11.2012北京市顺义区中考一模数学试题(word版含答案)

G

E

F

D

C

B A

顺义区2012届初三第一次统一练习

数学试卷

分．考试时间120

一、选择题（本题共32分，每小题4分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．-3的相反数是

A ．3

B ．-3

C ．3±

D ．

13

2．中国人民银行决定，从2012年2月24日起，下调存款类金融机构人民币存款准备金率

0.5个百分点．本次下调后，央行一次性释放约4 000亿元人民币的资金．请把4 000亿元用科学记数法表示应为

A ．110.410?元

B ．11410?元

C ．114010?元

D ． 12410?元 3．下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是

A ．等边三角形

B ．矩形

C ．菱形

D ．平行四边形 4．下列运算正确的是

A ．22423a a a +=

B ．2242a a a -=

C ．22422a a a =

D ．2222a a a ÷=

5．某个公司有15名工作人员，他们的月工资情况如下表．则该公司所有工作人员的月工资

的平均数、中位数和众数分别是

C ．1 240，2 000，800

D ．1 240，800，800

6．如图，AB ∥CD ，点E 在AB 上，点F 在CD 上，且90FEG ∠=?， 55EFD ∠=?，则AEG ∠的度数是

A ．25°

B ．35°

C ．45°

D ．55 °

E

D

B

C

A 7．一个不透明的口袋里有4张形状完全相同的卡片，分别写有数字1，2，3，4，口袋外有

两张卡片，分别写有数字2，3，现随机从口袋里取出一张卡片，求这张卡片与口袋外的两张卡片上的数能构成三角形的概率是 A ．

14

B ．

12

C ．

3

4

D ．1

8．如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=?，60A ∠=?，AC =2，

D 是AB 边上一个动点（不与点A 、B 重合），

E 是BC 边上 一点，且30CDE ∠=?．设AD=x ， BE=y ，则下列图象中， 能表示y 与x 的函数关系的图象大致是

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9

2

(2)0m +-=，则m n -的值是 ． 10．分解因式：3225105x x y xy -+= ．

11．如图，用测角仪测得校园的旗杆顶点A 的仰角45α=?，仪器高 1.4CD =米，

测角仪底部中心位置D 到旗杆根部B 的距离10BD =米，则旗杆AB 的高 是 米． 12．如图，菱形ABCD 中，AB =2 ，∠C =60°,我们把菱形ABCD 的对称中心称作

菱形的中心．菱形ABCD 在直线l 上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过1次这样的操作菱形中心O 所经过的路径长为 ；经过18次这样的操作菱形中心O 所经过的路径总长为 ；经过3n （n 为正整数）次这样的操作菱形中心O 所经过的路径总长为 ．(结果都保留π) 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13

()1

2cos 303--?+--．

14．解方程组：2,

2 1.

x y x y +=??-=?

l

α

D

C B

A

15．已知：如图，在ABC △中，AB=AC ，点D 、E 在BC 上，且BD=CE ．

求证：∠ADE =∠AED ．

16．已知2012x =，求代数式6931x x x x -?

???

-

÷- ? ?????

的值．

17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数4y x

=

（0x >）的图象与一次函数

y x b =-+的图象的一个交点为(4,)A m ．

（1）求一次函数的解析式；

（2）设一次函数y x b =-+的图象与y 轴交于点B ，P 为一次函数y x b =-+的图象上

一点，若OBP △的面积为5，求点P 的坐标．

18．列方程或方程组解应用题：

在城区改造项目中，区政府对某旧小区进行节能窗户改造．该小区拥有相同数量的A 、B 两种户型．已知所有A 户型窗户改造的总费用为54万元，所有B 户型窗户改造的总费用为48万元，且B 户型窗户的每户改造费用比A 户型窗户的每户改造费用便宜500元．问A 、B 两种户型的每户窗户改造费用各为多少元？

