
cos
y x
='sin
y x
=-
()x
y f x a
=='ln(0)
x
y a a a
=?>
()x
y f x e
=='x
y e
=
()log
a
f x x
='
1
()log()(01)
ln
a
f x xf x a a
x a
==>≠
且
()ln
f x x
='
1
()
f x
x
=
例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运
算法则，求下列函数的导数．
（1）3
y x2x3
=-+
（2）y＝
x
x-
-
+1
1
1
1
；
（3）y＝x · sin x · ln x；
（4）y＝
x
x
4
；
（5）y＝
x
x
ln
1
ln
1
+
-
．
（6）y＝（2 x2－5 x＋1）e x
（7）y＝
x x x
x x x
-
+
sin cos
cos sin
【点评】
①求导数是在定义域内实行的．②求较
复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．
学生模块
三．典例分析学生展示
例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀
率为5%，物价p（单位：元）与（单位：年）
有如下函数关系
()(15%)t
p t p
=+，其中
p为
t=时的物价．假定某种商品的
1
p=，那么
在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大
约是多少（精确到0.01）？
解：根据基本初等函数导数公式表，有
'() 1.05ln1.05
t
p t=
所以'10
(10) 1.05ln1.050.08
p=≈（元/年）
因此，在第10个年头，这种商品的价格约
为0.08元/年的速度上涨．
3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着
水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已
知将1吨水净化到纯净度为%
x时所需费用
（单位：元）为
5284
()(80100)
100
c x x
x
=<<
-
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬
时变化率：（1）90%（2）98%
教学重点、难点课后反思
教学重点：基本初等函数的导数公式、
导数的四则运算法则
教学难点：基本初等函数的导数公式
和导数的四则运算法则的应用
教学手段
庆阳四中课时教案
科目：数学授课教师：
年级高二课题复合函数的求导法则课型新授课主备人课时 1 授课时间教学目标教学活动修改补充
理解并掌握复合函数的求导法则．
教师模块
引入
一般地，对于两个函数)
(u
f
y=和
)
(x
g
u=，如果通过变量y
u,可以表示成
x的，那么称这个函数为函数
)
(u
f
y=和)
(x
g
u=的，
记作.
如果函数)
(
),
(x
g
u
u
f
y=
=
和它们的复合函数))
(
(x
g
f
y=的导数分
别记为
,]))
(
(
[
),
(
),
('
=
'
'
=
'
'
=
'x
g
f
y
x
g
u
u
f
y
x
x
u
那
么=
'
x
y.
即y对x的导数等于y对的导数与
u对的导数的.
自学合作
例1求下列函数的导数
（1）5)3
2(+
=x
y（2）)1
ln(2+
=x
y
（3）3
2-
-
=x
e
y
（4）)
sin(?
π+
=x
y（其中?
π,均为常数）
例2求下列函数的导数
（1）)
6
3
sin(
2
π
+
=x
x
y（2）
x
x
x
y3
cos
2
sin+
=（3）
x
x
y
-
=
1
（4）)1
2(
2+
=x
y（5）)1
3
2(
log2
2
+
+
=x
x
y
（6）
x
x
y
2
sin
ln
=
展示任务分配
第一组 2 1
第二组
第三组
第四组
第五组
第六组
第七组
第八组
第九组
学生模块
1、已知抛物线c
bx
ax
y+
+
=2通过点
)1,1(，且在点)1
,2(-处与直线3
-
=x
y相
切，求c
b
a,
,的值
2、函数1
2+
=x
y的导数为（）
1
2
1
.
2+
x
A
1
2
.
2+
x
x
B
1
.
2+
-
x
x
C
1
.
2+
x
x
D
3、函数4
2-
=x
e
y在点2
=
x处的切线方程
为
总结
求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函
数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求
导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏
求导环节并及时化简计算结果．
1、函数,)
2
3(
)
(3
x
x
f-
=则)
(x
f'=（）
2
)
2
3(3.x
A-
2
)
2
3(6.x
B-2)
2
3(6
.x
C-
-
3
)
2
3(2
.x
D-
-
教学重点、难点课后反思
教学重点复合函数的求导方法：复
合函数对自变量的导数，等于已知函数
对中间变量的导数乘以中间变量对自
变量的导数之积．
教学难点正确分解复合函数的复合
过程，做到不漏，不重，熟练，正确．
教学手段
庆阳四中课时教案
科目：数学授课教师：
年级高二课题 3.1函数的单调性与导数课型新授课主备人课时 1 授课时间教学目标教学活动修改补充
1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；
2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；
教师模块
一、创设情景
函数是客观描述世界变化规律的重要数学模
型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的
快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是
非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们
可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下
面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会
导数在研究函数中的作用．
二、自学
1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高
度h随时间t变化的函数
2
() 4.9 6.510
h t t t
=-++的图像，图3.3-1（2）
表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的
函数'
()()9.8 6.5
v t h t t
==-+的图像．
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水
这两段时间的运动状态有什么区别？
通过观察图像，我们可以发现：
运动员从起点到最高点，离水面的高度h随
时间t的增加而增加，即()
h t是增函数．相应
地
从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时
间t的增加而减少，即()
h t是减函数．相应地
如图3.3-3，导数'
()
f x表示函数()
f x在
点
00
(,)
x y处的切线的斜率．
在
x x
=处，'
()0
f x>，切线是“左下右上”
式的，
这时，函数()
f x在
x附近单调递增；
在
1
x x
=处，'
()0
f x<，切线是“左上右下”
式的，
这时，函数()
f x在
1
x附近单调递减．
结论：函数的单调性与导数的关系
在某个区间(,)
a b内，如果'()0
f x>，那
么函数()
y f x
=在这个区间内单调递增；如果
'()0
f x<，那么函数()
y f x
=在这个区间内
单调递减．
说明：（1）特别的，如果'()0
f x=，那
么函数()
y f x
=在这个区间内是常函数．
3．求解函数()
y f x
=单调区间的步骤：
学生模块
展示
已知导函数'()
f x的下列信息：
当14
x
<<时，'()0
f x>；
当4
x>，或1
x<时，'()0
f x<；
当4
x=，或1
x=时，'()0
f x=
试画出函数()
y f x
=图像的大致形状．
解：当14
x
<<时，'()0
f x>，可知()
y f x
=
在此区间内单调递增；
当4
x>，或1
x<时，'()0
f x<；可知()
y f x
=
在此区间内单调递减；
当4
x=，或1
x=时，'()0
f x=，这两点比较
特殊，我们把它称为“临界点”．
综上，函数()
y f x
=图像的大致形状如图3.3．
回顾总结
（1）函数的单调性与导数的关系
（2）求解函数()
y f x
=单调区间
（3）证明可导函数()
f x在(),a b内的单调性
四．课堂练习
1．求下列函数的单调区间
1.f(x)=2x3－6x2+7
2. f(x)=sin x , x]
2,0[π
∈
3.y=xlnx
教学重点、难点课后反思
教学重点：利用导数研究函数的单调
性，会求不超过三次的多项式函数的单
调区间
教学难点：利用导数研究函数的单调
性，会求不超过三次的多项式函数的单
调区间
教学手段
庆阳四中课时教案
科目：数学授课教师：
年级高二课题复合函数求导课型新授课主备人课时 1 授课时间教学目标教学活动修改补充
复合函数的分解，求复合函数的导数.
