弧长和扇形面积 (1)教学设计 (1)
1 24.4 弧长和扇形面积（1）
【教学目标】
知识与技能：1、理解弧长和圆周长的关系，能利用比例的方法推导弧长公式并利用弧长公式进行相关的计算。
2、类比弧长公式推导扇形的面积公式并利用其进行相关的计算
过程与方法：
经历探索弧长、扇形面积公式的推导过程，培养学生的探索能力和应用公式解决问题的能力。
情感态度与价值观：通过公式的推导过程培养学生动手、动脑及与人合作的能力
【教学重点】弧长、扇形面积公式的推导过程及公式的应用
【教学难点】弧长、扇形面积公式的推导过程
【教学方法】指导探索法.
【课型】新授课
【教学过程】
一、预习导航
1、已知⊙O半径为R，⊙O的周长，面积是。
二、自主学习合作交流
问题1、我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分，设圆的半径为R，则周长是，圆的周长可以看作是°的圆心角所对的弧长，则1°圆心角的所对的弧长是，2°圆心角所对的弧长是，30°圆心角所对的弧长是，n°圆心角所对的弧长是。
归纳：半径为R,圆心角为n°的弧长公式
试一试：
1、一个圆心角为90°的扇形，半径为2，它所对应的弧长是多少？
2、已知100°的圆心角所对的弧长为5πcm，则这条弧所在圆的半径多少？
思考：在利用弧长公式求弧长，半径，圆心角时关键点和易错点是什么？
问题2：弯制管道时，先按中心线计算展直长度，再下料，试计算
图所示管道的展直长度L(单位：mm，结果精确到
1mm)
问题3、（1）什么是扇形？你能给扇形下个定义吗？
定义：由组成圆心角的两条和所对的弧围成的图形叫
做扇形。
（2）如果圆的半径为R，则圆的面积为，l°的圆心
角对应的扇形面积为，60°的圆心角对应的扇
形面积为，则n°的圆心角对应的扇形面积
为。
归纳：扇形的面积公式是：
试一试
1．已知扇形的圆心角为120°，半径为2cm，则
这个扇形的面积，S扇=____．
2、已知扇形面积为
3
4
，圆心角为120°，则这个扇形的半径R=
。
三、精炼提升
2、已知扇形的面积是2π，半径为4，求这个扇形的圆心角？
3、一条弧长为6πcm。这条弧所在园的半径为3，这条弧所对的圆
心角是多少？
4、一个扇形的半径等于一个圆的半径的2倍，且面积相等，求这
个扇形的圆心角．
5、如图，水平放置的一个油管的横截面半径为12cm,其中有油的部
分油面高6cm,求截面上有油部分（即弓形）的面积(结果精确到
1cm2).
拓展延伸：如图，扇形OAB的圆心角为90°，分别以OA、OB为直径在扇形内作半圆，P和Q分别表示两个阴影部分，试判定
P与Q面积的大小关系。
四：小结：
请同学们总结本节课知识要点.
教学反思：
2
最新人教版初中九年级上册数学《弧长和扇形面积》导学案
24．4．1 弧长及扇形面积 姓名：班级：组别：评定等级 【自主学习】 （一）复习巩固： 1．圆与圆的五种位置关系：、、、、 . 2.已知两圆的半径分别3cm和2cm，若两圆没有公共点，则圆心距d的取值范围为（） A. d＞5或d＜1 B. d＞5 C. d＜1 D.1＜d＜5 （二）新知导学 1.弧长计算公式 在半径为R的圆中，n0的圆心角所对的弧长l的计算公式为： l= 2.扇形面积计算公式 ①定义：叫做扇形. ②在半径为R的圆中，圆心角为n0的扇形面积的计算公式为： S扇形= 由弧长l= 和S扇形= 可得扇形面积计算的另一个公式为：S扇形= 【合作探究】 已知：扇形的弧长为2 9 π cm，面积为 9 π cm2 ，求扇形弧所对的圆心角． 【自我检测】 1.如果以扇形的半径为直径作一个圆，这个圆的面积恰好与已知扇形的面积相等，则已知扇形的中心角为（） A.60° B.90° C.120° D.150° 2.如果圆柱底面直径为6cm，母线长为4cm，那么圆柱的侧面积为（） A.24πcm2 B.36πcm2 C.12πcm2 D.48πcm2 3.圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，则圆锥侧面展开图的面积是（）
A.25 4 πcm2 B.30πcm2 C.24πcm2 D.15πcm2 4.如果正四边形的边心距为2，那么这个正四边形的外接圆的半径等于（） A.2 B.4 C.2 D. 5.圆的外切正六边形边长与它的内接正六边形边长的比为（） A.:3 B. 2:3 C.3:3 D.:2 6.圆的半径为3cm，圆内接正三角形一边所对的弧长为（） A.2πcm或4πcm B.2πcm C.4πcm D.6πcm 7.在半径为12cm的圆中，150°的圆心角所对的弧长等于（） A.24πcm B.12πcm C.10πcm D.5πcm 8.如图，设AB=1cm，，则长为（） A. B. C. D. 9.圆锥的母线长为5cm，高为3cm，则其侧面展开图中，扇形的圆心角是（） A.144° B.150° C.288° D.120° 10.如图，已知菱形ABCD中，AC，BD交于O点，AC＝23cm，BD=2cm，分别以 A，C为圆心，OA 长为半径作弧，交菱形四边于E，F，G，H四点．求阴影部分的面积．
【教学设计】《2.7弧长及扇形的面积》(苏科版)
