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漫谈“求赵州桥的主桥拱的半径”的教学

漫谈“求赵州桥的主桥拱的半径”的教学

(于都三中 蔡家禄)

赵州桥的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m ,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m ,你能求出赵州桥的主桥拱的半径吗?

分析:将实际问题转化为数学问题就是:

如图1:已知点C 是AB 的中点,CD ⊥AB 于D ,AB =37.4m,CD =7.2m.

求AB 的半径.

根据垂径定理,直线CD 平分AB ,CD AB ⊥,则直线必经过AB 所在圆的圆心O ,且平分弦AB .这样连接OA ,就构造出Rt △AOD ,设⊙O 半径为r ,则17.2,18.7.2

OD r AD AB =-==由勾股定理可得方程

222(7.2)18.7r r =-+,解得27.9r ≈.于是有 解法⑴:(如图2)∵AC =BC ,CD ⊥AB ,

∴CD 经过AB 所在圆的圆心O , 118.72

AD AB ==.

设⊙O 的半径为r ,并连接OA .

在Rt △AOD 中,222OA OD AD =+,∴222(7.2)18.7r r =-+,

解得27.9r ≈.

因此,所求赵州桥的主桥拱的半径约为27.9米.

漫谈“求赵州桥的主桥拱的半径”的教学

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人教版教材在处理这个问题时,并不是这样解的,他的思路是,先假设AB 所在圆的圆心为O ,再过圆心作弦AB 的垂线,由垂径定理证得CD 是拱高,最后构造直角三角形列方程求出它的半径.

这种抛开条件(CD 是拱高),另起炉灶(假设AB 所在圆的圆心为O ,再证得CD 是拱高)的思想,实际就是一种围魏救赵的迂回思想,显然学生更难想到.

个人认为,垂径定理是一个体系,它不是单纯的一条定理和一条推论,它的实质是“一条直线满足条件:①过圆心,②垂直弦,③平分弦,④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧中的任意两个,就可得出其余的三个.”如果站在这个层面来理解,解法⑴就是水到渠成.

可能教材编者是为了降低教学要求,才有意而为之,但是我们的担心是否有点多余呢?只要教学设计得法,其实学生是可以真正掌握垂径定理的.