K0固结后卸载状态下冻土应力-应变特性研究
第23卷第8期岩石力学与工程学报23(8)：1252～1256 2004年4月Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering April，2004 K0固结后卸载状态下冻土应力-应变特性研究*
王大雁马巍常小晓
(中国科学院寒区旱区环境与工程研究所冻土工程国家重点实验室兰州 730000)
摘要通过模拟人工冻结凿井中土体固结、冻结、受力的实际过程，研究了经K0固结后兰州冻结黄土在径向卸载状态下的应力-应变行为，并利用试验资料所建立的数学方程研究了K0固结后冻土的初始切线模量E i和主应力差渐近值(σ1－σ3)ult与初始围压σ3、温度的关系。结果发现，K0固结后再冻结的黄土试样在整个卸载过程中，其特征类似于理想刚塑性应力-应变曲线；初始围压σ3的升高和温度的降低都可以使深部冻土抵抗变形的能力增强。因此，当深度一定时，应先考虑深度对强度影响后再选择最优温度来满足此深部土体卸载时的强度要求；初始弹性模量
E i在较低负温、较高初始围压状态下，不随初始围压σ3而变化，且趋近于一常数；(σ1－σ3)ult随初始围压σ3的增
大而线性增大，在较低初始围压状态下受温度影响较小，随着初始围压的增高，受温度影响逐渐明显；可利用主应力差渐近值(σ1－σ3)ult与破坏比之间的关系来估算破坏强度的大小。
关键词土力学，深部冻土，K0固结，卸载，应力-应变行为
分类号TU 445 文献标识码 A 文章编号1000-6915(2004)08-1252-05
STUDY ON BEHA VIOR OF STRESS-STRAIN FOR FROZEN SOILS SUBJECTED TO K0 CONSOLIDATION BY UNLOADING TRIAXIAL SHEAR
TESTS
Wang Dayan，Ma Wei，Chang Xiaoxiao
(State Key Laboratory of Frozen Soil Engineering，Cold and Arid Regions Environmental and Engineering Research Institute，
CAS， Lanzhou 730000 China)
Abstract In order to determine the behaviour of stress-strain of frozen soil in the deep alluvium，the triaxial unloading shear tests at temperature of －2 ℃，－5 ℃，－7 ℃，－10 ℃and a confining pressure of 1～5 MPa were performed in cold laboratory after specimen experienced K0 consolidation. The testig results indicate that the radial unloading stress-strain curves can be divided into three different stages，that is，elastic stage，strain-hardening stage and the yield stage or flow stage. There is no displacement at a lower negative temperature and somewhat higher initial confining pressure，even if the confining pressure is removed to zero. The failure strength increases with the initial confining pressure increasing and the temperature decreasing. From the stress-strain equation of tested frozen soil，the ultimate principal stress difference (σ1－σ3)ult and the initial tangent modulus E i can be obtained. The initial tangent modulus E i does not depend on the initial confining pressure and is close to a constant at a state of lower negative temperature and higher initial confining pressure. The ultimate principal stress difference (σ1－σ3)ult increases linearly with increment of initial confining pressure and the role of temperature is not obvious at lower initial confining pressure.However，with the confining pressure increasing，it becomes pronounced gradually.
Key words soil mechanics，deep frozen soil，K0 consolidation，unloading，stress-strain behavior
2003年8月1日收到初稿，2003年10月14日收到修改稿。
* 国家自然科学基金重大项目(90102006)和“973”国家重点基础研究发展规划项目(2002CB412704)资助课题。
作者王大雁简介：女，31岁，1993年毕业于甘肃农业大学水利工程专业，现任副研究员，现为中国科学院寒区旱区环境与工程研究所在职博士研究生，主要从事冻土力学与冻土工程方面的研究工作。E-mail：dywang@https://www.wendangku.net/doc/a615059060.html,。
第23卷 第8期 王大雁等. K 0固结后卸载状态下冻土应力-应变特性研究 ? 1253 ?