教师模块
引入自学
（预习教材P16~ P17，找出疑惑之处）
复习1：求)4
(2
3-
=x
x
y的导数
复习2：求函数2
(23)
y x
=+的导数
学习探究
探究任务一：复合函数的求导法则
问题：求(sin2)x'=?
解答：由于(sin)cos
x x
'=，故
(sin2)cos2
x x
'=这个解答正确吗?
新知：一般地，对于两个函数()
y f u
=和
()
u g x
=，如果通过变量u，y可以表示成x的
函数，那么称这个函数为函数()
y f u
=和
()
u g x
=的复合函数，记作：(())
y f g x
=
复合函数的求导法则：
两个可导函数复合而成的复合函数的导
数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量
对自变量的导数.用公式表示为：
x u x
y y u
'''
= ，
其中u为中间变量.即：y对x的导数等于y
对u的导数与u对x的导数的乘积.
试试：(sin2)x'=
反思：求复合函数的导数，关键在于分析清楚
函数的复合关系，选好中间变量。
典型例题合作学习
例1求下列函数的导数：
（1）2
(23)
y x
=+；（2）0.051x
y e-+
=；
（3）sin()
y x
π?
=+（其中π，?均为常数）
式：求下列函数的导数：
（1）cos
3
x
y=；（2）1
y x
=-
小结：复合函数的求导不仅可以推广到三重，
还可推广到四重、五重.
求描述气球膨胀状态的函数3
3
()
4
V
r V
π
=的导
数.
学生模块
动手试试精彩展示
练1. 函数3
3
()
4
V
r V
π
=可以看成是哪两个函数的
复合?
练2. 一个距地心距离为r，质量为m的人造卫
星，与地球之间的万有引力F由公式
2
GMm
F
r
=
给出，其中M为地球队质量，G为常量，求F对
于r的瞬时变化率.
2. 求下列函数的导数；
（1）2tan
y x x
=；
（2）32
(2)(31)
y x x
=-+；
（3）2ln
x
y x
=；
（4）
2
3
(21)
x
y
x
=
+
学习小结
1. 会分解复合函数.
2. 会求复合函数的导数.
x u x
y y u
'''
= ；其中u
为中间变量.
即：y对x的导数等于y对u的导数与u对
x的导数的乘积.
教学重点、难点课后反思教学手段
庆阳四中课时教案
科目：数学授课教师：
年级高二课题基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课型新授课主备人课时 1 授课时间教学目标教学活动修改补充
1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数；
2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数.
教师模块
（预习教材P90~ P92，找出疑惑之处）
复习1：常见函数的导数公式：
'=
C；1
)'
(-
=n
n nx
x；x
x cos
)'
(sin=；
x
x sin
)'
(cos-
=；()ln(0)
x x
a a a a
'=>；
()x x
e e
'=；
1
()(0,
ln
log
a
x a
x a
'=>且1)
a≠；
1
(ln)x
x
'=.
复习2：根据常见函数的导数公式计算下列导
数
（1）6
y x
=（2）y x
=（3）
2
1
y
x
=（4）
43
1
y
x
=
学习探究
探究任务：两个函数的和(或差)积商的导数
新知：[()()]()()
f x
g x f x g x
'''
±=±
[()()]()()()()
f x
g x f x g x f x g x
'''
=+
2
()()()()()
[]
()[()]
f x f x
g x f x g x
g x g x
''
-
'=
试试：根据基本初等函数的导数公式和导数运
算法则，求函数323
y x x
=-+的导数.
合作学习
例1 假设某国家在20年期间的年均通贷膨胀
率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)
有如下函数关系
()(15%)t
p t p
=+，其中
p为
t=时的物价.假定某种商品的
1
p=，那么在
第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大
约是多少(精确到0.01)?
2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随
着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.
已知将1吨水净化到纯净度为%
x时所需费用
（单位：元）为
5284
()(80100)
100
c x x
x
=<<
-
. 求
净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变
化率：
（1）90%；（2）98%
知识拓展
1．复合函数的导数：设函数()
u g x
=在点x
处有导数()
x
u g x
''
=，函数y=f(u)在点x的对应
点u处有导数()
u
y f u
''
=，则复合函数
(())
y f g x
=在点x处也有导数，且
x
u
x
u
y
y'
'
'?