E

C

B

A

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．如图，在□ABCD 中，E 是对角线AC 的中点，EF ⊥AD 于F ，∠B=60°，AB=4， ∠ACB=45°，求DF 的长．

20．如图，C 是⊙O 的直径AB 延长线上一点，点D 在⊙O 上，且∠A=30°，∠BDC =

12

ABD ．

（1）求证：CD 是⊙O 的切线；

（2）若OF ∥AD 分别交BD 、CD 于E 、F ，BD =2，求OE 及CF 的长．

21．某中学准备搬迁新校舍，在迁入新校舍之前，同学们就该校学生如何到校问题进行了一次调查，并将调查结果制成了表格、条形统计图和扇形统计图（不完整），请你根据图表信息完成下列各题：

（1）此次共调查了多少名学生？

（2）请将表格填充完整；

（3）请将条形统计图和扇形统计图补充完整．

到校方式条形统计图 到校方式扇形统计图

F E

D

C

B

A

F E

D C O B A

22．问题背景

（1）如图1，△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB ，AC 于D ，E 两点，过点D 作DF ∥AC 交BC 于点F ．请按图示数据填空：

四边形DFCE 的面积S = ， △DBF 的面积1S = ，

△ADE 的面积2S = ．

探究发现

（2）在（1）中，若BF a =，FC b =，D Ｇ与BC 间的距离为h ．直接写出2S = （用含S 、1S 的代数式表示）． 拓展迁移

（3）如图2，□DEFG 的四个顶点在△ABC 的三边上，若△ADG 、△DBE 、△GFC 的面积分别为4、8、1，试利用．．（2．）中的结论．．．．

求□DEFG 的面积，直接写出结果．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知关于x 的方程032)1(2=+++-k kx x k ．

（1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；

（2）当方程有两个相等的实数根时，求关于y 的方程2(4)10y a k y a +-++=的整数根

（a 为正整数）．

24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =mx 2+2mx +n 经过点A （-4，0）和点

B （0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）向右平移上述抛物线，若平移后的抛物线仍经过点B ，求平移后抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，记平移后点A 的对应点为A’，点B 的对应点为B’，试问：在平移

后的抛物线上是否存在一点P ，使'OA P △的面积与四边形AA ’B ’B 的面积相等，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．

25．问题：如图1， 在Rt △ABC 中，90C ∠=?，30ABC ∠=?，点D

是射线CB 上任意一点，△ADE 是等边三角形，且点D 在ACB ∠的内部，连接BE ．探究线段BE 与DE 之间的数量关系． 请你完成下列探究过程：

先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明. （1） 当点D 与点C 重合时（如图2），请你补全图形．由BAC ∠的度

数为 ，点E 落在 ，容易得出BE 与DE 之间的数量关系为 ；

（2） 当点D 在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE 与DE 之间的数量关系是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．

D

B C

A

A

B

C (

D )

图3

图2

图1

D E

B

C

A

2．顺义区2012届初三第一次统一练习

数学学科参考答案及评分细则

二、填空题（本题共16分，每小题4分，）

9．4；

10．25()x

x y -； 11．11.4； 12．3

， 2)π，

13

n π+．

三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13

()1

2cos 303-?+--

12123??

=?

+-- ???

……………………………………………… 4分 113

=+

43

= …………………………………………………………………… 5分

14．解： 2

21

x y x y +=??

-=?①②

①+②，得 33x =．

1x =． …………………………………………………… 2分 把1x =代入①，得 12y +=．

1y =． ………………………………………………………… 4分 ∴原方程组的解为 1,

1.

x y =??=? ………………………………………………… 5分

15．证明：∵AB=AC ，

∴B C ∠=∠． …………………………………………………………… 1分 在△ABD 和△ACE 中，

,,,AB AC B C BD C E =??

∠=∠??=?

∴ △ABD ≌△ACE ．……………………………………………………… 3分 ∴ AD=AE ． ……………………………………………………………… 4分

∴∠ADE =∠AED ． ……………………………………………………… 5分

16．解：

693

1

x

x

x x

-

????