1 引 言
冻结法凿井是立井掘进通过不稳定表土层比较有效的施工方法之一，它主要运用人工制冷的方法，将地下工程周围松散的含水土层或破碎的含水岩层在地下工程建设之前冻结成封闭的冻土结构物——冻结壁，用以抵抗岩土压力，隔绝冻结壁内、外地下水联系，然后在冻结壁的保护下进行地下工程建设[1]。所以，冻结壁的设计决定了人工冻结法施工的成败。在20世纪70年代以前，冻结法多用在较浅的冲积土层中，所以，当利用传统冻土力学试验所得的力学参数去设计冻结壁时，未发生重大事故。但自70年代以后，由于对地处淮北、兖州、大屯和淮南等深厚冲积土层覆盖下矿区大规模开发的需要，冻结法开始被广泛应用，但由于当时设计冻结壁时，参数取值仍沿用由传统冻土力学试验所得到的结果，因而引发了冻结壁径向变形量过大，外层井壁在施工中破坏，冻结管断裂等事故[2]。这就对冻土力学的研究提出了新的挑战，即在进行室内试验时，如何将试样土恢复到深部土的原始条件，然后来研究土和冻土的力学参数。早在1993年，文[3]用室内试验证明了试样固结与不固结、冻结前固结与冻结后固结对深部冻土三轴剪切试验结果的影响，提出了在研究地处深部的冻土的力学性质中，应对试样在冻结前进行固结的思想。1998年，文[4]将研究深厚表土层中冻结壁和井壁的问题定名为深土冻土力学，并提出了深部冻土力学的研究内容、研究框架和研究方法，随后，许多学者相继展开了对深部冻土力学试验方法、物理参数、力学特性等一系列研究[5
～12]
。本研究主要通过模拟人工冻结凿
井中土体固结、冻结、受力的实际过程，对已冻结试样进行不同温度、不同初始围压状态下的径向卸载试验研究，分析初始围压、温度对应力-应变行为的影响，并研究初始切线模量E i 和主应力差渐近值
ult 31)(σσ?与初始围压和温度的关系。
2 试样制备及试验过程
2.1 试样制备
本试验材料选用兰州黄土，其基本物理参数如表1所示。将试验土按所需含水量16.5%的要求，均匀拌和，在密封容器中静置24 h 使土中水分均匀后，通过专用制样机将其压制为干容重d γ=1.7
g·cm －
3，直径d = 6.2 cm ，高度h = 12.5 cm 的标准
圆柱形样品。
表1 试样的基本物理参数
Table 1 Basic physical parameters of specimen %
土名颗粒成分／mm
＜0.0050.005～0.050.05～0.1
＞0.1
液限
塑限
兰州黄土
34.3
58.6 5.4 1.7 24.617.7
2.2 试验过程
试验所用仪器与文[5]研究固结过程对应力-应变特性影响时所采用的仪器相同，即以自行研制的高压低温K 0固结仪为压力仓，采用液压侧限控制型工作原理，最大围压为15 MPa ，最低温度为－60 ℃，控温精度为±0.1 ℃。压力系统为 MTS-810材料试验机，围压和轴压可同步控制，最大轴压20 t ，最大围压40 MPa ，轴向变形通过轴向位移变化由轴压系统自动测量，试验数据由计算机连续采集。
试验采用轴对称三轴试验，试验温度分别为
－2
℃，－5 ℃，－7 ℃和－10 ℃，围压为1，2，3，
4和5 MPa 。本试验过程主要分为3个阶段：(1) 使试样在无侧向变形的条件下进行K 0固结。(2) 对K 0固结后试样进行迅速冻结并恒温20 h 左右。(3) 对K 0固结并冻结后的试样进行径向卸载剪切试验。具体过程如下：将制备好的未冻结试样置于压力仓中，通过前期试验已确定此类黄土的静止侧压力系数K 0 (K 0=3σ/1σ)值为0.34[5]，将围压3σ固定，确定
1σ(1σ=3σ/ K 0)，然后，轴压以10×10－
5 MPa/s 的速
率，围压以3.4×10－
5 MPa/s 的速率同时加荷到预设固结压力值，待达到预设固结围压后，关闭排水阀，保持荷载不变，迅速降温至所需温度并恒温20 h 后，在保持轴压1σ不变的条件下，围压3σ以加载时的速率逐级卸载到零或试样破坏。具体试验过程如图１所示。
图1 试验过程图 Fig.1 Plot of test procedures
时间/s 应力σ/M P a
? 1254 ? 岩石力学与工程学报 2004年
3 试验结果
经K
固结后的黄土试样，没有侧向变形，只有