=
2．复合函数求导的基本步骤是：分解——求
导——相乘——回代．
学生模块
动手试试精彩展示
练1. 求下列函数的导数：
（1）
2
log
y x
=；
（2）2x
y e
=；
（3）52
2354
y x x x
=-+-；
（4）3cos4sin
y x x
=-.
学习小结
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、
减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则
与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求
此类简单函数的导数.
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导
的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应
用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作
用.在实施化简时，首先要注意化简的等价性，
避免不必要的运算失误.
教学重点、难点课后反思
重点理解两个函数的和(或差)的导
数法则，学会用法则求一些函数的导
数；
难点理解两个函数的积的导数法
则，学会用法则求乘积形式的函数的导
教学手段
庆阳四中课时教案
科目：数学授课教师：
年级高二课题课型新授课主备人课时 1 授课时间教学目标教学活动修改补充
教师模块学生模块
教学重点、难点课后反思教学手段
庆阳四中课时教案
科目：数学授课教师：
年级高二课题课型新授课主备人课时 1 授课时间教学目标教学活动修改补充
教师模块学生模块
教学重点、难点课后反思教学手段
庆阳四中课时教案
科目：数学授课教师：
年级高二课题课型新授课主备人课时 1 授课时间教学目标教学活动修改补充
教师模块学生模块
教学重点、难点课后反思教学手段
庆阳四中课时教案
科目：数学授课教师：
年级高二课题课型新授课主备人课时 1 授课时间教学目标教学活动修改补充
教师模块学生模块
教学重点、难点课后反思教学手段
庆阳四中课时教案
科目：数学授课教师：
年级高二课题课型新授课主备人课时 1 授课时间教学目标教学活动修改补充
教师模块学生模块
教学重点、难点课后反思教学手段
导数的几何意义教学设计说明
运用学案导学的课堂教学案例分析 ——《导数的几何意义和应用》 一、导学案设计： 《导数的几何意义和应用》学案 年 级 高二 科 目 数学 课 型 新课 主备人 霍菁琰 【学习目标】1、掌握导数的几何意义；了解曲线在某点处切线的定义； 2、会利用导数求过曲线上一点的切线方程。 【复习巩固】 (1)已知点()11,A x y ，()22,B x y ，则斜率AB k = ; (2)经过点() 00,A x y ，斜率为k 的直线方程为 ； (3)导数)(0/x f 的本质是什么？请写数学表达式。 导数)(0/x f 的本质是函数)(x f 在 处的 即： (4)曲线21y x =+在0x x =处的导数 。 【合作探究】 （1）探究过程：函数)(x f 平均变化率x x f x x f ?-?+)()(00的几何意义是什么，请在 (2) 探究结果： 导数)(0/x f 的几何意义是 【自学辅导】 （1）自学教材P77面，理解任意曲线的切线定义。
（2）比较任意曲线的切线和圆的切线的定义的异同； 【典例解析】 例1、求抛物线12+=x y 在点（1,2）处的切线的斜率并写出切线方程。 【拓展引申】 引申1：求抛物线12+=x y 在点()00,()x f x 处的切线的方程。 引申2：已知曲线12+=x y 在点P 处切线的斜率为6，求点P 坐标是多少？ 引申3：在曲线2x y =+1上过哪一点的切线，垂直于直线650x y ++=？ 【课堂检测】 1、设'()f x =0，则曲线()y f x =在点()() 00,x f x 处的切线 （ ） (A)不存在 （B ）与x 轴平行或重合 （C ）与x 轴垂直 （D ）与x 轴斜交
1.2导数的计算第3课时 精品教案
1.2导数的计算 【课题】：1.2.3导数的运算法则 【教学目标】： （1）知识与技能：掌握一个函数的和、差、积、商的求导法则并能求某些简单函数的导数；通过实例，理解复合函数的求导法则。 （2）过程与方法：利用学生已掌握的导数的定义，得出一个简单的两个函数的和的导数，从而提出问题，引入新课，通过学生的猜想，尝试探究出函数的和、差、积、商的求导法则，使学生加深对求导法则的理解. （3）情感、态度与价值观：通过学生的主动参与，师生、生生的合作交流，，提高学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，培养探索精神. 【教学重点】：掌握函数的和、差、积、商的求导法则以及复合函数的求导法则. 【教学难点】：学生对积和商的求导法则的理解和运用以及复合函数的求导法则. 【课前准备】：课件 这种商品的价格上涨的速度大约是多少？根据上一节课的内容，我们知道，求在第)()]g x f ='')()]f x g =
u. x ．求下列函数的导数： ；（2）y
练习与测试： A ．基础题 1．函数2 (1)y x x =+的导数是（ ） (A)2 1x + (B)2 3x (C)2 31x + (D)2 3x x + 答案：C 2．函数1()2 x x y e e -=+的导数是（ ） (A)1()2x x e e -- (B)1()2 x x e e -+ (C)x x e e -- (D)x x e e -+ 答案：A 3．若2 ' ()(2),(2)20,f x x a f a =+==且则 . 答案：1 4．某汽车启动阶段的路程函数为3 2 ()2(1)10s t t t =+-，则汽车在1t =秒时的瞬时速度为 . 答案：4 5．求下列函数的导数： （1）3 cos y x x =- (2)( )()2325y x x =+- (3)sin x y x = (4)()8 57y x =- 答案：(1)' 2 3sin y x x =+ (2) ' 2 9302y x x =-+ (3) ' 2 cos sin x x x y x -= (4) '7 40(57)y x =- B ．难题 1．已知曲线4 3 2 :3294C y x x x =--+ （1）求曲线C 在点()1,4-的切线方程； （2）对于（1）中的切线与曲线C 是否还有其他公共点？若有，求出公共点；若没有，说明理由.
