当前位置：文档库 › 多维随机变量及其分布

多维随机变量及其分布

随机向量的定义：

随机试验的样本空间为S={ω}，若随机变量X1(ω),X2(ω),…,X n(ω)定义在S 上，则称（X1(ω),X2(ω),…,X n(ω)）为n维随机变量（向量）。简记为（X1,X2,…,X n）。

二维随机向量（X,Y），它可看作平面上的随机点。

对（X,Y）研究的问题：

1．（X,Y）视为平面上的随机点。研究其概率分布——联合分布率、联合分布函数、联合概率密度；Joint

2．分别研究各个分量X,Y的概率分布——边缘（际）分布律、边缘分布函数、边缘概率密度；

marginal

3．X与Y的相互关系；

4．（X,Y）函数的分布。

§ 3.1 二维随机变量的分布

一．离散型随机变量

1．联合分布律

定义 3.1 若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。

设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(x i,y j), i，j=1,2…,取这些值的概率为

p ij=P{(X,Y)=(x i,y i)}=p{X=x i,Y=y i}i,j=1,2,…

——(3.1)

称 (3.1)式为(X,Y)的联合分布律。

性质：

(1) p ij ≥ 0，i, j=1,2, (2)

∑j

i ij p ,=1

2．边缘分布律

设二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律为 p ij = P{X=x i ,Y=y i } i, j=1,2,… 分量X 和Y 的分布律分别为

p i.=P{X=x i } i=1,2,… 满足①p i.≥0②∑ p i.=1

p .j = p{Y=y i }j=1,2,… ①p .j ≥0②∑ p .j =1

我们称p i.和p .j 分别为(X,Y)关于X 和Y 的边缘分布律，简称为(X,Y)的边缘分布律。

二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律与边缘分布率有如下关系： p i.=P{X=x i }=P{X=x i , S}=P{X=x i ,j

∑

(Y=y j )} =

∑

P{X=x i ,Y=y j }=

∑

p ij

(3.4)

同理可得 p .j =

∑

p ij (3.5)

例1:一整数X 随机地在1，2，3三个整数中任取一值，另一个整数Y 随机地在1到X 中取一值。试求（X,Y ）的联合分布率及边缘分布率。解：

{}{}{}

,3,2,13

1/,i j i i i X P i X j Y P j Y i X P ≤=?

=======

1 2 3 X的边缘分布率

1 1/3 0 0 1/3 p1?

2 1/6 1/6 0 1/

3 p2?

3 1/9 1/9 1/9 1/3 p3?

Y的边缘分布率11/18 5/18 1/9 1

P?1 p?2 p?3

二．联合分布函数与边缘分布函数

1．定义3.2 设（X,Y)是二维随机变量，对任意的实数x,y令

F(x,y)=P{X≤x,Y≤y} (3.7)

则称 F(x,y)为（X,Y）的联合分布函数。

2．F(x,y)的性质：

性质1 对于x和y,F(x,y)都是单调不减函数，即若x1

若y1

性质2 对于任意的实数x,y,均有

0≤F(x,y)≤1,

Lim x -∞

→F(x,y)=0, Lim y -∞→F(x,y)=0, Lim y x +∞

→,F(x,y)=1。

性质3 对于x 和y,F(x,y)都是右连续的，即对任意的实数x 0和y 0，均有 Lim

x x +

→0

F(x,y)=F(x 0,y),

Lim y y +

→0F(x,y)=F(x,y 0

)。

性质4 若x 1

F(x 2,,y 2)-F(x 2,y 1) -F(x 1,y 2)+F(x 1,y 1)≥0 （X,Y ）落于下图阴影部分的矩形区域内的概率为： F(x 2,,y 2)-F(x 2,y 1)-F(x 1,y 2)+F(x 1,y 1) =P{x 1

例 2 P71, 照书上讲。

3．边缘分布

(X,Y)的分量X ，Y 的分布函数分别为F X (x)和F Y (y)，称它们为X ，Y 的边缘分布函数。它们与F(x,y)的关系如下：

F X (x)=P{X ≤x}=P{X ≤x,-∞

例2：(第一版)设

?≥≥+--=----其它

,01),(~),(2

22y x e e e y x F Y X y x y x ,

求：(1) (X,Y)的边缘分布函数；

(2)P(1≤x ≤2,-1≤y ≤3)。

(3)P(X>2,Y>3)=1- P(X

≤2,Y ≤3)

三．连续性随机变量 1．联合概率密度定义3.3 设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),若存在非负函数f(x,y),使得对于任意的实数x,y 均有

F(x,y)=-∞?x ?∞-y dvdu

v u f ),( （3.12)

则称(X,Y)为连续型随机变量，并称f(x,y)为(X,Y)的联合概率密度，简称为概率密度。

2．f(x,y)有如下性质：

性质1 f(x,y)≥0

性质2 ?∞

∞-?

∞

-dxdy y x f ),(=1

性质3 若f(x,y)的连续点(x,y)处，有

(

)

,(),(),("2

y x f dvdu

v u f x

y y x F xy

x y

==??

∞-∞

-???

性质4 若随机点(X,Y)落于平面上相当任意的区域D 内记为(X,Y)

∈D,则

P{(X,Y)∈D}=f x y dxdy D

(,)?? （3.16）

注：在f(x,y)非0域与D 公共部分积分有非0值。

P71例2

例3：（第一版书上例3.3）设(X,Y)的联合概率密度为

f(x,y)=

{

)(0

y x e

+-0

,0≥≥y x 其他

求(1)(X,Y) 的联合分布函数F(x,y); (2) P{X>1}

(3)P{(X,Y)∈

D}，其中D={(x,y):x+y ≤1};

(4)P{X 2

≥Y}

解：注意),(y x f 的非零域为H

（1）

∞-∞-=

dxdy y x f y x F ),(),(，当0,0>>y x

时，

??--=x

dy e dx e y x F 0

),(

)1)(1(y

x e e --=

其他

0),(=y x F ∴

?>>--=--其他00

,0)1)(1(),(y x e e y x F y

（2）P{X>1}=1- P{X ≤1}=1-Fx(1)=1- F(1,+∞)

-e

(3) P{(X,Y)

∈D}=??D

dxdy y x f ),(

=??--2G dxdy y x e =??

