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【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 3.1.2 复数的几何意义课时提升作业 新人教A版选修1-2

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 3.1.2 复数的几何意义课时提升作业 新人教A版选修1-2
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 3.1.2 复数的几何意义课时提升作业 新人教A版选修1-2

复数的几何意义

一、选择题(每小题3分,共18分)

1.(20142青岛高二检测)在复平面内,复数z=sin2+icos2对应的点位于( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

【解析】选D.因为<2<π,所以sin2>0,cos2<0,

所以复数z=sin2+icos2对应的点位于第四象限.

2.已知a,b∈R,那么在复平面内对应于复数a-bi,-a-b i的两个点的位置关系是

( )

A.关于x轴对称

B.关于y轴对称

C.关于原点对称

D.关于直线y=x对称

【解析】选B.在复平面内对应于复数a-bi,-a-bi的两个点为(a,-b)和(-a,-b)关于y轴对称.

【变式训练】复数z1=1+i,z2=1-i在复平面内对应点关于( )

A.实轴对称

B.虚轴对称

C.一、三象限平分线对称

D.二、四象限平分线对称

【解析】选A.由实部相等,虚部互为相反数得复数z1=1+i,z2=1-i在复平面内对应点关于实轴对称.

3.(20142福州高二检测)复数z与它的模相等的充要条件是( )

A.z为纯虚数

B.z是实数

C.z是正实数

D.z是非负实数

【解析】选D.因为z=|z|,所以z为实数且z≥0.

4.在复平面内,O为原点,向量对应的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x的对称点为B,则向量对应的复数为( )

A.-2-i

B.-2+i

C.1+2i

D.-1+2i

【解析】选B.因为A(-1,2)关于直线y=-x的对称点B(-2,1),

所以向量对应的复数为-2+i.

5.已知复数z=a+i(其中a∈R,i为虚数单位)的模为|z|=2,则a等于( )

A.1

B.±1

C.

D.±

【解析】选D.因为|z|=2,所以a2+1=4,所以a=±.

【变式训练】已知0

A.(1,5)

B.(1,3)

C.(1,)

D.(1,)

【解析】选C.|z|=,0

所以1

6.(20142南宁高二检测)在复平面上,点Z1对应的复数是4+i,线段Z1Z2的中点对应的复数是1+2i,则点Z2对应的复数是( )

A.-2+3i

B.-2-3i

C.2-3i

D.2+3i

【解析】选A.依题意有,在复平面内,点Z1的坐标(4,1),线段Z1Z2的中点坐标为(1,2),设点Z2的坐标为(a,b),则有解得所以点Z2对应的复数是-2+3i,选A.

二、填空题(每小题4分,共12分)

7.(20132湖北高考)i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2= .

【解题指南】从复数与复平面上的点的对应角度处理.

【解析】因为z1=2-3i对应的点的坐标为(2,-3),且复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,所以z2在复平面内对应点的坐标为(-2,3),对应的复数为z2=-2+3i.

答案:-2+3i

8.已知△ABC中,,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,则对应的复数为.

【解析】因为,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,

所以=(-1,2),=(-2,-3).

又=-=(-2,-3)-(-1,2)=(-1,-5),

所以对应的复数为-1-5i.

答案:-1-5i

9.(20142三亚高二检测)已知复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z= .

【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则|z|=,代入方程,得a+bi+=2+8i,

所以解得

所以z=-15+8i.

答案:-15+8i

【一题多解】原式可化为z=2-|z|+8i.

因为|z|∈R,所以2-|z|是z的实部,于是|z|=,

即|z|2=68-4|z|+|z|2.

所以|z|=17.代入z=2-|z|+8i,得z=-15+8i.

三、解答题(每小题10分,共20分)

10.(20142郑州高二检测)如果复数z=(m2+m-1)+(4m2-8m+3)i(m∈R)对应的点在第一象限,求实数m的取值范围.

【解析】因为z=(m2+m-1)+(4m2-8m+3)i,

由题意,得

解得m<或m>,

即实数m的取值范围是m<或m>.

11.已知m,n∈R,若log2(m2-3m-3)+ilog2(m-2)为纯虚数,复数z=m+ni的对应点在直线x+y-2=0上,求|z|. 【解题指南】首先利用纯虚数的条件,求出m的值.再利用复数z对应的点在直线x+y-2=0上,求n的值.最后计算出|z|.

【解析】由纯虚数的定义知

解得m=4.

所以z=4+ni.

因为z的对应点在直线x+y-2=0上,

所以4+n-2=0,

所以n=-2.

所以z=4-2i,

所以|z|=

=2.

一、选择题(每小题4分,共16分)

1.(20132福建高考)复数z=-1-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于

( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

【解析】选C.因复数z=-1-2i的实部为-1,虚部为-2,故由几何意义可知,复数在第三象限.

【变式训练】若θ∈,则复数(cosθ+sinθ)+(sinθ-cosθ)i在复平面内所对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

【解析】选 B.取θ=π,得(cosθ+sinθ)+(sinθ-cosθ)i=-1+i,则复数在复平面内所对应的点在第二象限.

2.(20142武汉高二检测)已知复数z对应的向量为(O为坐标原点),与实轴正向的夹角为120°,且复数z的模为2,则复数z为( )

A. 1+i

B.2

C.(-1,)

D. -1+i

【解析】选D.根据题意可画图形如图所示:

设点Z的坐标为(a,b),

因为||=|z|=2,∠xOZ=120°,

所以a=-1,b=,

即点Z的坐标为(-1,),

所以z=-1+i.