3.1.3导数的几何意义教案
3.1.3导数的几何意义 教学三维目标： 1.知识与技能：了解平均变化率与割线斜率之间的关系； 2.过程与方法：理解曲线的切线的概念； 3.情态与价值：通过函数的图像直观地理解导数的几何意义并会用导数的几何意义解题； 教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 教学难点：导数的几何意义． 教学方法：讨论法 教学工具：多媒体 教学课时：1课时 教学过程： 创设情景 （一）平均变化率、割线的斜率 （二）瞬时速度、导数 我们知道，导数表示函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率，反映了函数y =f (x )在x =x 0附近的变化情况，导数0()f x '的几何意义是什么呢？ 新课讲授 （一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当(,())(1 ,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？ 我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线. 问题：⑴割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ ⑵切线PT 的斜率k 为多少？ 图3.1-2
容易知道，割线n PP 的斜率是00 ()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ，即0000 ()()lim ()x f x x f x k f x x ?→+?-'==? 说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数. （2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. （二）导数的几何意义： 函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率， 即 0000()()()lim x f x x f x f x k x ?→+?-'==? 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P 点的坐标; ②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()lim x f x x f x f x k x ?→+?-'==? ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率； ③利用点斜式求切线方程. （二）导函数： 由函数f (x )在x =x 0处求导数的过程可以看到,当时,0()f x ' 是一个确定的数，那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f (x )的导函数.记作：()f x '或y '， 即: 0()()()lim x f x x f x f x y x ?→+?-''==? 注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数． （三）函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数 之间的区别与联系。 1）函数在一点处的导数0()f x '，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。 2）函数的导数，是指某一区间内任意点x 而言的， 就是函数f(x)的导函数 3）函数()f x 在点0x 处的导数'0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值，这也是 求函数在点0x 处的导数的方法之一。 典例分析
高中导数及其应用教案
教育教师备课手册 教师 姓名 学生姓名填写时间2012.2.1 学科数学年级高三上课时间 10:00-12:00 课时 计划 2小时 教学目标 教学内容中考复习三角形 个性化学习问题解决基础知识回顾，典型例题分析 教学重点、难点 教学过程 导数及其运用 知识网络 第1讲导数的概念及运算 ★知识梳理★ 1.用定义求函数的导数的步骤. （1）求函数的改变量Δy；（2）求平均变化率 x y ? ? .（3）取极限，得导数f'（x0）= lim → ?x x y ? ? . 2.导数的几何意义和物理意义 几何意义：曲线f（x）在某一点（x0，y0）处的导数是过点（x0，y0）的切线的 物理意义：若物体运动方程是s=s（t），在点P（i0，s（t0））处导数的意义是t=t0处 的 解析：斜率.；瞬时速度. 导数的概念 基本初等函数的导数公式 导数 函数的单调性研究 函数的极值与最值研究 导数的定义 导数的物理及几何意义 导数的运算 导数的四则运算法则及复合函数的导数 导数的应用 最优化问题 计算定积分 定积分与微积分 的基本定理 定积分的应用
3. 几种常见函数的导数 'c =0（c 为常数）；()n x '=1 n nx -（R n ∈）； '(sin )x = ；'(cos )x = ； (ln )x '= 1x ； (log )a x '=1 log a e x ； '()x e =x e ；'()x a =ln x a a . 解析：cos ;sin ;x x - 4.运算法则 ①求导数的四则运算法则： ' ()u v ±=' ' u v ±；' ()uv = ；' u v ?? = ??? (0)v ≠. 解析：' ' u v uv +； '' 2 u v uv v - ②复合函数的求导法则：'(())x f x ?=''()()f u x ?或x u x u y y '''?= ★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点：理解导数的概念与运算法则，熟练掌握常见函数的计算和曲线的切线方程的求法 2.难点：切线方程的求法及复合函数求导 3.重难点：借助于计算公式先算平均增长率,再利用函数的性质解决有关的问题. （1）平均变化率的实际含义是改变量与自变量的改变量的比。 问题1.比较函数()2x f x =与()3x g x =,当[1,2]x ∈时,平均增长率的大小. 点拨:解题规律技巧妙法总结: 计算函数的平均增长率的基本步骤是 (1)计算自变量的改变量21x x x ?=- (2)计算对应函数值的改变量22()()y f x f x ?=- (3)计算平均增长率: 2121 ()()f x f x y x x x -?=?- 对于()2x f x =,2111223,21y x ?-==?-又对于()3x g x =,212 233821 y x ?-==?- 故当[1,2]x ∈时, ()g x 的平均增长率大于()f x 的平均增长率. （2）求复合函数的导数要坚持“将求导进行到底”的原则, 问题2. 已知2 )2cos 1(x y +=,则='y . 点拨：复合函数求导数计算不熟练,其x 2与x 系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致
北师大版计算导数教案
计算导数（2） 一、教学目标：掌握初等函数的求导公式，并能熟练运用。 二、教学重难点：用定义推导常见函数的导数公式． 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、课时安排：1课时 四、教学过程 （一）、复习 1、导数的定义； 2、导数的几何意义； 3、导函数的定义； 4、求函数的导数的流程图。 （1）求函数的改变量)()(x f x x f y -?+=? （2）求平均变化率 x x f x x f x y ?-?+=??) ()( （3）取极限，得导数/ y ＝()f x '=x y x ??→?0lim 本节课我们将学习常见函数的导数。首先我们来求下面几个函数的导数。 （1）、y=x （2）、y=x 2 （3）、y=x 3 问题：1-=x y ，2-=x y ，3-=x y 呢？ 问题：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？ （二）、新课探析 1、基本初等函数的求导公式： ⑴ ()kx b k '+= (k,b 为常数) ⑵ 0)(='C (C 为常数) ⑶ ()1x '= ⑷ 2 ()2x x '= ⑸ 32 ()3x x '= ⑹ 2 11()x x '=- ⑺ '= 由⑶~⑹你能发现什么规律? ⑻ 1 ()x x α αα-'= （α为常数） ⑼ ()ln (01)x x a a a a a '=>≠， ⑽ a a 11(log x)log e (01)x xlna a a '= =>≠，且