《2.7弧长及扇形的面积》本节课的教学内容是义务教育课程标准实验教科书新苏科版九年级上册新课标实验教材《第2章圆》中的“弧长和扇形的面积”，这个课题学生在前阶段学完了“圆的认识”、“与圆有关的位置关系”、“正多边形和圆”的基础上进行的。本课由特殊到一般探索弧长及扇形面积公式，并运用公式解决一些具体问题，为学生的学习及生活更好地运用数学作准备。【知识与能力目标】 1．经历探索弧长计算公式、扇形面积计算公式的过程. 2．会运用弧长计算公式、扇形面积计算公式计算有关问题. 【过程与方法目标】 经历弧长和扇形面积计算公式的探索过程和应用过程，体会“整体与部分”的关系及类比、方程、转化等思想. 【情感态度价值观目标】 在应用中培养学生的分析问题．解决问题的能力. 【教学重点】 弧长与扇形的计算公式的推导与应用. 【教学难点】 弧长与扇形的计算公式的应用. 如图1是操场部分跑道圆弧形状的示意图，其中半径为20米，圆心角为180°. 你能求出这段跑道的长度吗? 【设计意图：从生活实际中引出计算弧长的必要性.】 二、引导探索
探索一：探索弧长公式 1．问题：刚才求的这段跑道的长度是180°的圆心角所对的弧长，若圆心角分别为90°、 45°、60°、1°、n°，如何计算它所对的弧长呢？ 2. 归纳：如果圆的半径为R ，圆心角度数为n ，弧长为l ，那么弧长的计算公式为： . 【设计意图： 从由特殊的圆心角计算弧长入手，引导学生理解n°的圆心角所对的弧长实际上是圆周长的360 n ，体会“整体与部分”的关系.】 3. 练习1： （1）已知圆弧的半径为24，所对的圆心角为60°，它的弧长为 . （2） 已知一条弧的半径为9，弧长为3π，那么这条弧所对的圆心角为______. （3）如图2，已知AB 长为12πcm ，∠AOB=160°，则⊙O 的半径 . 【设计意图：引导学生用“方程的观点”去认识弧长计算公式，理解l 、n 、R 这3个量之间的 一种相等关系.如果这三个量中，任意知道两个量，就可以根据公式求出第三个量.】 探索二：探索扇形面积公式 1. 扇形定义 一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。如上图中，由AB 和半径 OA 、OB 所组成的图形叫做扇形OAB. 2. 辨析 下列各图中，哪些图形是扇形？ 3. 尝试探索扇形的面积公式 (1)如上题图（3），圆的半径为R ，圆心角为90°，怎样计算该扇形的面积呢？ (2)怎样计算圆心角是n 0的扇形面积？请同学们小组交流. 归纳：如果用字母 S 表示扇形的面积，n 表示圆心角的度数，R 表示圆半径，那么扇形面 积的计算公式为： . 【设计意图：类比弧长的计算公式，从“整体与部分”的关系来引导学生自主探索扇形面积公 式.】 4. 扇形的面积公式与弧长公式有什么区别？有什么联系？ 扇形的弧长与扇形面积的关系为： .
24.4.1弧长和扇形的面积导学案
24.4.1弧长和扇形的面积导学案 【学习目标】1.掌握弧长计算公式，并会应用公式解决问题 2.掌握扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题 【重 点】n °的圆心角所对的弧长L=180 n R π，扇形面积S 扇=2360n R π及其它们的应用． 【难 点】两个公式的应用． 【自主预习】 问题1 弧长的计算 1、半径为3cm 的圆的周长： 。请你写出圆的周长计算公式： ； 2、圆的半径为3cm ，那么，1°的圆心角所对的弧长是 。 3、若在半径为R 的圆中， 1°的圆心角所对的弧长是 ；2°的圆心角所对的弧长是 ；3°的圆心角所对的弧长是 ；n °的圆心角所对的弧长是 。 4、计算弧长的公式： 。 体会公式：在你得到的半径为R 的圆中，n °圆心角所对的弧长计算公式中，n 的意义是什么？ 哪些量决定了弧长？ 问题 2 扇形面积的计算 1、理解概念： 是扇形. 2、半径为3的圆的面积 。写出半径为R 的圆的面积公式 。 3、（1）、若将360°的圆心角分成360等份，这360条半径将圆分割成 个小扇形，每个小扇形的圆心角为 。 （2）、如果圆的半径为R ，那么，圆心角1°的扇形面积等于 ；圆心角2°的扇形面积等于 ；圆心角3°的扇形面积等于 ；圆心角n°的扇形面积等于 。 4、计算扇形面积的公式： 体会公式：在你得到的半径为R 的圆中，n °圆心角所对的扇形面积计算公式中，n 的意义是什么？哪些量决定了扇形面积？ 问题 3 扇形的面积与弧长的关系 1、如果扇形的半径为R ，圆心角为n °.那么，扇形的弧长是 扇形面积是 ； 由此,得到扇形面积计算公式： S ＝ . 【合作探究】 探究点一 （1）、在半径为24的圆中，60°的圆心角所对的弧长l= 。 （2）、75°的圆心角所对的弧长是2.5π，则此弧所在圆的半径为 ． （3）、已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（ ）． A ．3π B ．4π C ．5π D ．6π （4）、如图1所示，把边长为2的正方形ABCD 的一边放在定直线L 上，按顺时针方向绕点D 旋转到如 图的位置，则点B 运动到点B ′所经过的路线长度为（ ） A ．1 B ．π C ．2 D ．