---1010x dy y e dx x e =?----10

))1(1(dx x e x e =?---10

)1(dx e x e =121-

-e

(4) P{X 2

≥Y}=??

≥y

x dxdy y x f 2),(

--3G y

x dxdy e =??∞

+--0

x y

dy e dx e

?∞

+--0

dx e

?∞

+--0

2dx e

212210

12121

[1??

? ?????

?????? ??---∞

+??

? ??-?

x e e

ππ]

注

212212121

? ????????+--??

? ??x e π是

)

2(,21(2

-N 的概率密度，即

212212121

? ????????+--

? ??x e π=

211

? ??+-x e

)

(

1)(1)(0

-Φ-=≤-=>x x x P x x P 可

知

)22(1222101)0(Φ-=?

????

????? ??--Φ-=>x P ∴ P{X 2

≥Y}=1-???

???? ??Φ-2214

πe .

3．边缘概率密度

设二维连续型随机变量(X,Y) 联合分布函数、联合概率密度分别为F(x,y),f(x,y),分量X,Y 的边缘分布函数分别为F X (x)、F Y (y)。利用边缘分布函数与联合分布函数的关系及(3.16)式，可得

F X (x)=F(x,+∞)=

[]??∞-+∞

∞

-x

du dy y u f ),( (3.17) F Y

(y)=F(+∞,y)= []

??∞-+∞

∞-y dv dx v x f ),( (3.18)

记：f X

(x)=f x y dy

(,)-∞

+∞

为X 的边缘概率密度函数；f Y (y)=

f x y dx (,)-∞

+∞

为Y 的边缘概率密度函数。

例2： P74

例3： P75 即下面的例5（第一版）,若二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

f(x,y)=

()

y x y x ????

????

-??? ?

?--

---σ

μσ

μσμσ

μρ

πρ

σσ22

121

221121

21212

21 其中

μμσσ

ρ，，，，均为常数，且

20011σ

σρ>>-<<,,,则

称(X,Y)服从参数为

μμσσ

ρ，，，，的二维正态分布,通常记为 (X,Y)

服从于N ()112

222

μσμσρ,,,,。

求：(X,Y)的边缘概率密度 f X (x) ,f Y (y)。

解：

+∞

∞

y x f x f x ),()(令

u y =-2

σμ：

σd dy 2

=且

),(y x f 中e 的指数部分改写为：

212

1122

1221122

22211212

12)(21)1(21)()1()()1(21)(2)

()1(21σμσμρρσμρσμρρσμσμσμρσμρ--???? ?

?----=??

????--+----=??

????-+-?-----x x u x x u y y x x

?∞

+∞

--------=

∴2121112)(21)()

1(21

121

)(σμσμρρρ

πσx x u x e

x f

∞

+∞

-----

-=)

1(2)(22)

1121

ρσμρ

σμρ

πσπx u x e

∞

+∞

-----

1(2)(2

121

ρσμρ

ρπx u e

是())1,(2

ρσ

ρ--x N 的积分函数，∴ 积分=1。 2

12)(1

21)(σμσπ--

∴x x e

x f 即知：X 服从于

),(2

11σμN ，同理：Y 服从于),(2

22σμN

结果表明：（1）二维正态分布

),,,(22

11ρσμσμN ，其边缘分布都是一维正

态分布),(2

11σμN 和 ),(2

22σμN 。而反之不然。

（2）二维R.V .边缘分布是由联合分布唯一确定。

（见第一版习题3.1）

例4：（第一版书上例3.4）设(X,Y)在圆域D={(x,y): x 2+y 2≤ r 2

}(r > 0)上服从均匀分布，其联合概率密度为

f(x,y)=

{

πr

其他2

x y r

≤

求(1)P{82

+Y 2

≤42

};

(2)(X,Y)的边缘概率密度函数f X (x) ,f Y (y)。

§3.3 条件分布

由条件概率引出条件概率分布的概念。

定义1 设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j ，若0}{>=j

y Y P ，

则称

ij p

j y Y P j y Y i x X P j y Y i x X P ?=======}{},{}/{

例1， P77，一射手进行射击，击中目标的概率为p(0

定义2 （不严格），设(X,Y)的概率密度为

),(y x f ，记

)/(/y x Y

X f

为在条件Y=y 下X 的条件概率密度，则

),(y x f

)

(),()/(/y Y

f y x f y x Y X f =

P79 求条件边缘分布和密度公式的推导过程。公式3.4和3.5.

例2 P79，

例3 P80，

§3.4 随机变量的独立性

1．概念：

定义3.5 设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),X,Y 的边缘分布函数分别为F X (x), F Y (y)。

若对任意的实数x,y ，均有 F(x,y)=F X (x)?F Y (y) (3.30) 即 P{X ≤x,Y ≤y}=P{X ≤x}?P{Y ≤y} 则称X,Y 相互独立。

例1．电子仪器由两个部件构成，以X 和Y 分别表示两个部件的寿命（单位千小

时）。已知X 和Y 的联合分布函数为：

?≥≥+--=+---其他0

0,01),()

(5.05.05.0y x e

y x F y x y

(1) 问X 与Y 是否独立？

解：独立。因为：

)

(5.05.05.05.05.01)1)(1(y x y

+-----+--=--

2．判断两个随机变量是否独立的定理

定理3.1 二维随机变量(X,Y)的两个分量X,Y 相互独立的充要条件是：对任意的实数x 1

P{x 1

定理3.1’ 二维随机变量(X,Y)的两个分量X,Y 相互独立的充要条件是：对任意的实数x,y,均有

P{X>x,Y>y}=P{X>x}P{Y>y}

定理 3.2 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律，边缘分布律分别为p ij , p i. ,p .j , i,j=1,2,…,则 X,Y 相互独立的充要条件是：对任意的i,j 均有 p ij =p i.p .j

即 P{X=x i ,Y=y j }=P{X=x i }?P{Y=y j }

定理3.3 设连续型随机变量X,Y 的概率密度分别为f X (x) ,f Y (y)，则X,Y 相互独

立的充要条件是： f X (x)f Y (y)=f(x,y)