⑾ x x e )(e =' ⑿ x 1 )(lnx = ' ⒀ cosx )(sinx =' ⒁ sinx )(cosx －=' 从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。 2、例题探析 例1、求下列函数导数。 （1）5-=x y （2）x y 4= （3）x x x y = （4）x y 3log = （5）y=sin( 2π+x) (6) y=sin 3 π （7）y=cos(2π－x) （8）y=(1)f ' 例2、已知点P 在函数y=cosx 上，（0≤x ≤2π），在P 处的切线斜率大于0，求点P 的横坐标的取值范围。 例3、若直线y x b =-+为函数1 y x = 图象的切线,求b 的值和切点坐标. 变式1、求曲线y=x 2 在点(1,1)处的切线方程. 总结切线问题：找切点 求导数 得斜率 变式2、求曲线y=x 2 过点(0,-1)的切线方程 变式3、求曲线y=x 3过点(1,1)的切线方程 变式4、已知直线1y x =-,点P 为y=x 2 上任意一点,求P 在什么位置时到直线距离最短. （三）、课堂小结：（1）基本初等函数公式的求导公式（2）公式的应用 导数公式表 （四）、课堂练习：假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与
3.1.3 导数的几何意义(优秀经典公开课比赛教案及联系解答)
3.1.3导数的几何意义 教学目标：通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，知道导数的概念并会运用概念求导数. 教学重难点：函数切线的概念，切线的斜率，导数的几何意义 教学过程： 情景导入：如图,曲线C 是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C 上的任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P 邻近一点,PQ 为C 的割线,PM//x 轴,QM//y 轴,β为PQ 的倾斜角. .tan , ,:β=???=?=x y y MQ x MP 则 展示目标：见学案 检查预习：见学案 合作探究：探究任务：导数的几何意义 问题1：当点(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =，沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线的变化 趋是什么？ y x ??请问：是割线PQ 的什么?
新知：当割线P n P 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C 在点P 处的切线 割线的斜率是：n k = 当点n P 无限趋近于点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数()f x 在0x x =处的导数 就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()x f x x f x k f x x ?→+?-'==? 新知： 函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率. 即k =000()()()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 精讲精练： 例1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象.根据图象,请描述、比较曲线()h t 在012,,t t t 附近的变化情况. 解:可用曲线 h(t) 在 t0 , t1 , t2 处的切线刻画曲线 h(t) 在上述三个时刻附近的变化情况. (1) 当 t = t0 时, 曲线 h(t) 在 t0 处的切线 l0 平行于 x 轴.故在 t = t0 附近曲线比较平坦, 几乎没有升降.(2)当 t = t1 时, 曲线 h(t) 在 t1 处的切线 l1 的斜率 h’(t1) <0 .故在t = t1 附近曲线下降,即函数 h(t) 在 t = t1 附近单调递减.(3)当 t = t2 时, 曲线 h(t) 在 t2处的切线 l2 的斜率 h’(t2) <0 .故在 t = t2 附近曲线下降,即函数 h(t) 在t = t2 附近也单调递减.从图可以看出，直线 l1 的倾斜程度小于直线 l2 的倾斜程度，这说明 h(t) 曲线在 l1 附近比在 l2 附近下降得缓慢。 例2 如图,它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:min)变化的函数图象.根据图象,估计t =0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)
导数的应用(习题课)优秀教学设计
§1.3 导数的应用（习题课）教学设计 【教材分析】 本节课是人教A版选修2-2第一章第三节内容，前面已经学习了利用导数求解函数的单调性、极值、最值、零点等问题，本节课是在前节内容的基础上，进一步学习如何利用导数研究不等式恒成立问题。这个问题属于高考压轴题的范畴，本节主要从“套路”和“模型”的角度出发，体现导数的工具性特征。 【学情分析】 学生已经学习了导数的基础知识，知道了一些解题的基本思路，但如何利用导数来解决一些较难的问题，完成对压轴题的“破冰”，学生还是无能为力，这是本节课的困难，需要进行不断的引导与强化。 【教学目标】 1、知识与技能： （1）能利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点等问题及不等式恒成立问题； （2）能够利用导数作图，反之可以利用图像来研究函数的性质； 2、过程与方法： 导数作为一种工具，是高中数学诸多知识的一个交汇点。通过教师思路上的引导，小组合作探究，能让学生从诸多条件中抽丝剥茧，发现解决方法，从而提高学生发现问题、解决问题的能力，深化对问题的认识，在过程中获得思维能力的提高。 3、情感与价值观： 培养学生主动学习，合作交流的意识，互相启发，相互促进，充分发挥各自的主观能动性，激发学生的学习兴趣，完善学习成果。 【教学重点】 利用“套路”和“模型”来研究导数研究不等式恒成立问题。 【教学难点】 （1）基本模型的熟悉与应用；（2）问题如何转化成“模型”来处理。 【课时设计】 两个课时，其中一个0.5个课时完成课堂练习，1.5个课时完成后面内容。 【教学策略】 采用练、评、讲的教学方法，利用几何画板、多媒体投影仪辅助教学。
【教学过程】 一、课堂练习（提前印发给学生） 问题 设计意图师生活动1、解决导数在函数中的应用问题的一般步骤：构造函数 求 求导 求 →→→ 求极值、最值 求问题的解 →→回顾定义，明确方法。 学生自主完成。 2、曲线在处的切线方程为 .x x y ln 2=e x =3、函数的单调递减区间为 . 1ln -=x x y 4、函数的极小值点为( ) x x e y x 2-=A. 1 B. C. D.2-e )2,1(-e ) ,1(e 5、函数的零点个数为( )x xe y =A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6、若不等式恒成立,则实数的取值范围为0ln >-x ax a ( ) A. B. C. D.??????+∞,1e [)+∞,e ??? ??+∞,1e ??? ? ? ∞-e 1,左边5个题均是导数应用中的基础题型， 练习的目的如下：1、巩固求解切线、单调区间、极值点、 零点的一般步骤；2、熟练掌握简单复合函数的求导，并能根据导函数画出原函数图像，深化对导数的理解。 学生自主完成，并 总结求解步骤，注意事项。 二、列表比较常考函数的图像与性质：（课堂完成） 教师：通过以上5个题目我们发现，含对数指数的复合函数出现的频率很高，事实上在高考中考查的也很频繁，下面我们对这几类函数进行单独研究，后期就会有意想不到收获。 学生：独立完成下表，小组内部讨论结论是否正确。 设计意图：针对高考的热点问题进行练习，先追根溯源，找到构成问题的“基本元素”，再由简到繁，引导学生体会解题思路，有意识去提炼总结，提高学生解题能力的同时增强自信心。原函数 x xe y =x e y x = x e x y = x x y ln =x x y ln = x x y ln = 定义域
2020版高中数学高二选修1-1教案及练习归纳整理70知识讲解导数的综合应用题基础
《导数及其应用》全章复习与巩固 编稿:李 霞 审稿: 张林娟 【学习目标】 1. 会利用导数解决曲线的切线的问题. 2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题. 3. 会利用导数解决函数的极值、最值等有关问题. 4. 能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题:例如利润最大、用料最省、效率最高等问题 【要点梳理】 要点一:有关切线问题 直线与曲线相切,我们要抓住三点: ①切点在切线上； ②切点在曲线上； ③切线斜率等于曲线在切点处的导数值. 要点诠释: 通过以上三点可以看出,抓住切点是解决此类题的关键,有切点直接求,无切点则设切点,布列方程组. 要点二:有关函数单调性的问题 设函数()y f x =在区间(a,b)内可导, (1)如果恒有'()0f x >,则函数()f x 在(a,b)内为增函数； (2)如果恒有'()0f x <,则函数()f x 在(a,b)内为减函数； (3)如果恒有'()0f x =,则函数()f x 在(a,b)内为常数函数. 要点诠释: (1)若函数()f x 在区间(a,b)内单调递增,则'()0f x ≥,若函数()f x 在(a,b)内单调递减,则 '()0f x ≤. (2)'()0f x ≥或'()0f x ≤恒成立,求参数值的范围的方法: ① 分离参数法:()m g x ≥或()m g x ≤. ② 若不能隔离参数,就是求含参函数(,)f x m 的最小值min (,)f x m ,使min (,)0f x m ≥.