2π （5）、如图2所示，实数部分是半径为9m 的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个 圆的圆心，则游泳池的周长为（ ） A ．12πm B ．18πm C ．20πm D ．24πm 探究点二 （1）、若扇形的圆心角n 为50°，半径为R=1，则这个扇形的面积，S 扇= ; （2）、若扇形的圆心角n 为60°, 面积为π32,则这个扇形的半径R= ; （3）、若扇形的半径R=3, S ＝3π,则这个扇形的圆心角n 的度数 ; （4）、如图，AB 是半圆的直径，AB ＝2R ，C 、D 为半圆的三等分点，求阴影部分的面积。 探究点三 (1)、若扇形的半径R=2㎝,弧长π3 4=l ㎝，则这个扇形的面积，S = ; （2）、如图，两个同心圆被两条半径截得的弧AB 的长为6π cm ，弧CD 的长为10π cm ，AC ＝12cm ，求阴影部分ABDC 的面积。 【小结与反思】 你这节课有什么有什么收获？ （1）n 。的圆心角所对的弧长是 （2）扇形的概念． （3）圆心角为n 。的扇形面积是 （4）使用以上内容，解决具体问题． 【达标测试】 1. 扇形的弧长是12лcm ，其圆心角是90°，则扇形的半径是 cm ，扇形的面积是 cm 2 . 2. 扇形的半径是一个圆的半径的3倍，且扇形面积等于圆面积，则扇形的圆心角是 。
弧长和扇形面积教案
弧长和扇形面积教案集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]
24.4弧长和扇形面积 第1课时弧长和扇形面积【知识与技能】 经历探索弧长计算公式的过程，培养学生的探索能力.了解弧长计算公式，并会应用弧长公式解决问题，提高学生的应用能力. 【过程与方法】 通过等分圆周的方法，体验弧长扇形面积公式的推导过程，培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力. 【情感态度】 通过对弧长和扇形面积公式的推导，理解整体和局部的关系.通过图形的转化，体会转化在数学解题中的妙用. 【教学重点】弧长公式及扇形面积公式的推导与应用. 【教学难点】阴影部分面积的计算. 一、情境导入，初步认识 问题:制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，这就涉及到计算弧长的问题. 如图，根据图中的数据你能计算AB的长吗？求出弯道的展直长度. 【教学说明】通过这个实际问题引入有关弧长和扇形面积的计算，从而引入课题。 二、思考探究，获取新知 1.探索弧长公式 思考1 你还记得圆的周长的计算公式吗？圆的周长可以看作多少度的圆周角所对的弧长？由此出发，1°的圆心角所对的弧长是多少?n°的圆心角所对的弧长多少？ 分析：在半径为R的圆中，圆周长的计算公式为：C=2πR，则： 圆的周长可以看作360°的圆心角所对的弧； ∴1°的圆心角所对的弧长是：1/360·2πR=πR/180； 2°的圆心角所对的弧长是：2/360·2πR=πR/90；
4°的圆心角所对弧长是：4/360·2πR=πr/45； ∴n°的圆心角所对的弧长是：l=nπR/180； 由此可得出n°的圆心角所对的弧长是：l=nπR/180. 【教学说明】①在应用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义，n 表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式可以按推导过程来理解记忆； 例1：应用弧长公式求出上述弯道展直的长度. 答案： 500π+140(mm) 2.扇形面积计算公式 如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 思考2 扇形面积的大小与哪些因素有关？（学生思考并回答） 从扇形的定义可知，扇形的面积大小与扇形的半径和圆心角有关.扇形的半径越长，扇形面积越大；扇形的圆心角越大，扇形面积越大. 思考3若⊙O的半径为R，求圆心角为n°的扇形的面积. 【教学说明】此问题有一定的难度，目的是引导学生迁移推导弧长公式的方法步骤，利用迁移方法探究新问题，归纳结论. 三、典例精析，掌握新知 例2（教材112页例2）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径为0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积（精确到0.01m2）. 解：连接OA、OB，作弦AB的垂线OD交AB于点C. ∵OC=0.6，DC=0.3，∴OD=OC-DC=0.3 在Rt△OAD中，OA=0.6，OD=0.3，由勾股定理可知：；在Rt△OAD中，OD=1/2OA.∴∠OAD=30°，∠AOD=60°，∴∠AOB=120°. ∴有水部分的面积为：S=S 扇形OAB -S △OAB =0.12π-12×0.63×0.3≈0.22(m2). 【教学说明】例2是求弓形面积，弓形面积是扇形面积与三角形面积的差或和，因此掌握了扇形面积公式，弓形面积就迎刃而解了。可由学生合作交流完成. 四、运用新知，深化理解 1.已知扇形的圆心角为120°，半径为6,则扇形的弧长是 4π .