其中：f(x,y)是（X,Y ）的联合概率密度。

例6：（续例3.5第一版）第二版P82，这里的结论很重要。

设 (X,Y)服从于N

()1

2μσμσ

ρ,,,,，证明 X,Y 相互独立的充要条件是：

ρ=0。

证明：由第一版例3.5知（X,Y ）的联合概率密度、X 和Y 的边缘概率密度分别为

y x f

σσ

(

),(

)

)(

(

)

1(2

πσ21

(

)(

πσ22

(

)

(

充分性若ρ=0，此时二元函数

f X(x)f Y(y)=f(x,y)

是(X,Y)的联合概率密度，所以X,Y相互独立；

必要性若X,Y相互独立，则

f(x,y)=f X(x)f Y(y)

取x=μ1、y=μ2代入上式，即得

σσρ

σσπππ212

212121121

于是ρ=0。

例1 P83，挺怪一例子，好象是为了算概率而不是为了说明这段的内容。

3．二维随机变量独立性概念的推广

定义3.6 设(X 1、X 2、…、X n )是n 维随机变量，其联合分布函数和一维边缘分布函数分别为F(x 1、x 2、…、,x n )、)(11

x F X

、)(22

x F

X 、…、

)

(x F n X n

,若

对任意的实数x 1、x 2、…、x n 均有

F(x 1、x 2、…、,x n )=

)(1

x F X ?)(2

x F X …)(x F n

X n

则称X 1、X 2、…、X n 相互独立。

定义3.7 设X 1、X 2、…、X n 、…是一列随机变量，若其中任意有限个随机变量是相互独立的，则称这一列随机变量是相互独立的。

§3.5 多维随机变量函数的分布

这一节是很重要的内容，一般概率统计的考试必有这些内容的考题。

特别是本节例1，3，4以及Max(X,Y)，Min(X,Y)的分布等内容，很有代表性。

一．离散型随机变量（X ，Y ）的函数的概率分布

例1：已知（X ，Y ）的分布律为：

求：Z 1=X+Y ，Z 2 =max （X ，Y ）的分布律。

二．连续型随机变量（X，Y）的函数的概率分布

1．已知（X，Y）~f(x,y)，求Z=g（X，Y）的概率密度。

（1）Z~F Z(z)=P(Z≤z)=P{g（X，Y）≤z}=

≤Z

dxdy

)

(

)

(

（2）Z~f Z(z)= F’Z(z)

2．已知（X，Y）~f(x,y)，求Z=X+Y的概率密度

定理3.4 若(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，则Z=X+Y的概率密度为

f Z(z)=?∞∞

-dx

(

或 f Z(z)=?∞∞

-dy

(

。

证明：P85---86.

讲P85.。。。

推论若X,Y相互独立，它们的概率密度分别为f X(x)和f Y(y)，则独立和Z=X+Y 的概率密度为

f Z(z)=?∞∞

-dx

)

(

)

(

(3.36)

或 f Z(z)=?∞∞

-dy

)

(

)

(

(3.37)

例1 P86 设X和Y是两个相互独立的随机变量，它们都服从N(0,1),即。。求Z=X+Y的概率密度。

一般，设X ，Y 相互独立且)

,(~2

11σμN X

，

，则Z=X+Y 仍然服从正态分布，且有

)

,(~2

221

21σσμμ++N Z 。此结论可以推广到n

个独立正态随机变量之和的情况。即若

),...,2,1(),,(~2n i N X i

i i =σμ，且它们相互独立，则它们的和n X X X Z +++=...21仍然服从正态分布，且有

)...,...(~2

222121n n N Z σσσμμμ++++++

更一般地，可以证明有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布。

例2 P87

例3 P88

例3结论的推广，n 个相互独立的Γ分布变量之和仍服从Γ

分布。

例(第一版)：设R ．V. X 与Y 相互独立，X ～f X

(x)=?

??≤≤其他0101x , Y ～f Y

(y)=?

??≤>-00

y y e y

, 求 Z=X+Y 的分布密度函数。

例：（书上例3.17）已知X,Y 相互独立，均服从N(0,1)，求Z=X+Y 的概率密度。例（第一版）：（书上例 3.18）设X,Y 相互独立，它们的概率密度分别为

f X (

x )={20

0≤≤x 其他，f Y

(y)=

{

20y

0≤≤y 其他,求Z=X+Y 的概率密度。

3．M=max （X ，Y ），N=min （X ，Y ）的概率分布

定理3.6 若X,Y 相互独立，它们的分布函数分别为F X (x)，F Y (y),则

)

,(~22

2σμN Y

(1)M=max(X,Y)的分布函数为：F M(z)=F X(z)?F Y(z)

(2)N=min(X,Y)的分布函数为：

F N(z)=1-(1- F X(z))?(1-F Y(z))

这里的结论很重要。

可以推广到更一般的情形。如。。。。

定理3.7 已知X1、X2、…、X n相互独立。

(1)若?1(X1)、?2(X2)、…、?n(Xn)分别是X1、X2、…、X n的函数，则?1、?2、…、?n相互独立。

(2)若?是X1、X2、…、X n中某k个随机变量X i1、X i2、…、X ik的函数，ψ是另外m 个随机变量X j1、X j2、…、X jl的函数，则?，ψ相互独立。

本章习题：

1, 5, 6(1), 8, 14, 15(1), 18.