(或是求含参函数(,)f x m 的最大值max (,)f x m ,使max (,)0f x m ≤) 要点三:函数极值、最值的问题 函数极值的问题 (1)确定函数的定义域； (2)求导数)(x f '； (3)求方程0)(='x f 的根； (4)检查'()f x 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正,则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点诠释: ①先求出定义域 ②一般都要列表:然后看在每个根附近导数符号的变化:若由正变负,则该点为极大值点； 若由负变正,则该点为极小值点. 注意:无定义的点不用在表中列出 ③根据表格给出结论:注意一定指出在哪取得极值. 函数最值的问题 若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义,在开区间(,)a b 内有导数,则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下: (1)求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； (2)求方程0)(='x f 在),(b a 内的根； (3)求在),(b a 内所有使0)(='x f 的的点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ,)(b f ； (4)比较上面所求的值,其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值,最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值. 要点诠释: ①求函数的最值时,不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值,只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可. ②若)(x f 在开区间),(b a 内可导,且有唯一的极大(小)值,则这一极大(小)值即为最大(小)值.
人教版 高中数学 选修2-2《1.1.3导数的几何意义》教案
人教版高中数学精品资料 §1.1.3导数的几何意义 教学目标： 1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系； 2．理解曲线的切线的概念； 3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题； 教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 教学难点：导数的几何意义． 教学过程： 一．创设情景 （一）平均变化率、割线的斜率 （二）瞬时速度、导数 我们知道，导数表示函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率，反映了函数y =f (x )在x =x 0附近的变化情况，导数0()f x '的几何意义是什么呢？ 二．新课讲授 （一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当(,() )(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线() f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？ 图3.1-2
我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线. 问题：⑴割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ ⑵切线PT 的斜率k 为多少？ 容易知道，割线n PP 的斜率是00 ()() n n n f x f x k x x -= -,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无 限趋近于切线PT 的斜率k ，即0000 ()() lim ()x f x x f x k f x x ?→+?-'==? 说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数. （2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. （二）导数的几何意义： 函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率， 即 0000 ()() ()lim x f x x f x f x k x ?→+?-'==? 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P 点的坐标; ②求出函数在点0x 处的变化率0000 ()() ()lim x f x x f x f x k x ?→+?-'==? ，得到曲线在点 00(,())x f x 的切线的斜率； ③利用点斜式求切线方程. （二）导函数： 由函数f (x )在x =x 0处求导数的过程可以看到,当时,0()f x ' 是一个确定的数，那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f (x )的导函数.记作：()f x '或y '， 即: 0 ()() ()lim x f x x f x f x y x ?→+?-''==? 注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数． （三）函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数 之间的区别与联系。 1）函数在一点处的导数0()f x '，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。
导数及其应用 复习课 教案
导数及其应用复习课教案 【教材分析】 导数及其应用内容分为三部分：一是导数的概念；二是导数的运算；三是导数的应用. 先让学生通过大量实例，经历有平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数的概念及其几何意义，然后通过定义求几个简单函数的导数，从而得出导数公式及四则运算法则，最后利用导数的知识解决实际问题. 该部分共分三节，第三节则是“导数的应用”，内容包括利用导数求切线方程；判断函数的单调性；利用导数研究函数的最值、极值；导数的实际应用. 在“利用导数求切线方程”中介绍了利用导函数的几何意义求切线的斜率，进而求解切线方程；在“利用导数判断函数的单调性”中介绍了利用求导的方法来判断函数的单调性；在“利用导数研究函数的极值”中介绍了利用函数的导数求极值和最值的方法；在“导数的实际应用”中主要介绍了利用导数知识解决实际生活中的最优化问题. 【考纲解读】 导数的概念及其运算是导数应用的基础，这是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查： 1.导数的几何意义，导数的四则运算及利用导数研究函数的单调性，求函数的极值、最值等. 2.与直线、圆锥曲线、分式、含参数的一元二次不等式等结合在一起考查，题型多样，属中高档题目． 【教学目标】 1.能熟练应用导数的几何意义求解切线方程 2.掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题 【教学重点】 理解并掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题 【教学难点】 原函数和导函数的图像“互译”，解决一些恒成立问题 【学法】 本节课是在学习了导数的概念、运算、导数的应用的基础上来进行小结复习，学生已经了解了一些解题的基本思想和方法，应用导数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生，所以对本节的学习应让学生能够多参与、多思考，培养他们的分析解决问题和解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。 在课堂教学中，应该把以教师为中心转向以学生为中心，把学生自身的发展置于教育的中心位置，为学生创设宽容的课堂气氛，帮助学生确定适当的学习目标和达到目标的最佳途径,指导学生形成良好的学习习惯、掌握学习策略和发展原认知能力,激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性,倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。【教法】 数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，本节课的内容是导数的应用的复习课，所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题、解决问题，尝试归纳总结，然后由老
