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中考专题练习一线三等角

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AB=DC=AD=6,∠ABC=60°,点E、F分别在线段AD、DC上(点E与点A、D不重合),且∠BEF=120°,设AE=x,DF=y.

(1)求y与x的函数表达式;

(2)当x何值时,y有最大值,最大值是多少?

4. 如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,点D为BC边上动点(

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D不与B

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、C重合),

∠ADE=45°,DE交AC于点E.

(1)∠BAD与∠CDE的大小关系为.请证明你的结论;

(2)设BD=x,AE=y,求y关于x的函数关

系式,并写出自变量x的取值范围;(3)当△ADE是等腰三角形时,求AE的长;(4)是否存在x,使△DCE的面积是△ABD 面积的2倍?若存在,求出x的值,若

不存在,请说明理由.

本王闯关

一.基础技能

1.(2015?连云港)如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=90°,直线l1∥l2∥l3,l1与l2之间距离是1,l2与l3之间距离是2,且l1,l2,l3分别经过点A,B,C,则边AC= .

2.如图,已知

3

2

1

//

//l

l

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l,相邻两条平行直线

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间的距离相等,若等腰直角△ABC的三个项点分别在这三条平行直线上,则sina值是()

A.

3

1 B.

17

6 C.

5

5 D.

10

10

3.(2012·苏州)已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用阴影表示),点B1在y轴上,点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上.若正方形A1B1C1D1的边长为1,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3,则点A3到x 轴的距离是()

4.如图,在边长为9正三角形ABC中,BD=3,∠ADE=60°,则AE= .

5.(2012·宁波)如图1是由边长相等小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理。图2是由图1放入矩形内得到的,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,则D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上,则矩形KLMJ的面积为

B C

A

D

E

AED

CB

(A )90 (B )100 (C )110 (D )

121

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6.

如图,将矩形纸片的两只直角分别沿EF 、DF 翻折,点B 恰好落在AD 边上的点B ′处,点C 恰好落在边B ′F 上.若AE=3,BE=5,则FC=

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7..如图,在四边形ABCD 中,∠ABC =90°,

AB =3,BC =4,CD =10,DA =55,则BD 的长

为_______.

8. 如图,在△ABC 中,∠

BAC=90

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°,AB=AC=1,点D 是BC 边上一动点(不与B 、C 重合),在AC 边上取点E ,使△ABD ∽△DCE ,当△ADE 为等腰三角形时,则AE= .

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9.如图,在△ABC 中,AB=AC=10,点D 是边BC 上一动点(不与B ,C 重合),∠ADE=∠B=α,DE 交AC 于点E ,且cos α=5

4.下列结论中正确的结论是 .

① △ADE∽△ACD;②0<CE≤6.4. ③ 当BD=6时,△ABD 与△DCE 全等 ④△DCE 为直角三角形时,BD 为8或2

25;

二.计算与证明 1.如图,点P 是正方形ABCD 边AB 上一点(不与点A ,B 重合),连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针方向旋转90°得到线段PE ,PE 交边BC 于点F ,连接BE ,DF .当AB

AP 等于多少

时,△PFD∽△BFP?并说明理由.

2.在矩形

ABCD 中,点P 在AD 上,AB=2,AP=1.将直角尺的顶点放在P 处,直角尺的两边分别交AB ,BC 于点E ,F ,连接EF (如图①).

(1)当点E 与点B 重合时,点F 恰好与点C 重合(如图②),求PC 的长;

(2)探究:将直尺从图②中的位置开始,绕点P 顺时针旋转,当点E 和点A 重合时停止.这个过程中,请你观察、猜想,并解答: ①tan ∠PEF 的值是否发生变化?说明理由; ②直接写出从开始到停止,线段EF 的中点经过的路线长.

4.如图,在矩形ABCD 中,AB=2,BC=3,P 是线段AD 边上任意一点(不含端点A 、D ),连结PC , 过点P 作PE⊥PC 交AB 于E.

(1)在线段AD 上是否存在不同于P 点Q ,使得QC⊥QE?若存在,求线段AP 与AQ 之间的数量关系;若不存在,请说明理由; (2)当点P 在AD 上运动时,对应点E 也随之在AB 上运动,求BE 取值范围.

6.(1)如图1,在正方形ABCD 中,M 是BC 边(不含端点B 、C )上任意一点,P 是BC 延长线上一点,N 是∠DCP 的平分线上一点.若∠AMN=90°,求证:AM=MN . (2)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC ”(如图2),N 是∠ACP 的平分线上一点,则当∠AMN=60°时,结论AM=MN 是否还成立?请说明理由.

(3) )在(2)的基础上,当点M 在线段BC 的延长线上,且满足CM=BC (其它条件不变)时,请直接写出△ABC 与△AMN 的面积之比. (4)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正n 边形ABCD…X”,请你做出猜想:当∠AMN= °时,结论AM=MN 仍然成立.

7.在直角坐标系中,点A 是抛物线y=x2在第二象限上的点,连接OA ,过点O 作OB⊥O A ,交抛物线于点B ,以OA 、OB 为边构造矩形AOBC .当点A 横坐标为- 1 2时,将抛物线y=x

2

作关于x 轴轴对称变换得到抛物线y 2=-x 2

试判断抛物线y=-x 2

经过平移交换后,能否经过A 、B 、C 三点?如果可以,说出变换过程;如果不可以,请说明理由.

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8. 在矩形ABCD 中,AB=13cm ,AD=4cm ,点E ,

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F 同时分别从D ,B 两点出发,以1cm/s 的速度沿DC ,BA 向顶点C ,A 运动,点

G ,

H 分别为AE ,CF 的中点,设运动时间为t (s ),

(1)求证:四边形EGFH 是平行四边形. (2)填空:①当t 为 s 时,四边形EFGH 是菱形;

②当t 为 s 时,四边形EDFH 是矩形

9.(2013·福州)如图,等腰梯形ABCD 中,AD∥BC,

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∠B=45°,P 是BC 边上一点,△PAD 的面积为2

1,设AB=x ,AD=y

(1)求y 与x 的函数关系式;

(2)若∠APD=45°,当y=1时,求PB?PC 的值;

(3)若∠APD=90°,求y 的最小值.

10、△ABC 中,AB=AC ,D 为BC 的中点,以D 为顶点作∠MDN=∠B .

(1)如图(1)当射线DN 经过点A 时,DM 交AC 边于点E ,不添加辅助线,写出图中所有与△ADE 相似的三角形. (2)如图(2),将∠MDN 绕点D 沿逆时针方向旋转,DM ,DN 分别交线段

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AC ,AB 于E

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,F 点(点E 与点A 不重合),写出图中所有的相似三角形,并证明你的结论.

(3)在图(2)中,若AB=AC=10,BC=12,当△DEF 的面积等于△ABC 的面积的时,求线段EF 的长.

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M

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N

D

C

E

B

A 1 D