轴向变形，但冻结后，轴向荷载保持不变，围压以加载时的速率逐级卸载。在这样的三轴剪切应力作用下，冻土试样会受初始围压和温度的影响发生2种不同的变形：(1) 在较高初始围压或较低负温下，即使围压卸载到零，试样也不会发生变形。(2)在较高负温或较低初始围压下，试样会发生明显的塑性变形，试样从原来的圆柱形被压成腰鼓形。本文对经K0固结后冻土试样的力学行为进行研究。
3.1初始围压对应力-应变行为的影响
由于K
固结过程是对人工冻土在冻结以前受力状态的室内模拟，目的是为了使室内试样经历像现场土层在冻结以前所经历的固结过程，从而使所研究的试样更接近于实际状况。因此，对本试验来
讲，K
固结和冻结过程只能说是制样过程，而要研究深部人工冻土在开凿状态下的应力-应变行为，就
应将K
固结后的最终围压称为本项研究的初始围
压
3
σ，然后，以冻结土体开始卸除围压为起点，在
研究试样变形量时应减去K
固结段的变形量。图2
代表了温度为－5 ℃，当初始围压
3
σ变化时，经K0固结后冻土的应力-应变曲线。从图2可看出，这些曲线均呈双曲线型，其特征类似于理想刚塑性应力-应变曲线。如果把曲线拐点处的主应力差值即各条曲线上应变速率最小的点所对应的主应力差值作为该冻土的屈服强度，就会发现，当应力小于屈服强度值时，其变形很小或为零；当应力大于屈服强度值时，应力的少许变化即导致变形的大幅增加。所以说，当冻土达到屈服点时，冻土体实际上已处于破坏状态，屈服强度也可看作破坏强度，此时所对应的应变可看作破坏应变。依据图中拐点处应力值的大小，可以看到当温度保持不变时，随着初始围
压
3
σ的增大，冻土的屈服强度即破坏强度将逐渐增大。
3.2温度对应力-应变行为的影响
在研究冻土的力学行为时，温度的作用是不可忽视的。温度的高低，不仅决定着冻土的形成与融化，而且决定着冻结状态下冻土的力学性质。一般情况下，土冻结后温度越低，其破坏强度越大，引起这一现象的主要原因是由于冻土中冰水含量的相对变化所导致的。当温度降低时，冻土中未冻水含量将减少，而含冰量相应增大，由于含冰量的增大，
图2 －5℃时冻结黄土应力-应变曲线
Fig.2 Stress-strain curves for frozen loess at －5℃
使冰土之间的胶结作用增强，抵抗变形能力则增强，
所以，破坏强度随温度的降低而增大。图3反映了初始围压为3 MPa时，冻结黄土在不同温度下的应力-应变曲线。从图中可看出，当初始围压恒定时，破坏强度随温度的降低而增大；但当温度降到一定值后，即使围压卸载到零，也不会发生破坏甚至屈服，试样在整个试验范围内表现为刚体的性质。在本次试验过程中，同样的现象也发生在以下温度与初始围压组合下：
(1) 初始围压为1 MPa，温度为－5 ℃，－7 ℃
和－10 ℃；
(2) 初始围压为 2 MPa，温度为－7 ℃和
－10 ℃；
(3) 初始围压为3 MPa，温度为－10 ℃。
图3 初始围压为3 MPa时冻结黄土应力-应变曲线
Fig.3 Stress-strain curves for frozen loess with initial
confining pressure of 3 MPa
由于初始围压的高低反映了应用人工冻结法施工时，冻结壁所处的地层深度，这个试验结果要求
第23卷 第8期 王大雁等. K 0固结后卸载状态下冻土应力-应变特性研究 ? 1255 ?
在设计人工冻结壁时，不仅要考虑温度对冻土体强度的影响，还要考虑地层深度所产生的初始围压对深部土体的影响。
4 讨 论
对冻土的力学性质进行研究时，基本上是围绕
2个基本问题进行的：(1) 对冻土在受力过程中所表现出来的性质进行描述。(2) 考虑将其性质或过程用数学表达式来描述，也就是建立数学模型的问题。虽然，深部冻土研究已取得了一定进展，然而到目前为止，还没有人考虑用一个较为合理的模型来研究K 0固结后冻结土的应力-应变行为。笔者在此结合三轴剪切试验资料，通过绘制经历K 0固结后 的冻土试样在径向卸载状态下
)
(311
σσε?和１ε关系
曲线，然后利用回归分析法得到此时冻土的应力-应变方程，来研究初始切线模量E i 和主应力差渐近值ult 31)(σσ?与初始围压和温度的关系，并提出利用主应力差最大值来估算破坏强度的方法。
基于试验资料，以轴向应变1ε为横坐标，以轴 向应变与主应力差的比值
)
(311
σσε?为纵坐标，作回
归分析(图4)。由图中可以看出，
)
(311
σσε?与1ε
呈标准线性关系，经拟合后，可用直线方程表示为
１１
εσσεb a +=?)