导数的概念及其几何意义教案
§2 导数的概念及其几何意义 第四课时 导数的几何意义习题课 一、教学目标：会利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程。 二、教学重点：曲线上一点处的切线斜率的求法 教学难点：理解导数的几何意义 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习：导数的几何意义：函数)(x f y =在x 0处的导数就是曲线)(x f y =在点（x 0，)(0x f ）处的切线的斜率。 （二）、探究新课 例1、在曲线34x y =上求一点P 使得曲线在该点处的切线满足下列条件： （1）平行于直线y ＝x ＋1； （2）垂直于直线2x －16y ＋1＝0； （3）倾斜角为135°。 解：设点坐标为（0x ，0y ），则 202002020202020) (48)()(484)(4x x x x x x x x x x x x x x x x x y ?+?--=??+?-?-=?-?+=?? ∴当Δx 趋于0时，30 400088)(x x x x f -=-='。 （1）∵切线与直线y ＝x ＋1平行。 ∴1)(0='x f ，即1830 =-x ， ∴20-=x ，10=y 。 即P （―2，1）。 （2）∵切线与直线2x －16y ＋1＝0垂直， ∴1)16 2(·)(0-=--'x f ，即181·830-=-x ，
∴10=x ，40=y 。 即P （―1，4）。 （3）∵切线倾斜角为135°， ∴1135tan )(00-=='x f ，即1830 -=- x ， ∴20=x ，10=y 。 即P （2，1）。 例2、求曲线1)(3+==x x f y 过（1，1）点的切线的斜率。 解：设过（1，1）点的切线与13+=x y 相切与点)1,(300+x x P ，则 2020320203030)(33)()(33)1(1)(x x x x x x x x x x x x x x x y ?+?+=??+?+?=?+-+?+=?? 当Δx 趋于0时， 2003)(x x f ='， 由导数的几何意义可知，曲线在点P 处的切线的斜率为203x k = ① 又过（1，1）点的切线的斜率1 11030--+=x x k ② ∴由①②得：130302 -=x x x 解得：00=x 或230=x ，∴0=k 或427=k ， ∴曲线13+=x y 过（1，1）点的切线的斜率为0或427。 例3、如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 2() 4.9 6.510h x x x =-++，根据图像，请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况． 解：我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线，刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况． （1） 当0t t =时，曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于x 轴，所以，在0t t =附近曲线 比较平坦，几乎没有升降． （2） 当1t t =时，曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<，所以，在1t t =附近
高中数学导数及其应用电子教案
高中数学导数及其应用一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。
三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义 （Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可 正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果 时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点 处的导数（或变化率），记作，即 。 （Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（） 内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（） 内的导函数（简称导数），记作或，即 。 认知： （Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数 是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量；
②求平均变化率； ③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 （2）导数的几何意义： 函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。 （3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续； 若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。 事实上，若函数在点处可导，则有此时， 记 ,则有即在点处连续。 （Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。 反例：在点处连续，但在点处无导数。
导数的计算(教)新课教案
导数的计算 一、考点热点回顾 教学目标： 1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2 y x =、1 y x =的导数公式； 2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数． 教学重点：四种常见函数y c =、y x =、2 y x =、1 y x = 的导数公式； 教学难点：四种常见函数y c =、y x =、2 y x =、1y x =的导数公式． 几个常见函数的导数 探究1．函数()y f x c ==的导数 根据导数定义，因为 ()()0y f x x f x c c x x x ?+?--===??? 所以00 lim lim 00x x y y ?→?→?'=== 0y '=表示函数y c =图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间 的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 探究2．函数()y f x x ==的导数 因为 ()()1y f x x f x x x x x ?+?-+?-===?所以00lim lim11x x y y x ?→?→?'=== 1y '=表示函数y x =图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间 的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．
探究3．函数2 ()y f x x ==的导数 因为22()()()y f x x f x x x x x x x ?+?-+?-==???222 2()2x x x x x x x x +?+?-==+?? 所以00 lim lim(2)2x x y y x x x x ?→?→?'==+?=? 2y x '=表示函数2y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化， 切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2 y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2 y x =增加得越来越快．若 2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度 为2x ． 探究4．函数1 ()y f x x == 的导数 因为11 ()()y f x x f x x x x x x x - ?+?-+?== ???2() 1()x x x x x x x x x x -+?==-+??+?? 所以220011 lim lim()x x y y x ?→?→? '==-=-? 探究5．函数()y f x == 的导数 因为 ()()y f x x f x x x x ?+?-== ?? ? = = 所以0lim lim x x y y x ?→?→?'===?