3.(20132太原高二检测)在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C 对应的复数是( )

A.4+8i

B.8+2i

C.2+4i

D.4+i

【解题指南】先求出复数在复平面上对应点的坐标,再利用中点坐标公式求出C点,再把点的坐标还原为复数.

【解析】选C.由题意,得点A(6,5),B(-2,3).由C为线段AB的中点,得点C(2,4),

所以点C对应的复数为2+4i.

【变式训练】已知复数z1=-2+3i的对应点为Z1,Z2与Z1关于x轴对称,Z3与Z2关于直线y=-x对称,则点Z3对应的复数为z= .

【解析】Z1(-2,3),Z2(-2,-3),Z3(3,2)

所以z=3+2i.

答案:3+2i

4.(20132郑州高二检测)已知z=cos+isin,i为虚数单位,那么平面内到点C(1,2)的距离等于|z|的点的轨迹是( )

A.圆面

B.以点C为圆心,半径等于1的圆

C.满足方程x2+y2=1的曲线

D.满足(x-1)2+(y-2)2=的曲线

【解析】选B.由z=cos+isin,得|z|=1,故到点C(1,2)的距离为1的点的轨迹为(x-1)2+(y-2)2=1为以点C为圆心,半径等于1的圆.

【拓展延伸】复数与曲线的关系

复数的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁,复数问题可以用几何方法解决,几何问题也可以用复数方法解决.如:若复数z的对应点在直线x=1上,则z=1+bi(b∈R);若复数z的对应点在直线y=x上,则z=a+ai(a∈R),这在利用复数的代数形式解题中能起到简化作用.

二、填空题(每小题5分,共10分)

5.复数z=(a-2)+(a+1)i,a∈R对应的点位于第二象限,则|z|的取值范围是.

【解析】复数z=(a-2)+(a+1)i对应的点的坐标为

(a-2,a+1),因为该点位于第二象限,

所以解得-1

由条件得|z|==

==,

因为-1

答案:

6.(20142济宁高二检测)复数z=-5-12i在复平面内对应的点到原点的距离为.

【解析】复数z=-5-12i对应点为(-5,-12),

所以d==13.

答案:13

【变式训练】若复数z=(m2-9)+(m2+2m-3)i是纯虚数,其中m∈R,则|z|= .

【解析】由条件知

所以m=3,所以z=12i,所以|z|=12.

答案:12

三、解答题(每小题12分,共24分)

7.(20142广州高二检测)实数m取什么值时,复平面内表示复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i的点

(1)位于第四象限.

(2)位于第一、三象限.

【解析】(1)??-2

(2)(m2-8m+15)(m2-5m-14)>0?(m-3)(m-5)(m+2)(m-7)>0,

得m<-2或37.

【举一反三】若结论改为复数z的点位于直线x-2y+16=0上,则结果如何?

【解析】由复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i的点在直线x-2y+16=0上可得m2-8m+15-2(m2-5m-14)+16=0?m=1±2.

8.(20142黄山高二检测)已知O为坐标原点,对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i(a∈R).若与共线,求a的值.

【解题指南】先利用向量与复数的对应求出向量与的坐标,再利用向量共线的条件求出a的值. 【解析】因为对应的复数为-3+4i,

对应的复数为2a+i,

所以=(-3,4),=(2a,1).

因为与共线,所以存在实数k使=k,

即(2a,1)=k(-3,4)=(-3k,4k),

所以所以

即a的值为-.

【变式训练】已知虚数(x-2)+yi(x,y∈R)的模为,求的取值范围.

【解题指南】由模的定义得到关于x与y的等式,即动点(x,y)的轨迹;再由=的几何意义表示动点(x,y)与(0,0)所在直线的斜率,作出草图,求出范围.

【解析】由(x-2)+ yi是虚数,得y≠0,又由=,得(x-2)2+y2=3.这是以(2,0)为圆

心,为半径的圆,(除去(2±,0)).

过O点作圆的切线OP,OQ,则斜率的最大值为=tan∠AOP=,=tan∠AOQ=-. 所以的取值范围是[-,0)∪(0,].

【方法技巧】常见复数模的几何意义

复数的模在复平面内对应的常见图形为:

(1)以z0为圆心,r为半径的圆:│z-z0│=r.

(2)线段z1z2的中垂线│z-z1│=│z-z2│.

高中数学-复数的基础知识

复数 基础知识 1.复数的定义:设i 为方程x 2=-1的根,i 称为虚数单位,由i 与实数进行加、减、乘、除 等运算。便产生形如a+bi (a,b ∈R )的数,称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2.复数的几种形式。对任意复数z=a+bi (a,b ∈R ),a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式,它由实部、虚部两部分构成;若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标,那么z 与坐标平面唯一一个点相对应,从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示,表示复数的平面称为复平面,x 轴称为实轴,y 轴去掉原点称为虚轴,点称为复数的几何形式;如果将(a,b)作为向量的坐标,复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式,称为向量形式;另外设z 对应复平面内的点Z ,见图15-1,连接OZ ,设∠xOZ=θ,|OZ|=r ,则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ),这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ),则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π,则θ称为z 的辐角主值,记作θ=Arg(z). r 称为z 的模,也记作|z|,由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ,则z=re i θ ,称为复数的指数形式。 3.共轭与模,若z=a+bi ,(a,b ∈R ),则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有: (1)2121z z z z ±=±;(2)2121z z z z ?=?;(3)2||z z z =?;(4)2 121z z z z =???? ??;(5)||||||2121z z z z ?=?; (6)||||||2121z z z z =;(7)||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|;(8)|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2;(9)若|z|=1,则z z 1= 。 4.复数的运算法则:(1)按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致,运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数;(2)按向量形式,加、减法满足平行四边形和三角形法则;(3)按三角形式,若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2),则z 1??z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)];若2 1212,0r r z z z =≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)],用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2),.)(2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理:[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ). 6.开方:若=n w r(cos θ+isin θ),则)2s i n 2(c o s n k i n k r w n π θπ θ+++=, k=0,1,2,…,n-1。 7.单位根:若w n =1,则称w 为1的一个n 次单位根,简称单位根,记Z 1=n i n ππ2sin 2cos +,则全部单位根可表示为1,1Z ,1121,,-n Z Z .单位根的基本性质有(这里记k k Z Z 1=,