九年级数学(学案)弧长和扇形面积
https://www.wendangku.net/doc/a114885764.html,.c 2020-2021学年 弧长和扇形面积 教学目标 1、了解扇形的概念，理解n?°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用． 2、 通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n °的圆心角所对的弧长180 R n l π= 和扇形面积S 扇=2 360 n R π的计算公式，并应用这些公式解决一些题目． 教学重点．：n °的圆心角所对的弧长L=180n R π，扇形面积S 扇=2360n R π及其它们的应用． 教学难点：两个公式的应用． 教学过程 一、探索新知：请同学们回答下列问题． 1．圆的周长公式是什么？ 2．圆的面积公式是什么？ 3．什么叫弧长？ 完成下题：设圆的半径为R ，则： 1．圆的周长可以看作__________________度的圆心角所对的弧． 2．1°的圆心角所对的弧长是__________________________． 3．2°的圆心角所对的弧长是__________________________． 4．4°的圆心角所对的弧长是__________________________． …… 5．n °的圆心角所对的弧长是__________________________． 根据以上的解题过程，我们可得到： n °的圆心角所对的弧长为180 R n l π= 例1、已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的长度。
例2、制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，?试计算如图所示的管道的展直长度，即弧AB 的长 扇形的定义：由组成圆心角_________________________________________围成的图形是扇形。 请同学们结合圆面积S=πR 2的公式，独立完成下题： 1．圆的面积可以看作是______________度的圆心角所对的扇形的面积． 2．设圆的半径为R ，1°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=__________________． 3．设圆的半径为R ，2°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=____________________． 4．设圆的半径为R ，5°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=__________________． …… 5．设圆半径为R ，n °的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______________________． 因此：在半径为R 的圆中，圆心角n °的扇形 例3：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm ，其中水面高0.9cm ，求截面上有水部分的面积 二、随堂练习： 1.已知弧所对的圆心角为900，半径是4，则弧长为______ 2. 已知一条弧的半径为9，弧长为8 ，那么这条弧所对的圆心角为____。 3. 钟表的轴心到分针针端的长为5cm,那么经过40分钟,分针针端转过的弧长是_________________ 4、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积，S 扇=___________________． 5、已知半径为2的扇形，面积为3π ，则它的圆心角的度数为_______________________
第1课时 弧长和扇形面积1 教案
第 1 页 共 3 页 24．4 弧长和扇形面积 第1课时 弧长和扇形面积 1．经历弧长和扇形面积公式的探求过 程． 2．会利用弧长和扇形面积的计算公式 进行计算． 一、情境导入 在我们日常生活中，弧形随处可见，大到星体运行轨道，小到水管弯管，操场跑道，高速立交的环形入口等等，你有没有想过，这些弧形的长度怎么计算呢？ 二、合作探究 探究点一：弧长 【类型一】求弧长 在半径为1cm 的圆中，圆心角为 120°的扇形的弧长是________cm. 解析：根据弧长公式l ＝ n πr 180 ，这里r ＝1，n ＝120，将相关数据代入弧长公式求解．即l ＝120·π·1180＝2 3 π. 方法总结：半径为r 的圆中，n °的圆心角所对的弧长为l ＝ n πR 180 ，要求出弧长关 键弄清公式中各项字母的含义． 如图，⊙O 的半径为6cm ，直线AB 是⊙O 的切线，切点为点B ，弦BC ∥AO .若∠A ＝30°，则劣弧BC ︵ 的长为________cm. 解析： 连接OB 、OC ，∵AB 是⊙O 的切线，∴AB ⊥BO .∵∠A ＝30°，∴∠AOB ＝60°.∵BC ∥AO ，∴∠OBC ＝∠AOB ＝60°.在等腰△OBC 中，∠BOC ＝180°－2∠OBC ＝180°－ 2×60°＝60°.∴BC ︵的长为60×π×6 180 ＝2 π. 方法总结：根据弧长公式l ＝n πR 180，求 弧长应先确定圆弧所在圆的半径R 和它所对 的圆心角n 的大小． 【类型二】利用弧长求半径或圆心角 (1)已知扇形的圆心角为45°，弧长等于π 2 ，则该扇形的半径是________； (2)如果一个扇形的半径是1，弧长是π 3 ，那么此扇形的圆心角的大小为________． 解析：(1)若设扇形的半径为R ，则根据题意，得45×π×R 180＝π2 ，解得R ＝2. (2)根据弧长公式得 n ×π×1180 ＝π 3 ，解 得n ＝60，故扇形圆心角的大小为60°. 方法总结：逆用弧长的计算公式可求出相应扇形的圆心角和半径． 【类型三】求动点运行的弧形轨迹 如图，Rt △ABC 的边BC 位于直线 l 上，AC ＝3，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°.若Rt △ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A 第3次落在直线l 上时，点A 所 经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)．
24.4 弧长和扇形面积(第一课时)