多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布随机向量的定义：随机试验的样本空间为S={w}，若随机变量X1(w),X2(w),…,X n(w)定义在S上，则称（X1(w),X2(w),…,X n(w)）为n维随机变量（向量）。简记为（X1,X2,…,X n）。二维随机向量（X,Y），它可看作平面上的随机点。对（X,Y）研究的问题： 1．（X,Y）视为平面上的随机点。

研究其概率分布——联合分布率、联合分布函数、联合概率密度；Joint 2．分别研究各个分量X,Y的概率分布——边缘（际）分布律、边缘分布函数、边缘概率密度； marginal 3．X与Y的相互关系； 4．（X,Y）函数的分布。 §二维随机变量的分布

一．离散型随机变量 1．联合分布律定义若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(x i,y j), i，j=1,2…,取这些值的概率为 p ij=P{(X,Y)=(x i,y i)}=p{X=x i,Y=y i}i ,j=1,2,… ——

称式为(X,Y)的联合分布律。 (X,Y)的联合分布律可以用表格的形式表示如下：

性质： (1) p ij 3 0，i, j=1,2,… (2) j i ij p ,=1 2．边缘分布律设二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律为 p ij = P{X=x i ,Y=y i } i, j=1,2,… 分量X 和Y 的分布律分别为 p i.=P{X=x i } i=1,2,… 满足①p i.30②S p i.=1 = p{Y=y i }j=1,2, (30)

随机变量的函数的分布

8.随机变量的函数的分布【教学容】：高等教育大学盛骤，式千，承毅编的《概率论与数理统计》第二章第五节的随机变量的函数的分布【教材分析】：本节课主要是在学生学习了随机变量的概念和随机变量的分布的基础上进行的教学；本节从随机变量的分布入手引入随机变量的函数的随机性特征，即由自变量X 的统计规律性出发研究因变量Y 的统计性规律的问题；本节课的教学先讲授离散型随机变量的函数的分布接着讲连续型随机变量的函数的分布。让学生掌握两种不同的随机变量的分布的求解方法。其中，离散型随机变量的函数的分布是比较容易求得而连续型随机变量的函数的分布学生往往束手无策，因此，我在本次教学中，先复习分布函数和概率密度函数的关系，后通过简单例子来讲解，最后归纳总结，再研究连续型随机变量的函数的一种特殊情形的分布问题。最后导出一个重要的定理。【学情分析】： 1、知识经验分析学生具有一定的随机变量及其分布相关理论知识及微分学相关知识，通过前两次课的学习已具备一定的解题方法，本节课通过让学生观察、思考，教师启发、引导等教学方式，让学生自然过渡到随机变量的函数的分布的学习中。 2、学习能力分析学生虽然具备一定的微积分的知识和随机变量的理论基础，但概念理解不透彻，解决问题的能力不高，方法应用不熟练，知识没有融会贯通。【教学目标】：掌握随机变量的函数的概率分布的求法。【教学重点、难点】：重点：离散型随机变量的函数的分布；连续型随机变量的函数的分布。难点：连续型随机变量的函数的分布。【教学方法】：讲授法启发式教学法【教学课时】：1个课时【教学过程】：一、问题引入在实际中，人们常常对随机变量 X 的函数()Y g X =所表示的随机变量Y 更感兴趣。

第三讲多维随机变量及其分布

第三讲多维随机变量及其分布考试要求 1. 理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度.会求与二维随机变量相关事件的概率. 2. 理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握随机变量相互独立的条件. 3. 掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义 . 4. 会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布. 一、各种分布与随机变量的独立性 1. 各种分布（1）一般二维随机变量 F （x , y ）=P { X ≤ x , Y ≤ y }, x ∈ （?∞, +∞）, y ∈ （?∞, +∞）的性质 F （x , y ）为联合分布函数 ? 1） 0 ≤F （x , y ）≤1 , ?x ∈ （?∞, +∞）,, y ∈ （?∞, +∞）; 2） F （?∞, y ）= F （x , ?∞）=0, F （+∞,+∞）=1; 3） F （x , y ）关于x , y 均为单调不减函数； 4） F （x , y ）关于x , y 均分别右连续. （2）二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分布联合概率分布律 P {X = x i , Y = y j } = p i j , i , j =1, 2 ,??? , p i j ≥ 0, 1=∑∑i j j i p . 边缘分布律 p i ? = P {X = x i }= ∑j j i p , i =1, 2 ,??? , p ? j = P { Y = y j }= ∑i j i p , j =1, 2 ,??? , 条件分布律 P {X = x i |Y = y j } = j j i p p ?, P { Y = y j | X = x i } = ? i j i p p . 二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度 f （x , y ）为联合概率密度 ? 1? f （x , y ）≥0, 2? 1=?? ∞+∞-∞ +∞ - ),(dxdy y x f . 设（ X , Y ）~ f （x , y ）则分布函数: ??∞-∞ -=x y dxdy y x f y x F ),(),(; 边缘概率密度: ? ∞ +∞ -= ),()(dy y x f x f X , ? ∞ +∞ -= ),()(dx y x f x f Y .

第三章多维随机变量及其分布作业.

第三章多维随机变量及其分布作业 1．若对于所有y x ,有，则称随机变量X 和Y 是相互独立的. 2．设随机变量X 和Y 是相互独立的，X 的密度函数∞<<-∞=-x e x f x ,21 )(212 π，Y 的密度函数???<≥=-0 ,00,)(2y y e y f y ，则),(Y X 的联合密度函数),(y x f = . 3．已知随机变量)4,7(~,)4,9(~N Y N X ，且X 与Y 是相互独立，则Y X Z +=的概率密度函数)(z f Z = . 4．设),(Y X 为二维随机变量，试用联合分布函数),(y x F 表示概率},{y Y x X P >>. 5．设随机变量X ，Y 是相互独立，其边缘密度函数与边缘分布函数分别为)(,)(y f x f Y X 与)(,)(y F x F Y X ，则},min{Y X N =的分布密度函数)(z f Z = . 6．设)(),(21y f x f 是两个概率密度函数，则仅当函数),(y x R 满足条件时，函数),()()(),(21y x R y f x f y x f +=才能成为概率密度函数. 7．设相互独立的两个随机变量Y X ,具有同一分布律，且X 的分布律为 2 1}1{}0{= ===X P X P ，则随机变量},max{Y X Z =的分布律为 . 8．设二维随机变量),(Y X 的密度函数为?? ???≤≤≤≤=其它,020,10,21),(y x y x f ，则X 与Y 中至少有一个大于2 1的概率为 . 9．在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件：“两数之积大于 4 1”的概率为 . 10．设X 和Y 为两个随机变量，且73}0,0{=≥≥Y X P ，74}0{}0{=≥=≥Y P X P ，则}0},{max{≥Y X P = .

