幂 函 数
一、幂函数定义:对于形如:
()x f x α
=,其中α为常数.叫做幂函数
定义说明:
1、
定义具有严格性,x α
系数必须是1,底数必须是x
2、 α取值是R .
3、
《考试标准》要求掌握α=1、2、3、?、-1五种情况
习题:定义应用
1、下列函数是幂函数的是 ______
①21()y x -= ②22y x = ③21(1)y x -=+ ④0
y x = ⑤1y =
2、若幂函数()y f x =
的图像过点
22??
? ???,则函数()y f x =的解析式为______. 3、已知函数()()2
21
44m
m f x m m x --=--是幂函数,且经过原点,则实数m 的值为
__________.
二、幂函数的图象
幂函数的图像是由α决定的,可分为五类: 1)1α>时图像是竖立的抛物线.例如:()2x f x =
2)=1α时图像是一条直线.即()
x f x =
3)01α<<
时图像是横卧的抛物线.例如()1
2
x f x
=
4)=0α时图像是除去(0,1)的一条直线.即()
0x f x =(0x ≠)
具备规律:
①在第一象限内x=1的右侧:指数越大,图像相对位置越高(指大图高)
②幂指数互为倒数时,图像关于y=x 对称
③结合以上规律,要求会做出任意一种幂函数图像
三、幂函数的性质
幂函数中,当12
1321
a -=,,,,时性质如下表所示:
结合以上特征,得幂函数的性质如下:
(1)所有的幂函数在()0,+∞都有定义,并且图象都通过点(1,1); (2)当a 为奇数时,幂函数为奇函数;当a 为偶数时,幂函数为偶函数;
(3)如果a>0,则幂函数的图象通过原点,并且在区间)0[∞+,
上是增函数; (4)如果a<0,则幂函数在区间()0,+∞上是减函数
习题:图象及性质应用
1、右图为幂函数y x α
=在第一象限的图像,则,,,a b c d 的大小关系是 ( )
()A a b c d >>> ()B b a d c >>> ()C a b d c >>>
()D a d c b >>>
2、如图:幂函数n m
y x =(m 、n N ∈,且m 、n 互质)的图象在第一,二象限,且不经过原点,则有
( )
()A m 、n 为奇数且1m n <
()B m 为偶数,n 为奇数,且1m n
>
()C m 为偶数,n 为奇数,且1m n <
()D m 奇数,n 为偶数,且1m n
>
3、比较下列各组数的大小:
(1)13
1.5,13
1.7,1;(2
)(37
,()
37
,()
37
;(3
)2
3
2-
??
-
? ???
,
23
107-
??
- ???
,()431.1--.
综合练习:
1.下列函数是幂函数的是( )
A .y=x x
B.y=3x 2
C.y=x 2
1+1 D.y=x 3
-
2、在函数y =21x
,y =2x 3,y =x 2
+x ,y =1中,幂函数有 ( ) A 、0个
B 、1个
C 、2个
D 、3个
3、设 1.5
0.90.4812314,8,2y y y -??
=== ?
??
,则 ( )
A 、312y y y >>
B 、213y y y >>
C 、132y y y >>
D 、123y y y >> 4、比较下列各组数的大小 (1)7.17
.14.3____5
.3 (2)3.03.03.1___2.1 (3)6.16.15.2___4.2--
5.如图,曲线c1, c2分别是函数y =xm 和y =xn 在第一象限的图象,那么一定有( )
A .n B .m C .m>n>0 D .n>m>0 6.函数3 4x y =的图象是 ( ) 7、若一个幂函数)(x f 的图象过点)4 1,2(,则)(x f 的解析式为 8、已知函数22 21 ()(1)m m f x m m x --=++是幂函数,求实数m 的值为 。 9、已知f (x )=x 5 +ax 3 +bx -8,f (-2)=10,则f (2)=____、 10、函数y =(x 2-2x)2-9的图象与轴交点的个数是_________。 11、函数y =(x -1)3+1的图象的中心对称点的坐标是_________。 12、使x 2 >x 3 成立的x 的取值范围是 ( ) A 、x <1且x ≠0 B 、0<x <1 C 、x >1 D 、x <1 13、若0a >,且,m n 为整数,则下列各式中正确的是 ( ) A 、m m n n a a a ÷= B 、 n m n m a a a ?=? C 、()n m m n a a += D 、 01n n a a -÷= 14、设f(x)=22x -5×2x -1+1它的最小值是 ( ) A 、-0.5 B 、-3 C 、- 16 9 D 、0 15、已知函数12+=m x y 在区间()+∞,0上是增函数,求实数m 的取值范围为 。 16、若函数29 ()(919)a f x a a x -=-+是幂函数,且图象不经过原点,求函数的解析式. 幂函数及其性质专题 一、幂函数的定义 一般地,形如y x α=(x ∈R )的函数称为幂孙函数,其中x 是自变量,α是常数.如 112 3 4 ,,y x y x y x - ===等都是幂函数,幂函数与指数函数,对数函数一样,都是基本初等函数. 二、函数的图像和性质 (1)y x = (2)12 y x = (3)2y x = (4)1y x -= (5)3y x = 用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像,通过观察图像,可以看出: 3.