(31 (1)
式中：a 和b 为与土性质有关的试验常数。所有试验数据经拟合后都可用式(1)表示，且相关指数2r 均在0.997以上。兰州黄土的a ，b 值见表2。
方程(１)又可写为
１
１
εεσσb a +=
?)(31 (2)
根据式(2)，可求得小应变时初始弹性模量i E 为
a E 1
0131i 1=?????????=→εεσσ (3)
图4
)
(311
σσε?-１ε关系图
Fig.4 A plot of
)
(311
σσε? versus １ε
而大应变时应力-应变曲线的极限值—主应力差渐近值为
b 1
)(1131ult 31=?????????=∞
→εεσσσσ－ (4) 方程(4)也是这条应力-应变曲线的水平渐近线方程。
图5代表温度恒定时，a 值与初始围压3σ之间的关系。从图可以看出，在高温状态下，a 值随初始围压3σ变化较剧烈，且随初始围压的升高而降低，但随着温度的降低，a 值随初始围压的变化趋势逐渐平缓，当温度降到－10 ℃时，围压高于2 MPa 以后，a 值基本上不随围压而变化，近似于常数。对于这一点，从a 值与温度关系曲线图(图6)上更能明显看出来，当温度为－10 ℃，围压为2，3，4和
5 MPa 时，a 值汇聚于一点。表明K 0固结后冻土在卸载状态下，初始弹模E i 在较低负温、较高初始围压下，不随初始围压而变且趋近于一常数。
图7代表一定温度下，主应力差渐近值
ult 31)(σσ－与初始围压3σ的关系。从图可见，主应力差渐近值随初始围压3σ的增大而增大，在低初始围压状态下受温度影响较小，但随着围压的增高受温度影响逐渐明显。这一结论与文[10]结论相同。同时，土体破坏时其破坏强度f 31)(σσ－为主应力差渐近值ult 31)(σσ－与破坏比f R 的乘积，即
ult 31f f 31)()(σσσσ??R ＝ (5)
表2 试验参数a ，b 值
Table 2 Values of the parameters a and b
－2℃
－5℃
－7℃
－10℃
围压/MPa
A /Pa
－1 b /Pa －1
a /Pa －1
b /Pa －1
a /Pa －1
b /Pa －1
a /Pa －1
b /Pa －
1
1 4.63×10－11 3.32×10－7 1.36×10－11 3.29×10－7 3.45×10－1
2 3.34×10－7 1.15×10－11 3.28×10-7 2 2.84×10－11 1.93×10－7 1.34×10－11 1.73×10－7 4.01×10－13
1.71×10－7 5.86×10
－12 1.65×10-7 3 1.59×10－11 1.35×10－7 1.01×10－11 1.18×10－7 8.43×10－12 1.13×10－7 5.10×10
－12 1.10×10-7 4 1.41×10－11 1.00×10－7 6.81×10－12 9.27×10－8 7.85×10－12 8.97×10－8 4.38×10－12 8.35×10-8 5
1.21×10
－11
8.29×10－8 7.36×10
－12
7.53×10－8 5.58×10
－12
7.36×10－8 4.18×10
－12
6.99×10-8
－1×10
－1×10
－2×10－3×10
－4×10
－ε1 /10
－2
(σ1－σ3) P a
－1 ε1
? 1256 ? 岩石力学与工程学报 2004年
图5 参数a 与初始围压关系图
Fig.5 Values of a vs the initial confining pressure under
radial unloading test
图6 参数a 与温度关系图
Fig.6 Values of a vs the temperature under radial unloading
test
图7 主应力差渐近值与初始围压关系图
Fig.7 Ultimate principal stress difference vs the initial
confining pressure
其中，f R = 0.70～0.95。所以，根据深部冻土应力-应变曲线，在知道主应力差渐近值ult 31)(σσ－的情况下，可根据式(5)估算此冻土的破坏强度值。
5 结 论
(1) 经历K 0固结后再冻结的冻结黄土试样在整个卸载过程中，其特征类似于理想刚塑性应力-应变曲线，当应力小于屈服强度值时，其变形很小或为零；当应力大于屈服强度值时，应力少许变化即导致变形的大幅增加。(2) 在温度不变的情况下，随着初始围压3σ的增大，
冻土的屈服强度即破坏强度逐渐增大；当围压恒定时，破坏强度随温度的降低而增大，但对于处于一定土层深度的冻土，即初始围压相等，当温度降到一定值时，即使围压卸载到零，也不会发生破坏甚至屈服，试样在试验范围内
表现为刚体的性质。(3) K 0固结后冻土在卸载状态下，初始弹性模量E i 在较低负温、较高初始围压状态下，不随初始围压而变且趋近于一常数。(4) 主应力差渐近值ult 31)(σσ－随初始围压3σ的增大而线性增大，在较低初始围压状态下受温度影响较小，但随着初始围压的增高受温度影响逐渐明显。(5) 可利用主应力差渐近值与破坏比之间的关系来估算破坏强度的大小。
参 考 文 献
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初始围压σ3/MPa (σ1－σ3)u l t /M P a
0.0×10－
5.0×10－
11
1.0×10－
11
1.5×10－
11
2.0×10－
11
2.5×10－
11
3.0×10－
11
3.5×10－
11
4.0×10－
114.5×10－
115.0×10－
初始围压σ3/MPa a /P a
－1
1×10
－2×10－3×10－4×10－5×10－温度/℃
a /P a
－1
11弹性力学试题及答案
2012年度弹性力学与有限元分析复习题及其答案 (绝密试题) 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力 =1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135'ο。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力 =1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为