复 数 的 运 算 法 则

网易云课堂_C++程序设计入门(下)_第9单元:白公曾咏牡丹芳,一种鲜妍独“异常”_第9单元 - 作业3:OJ编程 - 使用异常进行复数运算的错误处理... 第9单元?-?作业3:OJ编程?-?使用异常进行复数运算的错误处理 查看帮助 温馨提示: 1.本次作业属于Online Judge题目,提交后由系统即时判分。 2.学生可以在作业截止时间之前不限次数提交答案,系统将取其中的最高分作为最终成绩。 在复数的运算中,练习异常处理 依照学术诚信条款,我保证此作业是本人独立完成的。 通过C++内建的异常类,处理复数除法中除数为0 的问题(5分)题目内容请参见【第9单元 - 作业3说明:【OJ - 使用异常进行错误处理】】 时间限制:500ms内存限制:32000kb #include iostream #include exception #include stdexcept #include limits #include cmath

using namespace std; class MyComplex--2. 创建一个类 MyComplex,用来表示复数。 MyComplex(); MyComplex(double a, double b); friend ostream operator (ostream os, const MyComplex z);--4. 重载流插入运算符,使之可以将复数输出为如下的格式(实部如果是非负数,则不输出符号位;输出时要包含半角左右小括号):friend istream operator (istream is, MyComplex z);--3. 重载流提取运算符,使之可以读入以下格式的输入(两个数值之间使用空白分隔),将第一个数值存为复数的实部,将第二个数值存为复数的虚部: MyComplex operator+(const MyComplex secondMyComplex);--加法法则:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; MyComplex operator-(const MyComplex secondMyComplex);--减法法则:(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; MyComplex operator*(const MyComplex secondMyComplex);--乘法法则:(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i; MyComplex operator-(const MyComplex secondMyComplex);--除法法则:(a+bi)÷(c+di)=[(ac+bd)-(c2+d2)]+[(bc-ad)-(c2+d2)]i. private: double a_;

高中数学复数专题知识点整理

专题二 复数 【1】复数的基本概念 (1)形如a + b i 的数叫做复数(其中R b a ∈,);复数的单位为i ,它的平方等于-1,即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部,b 叫做虚部 实数:当b = 0时复数a + b i 为实数 虚数:当0≠b 时的复数a + b i 为虚数; 纯虚数:当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数 (2)两个复数相等的定义: 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a )特别地,,,,(其中,且 (3)共轭复数:z a bi =+的共轭记作z a bi =-; (4)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面;z a bi =+,对应点坐标为(),p a b ;(象限的复习) (5)复数的模:对于复数z a bi =+,把z =z 的模; 【2】复数的基本运算 设111z a b i =+,222z a b i =+ (1) 加法:()()121212z z a a b b i +=+++; (2) 减法:()()121212z z a a b b i -=-+-; (3) 乘法:()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。 (4)幂运算:1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-?????? 【3】复数的化简 c di z a bi +=+(,a b 是均不为0的实数);的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数:()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==?=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=?≠+,当c d a b =时z 为实数;当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi +==+进一步建立方程求解

高中数学复数

第1章:复数与复变函数 §1 复数 1.复数域 形如iy x z +=的数,称为复数,其中y x ,为实数。实数x 和实数y 分别称为复数iy x z +=的实部与虚部。记为 z x Re =, z y Im = 虚部为零的复数可看成实数,虚部不为零的复数称为虚数,实部为零虚部不为零的复数称为纯虚数。复数iy x z -= 和iy x z +=称为互为共轭复数,z 的共轭复数记为z 。 设 ,复数的四则运算定义为 加(减)法: 乘法: 除法: 相等: 当且仅当 复数的四则运算满足以下运算律 ①加法交换律 1221z z z z +=+ ②加法结合律 321321)()(z z z z z z ++=++ ③乘法交换律 1221z z z z ?=? ④乘法结合律 321321)()(z z z z z z ??=?? ⑤乘法对加法的分配律 3121321)(z z z z z z z ?+?=+? 全体复数在引入相等关系和运算法则以后,称为复数域. 在复数域中,复数没有大小. 正如所有实数构成的集合用R 表示,所有复数构成的集合用C 表示。

例 设i 3,i 5221+=-=z z ,求 2 1 z z . 分析:直接利用运算法则也可以,但那样比较繁琐,可以利用共轭复数的运算结果。 解 为求 2 1 z z ,在分子分母同乘2z ,再利用1i 2-=,得 i 101710110i 171)i 3)(i 52(2222121-=-=--=??=z z z z z z z 2.复平面 一个复数iy x z +=本质上由一对有序实数唯一确定。于是能够确定平面上全部的点和全体复数间一一对应的关系。如果把x 和y 当作平面上的点的坐标,复数z 就跟平面上的点一一对应起来,这个平面叫做复数平面或z 平面,x 轴称为实轴,y 轴称为虚轴. 在复平面上,从原点到点 所引的矢量 与复数z 也构成一一对应 关系,且复数的相加、减与矢量相加、减的法则是一致的,即满足平行四边形法则,例如: 这样,构成了复数、点、矢量之间的一一对应关系. 3. 复数的模与辐角 向量 的长度称为复数 的模或绝对值,即:

高一数学复数的运算练习题

复数的运算测试题 一、选择题 1.0a =是复数()z a bi a b =+∈R ,为纯虚数的( ) A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.充要条件 D.既不是充分也不必要条件 答案:B 2.若12z i =+,23()z ai a =+∈R ,12z z +的和所对应的点在实轴上,则a 为( ) A.3 B.2 C.1 D.—1 答案:D 3.复数22(2)(2)z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上,则( ) A.2a ≠或1a ≠ B.2a ≠且1a ≠ C.0a = D. 2 a =或 0a = 答案:D 4.设1z ,2z 为复数,则下列四个结论中正确的是( )

A.若22120z z +>,则2212z z >- B. 12 z z -= C.22121200z z z z +=?== D.11z z -是纯虚数或零 答案:D 5.设22(253)(22)z t t t t i =+-++-+,t ∈R ,则下列命题中正确的是( ) A.z 的对应点Z 在第一象限 B.z 的对应点Z 在第四象限 C.z 不是纯虚数 D.z 是虚数 答案:D 6.若1i +是实系数方程20x bx c ++=的一个根,则方程的另一个根为( ) A.1i - B.1i -+ C.1i -- D.i 答案:A 7.已知复数1cos z i θ=-,2sin z i θ=+,则1 2z z ·的最大值为( )

A.3 2 D.3 答案:A 8.已知m ∈R ,若6()64m mi i +=-,则m 等于( ) A. 2- B. C. D.4 答案:B 9.在复平面内12 ω=-对应的向量为OA ,复数2ω对应的向量为 OB .那么向量AB 对应的复数是( ) A.1 B. 1- D. 答案:D 10.在下列命题中,正确命题的个数为( ) ①两个复数不能比较大小; ②123z z z ∈C ,,,若221221()()0z z z z -+-=,则13z z =; ③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数,则实数1x =±; ④z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ; ⑤若a b ,是两个相等的实数,则()()a b a b i -++是纯虚数; ⑥z ∈R 的一个充要条件是z z =.

(完整word版)高中数学-复数专题

复数专题 一、选择题 1 .(2012年高考(天津理)) i 是虚数单位,复数7= 3i z i -+ ( ) A .2i + B .2i - C .2i -+ D .2i -- 2 .(2012年高考(新课标理))下面是关于复数2 1z i = -+的四 个命题:其中的真命 题为 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1- ( ) A .23,p p B .12,p p C .,p p 24 D .,p p 34 3 .(2012年高考(浙江理))已知i 是虚数单位,则 3+i 1i -= ( ) A .1-2i B .2-i C .2+i D .1+2i 4 .(2012年高考(四川理))复数2(1)2i i -= ( ) A .1 B .1- C . i D .i - 5 .(2012年高考(上海理))若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根,则 ( ) A .3,2==c b . B .3,2=-=c b . C .1,2-=-=c b . D .1,2-==c b . 6 .(2012年高考(陕西理))设,a b R ∈, 是虚数单位,则“0ab =”是“复数b a i + 为纯虚数”的 ( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 7 .(2012年高考(山东理))若复数z 满足(2)117z i i -=+( i 为虚数单位),则z 为 ( ) A .35i + B .35i - C .35i -+ D .35i -- 8 .(2012年高考(辽宁理))复数 22i i -=+ ( ) A .34i - B .34i + C .41i - D .3 1i +

高中数学公式速记口诀大全

高中数学公式速记口诀大全 一、《集合与函数》 内容子交并补集,还有幂指对函数。性质奇偶与增减,观察图象最明显。复合函数式出现,性质乘法法则辨,若要详细证明它,还须将那定义抓。指数与对数函数,两者互为反函数。底数非1的正数,1两边增减变故。函数定义域好求。分母不能等于0,偶次方根须非负,零和负数无对数;正切函数角不直,余切函数角不平;其余函数实数集,多种情况求交集。两个互为反函数,单调性质都相同;图象互为轴对称,Y=X是对称轴;求解非常有规律,反解换元定义域;反函数的定义域,原来函数的值域。幂函数性质易记,指数化既约分数;函数性质看指数,奇母奇子奇函数,奇母偶子偶函数,偶母非奇偶函数;图象第一象限内,函数增减看正负。 二、《三角函数》 三角函数是函数,象限符号坐标注。函数图象单位圆,周期奇偶增减现。同角关系很重要,化简证明都需要。正六边形顶点处,从上到下弦切割;中心记上数字1,连结顶点三角形;向下三角平方和,倒数关系是对角,变成税角好查表,化简证明少不了。二的一半整数倍,奇数化余偶不变,将其后者视锐角,符号原来函数判。两角和的余弦值,化为单角好求值,余弦积减正弦积,换角变形众公式。和差化积须同名,互余角度变名称。计算证明角先行,注意结构函数名,保持基本量不变,繁难向着简易变。逆反原则作指导,升幂降次和差积。条件等式的证明,方程思想指路明。万能公式不一般,化为有理式居先。公式顺用和逆用,变形运用加巧用;1加余弦想余弦,1减余弦想正弦,幂升一次角减半,升幂降次它为范; 三角函数反函数,实质就是求角度,先求三角函数值,再判角取值范围;利用直角三角形,形象直观好换名,简单三角的方程,化为最简求解集; 三、《不等式》 解不等式的途径,利用函数的性质。对指无理不等式,化为有理不等式。高次向着低次代,步步转化要等价。数形之间互转化,帮助解答作用大。证不等式的方法,实数性质威力大。求差与0比大小,作商和1争高下。直接困难分析好,思路清晰综合法。非负常用基本式,正面难则反证法。还有重要不等式,以及数学归纳法。图形函数来帮助,画图建模构造法。 四、《数列》 等差等比两数列,通项公式N项和。两个有限求极限,四则运算顺序换。数列问题多变幻,方程化归整体算。数列求和比较难,错位相消巧转换,取长补短高斯法,裂项求和公式算。归纳思