24.4 弧长和扇形面积 第一课时 一、教学目标 1．了解弧长、扇形的概念． 2．理解弧长公式中n 的意义，并会运用弧长公式进行有关计算． 3．理解并掌握扇形面积的两个公式，会计算一些组合图形的面积． 二、教学重难点 重点：弧长、扇形面积公式的推导及应用． 难点：组合图形的面积的计算问题． 教学过程（教学案） 一、情境引入 探究P111“思考” 学生作图思考后，交流讨论． 二、互动新授 1.推导弧长公式 （1）学生代表发言 （2）教师归纳总结：在半径为R 的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C ＝2πR ，所以1°的圆心角所对的弧长是2πR 360，即πR 180 ，于是n °的圆心角所对的弧长为l ＝n πR 180 . 2.运用新知，教学例1 （1）师生合作分析题意. （2）学生自主解答，一人板演. （3）集体订正，教师展示解答过程. 3.扇形面积公式的推导 （1）扇形的定义：如教材图24.4－2，由组成圆心角的两条半径 和圆心角所对的弧围成的图形叫扇形．可以发现，扇形的面积除了与圆 的半径有关外还与组成扇形的圆心角的大小有关．圆心角越大，扇形面 积也就越大． （2）提出问题：怎样计算圆的半径为R ，圆心角为n °的扇形面积 呢？ 学生交流讨论． （3）探究P112“思考” 师生共同分析：在半径为R 的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面 积S ＝πR 2，所以圆心角是1°的扇形面积是πR 2360 .于是圆心角为n °的扇形面积是S 扇形＝n πR 2 360 . （4）推导弧长与扇形面积的关系 比较弧长公式和扇形面积公式，用弧长和半径来表示扇形面积公式. 学生讨论，教师引导学生将扇形面积公式改写成12R ·n πR 180 . 因此，扇形面积公式还可以表示为S ＝12 lR ，其中l 为扇形的弧长，R 为半径． 说明：在运用扇形面积公式时，要根据已知条件灵活地选择这两个面积公式． 4.运用新知，教学例2 （1）师生共同分析题意 连接OA ，OB ，那么弓形面积就是扇形面积与△ABO 面积的差．扇形半径已知，只需求圆心角∠AOB 即可．
弧长和扇形面积—知识讲解
弧长和扇形面积—知识讲解 【学习目标】 1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题； 2. 能准确计算组合图形的面积. 【要点梳理】 要点一、弧长公式 半径为R的圆中 360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式： n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分) 要点诠释： (1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； (2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； (3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 要点二、扇形面积公式 1.扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 2.扇形面积公式 半径为R的圆中 360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： n°的圆心角所对的扇形面积公式： 要点诠释： (1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即； (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； (4)扇形两个面积公式之间的联系：. 【典型例题】 类型一、弧长和扇形的有关计算 1．如图（1），AB切⊙O于点B，OA=AB=3，弦BC∥OA，则劣弧BC的弧长为（）．
A B C ．π D ．3 2 π 图（1） 【答案】A. 【解析】连结OB 、OC ，如图（2） 则0OBA ∠?＝9， ，0A ∠?＝3，0AOB ∠?＝6， 由弦BC ∥OA 得60OBC AOB ∠∠=?＝， 所以△OBC 为等边三角形，0BOC ∠?＝6. 则劣弧BC 的弧长为 60=1803 π，故选A. 图（2） 【总结升华】主要考查弧长公式：. 举一反三： 【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，?试计算如图所示的管道的展直长度，即 的长(结果精确到0.1mm) 【答案】R=40mm ，n=110 ∴的长==≈76.8(mm) 因此，管道的展直长度约为76.8mm ． 2．如图，⊙O 的半径等于1，弦AB 和半径OC 互相平分于点M.求扇形OACB 的面积（结果保留π）
弧长和扇形面积学案
24.4 弧长与扇形面积学案 一、学习目标： 1、利用圆的周长与面积公式探索弧长和扇形面积的计算公式的过程． 2、掌握弧长和扇形面积公式并解决实际问题． 二、温故知新： 1、请写出圆周长计算公式： 。 2、写出半径为R 的圆面积公式 ，求半径为3的圆的面积为 。 3、认识概念： 是扇形。（课本P111） 4、圆的半径为，若将360°的圆心角分成360等份，这360条半径将圆分割成 个小扇形，每个小扇形的圆心角是 。 （1） 1°圆心角所对的弧长是圆周长的 分之 ，即()1 × （ ）= ， n °圆心角所对的弧长l = 。 （2）在你得到的弧长计算公式中，哪些量决定了弧长？ 。 （3）圆心角是1°的扇形面积等于圆面积的 分之 ，即 ，圆心角是n °的扇形面积等于 。 5、扇形面积和弧长有关系吗？ 扇形面积S= = 21?()()R ?=2 1 R 三、初试牛刀 （三、六、九组写1—3题，其他组写4—8题） 1、在半径为24的圆中，60°的圆心角所对的弧长l = 。
2、若扇形的圆心角n 为50°，半径为R=1，则扇形的面积S 扇= 。 3、若扇形的半径R=2㎝，弧长π3 4=l ㎝，则扇形的面积S 扇= 。 4、75°的圆心角所对的弧长是2 5π，则此弧所在圆的半径为 。 5、如果扇形的半径为2，弧长为π3 4，你能求出圆心角吗？ 6、足球场地罚球弧半径是9米，圆心角是120°，罚球弧长是 。 7、若扇形的圆心角n 为60°, 面积为π3 2,则这个扇形的半径R= 。 8、若扇形的半径R=3, S 扇形＝3π,则这个扇形的圆心角n 的度数为 。 四、学以致用 在例题中体会数学的转化思想。 五、勇往直前（必做题1——2选做题3） 1、求图中阴影部分扇形的面积。 2、（1）已知半径为3的扇形，弧长为4π，则这个扇形的面积为 。 （2）已知半径为3的扇形，面积为 4π，则这个扇形的弧长为 。 （3）已知弧长为4π的扇形，面积为 3π，则这个扇形的半径为 。 3、求弧长为4π，圆心角为120°的扇形面积。 总结：写出你本节课的收获: 作业：P114 第2 3 5题。