导数的几何意义的教学设计
导数的几何意义 【教学目标】 1.理解切线的定义 2.理解导数的几何意义 3.学会应用导数的几何意义。 【教学重点与难点】 重点：理解导数的几何意义及应用于解决实际问题，体会数形结合的思想方法。 难点：发现、理解及应用导数的几何意义。 【教学过程】
第二步：求瞬时变化率()0000 () ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?. （即0x ?→，平均变化率趋近．．于的确定常数．．．．就是该点导数．． ） (2) 类比平均变化率得出导数，同样我们可以利用平均变化率的几何意义，得出导数的几何意义，我们观察函数()y f x =的图象，平均变化 率()00() f x x f x y x x +?-?=?? 的几何意义是什么 生：平均变化率表示的是割线n PP 的斜率 教师板书，便于学生 数形结合探究导数的几何意义。 突破平均变化率的 几何意义，后面在表示割线斜率时能直接联系此知识。同时引出本节课的研究问题——导数几何意义是什么 二、引导探究、获得新知 1.得到切线的新定义 要研究导数的几何意义，结合导数的概念，即要探究0x ?→，割线的变化趋势．．．．．．． ， ◆多媒体显示： 曲线上点P 处的切线PT 和割线n PP ，演示点n P 从右边沿着曲线逼近点P ,即0x ?→，割线n PP 的变化趋势。 教师引导学生观察割线与切线是否有某种内在联系呢 生：先观察后发现，当0x ?→，随着点n P 沿着曲线逼近点P ，割 以求导数的两个步骤为．．．．．．．．． 依据．． ，从平均变化率的几何意义入手探索导数的几何意义，抓住0x ?→的联系，在图形上从割线入手来研究问题。 用逼近的方法体会割线逼近切线。
高中数学第一章导数及其应用1.1.1平均变化率教案
§1.1.1平均变化率 教学目标： 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． (一)、探究新知，揭示概念 教学过程设计 一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． (二)、探究新知，揭示概念 实例一：气温的变化问题 现有南京市某年3月18日-4月20日每天气温最高温度统计图： （注：3月18日 为第一天） 1、你从图中获得了哪些信息？ 2 、在“4月18日到20日”，该地市民普遍感觉“气温骤增”，而在“3月18日到4月18日”却没有这
样的感觉，这是什么原因呢? 3、 怎样从数学的角度描述“气温变化的快慢程度”呢？ 师生讨论，教师板书总结： 分析：这一问题中，存在两个变量“时间”和“气温”， 当时间从1到32，气温从3.5o C 增加到18.6o C ，气温平均变化 当时间从32到34，气温从18.6o C 增加到33.4o C ，气温平均变化 因为7.4>0.5, 所以，从32日到34日，气温变化的更快一些。 【教师过渡】:“ 18.6 3.5 0.5321 -≈- 表示时间从“3月18日到4月18日”时，气温的平均变化率。 提出问题：先说一说“平均”的含义，再说一说你对 “气温平均变化率”的理解。 实例二：气球的平均膨胀率问题。 【提出问题】：回忆吹气球的过程，随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的快慢相同吗? 学生思考回答。 假设每次吹入气球内的空气容量是相等的，如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？ 思考： 1、 这一问题与“气温的变化问题”有哪些相同的地方？你打算怎样做呢？ 2、如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？先独立思考，再在小组内交流你的想法。 学生讨论，小组交流，教师巡视。 学生充分讨论后，指名不同学生上台演示交流。 【教师过渡】:“在小组交流中，同学们采用了不同的方法解决这一问题，一部分从图形的角度入手，另一部分通过计算进行具体的量化，下面我们借助Excel 的自动计算功能与插入图表功能来研究这一问题。” （1）、观察表格，你发现了什么？（教师操作，Excel 演示） 18.6 3.50.5 321 -≈-33.418.6 7.4 3432-≈-
2014年人教A版选修1-1教案 3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 教学目标： 1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则； 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。 教学重难点： ：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 教学过程： 检查预习情况：见学案 目标展示： 见学案 合作探究： 复习1：常见函数的导数公式： （1）基本初等函数的导数公式表 （2）根据基本初等函数的导数公式，求下列函数的导数． （1）2y x =与2x y = （2）3x y =与3log y x =
2.（1 推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号. （2）根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）323y x x =-+ （2）sin y x x =?； （3）2(251)x y x x e =-+?； （4）4x x y = . 【点评】 ① 求导数是在定义域内实行的． ② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． 典型例题 例1 假设某国家在20年期间的年均通贷膨胀率为5%，物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价.假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?
解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t = 所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年） 因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨． 例 2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随着水纯净度的提高，所需净化费用不 断增加. 已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x =<<-. 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）90%； （2）98%. 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数． '' ' '252845284(100)5284(100)()()100(100)x x c x x x ?--?-==-- 20(100)5284(1)(100) x x ?--?-=-25284(100)x =- （1） 因为' 25284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨． （2） 因为'2 5284(98)1321(10090)c ==-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨． 函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''(98)25(90)c c =．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快． 反思总结 1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数. 2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误.
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