复数的四则运算教学设计

《复数的四则运算》教学设计 吕叔湘中学 黄国才 【教学目的】1、初步理解复数的加法、减法、乘法的运算法则. 2、会利用加法、减法、乘法、运算法则进行简单的运算。 3、了解复数中共轭复数的概念 【教学重点】:会利用加法、减法、乘法、运算法则进行简单的运算。 【教学难点】:理解复数的加法、减法、乘法的运算法则. 【教学过程】: 一、 问题情景: 问题1: 由初中学习我们可以知道: (2+3x )+(1-4x)=3-x 猜想: (2+3i )+(1-4i)= ? 二、 建构数学 1、复数减法的运算法则 问题 2:用字母表示数,你可以表示复数的运算法则和运算律吗? (1)运算法则:设复数z 1=a+bi,z 2=c+di,(a,b,c,d ∈R )那么: z 1+z 2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; 显然,两个复数的和仍是一个复数,复数的加法法则类似于多项式的合并同类项法则。 (2)复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z 1,z 2,z 3∈C,有: z 1+z 2=z 2+z 1, (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3) 2、复数减法的运算法则 定义:把满足(c+di )+(x+yi) = a+bi 的复数x+yi (x,y ∈R ),叫做复数a+bi 减去复数c+di 的差,记作:x+yi =(a+bi )-(c+di) 由复数的加法法则和复数相等定义,有c+x=a , d+y=b 由此,x=a -c , y=b -d ∴ (a+bi )-(c+di) = (a -c) + (b -d)i 显然,两个复数的差仍然是一个复数 由此可见: 两个复数相加(减)就是把实部与实部,

高中数学复数练习题百度文库

一、复数选择题 1.已知复数1z i =+,则2 1z +=( ) A .2 B C .4 D .5 2.在复平面内,复数534i i -(i 为虚数单位)对应的点的坐标为( ) A .()3,4 B .()4,3- C .43,55??- ??? D .43,55?? - ??? 3.若复数1z i i ?=-+,则复数z 的虚部为( ) A .-1 B .1 C .-i D .i 4.已知a 为正实数,复数1ai +(i 为虚数单位)的模为2,则a 的值为( ) A B .1 C .2 D .3 5.已知i 为虚数单位,若复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数,则z a +=( ) A B .3 C .5 D .6.若复数1z i =-,则1z z =-( ) A B .2 C . D .4 7.已知复数5 12z i =+,则z =( ) A .1 B C D .5 8.若 1m i i +-是纯虚数,则实数m 的值为( ). A .1- B .0 C .1 D 9.在复平面内,复数z 对应的点是()1,1-,则1 z z =+( ) A .1i -+ B .1i + C .1i -- D .1i - 10.已知()312++=+a i i bi (,a b ∈R ,i 为虚数单位),则实数+a b 的值为( ) A .3 B .5 C .6 D .8 11.已知复数z 满足()1+243i z i =+,则z 的虚部是( ) A .-1 B .1 C .i - D .i 12.若i 为虚数单位,,a b ∈R ,且2a i b i i +=+,则复数a bi -的模等于( ) A B C D

复 数 的 运 算 法 则

复数基础——复数的基本运算_2 回顾复数 复数的基本运算 回顾复数 将下列数字写成复数形式: ?简单复习一下,复数是包含实数部分和虚数部分的数。 如果有a+bi,a是实数,b是实数,这是复数。a是实部,bi是虚数部分(注:虚部不包括i)。 为什么bi是虚部?因为bi带有特殊系数i,这个虚数单位,这个特殊的数i,在这里乘以了b。我相信大家都会觉得怪诞,不过根据定义:?在此之前,不存在对某个数取平方后得到-1,现在取i的平方,得到-1,关于虚数(单位)的特别的知识点是它的平方是负数。复数有用之处在于它使我们有能力解决很多方程,这些方程在只允许实数解的情况下无解。复数在很多方面都有用,特别是在工程领域,还有其他领域,比如物理等等。现在,我们不会花很多心思讨论复数定义,在大家处理更多数字后,特别是接触到某些工程应用后,希望大家明白虚数的价值。 回到问题中来,把上面的数字写成复数形式。 ?怎么把它写成复数呢?把它写成实部和虚部的组合。可以写成: -21 = -21+0i ?0i等于0,所以它仍等于-21,实际上这里没有虚部,-21本身就是复数形式,很简单。同样的:

7i是虚数形式的,所以这里没有实部,实部是0,虚部是7i,所以等于0 + 7i。 复数的基本运算 很多时候解方程都会碰到根号下负数的情况,比如根号下-1或者-9:由于如何实数的平方不是0就是正数,所以以上两个数这些没有定义,为了定义这些数,人们引入i的概念,i是虚数单位,i的定义是:这就是解决了根号下负数的问题,这样一来,根号下-9是多少呢?它等于i乘以根号9,即3i, 为什么,想想3i平方是多少? 这是指数性质。所以,这样的定义就拓展到了,所有负数开根号的情况: 3i是所谓的虚数,它其实也不比其他数“虚”,某种意义上,负数真的存在吗?只不过是将负号放在前面表示抽象含义,负号只是表示它和大小的关系。任何数乘以虚数单位i都是虚数。解二次方程时,你会发现结果有时会实数和虚数并存(有实数部分和虚数部分),举个例子:这不能化简了,因为实数和虚数不能相加,大家可以把这当作不同维度,一个数有实部5,还有虚部2i,这叫做复数。复数可以在平面中表示:虚数也就是虚轴,在纵轴2i,上图表示为2个单位。 实数也就是实轴,在实轴5,上图表示为5个单位。 所以这个图形表示为:5+2i。在以后讲复数应用时,我还会举更多例子,现在只需要知道定义即可。看看有什么运算,两复数相加怎么做:a是实部,bi是虚部,另一个复数是:

高中数学高考总复习复数习题

高中数学高考总复习复 数习题 Last revised by LE LE in 2021

高中数学高考总复习复数习题一、选择题 1.复数3+2i 2-3i =( ) A.i B.-i C.12-13i D.12+13i 2.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是( ) A.4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i 3.若复数(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i表示的点在虚轴上,则实数m的值是( ) A.-1 B.4 C.-1和4 D.-1和6 4.(文)已知复数z= 1 1+i ,则z-·i在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 (理)复数z在复平面上对应的点在单位圆上,则复数z2+1 z ( ) A.是纯虚数 B.是虚数但不是纯虚数C.是实数

D.只能是零 5.复数(3i-1)i的共轭复数 ....是( ) A.-3+i B.-3-i C.3+i D.3-i 6.已知x,y∈R,i是虚数单位,且(x-1)i-y=2+i,则(1+i)x-y的值为( ) A.-4 B.4 C.-1 D.1 7.(文)复数z1=3+i,z2=1-i,则z=z1·z2在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (理)现定义:e iθ=cosθ+isinθ,其中i是虚数单位,e为自然对数的底,θ∈R,且实数指数幂的运算性质对e iθ都适用,若a=C50cos5θ-C52cos3θsin2θ+ C 54cosθsin4θ,b=C 5 1cos4θsinθ-C 5 3cos2θsin3θ+C 5 5sin5θ,那么复数a+b i等于 ( ) A.cos5θ+isin5θ B.cos5θ-isin5θ C.sin5θ+icos5θ D.sin5θ-icos5θ 8.(文)已知复数a=3+2i,b=4+xi(其中i为虚数单位),若复数a b ∈R,则实数x 的值为( ) A.-6 B.6

复数的三角形式的运算(一) 教案示例

复数的三角形式的运算(一)·教案示例 目的要求 1.掌握复数三角形式的乘法运算法则. 2.理解复数三角形式的乘法运算的几何意义,并能简单地应用. 内容分析 1.在代数形式下,两个复数的乘积(a +bi)(c +di)按照多项式展开,从而得出乘法运算法则.在三角形式下,两个复数的乘积r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2)仍可按代数形式(r1cos θ1+ir1sin θ1)(r2cos θ2+ir2sin θ2)来计算.但这样运算较繁杂,而且没有体现出三角形式下模与辐角的特征和作用,因此很有必要研究两个复数的乘积的结果(也是一个复数)的模与原来两个复数的模、辐角与原来两个复数的辐角之间的关系. 2.三角形式下两个复数z1=r1(cos θ1+isin θ1)与z2=r2(cos θ2+isin θ2)的乘法公式及法则: r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] 即,两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于这两个复数的辐角的和. 上述法则中,注意“积的辐角等于这两个复数的辐角的和”指的是积的辐角的集合等于原来两个复数的辐角集合中各自任取一个,求和角,所有和角组成的集合.而积的辐角主值不一定等于这两个复数的辐角主 值的和.如-=π,-=π,--==π≠π+π.arg(i)arg(1)arg[(i)(1)]argi 32232 arg(z1·z2)与argz1、argz2的关系是 arg(z1·z2)=argz1+argz2+2k π(k 取某一整数) 其中整数k 使argz1+argz2+2k π∈[0,2π). 3.根据三角形式的乘法法则,结合向量知识,可以对复数乘法的几何意义解释如下: 在复平面内作出z1、z2对应的向量,将向量按逆时针方向旋转一个角θ2(若θ2<0,则 按顺时针方向旋转一个角|θ2|),再把它的模变为原来的r2倍,所得向量 就表示积z1z2. 也就是说,复数乘法实质上就是向量的旋转和伸缩.旋转方向与角度取决于从另一复数的辐角集中取出来的值,伸长或缩短及其倍数取决于另一复数的模的大小. 4.将两个复数相乘的结果推广到有限个复数相乘,即为 r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2)·…·rn(cos θn +isin θn) =r1r2…rn[cos(θ1+θ2+…+θn)+isin(θ1+θ2+…+θn)](n ≥2). 可以用数学归纳法说明: 1°当n =2时,乘法公式成立.