概率与数理统计第3章多维随机变量及其分布习题及答案

第三章多维随机变量及其分布一、填空题 1、随机点),(Y X 落在矩形域],[2121y y y x x x ≤<≤<的概率为 ),(),(),(),(21111222y x F y x F y x F y x F -+-. 2、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=-∞),(y F 0 . 3、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=+),0(y x F ),(y x F 4、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=+∞),(x F )(x F X 5、设随机变量),(Y X 的概率密度为 ? ? ?<<<<--=其它 04 2,20) 6(),(y x y x k y x f ，则=k 8 1 . 6、随机变量),(Y X 的分布如下，写出其边缘分布. 7、设),(y x f 是Y X ,的联合分布密度，)(x f X 是X 的边缘分布密度，则 =? ∞+∞ -)(x f X 1 . 8、二维正态随机变量),(Y X ，X 和Y 相互独立的充要条件是参数=ρ 0 . X Y 0 1 2 3 j P ? 1 0 8 3 8 3 0 86 3 81 0 8 1 8 2 ?i P 81 83 83 8 1

9、如果随机变量),(Y X 的联合概率分布为 Y X 1 2 3 1 61 91 181 2 3 1 α β 则βα,应满足的条件是 186= +βα ；若X 与Y 相互独立，则=α 184 ，=β 18 2 . 10、设Y X ,相互独立，)1.0(~),1,0(~N Y N X ，则),(Y X 的联合概率密度 =),(y x f 2 2221 y x e +- π ，Y X Z +=的概率密度=)(Z f Z 4 22 21x e - π . 12、设 ( ξ 、 η ) 的联合分布函数为 ()()()() ?? ??? ≥≥+-+-+++= y x y x y x A y x F 00,0111111,2 22则 A =__1___。二、证明和计算题 1、袋中有三个球，分别标着数字1,2,2，从袋中任取一球，不放回，再取一球，设第一次取的球上标的数字为X ，第二次取的球上标的数字Y ，求),(Y X 的联合分布律. 解：031 }1,1{?= ==Y X P 31 131}2,1{=?===Y X P 31 2132}1,2{=?===Y X P 3 1 2132}2,2{=?===Y X P 2、三封信随机地投入编号为1,2,3的三个信箱中，设X 为投入1号信箱的信数，Y 为投入2 号信箱的信数，求),(Y X 的联合分布律. 解：X 的可能取值为0,1,2,3 Y 的可能取值为0,1,2,3 33 1 }0,0{===Y X P 333}1,0{===Y X P 33233 3 3}2,0{====C Y X P X Y 1 2 1 0 31 2 3 1 3 1

§4随机变量函数的分布

§3.4 随机变量函数的分布对离散型随机变量，我们讨论过随机变量函数的分布问题，对一般的随机变量当然也存在同样的问题。例如，若ξ是N （2 ,σμ）分布的随机变量，为了解决计算中的查表问题，在中曾经引入变换 η=σ ξa - 这个新出现的随机变量η就是原来的随机变量ξ的一个函数。现在来讨论连续型随机变量函数的分布问题，先介绍一个便于应用的定理。定理3.1 设ξ是一个连续型随机变量，其密度函数为p (x)，又y =)(x f 严格单调，其反函数)(x h 有连续导数，则=η)(ξf 也是一个连续型随机变量，且其密度函数为 ? ? ?<<*=其他,0|],)(|)([)('β α?y y h y h p y （3.51）其中 α=min{)(-∞f ,)(+∞f } β=min{)(-∞f ,)(+∞f } (证明略) 例3.11（略）例3.12（略） 2χ—分布我们先给出下述一个式子： p (x,y)=? ? ???≤>Γ-0,00,)2(212x x x n y n 我们通常把以上述（3.53）式(其中n 是参数)为密度函数的分布称为是自由度为n 的 2χ—分布（2χ读作“卡方”），并记作)(2 n χ，它是数理统计中一个重要的分布。（一）和的分布设),(ηξ是一个二维连续型随机变量，密度函数为p (x,y)，现在来求ηξζ+=的分布，按定义为 F ζ(y)= P (ζ

F ζ(y)= ??<+y x x dx dx x x p 2121 2 1 ),( = dx dx x x p )),((221?? ∞∞ -∞ ∞ - （3.54）如果ξ与η是独立的，由（3.48）知P ξ(x)·P η(y)是(ηξ,)的密度函数，用P ξ(x)·P η(y)代替（3.54）式中的p (x 1,x 2)便得 F ζ(y) = dx dx x p x p ))()((221?? ∞∞ -∞ ∞-ηξ =dx dz x z p x p y ))()((11? ?∞ ∞-∞--ηξ = dz dx x z p x p y ))()((11?? ∞ -∞∞ --ηξ 由此可得 ζ 的密度函数为 F ζ(y)= F ' ξ(y)= dx x y p x p ? ∞ ∞ --)()(ηξ （3.55）由对称性还可得 F ζ(y)= dx x p x y p ? ∞ ∞ --)()(ηξ （3.56）由（3.55）或（3.56）式给出的运算称为卷积，通常简单地记作 P ζ=P ξ* P η 例3.13（略）我们已经知道某些分布具有可加性，其实还有一些其它分布，也具有可加性，其中2 χ—分布的可加性在数理统计中颇为重要，我们这里顺便证明这个结论。为此，可以讨论更一般形式的一个分布—Γ分布。如果随机变量ξ具有密度函数为 p (x,y)=?? ???≤>Γ--0,00 ,)(1x x e x x βαααβ （3.57）（其中α>0, β>0为两个常数），这时称ξ是参数为（α,β）的Γ分布的随机变量，相应的分布称作参数为（α,β）的Γ分布，并记作Γ(α,β). 例3.14（略）（二）商的分布设),(ηξ是一个二维连续型随机变量，密度函数为p (x 1,x 2)，现在来求η ξ ζ= 的分