-÷-

? ?

????

2693

x x x

x x

-+-

=÷……………………………………………………2分

2

(3)

3

x x

x x

-

=

-

3

x

=-………………………………………………………………………4分

当2012

x=时，原式=201232009

-=．……………………………………5分

17．解：（1）∵点(4,)

A m在反比例函数

4

y

x

=（0

x>）的图象上，

∴

4

1

4

m==．……………………………………………………………1分

∴(4,1)

A．

将(4,1)

A代入一次函数y x b

=-+中，得5

b=．

∴一次函数的解析式为5

y x

=-+．……………………………………2分（2）由题意，得(0,5)

B，

∴5

OB=．

设P点的横坐标为

P

x．

∵OBP

△的面积为5，

∴1

55

2p

x

?=

．……………………………………………………………3分

∴2

P

x=±．

∴点P的坐标为（2，3）或（-2，7）．…………………………………5分18．解：设A户型的每户窗户改造费用为x元，

则B户型的每户窗户改造费用为(500)

x-元．………………………………1分

根据题意，列方程得540000480000

5

x x

=

-

．

解得4500

x=．

经检验，4500

x=是原方程的解，且符合题意．……………………………4分∴5004000

x-=．

答：A户型的每户窗户改造费用为4500元，

B户型的每户窗户改造费用为4000元．……………………………………5分

M

F E

D

C

B

A

F

E D

C

O B

A

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．解：（1）∵在□ABCD 中，∠B=60°，AB=4，∠ACB=45°，

∴∠D=60°，CD=AB=4，AD ∥BC ． ……………………………… 1分 ∴∠DAC=45°． 过点C 作CM ⊥AD 于M ， 在Rt △CDM 中，

sin 4sin 60CM CD D ==?= ，

cos 4cos 602DM CD D ==?= ．………………………………… 2分

在Rt △ACM 中，∵∠MAC=45°，

∴AM CM ==

∴2AD AM DM =+=．…………………………………… 3分

∵EF ⊥AD ，CM ⊥AD ， ∴EF ∥CM ．

∴1

2EF C M ==

在Rt △AEF

中，AF EF ==

4分

∴22DF AD AF =-=-=．……………………… 5分

20．（1）证明：连结OD ．

∵AB 是⊙O 的直径，

∴∠ADB=90°． ……………………………………………………… 1分 ∵∠A=30°， ∴∠ABD=60°．

∴∠BDC =1

302

ABD ∠=?． ∵OD=OB ，

∴△ODB 是等边三角形． ∴∠ODB=60°．

∴∠ODC=∠ODB+∠BDC =90°． 即OD ⊥DC ．

∴CD 是⊙O 的切线．…………………………………………………… 2分

（2）解：∵OF ∥AD ，∠ADB=90°，

∴OF ⊥BD ，∠BOE=∠A =30°． ……………………………………… 3分

∴1

12

D E BE BD ===．

在Rt △OEB 中，OB=2BE=2

，OE =

=．………… 4分

∵OD=OB=2，∠C=∠ABD -∠BDC =30°，∠DOF =30°，

∴CD =

，tan 30D F O D =?=

∴CF CD DF =-== ……………………………5分

21．解：（1）此次共调查了100名学生． …………………………………………………1分

（2）填表：

…………………………………………………3分

（3）补全统计图如下：

到校方式条形统计图 到校方式扇形统计图

．

…………………………………………………………………………5分

22．解：（1）四边形DFCE 的面积S = 6 ，

△DBF 的面积1S = 6 ，

△ADE 的面积2S = 3

2 ． …………………………………… 3分

（2）2S =

2

1

4S

S （用含S 、1S 的代数式表示）． ………… 4分

（3）□DEFG 的面积为12． ………………………………………… 5分

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）△=2

44(1)(3)k k k --+

=2

2

44812

k k k --+

=812k -+ ……………………………………………………………… 1分

∵方程有两个不相等的实数根， ∴10,0.k -≠???>? 即 10,8120.