高中数学复数(DOC)

复 数 知识回顾: 一、复数的概念 1. 虚数单位i (1) 它的平方等于1-,即2 i 1=-; (2) 实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有的加、乘法运算仍然成立,即满足交换律与结合律. (3) i 的乘方:4414243*i 1,i i,i 1,i i,N n n n n n +++===-=-∈,它们不超出i b 的形式. 2. 复数的定义 形如i(,)R a b a b +∈的数叫做复数,单个复数常常用字母z 表示.把复数z 表示成i a b +时,叫做复数的代数形式.,a b 分别叫做复数的实部与虚部,记作Re ,Im z z . 注意复数的实部和虚部都是实数. 3. 复数相等 如果两个复数1i(,)R z a b a b =+∈和2i(,)R z c d c d =+∈的实部和虚部分别相等,即,a c b d ==,那么这两个复数相等,记作i i a b c d +=+.一般的,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小. 4. 共轭复数 当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数,也称这两个复数互相共轭.复数z 的共轭复数用z ,也就是当i z a b =+时,i z a b =-. a a =,i i b b =-. 二、复数的分类

正整数 有理数,Q Z q p q p ??=∈???? 零(0a b ==) 实数R :(0b =) 负整数 复数C 无理数 i (,) R z a b a b =+∈ 纯虚数(0a =) 虚数(0b ≠) 非纯虚数(0a ≠) i z a b =+是实数0b z z ?=?=. i z a b =+是纯虚数0,00,0a b z z z ?=≠?+=≠. 三、复平面及复数的坐标表示 1. 复平面 在直角坐标系里,点z 的横坐标是a ,纵坐标是b ,复数i z a b =+可用点(,)Z a b 来表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴为实轴,y 轴出去原点的部分称为虚轴. 2. 复数的坐标表示 一个复数i z a b =+对应了一个有序实数对(,)a b ;反之一个有序实数对(,)a b 对应了一个复数i a b +.在复平面内,复数i z a b =+与复平面内的点(,)Z a b 是一一对应的. 我们常把复数i a b +看作点(,)Z a b . 3. 复数的向量表示

复数的运算(一)

课题:4.2复数的运算(一) 教学目的:掌握复数的加法运算及意义 教学重点:复数加法运算. 教学难点:复数加法运算的运算率 授课类型:新授课 课时安排:1课时 教具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.虚数单位i:(1)它的平方等于-1,即21 i=-; (2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立 2. i与-1的关系: i就是-1的一个平方根,即方程x2=-1的一个根,方程x2=-1的另一个根是-i 3. i的周期性:i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1 4.复数的定义:形如(,) +∈的数叫复数,a叫复数的实部,b叫复 a bi a b R 数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示* 3. 复数的代数形式:复数通常用字母z表示,即(,) =+∈,把复 z a bi a b R 数表示成a+bi的形式,叫做复数的代数形式 4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系:对于复数(,) +∈,当 a bi a b R 且仅当b=0时,复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时,复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时,z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z就是实数0. 5.复数集与其它数集之间的关系:N Z Q R C. 6. 两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等即:如果a,b,c,d∈R,那么a+bi=c+di?a=c,b=d 一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.如果两个复数都 是实数,就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 7. 复平面、实轴、虚轴: ∈R)可用点Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表 示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,x轴叫做实 轴,y轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外,因为原点对应的有序

高中数学复数的知识点总结

高中数学复数的知识点总结 高中数学复数的知识点总结 定义 数集拓展到实数范围内,仍有些运算无法进行。比如判别式小于0的一元二次方程仍无解,因此将数集再次扩充,达到复数范围。形如z=a+bi的数称为复数(complexnumber),其中规定i为虚数单位,且i^2=i*i=-1(a,b是任意实数)我们将复数z=a+bi中的实数a称为复数z的实部(realpart)记作Rez=a实数b称为复数z的虚部(imaginarypart)记作Imz=b.已知:当b=0时,z=a,这时复数成为实数当a=0且b≠0时,z=bi,我们就将其称为纯虚数。 运算法则 加法法则 复数的加法法则:设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和,它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。 即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 乘法法则 复数的乘法法则:把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,结果中i^2=1,把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。 即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.

除法法则 复数除法定义:满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商运算方法:将分子和分母同时乘以分母的共轭复数,再用乘法法则运算, 即(a+bi)/(c+di) =[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)] =[(ac+bd)+(bc-ad)i]/(c^2+d^2). 开方法则 若z^n=r(cosθ+isinθ),则 z=n√r[cos(2kπ+θ)/n+isin(2kπ+θ)/n](k=0,1,2,3……n-1) 复数中的难点 (1)复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好,对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义,对其灵活地加以证明. (2)复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道,但对其灵活地运用有一定的困难,特别是开方运算,应对此认真地加以训练. (3)复数的辐角主值的求法. (4)利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示,同时复数的.模和辐角都具有几何意义,对他们的理解和应用有一定难度,应认真加以体会.

高考数学专题讲解:复数

高考数学专题讲解:复数 第一部分:n i 和 n i 1的题型 【题型一】:计算n i 。 第一种类型:当n 为偶数时: 2 22 2)(n n n i i i ==?,2 222)1()(1n n n i i i -==?-=。 第一种:当2n 为奇数:1)1(1)1(22-=-=?-=-n n n i 。 第二种:当2n 为偶数:1)1(1)1(22=-=?=-n n n i 。 第二种类型:当n 为奇数时: i i i i i i i n n n n ?=?=?=--? -2 12 2 121 ) (,i i i i i n n n ?-=?=?-=--2 12 12 2) 1() (1。 第一种:当21 -n 为奇数:i i i i n n n -=?-=?-=?-=---1)1(1) 1(2 12 1。 第二种:当21 -n 为偶数:i i i i n n n =?=?-=?=---1) 1(1) 1(2 12 1。 例题一:化简:2020i 。 本题解析:1)1()(101010102101022 202022020 =-====?? i i i i 。 例题二:化简:999i 。 本题解析:i i i i i i i i i i i i -=?-=?-=?=?=?=?=?? 1)1()(499499249922 9982998 999 。 【训练】:化简下列复数关系式。 (Ⅰ)1482i ;(Ⅱ)383i ;(Ⅲ)1405i ;(Ⅳ)88i 。 【训练参考答案】:(Ⅰ)1)1()(741741274122 1482 21482 -=-====?? i i i i ; (Ⅱ)i i i i i i i i i i i i -=?-=?-=?=?=?=?=?? 1)1()(191191219122 3822382 383 ;