第三章__多维随机变量及其分布总结

第三章多维随机变量及其分布第一节二维随机变量一、二维随机变量的分布函数设E 是一个随机试验, 它的样本空间是S . 设X 、Y 是定义在S 上的随机变量, 则由它们构成的一个向量(X , Y )称为二维随机向量或二维随机变量. 一般地, (X , Y )的性质不仅与X 有关, 与Y 有关, 而且还依赖于X 、Y 的相互关系, 因此必须把(X , Y )作为一个整体来研究. 首先引入(X , Y )的分布函数的概念. 定义设(X , Y )为二维随机变量, 对于任意实数x 、y , 二元函数 F (x , y ) = P {(X ≤ x )∩(Y ≤ y )}= P {X ≤ x , Y ≤ y } 称为二维随机变量(X , Y )的分布函数, 或称为随机变量X 和y 的联合分布函数. 分布函数F (x , y )表示事件(X ≤ x )与事件(Y ≤ y )同时发生的概率. 如果把(X , Y )看成平面上具有随机坐标(X , Y )的点, 则分布函数F (x , y )在(x , y )处的函数值就是随机点(X , Y )落在平面上的以(x , y )为顶点而位于该点左下方的无限矩形内的概率.. 由上面的几何解释, 容易得到随机点(X , Y )落在矩形区域{x 1 < X ≤ x 2, y 1 < Y ≤ y 2}的概率为 P {x 1 < X ≤ x 2, y 1 < Y ≤ y 2} = F (x 2, y 2) - F (x 2, y 1) - F (x 1, y 2) + F (x 1, y 1) (1) 与二元函数类似, 二元分布函数F (x , y )也具有如下一些性质: 1? F (x , y )是变量x 和y 的单调不减函数, 即当x 1 < x 2时, F (x 1, y ) ≤ F (x 2, y ); 当y 1 < y 2时, F (x , y 1) ≤ F (x , y 2). 2? 0 ≤ F (x , y ) ≤ 1, 且F (-∞, y ) = 0, F (x , -∞) = 0, F (-∞,-∞) = 0, F (+∞,+∞) = 1.（凡含-∞的概率分布为0） 3? F (x , y )关于x 和y 都是右连续的, 即F (x + 0, y ) = F (x , y ), F (x , y + 0) = F (x , y ). 4? 对任意的(x 1, y 1)、(x 2, y 2), x 1 < x 2, y 1 < y 2, 有F (x 2, y 2) - F (x 2, y 1) - F (x 1, y 2) + F (x 1, y 1) ≥ 0. 注: 二元分布函数具有性质1?~ 4?, 其逆也成立(2?中0 ≤ F (x , y ) ≤ 1可去), 即若二元实值函数F (x , y )(x ∈ R , y ∈ R )满足1?~ 4?, 则F (x , y )必是某二维随机变量的(X , Y )的分布函数. 其中4?是必不可少的, 即它不能由1?~ 3?推出(除去0 ≤ F (x , y ) ≤ 1). 二、二维离散型随机变量如果二维随机变量(X , Y )的所有可能取的值是有限对或可列无限多对, 则称(X , Y )是二维离散型随机变量. 设二维离散型随机变量(X , Y )所有可能取的值为(x i , y j ) (i , j = 1, 2, 3, …). 记P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …)则由概率定义有 p ij ≥ 0; 111 =∑∑∞=∞ =i j ij p . 我们称P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …)为二维离散型随机变量(X , Y )的分布律(概率分布)或随机变量X 和Y 的联合分布律, (X , Y )的分布律也可用表格表示. 其分布函数为 = ),(y x F ∑∑≤≤==x x y y j i i j y Y x X P },{= ∑∑≤≤x x y y ij i j p 这里 ∑∑ ≤≤x x y y i j 表示对一切x i ≤ x , y j ≤ y 的那些指标i 、j 求和. 例1 一个口袋中有三个球, 依次标有1、2、2, 从中任取一个, 不放回袋中, 再任取一个. 设每次取球时, 各球被取到的可能性相等, 以X 、Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字, 求X 、Y 的联合分布律与分布函数.. 解: (X , Y )的可能取值为(1, 2)、(2, 1)、(2, 2). P {X = 1, Y = 2}= P {X = 1}P {Y = 2 / X = 1}= 3 12231=?.

第三章-多维随机变量及其分布--习题

第三章多维随机变量及其分布习题1 §3.1 二维随机变量的概率分布一、填空题 1. 设（Y X ,）的分布函数为 ?? ?≥≥+--=----其它，，，），（ 00 03331y x y x F y x y x ，则（Y X ,）的联合概率密度),(y x f = ； 2设随机变量(Y X ,)的分布函数为 )3 (2(y arctg C x arctg B A y x F ++=）），（, 则A = , B = , C = ，(0≠A )； 3. 用),(Y X 的联合分布函数),(y x F 表示概率),(c Y b X a P ≤≤<= ),(),(c a F c b F -； 4.设),(Y X 在区域G 上服从均匀分布，G 为y x =及2 y x =所围成的区域，),(Y X 的概率密度为 5. 设 (Y X ,) 联合密度为?? ?? ?>>=--其它，），（ ,00 ,0y x Ae y x f y x ，则系数A = ； 6. 设二维随机变量(Y X ,)的联合概率密度为()4,01,01 ,0, xy x y f x y <<<

二维随机变量及其分布题目

一、单项选择题 1．设随机变量21,X X 独立，且2 1 }1{}0{= ===i i X P X P （2,1=i ），那么下列结论正确的是（） A .21X X = B .1}{21==X X P C .2 1 }{21= =X X P D .以上都不正确 2设X 与Y 相互独立，X 服从参数为12的0—1分布，Y 服从参数为1 3 的0—1分布，则方程 220t Xt Y ++=中t 有相同实根的概率为（A ） 13 （B ）12 （C ）16 （D ）2 3 [] 3．设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为 ()22 ,02,14, (,)0, .k x y x y f x y ?+<<<

第三章多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布习题3.1 143 2. 100件产品中有50件一等品,30件二等品,20件三等品.从中不放回地抽取5件,以X,Y 分别表示取出的5件中一等品,二等品的件数,求(X,Y)的联合分布列. 5. 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为 ?? ?<<<<--=. ,0; 42,20),6(),(其他y x y x k y x p 试求 (1) 常数k; (2) P(X<1,Y<3); (3) P(X<1.5); (4) P(X+Y ≤. 6. 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为 ???>>=+-. ,0; 0,0,,()43(其他y x ke yP x p y x 试求 (1) 常数k; (2) (X,Y)的联合分布函数F(x,y); (3) P(0