弹性力学教材习题及解答
1－1. 选择题 a. 下列材料中，D属于各向同性材料。 A. 竹材； B. 纤维增强复合材料； C. 玻璃钢； D. 沥青。 b. 关于弹性力学的正确认识是A。 A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要； B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题作假设； C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象； D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。 c. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于B。 A. 任务； B. 研究对象； C. 研究方法； D. 基本假设。 d. 所谓“完全弹性体”是指B。 A. 材料应力应变关系满足胡克定律； B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关； C. 本构关系为非线性弹性关系； D. 应力应变关系满足线性弹性关系。 2－1. 选择题 a. 所谓“应力状态”是指B。 A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同； B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变； C. 3个主应力作用平面相互垂直； D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。 2－2. 梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。已知水的比重为 ，试写出墙体横截面边界AA'，AB，BB’的面力边界条件。 2－3. 作用均匀分布载荷q的矩形横截面简支梁，如图所示。根据材料力学分析结果，该梁 横截面的应力分量为 试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。
2－4. 单位厚度的楔形体，材料比重为γ，楔形体左侧作用比重为γ1的液体，如图所示。试写出楔形体的边界条件。 2－5. 已知球体的半径为r，材料的密度为ρ1，球体在密度为ρ1（ρ1＞ρ1）的液体中漂浮，如图所示。试写出球体的面力边界条件。
高分子材料应力-应变曲线的测定
化学化工学院材料化学专业实验报告 实验名称：高分子材料应力-应变曲线的测定 年级： 10级材料化学 日期: 2012-10-25 姓名： 学号： 同组人： 一、 预习部分 聚合物材料在拉力作用下的应力-应变测试是一种广泛使用的最基础的力学试验。聚合物的应力-应变曲线提供力学行为的许多重要线索及表征参数（杨氏模量、屈服应力、屈服伸长率、破坏应力、极限伸长率、断裂能等）以评价材料抵抗载荷，抵抗变形和吸收能量的性质优劣；从宽广的试验温度和试验速度范围内测得的应力-应变曲线有助于判断聚合物材料的强弱、软硬、韧脆和粗略估算聚合物所处的状况与拉伸取向、结晶过程，并为设计和应用部门选用最佳材料提供科学依据。 1、应力—应变曲线 拉伸实验是最常用的一种力学实验，由实验测定的应力应变曲线，可以得出评价材料性能的屈服强度，断裂强度和断裂伸长率等表征参数，不同的高聚物、不同的测定条件，测得的应力—应变曲线是不同的。 应力与应变之间的关系，即：P bd σ= 00100%t I I I ε-= ? E ε σ = 式中 σ——应力，MPa ； ε——应变，％； E ——弹性模量，MPa ； A 为屈服点，A 点所对应力叫屈服应力或屈服强度。 的为断裂点，D 点所对应力角断裂应力或断裂强度 聚合物在温度小于Tg(非晶态) 下拉伸时，典型的应力-应变曲线(冷拉曲线)如下图
曲线分以下几个部分： OA：应力与应变基本成正比(虎克弹性)。--弹性形变 屈服点B：应力极大值的转折点，即屈服应力(sy)；屈服应力是结构材料使用的最大应力。--屈服成颈 BC：出现屈服点之后，应力下降阶段--应变软化 CD：细颈的发展，应力不变，应变保持一定的伸长--发展大形变 DE：试样均匀拉伸，应力增大，直到材料断裂。断裂时的应力称断裂强度( sb )，相应的应变称为断裂伸长率(eb) --应变硬化 通常把屈服后产生的形变称为屈服形变，该形变在断裂前移去外力，无法复原。但如果将试样温度升到其Tg附近，形变又可完全复原，因此它在本质上仍属高弹形变，并非粘流形变，是由高分子的链段运动所引起的。 根据材料的力学性能及其应力-应变曲线特征，可将应力-应变曲线大致分为六类：(a)材料硬而脆：在较大应力作用下，材料仅发生较小的应变，在屈服点之前发生断裂，有高模量和抗张强度，但受力呈脆性断裂，冲击强度较差。 (b)材料硬而强：在较大应力作用下，材料发生较小的应变，在屈服点附近断裂，具高模量和抗张强度。 (c)材料强而韧：具高模量和抗张强度，断裂伸长率较大，材料受力时，属韧性断裂。 (d)材料软而韧：模量低，屈服强度低，断裂伸长率大，断裂强度较高，可用于要求形变较大的材料。 (e)材料软而弱：模量低，屈服强度低，中等断裂伸长率。如未硫化的天然橡胶。 (f)材料弱而脆：一般为低聚物，不能直接用做材料。 注意：材料的强与弱从σb比较；硬与软从E(σ/e)比较；脆与韧则主要从断裂伸长率比较。
应力-应变曲线