(推荐)高中数学复数知识点概要

复数是高中代数的重要内容,在高考试题中约占8%-10%,一般的出一道基础题和一道中档题,经常与三角、解析几何、方程、不等式等知识综合.本章主要内容是复数的概念,复数的代数、几何、三角表示方法以及复数的运算.方程、方程组,数形结合,分域讨论,等价转化的数学思想与方法在本章中有突出的体现.而复数是代数,三角,解析几何知识,相互转化的枢纽,这对拓宽学生思路,提高学生解综合习题能力是有益的.数、式的运算和解方程,方程组,不等式是学好本章必须具有的基本技能.简化运算的意识也应进一步加强.在本章学习结束时,应该明确对二次三项式的因式分解和解一元二次方程与二项方程可以画上圆满的句号了,对向量的运算、曲线的复数形式的方程、复数集中的数列等边缘性的知识还有待于进一步的研究. 1.知识网络图 2.复数中的难点 (1)复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好,对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义,对其灵活地加以证明. (2)复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道,但对其灵活地运用有一定的困难,特别是开方运算,应对此认真地加以训练. (3)复数的辐角主值的求法. (4)利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示,同时复数的模和辐角都具有几何意义,对他们的理解和应用有一定难度,应认真加以体会. 3.复数中的重点 (1)理解好复数的概念,弄清实数、虚数、纯虚数的不同点. (2)熟练掌握复数三种表示法,以及它们间的互化,并能准确地求出复数的模和辐角.复

数有代数,向量和三角三种表示法.特别是代数形式和三角形式的互化,以及求复数的模和辐角在解决具体问题时经常用到,是一个重点内容. (3)复数的三种表示法的各种运算,在运算中重视共轭复数以及模的有关性质.复数的运算是复数中的主要内容,掌握复数各种形式的运算,特别是复数运算的几何意义更是重点内容. (4)复数集中一元二次方程和二项方程的解法. (注:文档可能无法思考全面,请浏览后下载,供参考。可复制、编制,期待你的好评与关注!)

高考数学复数知识点、公式(最齐全)

数系的扩充和复数概念和公式总结 1.虚数单位: 它的平方等于-1,即 2. 与-1的关系: 就是-1的一个平方根,即方程x2=-1的一个根,方程x2=-1的另一个根是- 3. 的周期性:4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1 4.复数的定义:形如的数叫复数,叫复数的实部,叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示复数通常用字母z表示,即 5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系: 对于复数,当且仅当b=0时,复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时,复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时,z=bi叫做纯虚数;a≠0且b≠0时,z=bi叫做非纯虚数的纯虚数;当且仅当a=b=0时,z就是实数0. 5.复数集与其它数集之间的关系:N Z Q R C. 6. 两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等如果a,b,c,d∈R,那么a+bi=c+di a=c,b=d 一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小. 即使是也没有大小。 如果两个复数都是实数,就可以比较大小当两个复数不全是实数时不能比较大小 7. 复平面、实轴、虚轴: 点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数 (1)实轴上的点都表示实数

(2)虚轴上的点都表示纯虚数 (3)原点对应的有序实数对为(0,0) 设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数, 8.复数z1与z2的加法运算律:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 9.复数z1与z2的减法运算律:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 复数的加法运算满足交换律和结合律 10.复数z1与z2的乘法运算律:z1·z2= (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 幂运算: 11.复数z1与z2的除法运算律:z1÷z2 =(a+bi)÷(c+di)= (分母实数化) 复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。 12.共轭复数:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数 , 通常记复数的共轭复数为。例如=3+5i与=3-5i互为共轭复数 13. 共轭复数的性质 (1)实数的共轭复数仍然是它本身 (2) (3)两个共轭复数对应的点关于实轴对称 14.复数的两种几何意义: 复数 15几个常用结论 (1),(2) (3),(4) (5)(6) 16.复数的模:若向量表示复数z,则称的模r为复数z的模,复数 的模 17、复数的化简

高中数学复数专题知识点整理和总结人教版

【1】复数的基本概念 (1)形如a + b i 的数叫做复数(其中R b a ∈,);复数的单位为i ,它的平方等于-1,即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部,b 叫做虚部 实数:当b = 0时复数a + b i 为实数 虚数:当0≠b 时的复数a + b i 为虚数; 纯虚数:当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数 (2)两个复数相等的定义: 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a )特别地,,,,(其中,且 (3)共轭复数:z a bi =+的共轭记作z a bi =-; (4)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面;z a bi =+,对应点坐标为(),p a b ;(象限的复习) (5)复数的模:对于复数z a bi =+,把z =z 的模; 【2】复数的基本运算 设111z a b i =+,222z a b i =+ (1) 加法:()()121212z z a a b b i +=+++; (2) 减法:()()121212z z a a b b i -=-+-; (3) 乘法:()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。 (4)幂运算:1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-?????? 【3】复数的化简 c di z a bi +=+(,a b 是均不为0的实数);的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数:()()22 ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==?=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=?≠+,当c d a b =时z 为实数;当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi +==+进一步建立方程求解 【例4】 若复数 ()312a i z a R i +=∈-(i 为虚数单位),

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