习题3.2 P153 4.设平面区域D 由曲线及直线y=1/x 及直线y=0,x=1,x=e2所围成,二维随机变量(X.,Y)在区域D 上服从均匀分布,试求X 的边际密度函数. 6. 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 ???<<<<=. ,0; 10,6),(2其他x y x y x p 试求边际密度函数).()(y p x p Y X 和 12. 设X 与Y 是两个相互独立的随机变量, X~U(0,1), Y~Exp(1). 试求(1)X 与Y 的联合密度函数; (2)P(Y ≤X); (3)P(X+Y ≤1). 14. 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为 ?? ?<<<=. ,0; 10,||,1),(其他y y x y x p 试求(1)边际密度函数)()(y p x p Y X 和;(2)X 与Y 是否独立? 16. 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为p(x,y). 证明:X 与Y 相互独立的充要条件是p(x,y)可分离变量,即p(x,y)=h(x)g(y). 又问h(x),g(y)与边际密度函数有什么关系? 习题3.3 P163 1. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布列为试分别求 3. 设随时机变量X 和Y 的分布列分别为 X -1 1

第三章-多维随机变量及其分布测试题答案

第三章多维随机变量及其分布答案一、填空题（每空3分） 1．设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为 222 13,0,0(1)(1)(1)(,)0,A x y x y x y F x y ? +-≥≥?++++=???其他,则A=_____1____． 2．若二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)则随机点落在矩形区域[x 1 《 b ）与B=（Y>b ）相互独立，且3 ()4 P A B ?= ,则6．在区间(0,1)随机取两个数，则事件“两数之积大于1 4 ”的概率为_ _ 31 ln 444 - .

7．设X 和Y 为两个随机变量，且34 (0,0),(0)(0)77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=, 则(max{,}0)P X Y ≥=_ 5 7 . 8．随机变量(,) (0,0,1,1,0)X Y N ,则D(3X-2Y)= _ 13 . 9．设()25,()36,0.4XY D X D Y ρ===,则()D X Y += 85 ， ()D X Y -= 37 . 10．设随机变量2(3),()()0,()4,()16,Z aX Y E X E Y D X D Y =+==== 0.5XY ρ=-,则min ()E Z = 108 . 二、单项选择题（每题4分） 1．下列函数可以作为二维分布函数的是（ B ）. A .???>+=.,0,8.0,1),(其他y x y x F B .?????>>??=--., 0,0,0,),(00其他y x dsdt e y x F y x t s C . ??= ∞-∞---y x t s dsdt e y x F ),( D .?? ???>>=--.,0,0,0,),(其他y x e y x F y x 2．设平面区域D 由曲线1 y x = 及直线20,1,x y y e ===围成，二维随机变量在区域D 上服从均匀分布，则(X,Y)关于Y 的边缘密度函数在y=2处的值为（C ）． A ．12 B ．1 3 C ．14 D ．12- 3．若(X,Y)服从二维均匀分布，则（ B ）． A ．随机变量X,Y 都服从一维均匀分布 B ．随机变量X,Y 不一定服从一维均匀分布 C ．随机变量X,Y 一定都服从一维均匀分布 D ．随机变量X+Y 服从一维均匀分布 4．若D(X+Y)=D(X)+D(Y),则（ A ）． A ．X 与Y 不相关 B ．(,)()()X Y F x y F x F y =? C ．X 与Y 相互独立 D ．1XY ρ=-

多维随机变量及其分布

多维随机变量及其分布随机向量的定义：随机试验的样本空间为S={ω}，若随机变量X1(ω),X2(ω),…,X n(ω)定义在S 上，则称（X1(ω),X2(ω),…,X n(ω)）为n维随机变量（向量）。简记为（X1,X2,…,X n）。二维随机向量（X,Y），它可看作平面上的随机点。对（X,Y）研究的问题： 1．（X,Y）视为平面上的随机点。研究其概率分布——联合分布率、联合分布函数、联合概率密度；Joint 2．分别研究各个分量X,Y的概率分布——边缘（际）分布律、边缘分布函数、边缘概率密度； marginal 3．X与Y的相互关系； 4．（X,Y）函数的分布。 § 3.1 二维随机变量的分布一．离散型随机变量 1．联合分布律定义 3.1 若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(x i,y j), i，j=1,2…,取这些值的概率为 p ij=P{(X,Y)=(x i,y i)}=p{X=x i,Y=y i}i,j=1,2,… ——(3.1) 称 (3.1)式为(X,Y)的联合分布律。

性质： (1) p ij ≥ 0，i, j=1,2, (2) ∑j i ij p ,=1 2．边缘分布律设二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律为 p ij = P{X=x i ,Y=y i } i, j=1,2,… 分量X 和Y 的分布律分别为 p i.=P{X=x i } i=1,2,… 满足①p i.≥0②∑ p i.=1 p .j = p{Y=y i }j=1,2,… ①p .j ≥0②∑ p .j =1 我们称p i.和p .j 分别为(X,Y)关于X 和Y 的边缘分布律，简称为(X,Y)的边缘分布律。二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律与边缘分布率有如下关系： p i.=P{X=x i }=P{X=x i , S}=P{X=x i ,j ∑ (Y=y j )} = j ∑ P{X=x i ,Y=y j }= j ∑ p ij (3.4) 同理可得 p .j = i ∑ p ij (3.5) 例1:一整数X 随机地在1，2，3三个整数中任取一值，另一个整数Y 随机地在1到X 中取一值。试求（X,Y ）的联合分布率及边缘分布率。解： {}{}{} , ,3,2,13 1 1/,i j i i i X P i X j Y P j Y i X P ≤=? =======