应力-应变曲线 MA 02139，剑桥 麻省理工学院 材料科学与工程系 David Roylance 2001年8月23日 引言 应力-应变曲线是描述材料力学性能的极其重要的图形。所有学习材料力学的学生将经 常接触这些曲线。这些曲线也有某些细微的差别，特别对试验时会产生显著的几何变形的塑 性材料。在本模块中，将对表明应力-应变曲线特征的几个点作简略讨论，使读者对材料力 学性能的某些方面有初步的总体了解。本模块中不准备纵述“现代工程材料的应力-应变曲 线”这一广阔的领域，相关内容可参阅参考文献中列出的博依（Boyer ）编的图集。这里提 到的几个专题——特别是屈服和断裂——将在随后的模块中更详尽地叙述。 “工程”应力-应变曲线 在确定材料力学响应的各种试验中，最重要的恐怕就是拉伸试验1 了。进行拉伸试验时， 杆状或线状试样的一端被加载装置夹紧，另一端的位移δ是可以控制的，参见图1。传感器 与试样相串联，能显示与位移对应的载荷)(δP 的电子读数。若采用现代的伺服控制试验机， 则允许选择载荷而不是位移为控制变量，此时位移)(P δ是作为载荷的函数而被监控的。 图1 拉伸试验 在本模块中，应力和应变的工程测量值分别记作e σ和e ε， 它们由测得的载荷和位移值，及试样的原始横截面面积和原始长度按下式确定 0A 0L 1 应力-应变试验及材料力学中几乎所有的试验方法都由制定标准的组织，特别是美国试验和材料学会 (ASTM)作详尽的规定。金属材料的拉伸试验由ASTM 试验E8规定；塑料的拉伸试验由ASTM D638规定； 复合材料的拉伸试验由ASTM D3039规定。
弹性力学教材习题及解答完整版
弹性力学教材习题及解 答 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
1－1. 选择题 a. 下列材料中，D属于各向同性材料。 A. 竹材； B. 纤维增强复合材料； C. 玻璃 钢； D. 沥青。 b. 关于弹性力学的正确认识是A。 A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要； B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题作假设； C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象； D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没 有困难的应用于工程结构分析。 c. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于B。 A. 任务； B. 研究对象； C. 研究方法； D. 基本假设。 d. 所谓“完全弹性体”是指B。 A. 材料应力应变关系满足胡克定律； B. 材料的应力 应变关系与加载时间历史无关； C. 本构关系为非线性弹性关系； D. 应力应变关系满足 线性弹性关系。 2－1. 选择题 a.所谓“应力状态”是指B。 A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同； B. 一点不 同截面的应力随着截面方位变化而改变； C. 3个主应力作用平面相互垂直； D. 不同截 面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。 2－2. 梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。已知水的比重为，试写出墙体横截面边
界AA'，AB，BB’的面力边界条件。 2－3. 作用均匀分布载荷q的矩形横截面简支梁，如图所示。根据材料力学分析结果，该梁横截面的应力分量为 试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。 2－4. 单位厚度的楔形体，材料比重为，楔形体左侧作用比重为的液体，如图所示。试写出楔形体的边界条件。 2－5. 已知球体的半径为r，材料的密度为1，球体在密度为1（1＞1）的液体中漂浮，如
试题及其答案--弹性力学与有限元分析(DOC)
如下图所示三角形薄板，按三结点三角形单元划分后，对于与局部编码ijm 对应的整体编码，以下叙述正确的是（ D ）。 ① I 单元的整体编码为162 ② II 单元的整体编码为426 ③ II 单元的整体编码为246 ④ III 单元的整体编码为243 ⑤ IV 单元的整体编码为564 A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ③⑤ 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、 形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相 适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规 定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力 =1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力 =1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三 套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、 应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。 其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部
应力状态与应变状态分析
第8章典型习题解析 1. 试画出下图所示简支梁A 点处的原始单元体。 图8.1 解：（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A 点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy 平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。再取A 点偏上和偏下的一对与xz 平行的平面。截取出的单元体如图(d)所示。 (2)分析单元体各面上的应力: A 点偏右横截面的正应力和切应力如图(b)、(c)所示，将A 点的坐标x 、y 代入正应力和切应力公式得A 点单元体左右侧面的应力为： z M y I σ= b I QS z z *= τ 由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ ；前后边面为自由表面，应力为零。在单元体各面上画上应力，得到A 点单元体如图(d)。 2.图(a)所示的单元体,试求（1）图示斜截面上的应力;（2）主方向和主应力，画出主单元体;（3）主切应力作用平面的位置及该平面上的正应力，并画出该单元体。 解：（1）求斜截面上的正应力 ?30－σ和切应力?30－τ