“弧长和扇形面积”教案
课题：24.4弧长和扇形面积 【教学目标：】 1、理解弧长公式,会灵活运用公式求弧的长度. 2、掌握扇形面积公式的推导过程，初步运用扇形面积公式进行一些有关计算； 【教学重、难点：】 弧长公式和扇形面积公式的应用. 【教学过程：】 一、 弧长公式 1、 情境引入： 制造弯形管道时，经常要先按中心 线计算“展直长度”(图中虚线的长度)，再 下料，这就涉及到计算弧长的问题。 2、 自主预习课本第110页,完成下列问题： （1）圆周长的计算公式是________? 圆的周长可以看作是____度的圆心角所对的弧长? （2）1°的圆心角所对的弧长是__________?n°的圆心角所对的弧长呢? （3）在半径为R 的圆中,n°的圆心角所对的弧长l 的计算公式为________ 3、练一练： （1）对于弧长公式，当R=2，n=800时则弧长l =________;当R=2，l =3π时，n=______,当n=800, l =3π时，R=_____. （老师注意让学生总结由弧长公式知，在l 、n 、R 三者量中，只要已知两个量，就可求出第三个量） (2)按中心线计算弯形管道 “展直长度”(图中虚线的长度)， 二、 扇形面积 1、自主预习课本第111页思考下列问题 （1）已知⊙O 半径为R ，⊙O 的面积S 是_______ （2）设扇形半径为R ，则圆心角为1°的扇形的面积= ；圆心角为n °的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积_______倍；圆心角为n °的扇形的面积= ． (3)扇形的面积公式s 与弧长公式l 的关系是___________。 2、练一练： （1）对于扇形的面积公式，当R=2，n=800,则扇形的面积s =________;当R=2，s =3π时，n=______,当n=1200,s =3π时，R=_______. （老师注意让学生总结由扇形面积公式知，在s 、n 、R 三者量中，只要已知两个量，就可求出第三个量） （2）如果一个扇形面积是它所在圆的面积的8 1，则此扇形的圆心角是________ （3）已知扇形面积为3π，弧长为3π，则这个扇形的半径R=_______． （4）已知扇形的圆心角为150°，弧长为20π,则这个扇形的面积为______
《弧长及扇形的面积》教学设计
《弧长及扇形的面积》教学设计 【教学内容】 鲁教版九年级下册第五章《圆》第九节《弧长及扇形面积》P53—P56. 【课标分析】 《课标》要求：会计算圆的弧长、扇形的面积。课标对本节的要求是会计算，对于弧长和扇形面积公式要由学生独立分析得出，帮助学生更好地理解公式。 《课标》还要求：通过义务教育阶段的数学学习，学生能： 1. 获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。 2. 体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。 3. 了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和实事求是的科学态度。 因此，本节课以制作圆锥形圣诞帽为主线，引导学生思考： 如何做扇形？弧长与圆心角、半径有什么关系？ 如何做圆锥帽？至少需要准备多少纸？扇形面积如何求？ 如何进行装饰？求弓形面积 让学生感悟数学来源于生活，并服务于生活。充分发挥学生的主体地位，让学生积极主动地思考。 【教材分析】 本节课是鲁教版九年级下册第五章《圆》的第九节《弧长及扇形面积》内容。在学生对圆有了一定的认识后，再进一步研究弧长及扇形面积的计算。同时，本课时内容也在为下一课时《圆锥的侧面积》做铺垫。因此，本节课设计了制作圆锥形圣诞帽的活动，由生活情境入手，激发学生学习兴趣，并引导学生主动思考，运用数学知识解决实际问题。 【学情分析】 学生在小学阶段已经学过求圆的周长及面积的计算公式，在此基础上，可以借助扇形圆心角所占360°的百分比探究圆心角所对弧长、扇形的面积。初一阶段对圆锥的侧面展开图是扇形等知识也有一定的了解，但是需要一定的空间想象能力，部分学生依然存在困难，因此设计动手做圆锥帽的活动，帮助学生进一步积累感性认识，形成空间观念。 初四学生具有一定的发现和分析问题的能力，对于身边的事物充满了好奇心和探究欲，大部分同学能积极主动发表自己的见解，但在思维方式上不够深刻、不够全面。因此本课设计了制作圆锥帽的活动，引导学生发现问题并及时思考。
弧长和扇形面积教案
24.1弧长和扇形面积（第1课时） 教学目标： 1、知识与技能：理解弧长公式和扇形面积公式的推导过程，掌握公式并能正确、熟练的运用两个公式进行相关计算； 2、过程与方法：经历用类比、联想的方法探索公式推导过程，培养学生的数学应用意识，分析问题和解决问题的能力。 3、情感与态度：通过联系和运动发展的观点，渗透辩证唯物主义思想方法。 教学重难点： 重点：弧长,扇形面积公式的导出及应用。 难点：用公式解决实际问题。 教学过程： 一、情境导入 在田径二百米比赛中，每位运动员的起跑位置相同吗？这样比赛公平吗？ 二、课内探究 （一）弧长公式 1、回顾圆弧的定义，并提问“弧是圆的一部分，你会求弧的长度吗？” 2、自主学习，合作探究（5分钟） （1）半径为R的圆,圆的周长是多少？半圆呢？四分之一圆呢？ （2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？ （3）1°圆心角所对弧长是多少？
（4）n °圆心角所对的弧长是多少？, (点评)根据同学们的解题过程，我们可得到：1°的圆心角所对的弧长为 180R 3602ππ=R n °的圆心角所对的弧长是1°的圆心角所对的弧长的n 倍，n ? 180R π即180 R n l π=. 3、精讲例题 例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L(单位：mm ，精确到1mm) 4、链接中考 （1）已知圆心角为60°，半径为1，则弧长为 _________ . （2）已知圆心角为120°，弧长为10πcm ，则半径为__________ cm ． 检查学生练习情况并点评 （二）扇形面积公式 1、扇形的定义并学会判断什么图形是扇形？ 2、自主学习，合作探究（5分钟） （1）如果圆的半径为R ，则圆的面积是多少？半圆呢？四分之一圆呢？ （2）1°的圆心角对应的扇形面积为 多少？ （3）n °的圆心角对应的扇形面积为 多少？ (点评)根据同学们的解题过程，我们可得到：1°的圆心角所对的扇形面积为360 2 R π n °的圆心角所对的扇形面积是1°的圆心角所对的扇形面积的n 倍，n ?360 2 R π即360 2 R n S π扇形=.