k k -≠??-+>? ∴k 的取值范围是32

k <

且1k ≠． …………………………………… 3分

（2）当方程有两个相等的实数根时， △=812k -+=0．

∴32

k =

． ………………………………………………………………… 4分

∴关于y 的方程为2(6)10y a y a +-++=．

∴2'(6)4(1)a a ?=--+2123644a a a =-+--21632a a =-+

2

(8)32a =--．

由a 为正整数，当2(8)32a --是完全平方数时，方程才有可能有整数根． 设22(8)32a m --=（其中m 为整数），32p q = （p 、q 均为整数）， ∴22(8)32a m --=．即(8)(8)32a m a m -+--=． 不妨设8,8.a m p a m q -+=??--=?

两式相加，得 162p q a ++=．

∵(8)a m -+与(8)a m --的奇偶性相同，

∴32可分解为216?，48?，(2)(16)-?-，(4)(8)-?-， ∴18p q +=或12或18-或12-．

∴17a =或14或1-（不合题意，舍去）或2．

当17a =时，方程的两根为117

2y -±=，即12y =-，29y =-．…… 5分

当14a =时，方程的两根为82

2y -±=，即13y =-，25y =-．…… 6分

当2a =时， 方程的两根为42

2

y ±=，即13y =，21y =． ………… 7分

24．解：（1）∵抛物线y =mx 2

+2mx +n 经过点A （-4，0）和点B （0，3），

∴1680,3.m m n n -+=??=? ∴3,83.

m n ?

=-?

??=?

． ∴抛物线的解析式为：2

3338

4

y x x =--

+．………………………… 2分

（2）令3y =，得2

333384

x x -

-

+=，得10x =，22x =-，

∵抛物线向右平移后仍经过点B ，

∴抛物线向右平移2个单位．……… 3分

∵233

384y x x =--+

233

(21)388x x =-++++

2

327(1)88

x =-++． ………… 4分

∴平移后的抛物线解析式为2

327(1)88

y x =--+． …………………… 5分

（3）由抛物线向右平移2个单位，得'(2,0)A -，'(2,3)B ．

∴四边形AA ’B ’B 为平行四边形，其面积'236AA OB ==?= ．

设P 点的纵坐标为P y ，由'OA P △的面积=6， ∴1'62

P O A y = ，即

1262

P y ?=

∴6P y =， 6P y =±．………………………………………………… 6分 当6P y =时，方程2

3

27

(1)68

8

x -

-+=无实根， 当6P y =-时，方程2327

(1)688

x --+=-的解为16x =，24x =-．

∴点P 的坐标为(6,6)-或(4,6)--．……………………………… 7分

25．解：（1）完成画图如图2，由BAC ∠的度数

为 60°，点E 落在 AB 的中点处 ，

容易得出BE 与DE 之间的数量关系 为 BE=DE ；…………… 3分

（2）完成画图如图3．

猜想：BE D E =．

证明：取AB 的中点F ，连结EF ．

∵90ACB ∠=?，30ABC ∠=?，

∴160∠=?，1

2C F AF AB ==．

∴△AC F 是等边三角形． ∴AC AF =． ① …… 4分

∵△ADE 是等边三角形，

∴260∠=?， AD AE =． ②

∴12∠=∠．

∴12BAD BAD ∠+∠=∠+∠．

即CAD FAE ∠=∠．③ ………………………………………… 5分 由①②③得 △ACD ≌△AFE （SAS ）． …………………………… 6分 ∴90ACD AFE ∠=∠=?． ∵F 是AB 的中点，

∴EF 是AB 的垂直平分线．

∴BE=AE . ……………………………………………………… 7分 ∵△ADE 是等边三角形， ∴DE=AE .

∴BE D E =． …………………………………………………… 8分

E

A

B C (D )图2

2

1

F E

D

B C A 图3