幂函数性质 (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1); (2)x >0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上,是增函数 (3)α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数. 三.两类基本函数的归纳比较: ① 定义 对数函数的定义:一般地,我们把函数log a y x =(a >0且a ≠1)叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 幂函数的定义:一般地,形如y x α=(x ∈R )的函数称为幂孙函数,其中x 是自变量,α是常数. ②性质 对数函数的性质:定义域:(0,+∞);值域:R ; 过点(1,0),即当x =1,y =0; 在(0,+∞)上是增函数;在(0,+∞)是上减函数 幂函数的性质:所有的幂函数在(0,+∞)都有定义, 图象都过点(1,1)x >0时,幂函数的图象都通过原点, 在[0,+∞]上,y x =、2y x =、3 y x =、1 2 y x =是增函数, 在(0,+∞)上, 1y x -=是减函数。 【例题选讲】 例1.已知函数()() 2 53 1m f x m m x --=--,当 m 为何值时,()f x : (1)是幂函数;(2)是幂函数,且是()0,+∞上的增函数;(3)是正比例函数;(4)是反比例函数;(5)是二次函数; 简解:(1)2m =或1m =-(2)1m =-(3)45m =- (4)2 5 m =-(5)1m =- 变式训练:已知函数()()2 223 m m f x m m x --=+,当 m 为何值时,()f x 在第一象限内它的图像是上升曲 线。 简解:2 20230 m m m m ?+>??-->??解得:()(),13,m ∈-∞-+∞ 例2.比较大小: (1)1122 ,1.7 (2)33 ( 1.2),( 1.25)--(3)1125.25,5.26,5.26---(4)30.5 30.5,3,log 0.5 例3.已知幂函数223 m m y x --=(m Z ∈)的图象与x 轴、y 轴都无交点,且关于原点对称,求m 的值. 解:∵幂函数223 m m y x --=(m Z ∈)的图象与x 轴、y 轴都无交点, ∴2 230m m --≤,∴13m -≤≤; ∵m Z ∈,∴2 (23)m m Z --∈,又函数图象关于原点对称, ∴2 23m m --是奇数,∴0m =或2m =. 例4、设函数f (x )=x 3, (1)求它的反函数; (2)分别求出f - 1(x )=f (x ),f - 1(x )>f (x ),f - 1(x )<f (x )的实数x 的范围. 解析:(1)由y =x 3两边同时开三次方得x =3y ,∴f - 1(x )=x 3 1 . (2)∵函数f (x )=x 3和f -1 (x )=x 3 1 的图象都经过点(0,0)和(1,1). 高中数学必修一第一章《集合与函数概念》综合测 试题试题整理:周俞江 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正 确答案的代号填在题后的括号内(本大题共12个小题, 每小题5分,共60分). 1.已知全集}5,4,3,2{},3,2,1{==B A ,则=B A I ( ) A. }{5,4,3,2,1 B.{}3,2,1 C.{}3,2 D.{}7,6,3 2. 若{{}|0,|12A x x B x x =<<=≤<,则A Y B=( ) A . {}|0x x ≤ B .{}|2x x ≥ C .{0x ≤≤ D .{}|02x x << 3 .在下列四组函数中,f (x )与g (x )表示同一函数的是( ) A.x x y y ==,1 B .1,112-=+?-=x y x x y C.55 ,x y x y == D .2)(|,|x y x y == 4.函数x x x y +=的图象是( ) 5.0≤f 不是映射的是A .1:3f x y x ?? →= B .1 :2 f x y x ??→= C .1:4f x y x ??→= D .1:6f x y x ??→= 6.函数y =f (x )的图象与直线x =1的公共点数目是( ). A .1 B .0 C .0或1 D .1或2 7.函数1)2(++=x k y 在实数集上是增函数,则k 的范围是( ) A .2-≥k B .2-≤k C .2->k D .2- 9.有下面四个命题: ①偶函数的图象一定与y 轴相交; ②奇函数的图象一定通过原点; ③偶函数的图象关于y 轴对称; ④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是f (x )=0(x ∈R ). 其中正确命题的个数是( ). A .1 B .2 C .3 D .4 10.图中阴影部分所表示的集合是( ) A.B ∩[C U (A ∪C)] B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.[C U (A ∩C)]∪B 11.若函数))(12()(a x x x x f -+= 为奇函数,则=a ( ) A.21 B.32 C.43 D.1 12.已知函数x x x x f 22 11)11(+-=+-,则函数)(x f 的解析式可以是( ) A.x x 21+ B.x x 212+- C.x x 212+ D.x x 21+- 13.二次函数y =x 2+bx +c 的图象的对称轴是x =2,则有( ). A .f (1)<f (2)<f (4) B .f (2)<f (1)<f (4) C .f (2)<f (4)<f (1) D .f (4)<f (2)<f (1) 14.