弧长和扇形的面积2教案
弧长和扇形的面积2教案
图 1 弧长和扇形的面积 教学目标： 认识扇形，会计算弧长和扇形的面积，通过弧长和扇形面积的发现与推导，培养学生运用已有知识探究问题获得新知的能力。 重点难点： 1、重点：弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积。 2、难点：运用弧长和扇形的面积公式计算比较复杂图形的面积。 教学过程： 一、发现弧长和扇形的面积的公式 1、弧长公式的推导。 如图1是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90°．你能求出这段铁轨的长度吗?（取3.14）我们容易看出这段铁轨是圆周长的4 1 ,所以铁轨的长度l ≈ （米）. 问题：上面求的是90 的圆心角所对的弧长，若圆心角为
O B O B A A B O A B O A B O n ? ，如何计算它所对的弧长呢？ 请同学们计算半径为3cm ，圆心角分别为180?、90?、45?、1?、 n ? 所对的弧长。 等待同学们计算完毕，与同学们一起总结出弧长公式（这里关键是1?圆心角所对的弧长是多少，进而求出n ?的圆心角所对的弧长。） 因此弧长的计算公式为 l = __________________________ 练习：已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求 此圆弧的长度。 2、扇形的面积。 如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形 问：右图中扇形有几个？ 同求弧长的思维一样，要求扇形的面积，应思考圆心角
为1?的扇形面积是圆 面积的几分之几？进而求出圆心角n的扇形面积。 如果设圆心角是n°的扇形面积为S，圆的半径为r，那么扇形的面积为 S= ___ . 因此扇形面积的计算公式为 S=————————或S=—————————— 练习:1、如果扇形的圆心角是230°，那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆的面积的____________； 2、扇形的面积是它所在圆的面积的32，这个扇形的圆心角的度数是_________°. 3、扇形的面积是S，它的半径是r，这个扇形的弧长是_____________ 二、例题讲解 例1、如图，圆心角为60°的扇形的半径为10厘米，求这个扇形的面积和周长． （π≈3.14）
新浙教版九年级数学上册3.8.1弧长及扇形的面积学案
新浙教版九年级数学上册3.8.1弧长及扇形的面积学案 班级 姓名_____________ 一、学习目标 1.经历探索弧长计算公式的过程. 2.掌握弧长计算公式，并会应用公式解决问题. 重点：圆的弧长计算公式 难点：例1图形较为复杂，牵涉知识较多，并需添加辅助线，思路不易形成. 二、预习 1. 已知⊙O 的半径为 R ，求（弧长一般用字母l 来表示） （1） 圆周长C=________ （2） 90°圆心角所对的弧长l = （3） 36°圆心角所对的弧长l = （4） 圆的半径是R ，把圆分成360份，每份的圆心角______度，所对的弧l =_______。 （0在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式： =l =R =n 2. 三、课堂探究 3. 一段圆弧的公路弯道,圆弧的半径是2km,一辆汽车以每小时62.8km 的速度通过弯道,需20秒. 求弯道所对的圆心角的度数。（π取3.14） 4. 如图，BM 是⊙O 的直径，四边形ABMN 是矩形，D 是⊙O 上的点，DC ⊥AN ，与AN 交于点C ，已 知AC ＝15，⊙O 的半径为Ｒ＝30，求BD ⌒ 的长 5. 如图，把Rt △ABC 的斜边放在直线l 上，按顺时针方向转动一次,使它转到△C B A '' 的位置， 点'C 在直线l 上。若BC=1,∠A=30°。求点A 运动到A ′位置时，点A 经过的路线长。
四、课内练习 6. 已知圆弧的度数为60°，弧长为6πcm.求圆的半径. 7. 已知圆弧的长为10πcm ，弧的半径为20cm.求弧的度数. 8. 西气东输工程全长四千多千米，其中有成千上万个圆弧形弯管 援制作弯管时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料.求出 图中管道的全长（中心线的长度，精确到1cm). 9. 如图，弧AB 的半径R 为30m ，弓形的高h 为15m. 求AB ⌒ 的长. 10. 如图，某田径场的最内圈周长为400m ，其中两个半圆弯道的内圈共长200m ，每条直道长100m ， 且每条跑道宽1m(共6条跑道). (1)最内圈弯道半径为多少米（精确到0.1m ）？ (2)最内圈弯道与最外圈弯道的长相差多少米（精确到0.1m ）？ (3)相邻两圈的长度之间有什么规律？（31847.014 .31 ）
弧长和扇形面积练习题
24.4 弧长和扇形面积习题 一、 选择题 1．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（ ）． A ．3π B ．4π C ．5π D ．6π 2．如图1所示，把边长为2的正方形ABCD 的一边放在定直线L 上，按顺时针方向绕 点D 旋转到如图的位置，则点B 运动到点B ′所经过的路线长度为（ ） A ．1 B ．π C ．2 D ．2π (1) (2) (3) 3．如图2所示，实数部分是半径为9m 的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆 都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（ ） A ．12πm B ．18πm C ．20πm D ．24πm 4．圆锥的母线长为13cm ，底面半径为5cm ，则此圆锥的高线为（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm 5．在半径为50cm 的圆形铁皮上剪去一块扇形铁皮，?用剩余部分制作成一个底面直径 为80cm ，母线长为50cm 的圆锥形烟囱帽，则剪去的扇形的圆心角度数为（ ） A ．228° B ．144° C ．72° D ．36° 6．如图所示，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，?从点A 出发 绕侧面一周，再回到点A 的最短的路线长是（ ） A ．3 B ． 332 C ．3 D ．3 二、填空题 1．如果一条弧长等于4 πR ，它的半径是R ，那么这条弧所对的圆心角度数为______，? 当圆心角增加30°时，这条弧长增加________． 2．如图3所示，OA=30B ，则AD 的长是BC 的长的_____倍． 3．母线长为L ，底面半径为r 的圆锥的表面积=_______． 4．矩形ABCD 的边AB=5cm ，AD=8cm ，以直线AD 为轴旋转一周，?所得圆柱体的表 面积是__________（用含π的代数式表示） 5．粮仓顶部是一个圆锥形，其底面周长为36m ，母线长为8m ，为防雨需在粮仓顶部 铺上油毡，如果按用料的10%计接头的重合部分，那么这座粮仓实际需用________m 2 的油毡．