由公式 MPa 5.64)60sin()60()60cos(2100 5021005030-=?---?---++-= ?-σ MPa 95.34)60cos()60()60sin(2100 5030=?--+?---= ?-τ （2）求主方向及主应力 8 .010050120 22tan -=----=-- =y x x σστα ?-=66.382α ?=? -=67.7033.1921αα 最大主应力在第一象限中，对应的角度为 070.67α=?，主应力的大小为 1 5010050100cos(270.67)(60)sin(270.67)121.0MPa 22σ= ??--??=－＋－－＋ 由 y x σσσσαα+＝＋2 1 可解出 2 1 (50)100(121.0)71.0MPa x y ασσσσ=+=-+-=-－ 因有一个为零的主应力，因此 )33.19(MPa 0.7133?--＝第三主方向＝ασ 画出主单元体如图8.2(b)。 （3）主切应力作用面的法线方向 25 .1120100 502tan =---= 'α ?='34.512α ?='? ='67.11567.2521αα 主切应力为 ' 2 ' 1 MPa 04.96)34.51cos()60()34.51sin(2100 50ααττ-=-=?-+?--= 此两截面上的正应力为 MPa 0.25)34.51sin()60()34.51cos(2100 502100501 =?--?--++-= 'ασ MPa 0.25)34.231sin()60()34.231cos(2100 502100502 =?--?--++-= 'ασ 主切应力单元体如图所示。
材料力学习题第六章应力状态分析答案详解
第6章 应力状态分析 一、选择题 1、对于图示各点应力状态，属于单向应力状态的是（A ）。 20 （MPa ） 20 d 20 （A ）a 点；（B ）b 点；（C ）c 点；（D ）d 点 。 2、在平面应力状态下，对于任意两斜截面上的正应力αβσσ=成立的充分必要条件，有下列四种答案，正确答案是（ B ）。 （A ）,0x y xy σστ=≠；（B ）,0x y xy σστ==；（C ）,0x y xy σστ≠=；（D ）x y xy σστ==。 3、已知单元体AB 、BC 面上只作用有切应力τ，现关于AC 面上应力有下列四种答案，正确答案是（ C ）。 （A ）AC AC /2,0 ττσ==； （B ）AC AC /2,/2τ τσ==； （C ）AC AC /2,/2τ τσ==；（D ）AC AC /2,/2ττσ=-=。 4、矩形截面简支梁受力如图（a ）所示，横截面上各点的应力状态如图（b ）所示。关
于它们的正确性，现有四种答案，正确答案是（ D ）。 (b) (a) （A）点1、2的应力状态是正确的；（B）点2、3的应力状态是正确的； （C）点3、4的应力状态是正确的；（D）点1、5的应力状态是正确的。 5、对于图示三种应力状态（a）、（b）、（c）之间的关系，有下列四种答案，正确答案是（ D ）。 τ (a) (b) (c) （A）三种应力状态均相同；（B）三种应力状态均不同； （C）（b）和（c）相同；（D）（ a）和（c）相同； 6、关于图示主应力单元体的最大切应力作用面有下列四种答案，正确答案是（ B ）。 (A) (B) (D) (C) 解答： max τ发生在 1 σ成45o的斜截面上 7、广义胡克定律适用范围，有下列四种答案，正确答案是（ C ）。 （A）脆性材料；（B）塑性材料； （C）材料为各向同性，且处于线弹性范围内；（D）任何材料；
本章应力和应变分析与强度理论的知识结构框图
本章应力和应变分析与强度理论重点、难点、考点 本章重点是应力状态分析，要掌握二向应力状态下斜截面上的应力、主应力、主平面方位及最大切应力的计算。能够用广义胡克定律求解应力和应变关系。理解强度理论的概念，能够
按材料可能发生的破坏形式，选择适当的强度理论。 难点主要有 ① 主平面方位的判断。当由解析法求主平面方位时，结果有两个相差 90 ”的方位角，一般不容易直接判断出它们分别对应哪一个主应力，除去直接将两个方位角代人式中验算确定的方法外，最简明直观的方法是利用应力圆判定，即使用应力圆草图。还可约定y x σσ≥，则两个方位中绝对值较小的角度对应max σ所在平面。 ② 最大切应力。无论何种应力状态，最大切应力均为2/)(31max σστ-=，而由式（ 7 一 l ）中第二式取导数0d d =α τα得到的切应力只是单元体的极值切应力，也称为面内最大切应力，它仅对垂直于Oxy 坐标平面的方向而言。面内最大切应力不一定是一点的所有方位面中切应力的最大值，在解题时要特别注意，不要掉人“陷阱”中。 本章主要考点： ① 建立一点应力状态的概念，能够准确地从构件中截取单元体。 ② 二向应力状态下求解主应力、主平面方位，并会用主单元体表示。会计算任意斜截面上的应力分量。 ③ 计算单元体的最大切应力。 ④ 广义胡克定律的应用。 ⑤ 能够选择适当的强度理论进行复杂应力状态下的强度计算，会分析简单强度破坏问题的原因。 本章习题大致可分为四类： ( l ）从构件中截取单元体这类题一般沿构件截面截取一正六面体，根据轴力、弯矩判断横截面上的正应力方向，由扭矩、剪力判断切应力方向，单元体其他侧面上的应力分量由力平衡和切应力互等定理画完整。特别是当单元体包括构件表面（自由面）时，其上应力分量为零。 ( 2 ）复杂应力状态分析一般考题都不限制采用哪一种方法解题，故最好采用应力圆分析，它常常能快速而有效地解决一些复杂的问题。 ( 3 ）广义胡克定律的应用在求解应力与应变关系的题目中，不论构件的受力状态，均采用广义胡克定律，即可避免产生不必要的错误，因为广义胡克定律中包含了其他形式的胡克定律。 ( 4 ）强度理论的应用对分析破坏原因的概念题，一般先分析危险点的应力状态，根据应力状态和材料性质，判断可能发生哪种类型的破坏，并选择相应的强度理论加以解释。计算题一般为组合变形构件的强度分析（详见第 8 章）与薄壁容器的强度分析，薄壁容器可利用平衡条件求出横截面与纵向截面上的正应力，由于容器的对称性，两平面上无切应力，故该应力即为主应力，并选择第三或第四强度理论进行强度计算。