已知函数[](]?????∈--∈-=5,2,32,13)(,2x x x x f x 则方程1)(=x f 的解是( ) A.2或2 B.2或3 C.2或4 D.±2或4 15.函数()f x 的定义域为),(b a ,且对其内任意实数12,x x 均有:1212()[()()]0x x f x f x --<,则()f x 在),(b a 上是 A .增函数 B .减函数 1集合 题型1:集合的概念,集合的表示 1.下列各项中,不可以组成集合的是( ) A .所有的正数 B .等于2的数 C .接近于0的数 D .不等于0的偶数 2.下列四个集合中,是空集的是( ) A .}33|{=+x x B .},,|),{(2 2 R y x x y y x ∈-= C .}0|{2 ≤x x D .},01|{2 R x x x x ∈=+- 3.下列表示图形中的阴影部分的是( ) A .()()A C B C B .()()A B A C C .()()A B B C D .()A B C 4.下面有四个命题: (1)集合N 中最小的数是1; (2)若a -不属于N ,则a 属于N ; (3)若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2; (4)x x 212 =+的解可表示为{ }1,1; 其中正确命题的个数为( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 题型2:集合的运算 例1.若集合}1,1{-=A ,}1|{==mx x B ,且A B A =?,则m 的值为( D ) A .1 B .1- C .1或1- D .1或1-或0 例2. 已知{25}A x x =-≤≤,{121}B x m x m =+≤≤-,B A ?,求m 的取值范围。 解:当121m m +>-,即2m <时,,B φ=满足B A ?,即2m <; 当121m m +=-,即2m =时,{}3,B =满足B A ?,即2m =; 当121m m +<-,即2m >时,由B A ?,得12 215m m +≥-??-≤? 即23m <≤; ∴3≤m 变式: 1.设2 2 2 {40},{2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=,其中x R ∈, 如果A B B =,求实数a 的取值范围。 A B C 高中数学必修基本初等 函数常考题型幂函数 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】 幂函数 【知识梳理】 1.幂函数的概念 一般地,函数y =x 叫做幂函数.其中x是自变量,α是常数.2.常见幂函数的图象与性质 解析式y=x y=x2y=x3y=1 x y= 1 2 x 图象 定义域R R R{x|x≠0}[0,+∞)值域R[0,+∞)R{y|y≠0}[0,+∞) 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数非奇非偶函 数 单调性在(-∞, +∞)上单 调递增 在(-∞, 0]上单调递 减,在(0, +∞)上单 调递增 在(-∞, +∞)上单 调递增 在(-∞, 0)上单调递 减,在(0, +∞)上单 调递减 在[0,+ ∞)上单调 递增 定点(1,1) (1)所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,并且图象都过点(1,1). (2)α>0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数. 特别地,当α>1时,幂函数的图象下凸; 当0<α<1时,幂函数的图象上凸. (3)α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内,当x 从右边趋向原点时,图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴;当x 趋于+∞时,图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴. 【常考题型】 题型一、幂函数的概念 【例1】 (1)下列函数:①y=x 3 ;②y=12x ?? ? ?? ;③y=4x 2;④y=x 5 +1;⑤y=(x -1)2;⑥y=x ;⑦y=a x (a>1).其中幂函数的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 (2)已知幂函数y =()2 2231m m m m x ----,求此幂函数的解析式,并指出定义域. (1)[解析] ②⑦为指数函数,③中系数不是1,④中解析式为多项式,⑤中底数不是自变量本身,所以只有①⑥是幂函数,故选B. [答案] B (2)[解] ∵y=()2 2231m m m m x ----为幂函数, ∴m 2-m -1=1,解得m =2或m =-1. 当m =2时,m 2-2m -3=-3,则y =x -3,且有x≠0; 当m =-1时,m 2-2m -3=0,则y =x 0,且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y =x -3,{x|x≠0}或y =x 0,{x|x≠0}. 【类题通法】 判断一个函数是否为幂函数的方法高中数学必修一幂函数及其性质
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