弧长和扇形面积教学设计
..弧长和扇形面积教学设计
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24.4.1弧长和扇形面积教学设计 【教材分析】 本节课的教学内容是人教版九年级上册教材《第二十四章圆》中的“弧长和扇形面积”第一课时，这节课是学生在前阶段学完了“圆”、“点、直线、圆和圆的位置关系”、“正多边形和圆”的基础上进行的拓展，也是后一节课学习圆锥的预备知识。这节课由特殊到一般探索弧长和扇形面积公式，并运用公式解决一些具体问题，为学生能更好地运用数学作准备。教学时，结合生活实例，通过弧长、扇形面积与圆周长、圆面积的关系，探索发现它们的计算公式，并会运用它们进行计算和解决实际问题。 【教学目标】 根据新课程标准的要求，课改应体现学生身心发展特点；应有利于引导学生主动探索和发现；有利于进行创造性的教学。因此，我把本节课的教学目标确定为以下三个方面： 知识目标： 掌握弧长公式和扇形面积公式的推导过程，能运用弧长公式和扇形面积公式进行有关计算方法与过程目标： 通过弧长和扇形面积公式的推导过程与运用，发展学生分析问题、解决问题的能力. 情感态度与价值观目标: 【重通过弧长公式和扇形面积公式的推导，发展学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力． 点与难点】 重点：弧长,扇形面积公式的导出及应用． 难点：用公式解决实际问题 【学生分析】 进行本节课的学习学生应该具备圆的相关性质、勾股定理等知识储备。这些知识学生都已较好的掌握了，只是在运用知识过程中需要用到转化的数学思想方法，这是学生的薄弱处。在前面的学习中，学生已经积累了一定的数学活动经验，具备了较强的推理能力和说理能力，但自主探究能力和归纳概括能力较弱。学生对生活中的例子较为感兴趣，但在探究过程中克服困难的毅力不够。 【教学方法】 针对学初三学生的年龄特点和心理特征，以及他们现有知识水平，通过发现动态形成“弧长和扇形的面积”的经过启迪学生思维，通过小组合作与交流及尝试练习，促进学生共同进步，并用肯定和激励的言语鼓舞、激励学生。通过教学引导学生关注身边的数学，并借助如何确理解弧长公式、扇形面积公式的推导。会运用公式计算弧长、扇形及简单组合图形的面积。培养学生的创新能力和概括表达能力，运用通过介绍扇面的文化，渗透艺术文化熏陶和情感的教育。 【设计理念】 圆的学习是学生从感性认识到理性认识的一个渐进过程。本节课是在小学学习圆周长和面积的基础上，推导出弧长和扇形面积公式，此过程适应了数到式的发展过程，展示知识形成发展过程。把实际问题转化为数学问题的能力贯穿在整个教学过程中。 【教师准备】 《问题导读---评价单》、《问题生成---评价单》、《问题训练---评价单》
2020-2021学年九年级数学(学案)-弧长和扇形面积
2020-2021学年 弧长和扇形面积 教学目标 1、了解扇形的概念，理解n?°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用． 2、 通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n °的圆心角所对的弧长180 R n l π= 和扇形面积S 扇=2 360 n R π的计算公式，并应用这些公式解决一些题目． 教学重点．：n °的圆心角所对的弧长L=180n R π，扇形面积S 扇=2360n R π及其它们的应用． 教学难点：两个公式的应用． 教学过程 一、探索新知：请同学们回答下列问题． 1．圆的周长公式是什么？ 2．圆的面积公式是什么？ 3．什么叫弧长？ 完成下题：设圆的半径为R ，则： 1．圆的周长可以看作__________________度的圆心角所对的弧． 2．1°的圆心角所对的弧长是__________________________． 3．2°的圆心角所对的弧长是__________________________． 4．4°的圆心角所对的弧长是__________________________． …… 5．n °的圆心角所对的弧长是__________________________． 根据以上的解题过程，我们可得到： n °的圆心角所对的弧长为180 R n l π= 例1、已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的长度。
0 40mm https://www.wendangku.net/doc/a114885764.html,.c B A O 110? 例2、制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再 下料，?试计算如图所示的管道的展直长度，即弧AB 的长 扇形的定义：由组成圆心角_________________________________________围成的图形是扇形。 请同学们结合圆面积S=πR 2的公式，独立完成下题： 1．圆的面积可以看作是______________度的圆心角所对的扇形的面积． 2．设圆的半径为R ，1°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=__________________． 3．设圆的半径为R ，2°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=____________________． 4．设圆的半径为R ，5°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=__________________． …… 5．设圆半径为R ，n °的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______________________． 因此：在半径为R 的圆中，圆心角n °的扇形 S 扇形=2360n R π=lR 21 例3：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm ，其中水面高0.9cm ，求截面上有水部分的面积 二、随堂练习： 1.已知弧所对的圆心角为900，半径是4，则弧长为______ 2. 已知一条弧的半径为9，弧长为8 ，那么这条弧所对的圆心角为____。 3. 钟表的轴心到分针针端的长为5cm,那么经过40分钟,分针针端转过的弧长是_________________ 4、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积，S 扇=___________________． 5、已知半径为2的扇形，面积为3π ，则它的圆心角的度数为_______________________