(学生)第三章多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布一、选择题 1.X,Y 相互独立,且都服从]1,0[上的均匀分布,则服从均匀分布的是( ). A.(X,Y) B.XY C.X+Y D.X －Y 2.设X,Y 独立同分布,11{1}{1},{1}{1},2 2 P X P Y P X P Y =-==-=====则（）. A.X =Y B.0}{==Y X P C.21}{==Y X P D.1}{==Y X P 3.设)(1x F 与)(2x F 分别是随机变量X 与Y 的分布函数,为使 )()(21x bF x aF -是某个随机变量的分布函数,则b a ,的值可取为( ). A.52,53-==b a B.32,32==b a C. 2 3,21= -=b a D. 2 3,21-== b a 4.设随机变量i X 的分布为1210 1~(1,2){0}1,11 1424i X i X X -?? ? === ??? 且P 则12{}P X X ==( ). A.0 B.41 C.2 1 D.1 5.下列叙述中错误的是( ). A.联合分布决定边缘分布 B.边缘分布不能决定决定联合分布 C.两个随机变量各自的联合分布不同,但边缘分布可能相同 D.边缘分布之积即为联合分布 6.设随机变量(X,Y) 的联合分布为:

则b a ,应满足( ). A ．1=+b a B. 13 a b += C.3 2=+b a D.2 3,2 1-==b a 7．接上题，若X ，Y 相互独立，则（）. A.9 1,9 2 ==b a B.9 2,9 1==b a C.3 1,3 1==b a D.3 1,3 2=-=b a 8.同时掷两颗质体均匀的骰子,分别以X,Y 表示第1颗和第2颗骰子出现的点数,则( ). A.1{,},,1,2,636P X i Y j i j === = B.361 }{= =Y X P C.21}{=≠Y X P D.2 1 }{=≤Y X P 9.设(X,Y)的联合概率密度函数为???≤≤≤≤=其他， y x y x y x f 01 0,10,6),(2,则下面错误的是( ). A.1}0{=≥X P B.{0}0P X ≤= C.X,Y 不独立 D.随机点(X,Y)落在{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤内的概率为1 10.接上题,设G 为一平面区域,则下列结论中错误的是( ). A.{(,)}(,)G P X Y G f x y dxdy ∈=?? B.2{(,)}6G P X Y G x ydxdy ∈=?? C.1200 {}6x P X Y dx x ydy ≥=?? D.??≥=≥y x dxdy y x f Y X P ),()}{( 11.设(X,Y)的联合概率密度为(,)0,(,)(,)0,h x y x y D f x y ≠∈?=??其他,若 {(,)|2}G x y y x =≥为一平面区域,则下列叙述错误的是( ). A.{,)(,)G P X Y G f x y dxdy ∈=?? B.??-=≤-G dxdy y x f X Y P ),(1}02{ C.??=≥-G dxdy y x h X Y P ),(}02{ D.??= ≥D G dxdy y x h X Y P ),(}2{ 12.设(X,Y)服从平面区域G 上的均匀分布,若D 也是平面上某个区域,并以G S 与D S 分别表示区域G 和D 的面积,则下列叙述中错误的是

第三章多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布八.课后习题解答及三级测试题答案 1.在一箱子中装有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每一次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样；（2）不放回抽样.我们定义随机变量Y X ,如下： 0,1X ì??=í ???若第一次取出的是正品，若第一次取出的是次品 0,1,Y ì??=í??? 若第一次取出的是正品若第一次取出的是次品试分别就（1），（2）两种情况，写出X 和Y 的联合分布律. 解由乘法公式容易得),(Y X 的分布律，易知，放回抽样时 {}506P X == {}61 1===X P {}650==Y P {}1 16P Y === 且{}{ }{}{}{}j Y P i X P i X P i X j Y P j Y i X P =========|, 1,0,1,0==j i 于是),(Y X 的分布律为（）不放回抽样，则{}60= =X P ，{}6 1===X P ，在第一次抽出一正品后，第二次抽取前的状态：正品9个，次品2个.故 {}1190|0= ==X Y P {}112 0|1===X Y P {}11101|0===X Y P {}111 1|1===X Y P

且{ }{}{}i X P i X j Y P j X i Y P ======|| 1,0=i 1,0=j 则),(Y X 的联合分布律为 2.盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求X 和Y 的联合分布律. 解 X 的可能取值为0，1，2，3，Y 的可能取值为0，1，2，总取法为：354 7=C {}{}00,0=Φ===P Y X P {}{}01,0=Φ===P Y X P {}35 1 352,0222203====C C C Y X P {}{}00,1=Φ===P Y X P {}356 351,1221213====C C C Y X P {}356 352,1221223====C C C Y X P {}353 350,2220223====C C C Y X P {}35 12 351,2121223====C C C Y X P

第3章多维随机变量及其分布试题答案

第3章多维随机变量及其分布试题答案一、选择（每小题2分） 1、设二维随机变量),(Y X 的分布律为则{0}P X Y +≠=（ C ） (A) (B) (C) (D) 2、设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为? ??<<-<<-=other y x c y x f ,01 1,11,),(，则常数c = （A ） (A) 41 (B) 2 1 (C) 2 (D)4 3、设二维随机变量),(Y X 的分布律为设1,0,},,{====j i j Y i X P p ij ，则下列各式中错误的是（ D ） (A) 0100p p < (B) 1110p p < (C) 1100p p < (D) 0110p p < 4、设二维随机变量),(Y X 的分布律为

则}{Y X P ==（A ） (A) (B) (C) (D) 5、设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为???>>=--other y x e Ae y x f y x , 00 ,0,),(2，则常数A = （D ） (A) 21 (B) 1 (C) 2 3 (D)2 6、设二维随机变量),(Y X 的分布律为则}0{=XY P =（C ） (A) 41 (B) 125 (C) 4 3 (D)1 7、设二维随机变量),(Y X 的分布律为 ),(y x F 为其联合分布函数，则)3 ,3(F =（D ） (A) 0 (B) 121 (C) 61 (D) 4 1 8、设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为???>>=--other y x e e y x f y x , 00 ,0,),(，则}{Y X P ≥=

多维随机变量及其分布

多维随机变量及其分布

随机变量的函数的分布

第三讲多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布作业.

概率与数理统计第3章多维随机变量及其分布习题及答案

§4随机变量函数的分布

第三章__多维随机变量及其分布总结

第三章-多维随机变量及其分布--习题

二维随机变量及其分布题目

第三章多维随机变量及其分布

第三章-多维随机变量及其分布测试题答案

多维随机变量及其分布

(学生)第三章 多维随机变量及其分布

最新第三章--多维随机变量及其分布总结

第三章 多维随机变量及其分布

第3章多维随机变量及其分布试题答案

(学生)第三章多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布