浅析行测考试中容斥问题速解方法

浅析行测考试中容斥问题速解方法

容斥问题在最近几年的国家公务员考试中出现的频率逐渐增大，尤其是最近两年都有出现。难度也逐渐增大，不再拘泥于最常规的两个集合和三个集合的考查方式。在各省市的公务员考试中，容斥问题仍然出现活跃。因此，这一题型还是需要重点关注。

一、什么是容斥问题

容斥问题是容斥问题是一种集合计数问题，也是行测考试数学运算部分考试频率非常高的一类型题。所谓容斥就是在进行计数时，先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。行测考试中容斥原理题令很多考生头痛不已，因为容斥原理题看起来复杂多变让考生一时找不着头绪。但该题型还是有着非常明显的内在规律,只要考生能够掌握该题型的内在规律,看似复杂的问题就能迎刃而解,下面就该题型分两种情况进行剖析,相信能够给考生带来一定的帮助。其中，两者容斥和三者容斥问题是典型题目

二、题目特点

题目中给出多个概念，概念之间存在交叉关系。

三、常考题型

1、二者容斥问题

解决两者容斥问题的方法：如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，然后减掉重复计算的部分。

公式：覆盖面积=A+B-A与B的交集

方法核心：让每个重叠区域变为一层。

(x为重叠区域)

例1：班级一共有240人，每个人必须至少有一门是好的，已知行测好的是160人，申论好的是120人，问既行测好又申论好的有多少人?

(x为既行测好又申论好的人)

解析：首先我们只需把行测好、申论好的分别看成集合，然后用文氏图表示出来，其中x为重叠区域，我们需将其变为单层。160+120-x=240，解得x=40。

例2:大学四年级某班有50名同学，其中奥运会志愿者10人，全运会志愿者17人，30人两种志愿者都不是，则班内是全运会志愿者且奥运会志愿者的同学是多少？

A.6

B.7

C.8

D.9

解析：两个概念分别的奥运会志愿者和全运会志愿者，设班内是全运会志愿者且奥运会志愿者的同学有X人，则有10+17-X+30= 50,所以X=7,即班内是全运会志愿者且奥运会志愿者的同学有7人。

2.三者容斥问题

解决三者解决容斥问题的方法：如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，先把A、B、C三个集合的元素个数相加，然后减掉重复计算的部分。

(1、2、3、x均为重叠区域)

方法核心：让每个重叠区域变为一层。

总结：解决容斥问题，最重要的就是要分清题干中所给的重叠区域，然后从三层区域入手(小圈)将重叠区域变为一层。

公式：覆盖面积=A+B+C-两者交-2×三者交

例1：有140人，每个人都至少喜欢一种花，已知喜欢玫瑰花的有80人，喜欢牡丹花的有70人，喜欢百合花的有60人，则分别在以下三种条件下，三种花都喜欢的有多少人?

(1)喜欢玫瑰和牡丹的有30人，喜欢玫瑰和百合的有40人，喜欢牡丹和百合的有50人;

(2)只喜欢两种花的有40人;

(3)至少喜欢两种花的有50人。

解析：首先分析三个条件中重叠区域是哪部分，利用元素的总个数=大圈-中圈+数小圈，则大圈=80+70+60，中圈=30+40+50，其中大圈中x被加了三次，减中圈时x被减了三次，还需加一次x，故，解得x=50。(2)大圈=80+70+60，中圈=40，其中大圈中x被加了三次，减中圈时x一次也没有被减，因此需减2x，故，解得x=15。(3)大圈=80+70+60，中圈=50，其中大圈中x被加了三次，减中圈时x被减了一次，因此需再减一次x，故，解得x=20。

例2:某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影都看过，20人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是多少人？

A、69

B、65

C、57

D、46

解析：三个概念分别是甲片、乙片、丙片，假设只看过其中两部电影的人数有X人，则89+47+63-X-2×24+20=125.所以X=46.即只看过其中两部电影的人数有46人。

3、容斥极值问题

例：小明、小刚两人一起参加一次英语考试，已知考试共有100道题，且小明做对了68题，小刚做对了58题。问两人都最对的题目至少有几题？

例：小明、小刚和小红三人一起参加一次英语考试，已知考试共有100道题，且小明做对了68题，小刚做对了58题，小红做对了78题。问三人都最对的题目至少有几题？

依此类推……

四.经典例题

例1：某班有50名学生，在一次测验中有26人满分，在第二次测验中有21人满分，如果两次测验都没得过满分的学生有17人，那么两次测验都得满分的有多少人?

A.14

B.12

C.17

D.20

解析：通过都题目可以发现这是一个二者容斥的问题，要求的是两者的交集，设为X，全集是50，空白区域是17，所以根据公式可以列出式子：50=26+21+17-X，可以算出X等于14，故选择A答案。

例2：某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的都15人。问接受调查的学生共有多少人?

A.120

B.144

C.177

D.192

解析：通过题目可以发现这是一个三者容斥问题，要求的全集的大小。集合A可以看成是63，集合B可以看成是89，集合C可以看成是47，只含两者的是46，三者的交集是24，空白区域是15，所以列式为：全集=63+89+47+15-46-2×24=120，故选择A选项。

例3：某服装公司就消费者对红、黄、蓝三种颜色的偏好情况进行市场调查，共抽取了40名消费者，发现其中有20人喜欢红色、20人喜欢黄色、15人喜欢蓝色，至少喜欢两种颜色的有19人。喜欢三种颜色的有3人，问三种颜色都不喜欢的有几人?

A.1

B.3

C.5

D.7

解析：通过题目可以发现这是一个三者容斥问题，要求的是空白区域，可以设为X，全集为40，集合A是20，集合B是20，集合C是15，至少包含两者的是19，三者的交集是3，根据公式可以列式为：40=20+20+15+X-19-3，可以解出X等于7，所以选择D选项。

老师相信大家通过上面三个例题可以看出，容斥问题只要掌握好了相应的公式，解题起来是相当快速的，所以考生们一定要记住公式并根据所给条件选择相应的公式求解。