应力应力状态分析习题解答
8-9 矩形截面梁如图所示，绘出1、2、3、4点的应力单元体，并写出各点的应力计算式。 解：(1)求支反力R A =1.611KN,R B =3.914KN (2)画内力图如图所示。 x Pl (-)(+) Pl M kN ·m) P P y (-) (-) (+) V kN) 题8-9图 (3) 求梁各点的正应力、剪应力： (4)画各点的应力单元体如图所示。 9-1 试用单元体表示图示构件的A 、B 的应力单元体。 （a ）解：（1）圆轴发生扭转变形，扭矩如图所示。 111max 222222333333max 442330,22(')[()]448 11 4()12 12 00(0, 0) 16 Z Z Z Z z V p A b h h h h P P b M V S Pl h y I I b b h b h b M S M Pl W b h σττστστστ==-=-? =-??-?? ?-?= ?=? = =??????=====- =- =??
x x 80A - + 160 80 T (kN ·m ) （2）绘制A 、B 两点的应力单元体： A 、 B 两点均在圆轴最前面的母线上，横截面上应力沿铅垂方向单元体如图所示： 3 3 1601020.216 80510.216 A A t b B t T Pa kPa W T Pa kPa W τπτπ= ==?===-? （b ）解：（1）梁发生弯曲变形，剪力、弯矩图如图所示。 - + 120 V kN) 40 M kN ·m) + 120 4020 60 题9-1（b ）
坝体的有限元建模与应力应变分析1
Project2 坝体的有限元建模与应力应变分析 计算分析模型如图2-1 所示, 习题文件名: dam 。 图2－1 坝体的计算分析模型 选择单元类型Solid Quad 4node 42 Options… →select K3: Plane Strain 定义材料参数EX:2.1e11, PRXY:0.3 模型施加约束 ? 分别给下底边和竖直的纵边施加x 和y 方向的约束 ? 给斜边施加x 方向的分布载荷： ANSYS 命令菜单栏: Parameters →Functions →Define/Edit →1) 在下方的下拉列表框内选择x ,作为设置的变量；2) 在Result 窗口中出现{X},写入所施加的载荷函数：1000*{X}； 3) File>Save(文件扩展名：func) →返回：Parameters →Functions →Read from file ：将需要的.func 文件打开，任给一个参数名，它表示随之将施加的载荷→OK →ANSYS Main Menu: Solution →Define Loads →Apply →Structural →Pressure →On Lines →拾取斜边；OK →在下拉列表框中，选择：Existing table →OK →选择需要的载荷参数名→OK 单元控制 纵边20等分；上下底边15等分 结果显示 ANSYS Main Menu: General Postproc →Plot Results →Deformed Shape… → select Def + Undeformed →OK (back to Plot Results window)→Contour Plot →Nodal Solu… →select: DOF solution, UX,UY, Def + Undeformed , Stress ,SX,SY,SZ, Def + Undeformed →OK
弹性力学教材习题及解答
1－1. 选择题 a. 下列材料中，???D属于各向同性材料。 ??? A. 竹材； ??? B. 纤维增强复合材料； ??? C. 玻璃钢； ??? D. 沥青。 b. 关于弹性力学的正确认识是???A。 ??? A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要； ??? B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题作假设；??? C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象； ??? D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。 c. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于???B。 ??? A. 任务； ??? B. 研究对象； ??? C. 研究方法； ??? D. 基本假设。 d. 所谓“完全弹性体”是指???B。 ??? A. 材料应力应变关系满足胡克定律； ??? B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关； ??? C. 本构关系为非线性弹性关系； ??? D. 应力应变关系满足线性弹性关系。 2－1. 选择题 a.?所谓“应力状态”是指???B。 ??? A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同； ??? B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变； ??? C. 3个主应力作用平面相互垂直； ??? D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。 2－2.? 梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。已知水的比重为 ，试写出墙体横截面边界AA'，AB，BB’的面力边界条件。 2－3. 作用均匀分布载荷q的矩形横截面简支梁，如图所示。根据材料力学分析结果，该梁 横截面的应力分量为 试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。