精选江苏省无锡市高二上期末数学测试卷(含答案)

江苏省无锡市高二（上）期末测试

数学试卷

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1．直线x ﹣y+a=0（a ∈R ，a 为常数）的倾斜角是 ．

2．命题“?x ∈R ，e x =x ﹣1”的否定是 ．

3．过点A （﹣1，1）且与直线x+3y+4=0平行的直线l 的方程为 ．

4．已知一个物体的运动方程是s=1﹣t+t 2，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么该物体在4秒末的瞬时速度是 ．

5．“x＞0”是“x≠0”的 条件；（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“非充分非必要”）

6．过点（2，）、（，﹣）的椭圆的标准方程为 ．

7．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，B 1C 与BD 所成的角为 ．

8．直线3x+4y=b 与圆x 2+y 2﹣2x ﹣2y+1=0相交，则b 的取值范围为 ．

9．若正四棱锥的底面边长为，体积为4cm 3，则它的侧面积为 cm 2．

10．下列命题，其中正确的是 （填写序号）．

①若m⊥α，m∥n，则n⊥α；

②若m∥n，m ?α，n ?β，则α∥β；

③若直线m∥n，则直线m 就平行于平面α内的无数条直线；

④若∠ABC 和∠A 1B 1C 1的边AB∥A 1B 1，AC∥A 1C 1，则∠ABC=∠A 1B 1C 1．

11．椭圆+=1的左焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴正半轴上，那么以线段F 1P 为直径的圆的标准方程为 ．

12．已知双曲线的中心是原点，焦点到渐近线的距离为2，一条准线方程为y=﹣3，则其渐近线方程为 ．

13．定义在R 上的函数f （x ）满足f′（x ）＞1，且f （1）=2，在不等式f （x ）＞x+1的解集为 ．

14．已知动点A 、B 分别在图中抛物线y 2=4x 及椭圆

的实线上运动，若AB∥x，点N 的坐标为（1，

0），则三角形ABN 的周长l 的取值范围是 ．

二、解答题：本大题共7小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15．已知圆C ：（x ﹣1）2+y 2=9内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点．

（1）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程；

（2）当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程；

（3）当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长．

16．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠BAD=45°，AB=2，AD=

，PA⊥平面

ABCD ，E 是PC 的中点，F 是AB 的中点．

（1）求证：BE∥平面PDF ；

（2）求证：平面PDF⊥平面PAB ．

17．抛物线y=x 2上有一点A 的横坐标为a ，其中a ∈（0，1），过点A 的抛物线的切线l 交x 轴及直线x=1于B ，C 两点，直线x=1交x 轴于D 点．

（1）求直线l 的方程；

（2）求△BCD 的面积S （a ），并求出a 为何值时S （a ）有最大值．

18．（文科班选做此题）已知a ＞0，命题p ：?x≥1，x ﹣+2≥0恒成立，命题q ：点P （1，1）在圆（x ﹣a ）2+（y ﹣a ）2=4的外部，是否存在正数a ，使得p∨q 为真命题；p ∧q 假命题，若存在，请求出a 的范围；若不存在，请说明理由．

19．求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；

（2）求平面ADC

1与ABA

1

所成二面角的正弦值．

20．已知函数f（x）=（m，n∈R）在x=1处取到极值2

（Ⅰ）求f（x）的解析式；

（Ⅱ）设函数g（x）=ax﹣lnx．若对任意的，总存在唯一的，使得g（x

2

）

=f（x

1

），求实数a的取值范围．

21．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的短轴为2，离心率为，直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，O为坐标原点．

（1）求椭圆E的方程；

（2）求△OAB面积的最大值；

（3）当m∈R时，判断点G（﹣2，0）与AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．

2019-2020学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1．直线x﹣y+a=0（a∈R，a为常数）的倾斜角是60°．

【分析】根据题意，设直线x﹣y+a=0的倾斜角为α，由直线的方程可得直线的斜率k=，进而可得

tanα=，结合α的范围，即可得答案．

【解答】解：根据题意，设直线x﹣y+a=0的倾斜角为α，

直线x﹣y+a=0可以变形为y=x+a，

其斜率k=，

tanα=且0°≤α＜180°，

则有α=60°，

故答案为：60°

【点评】本题考查直线倾斜角的计算，掌握直线的倾斜角与斜率的关系是解题的关键．

2．命题“?x∈R，e x=x﹣1”的否定是?x∈R，e x≠x﹣1 ．

【分析】由题意，命题“?x∈R，e x=x﹣1”，其否定是一个全称命题，按书写规则写出答案即可

【解答】解：命题“?x∈R，e x=x﹣1”是一个特称命题，其否定是一个全称命题

所以命题“?x∈R，e x=x﹣1”的否定为“?x∈R，e x≠x﹣1”

故答案为：?x∈R，e x≠x﹣1．

【点评】本题考查特称命题的否定，解题的关键是熟练掌握特称命题的否定的书写规则，依据规律得到答案，要注意理解含有量词的命题的书写规则，特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题．

3．过点A（﹣1，1）且与直线x+3y+4=0平行的直线l的方程为x+3y﹣2=0 ．

【分析】设与直线x+3y+4=0平行的直线l的方程为：x+3y+m=0，把点A（﹣1，1）代入即可得出．

【解答】解：设与直线x+3y+4=0平行的直线l的方程为：x+3y+m=0，

把点A（﹣1，1）代入可得：﹣1+3+m=0，解得m=﹣2．

∴要求的直线方程为：x+3y﹣2=0．

故答案为：x+3y﹣2=0．

【点评】本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

4．已知一个物体的运动方程是s=1﹣t+t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么该物体在4秒末的瞬时速度是7米/秒．

【分析】据对位移求导即得到物体的瞬时速度，求出导函数在t=4时的值，即为物体在4秒末的瞬时速度．【解答】解：∵s=1﹣t+t2，

求导函数可得s′=2t﹣1

当t=4时，s′=2t﹣1=2×4﹣1=7，

故物体在4秒末的瞬时速度是7米/秒，

故答案为：7米/秒．

【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的物理意义，属于基础题．

5．“x＞0”是“x≠0”的 充分不必要 条件；（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“非充分非必要”）

【分析】将题设中的命题改写成命题的形式，分别判断它的真假及其逆命题的真假，再依据充分条件，必要条件的定义作出判断得出正确答案

【解答】解：原命题：若“x＞0”则“x≠0”，此是个真命题

其逆命题：若“x≠0”，则“x＞0”，是个假命题，因为当“x≠0”时“x＜0”，也可能成立，故不一定得出“x＞0”，

综上知“x＞0”是“x≠0”的充分不必要条件

故答案为：充分不必要．

【点评】本题考查充分条件必要条件的判断，解题的关键是熟练掌握充分条件与必要条件的定义，本题是基本概念考查题，难度较低，在高考中出现的机率较小

6．过点（2，）、（，﹣）的椭圆的标准方程为 +=1 ．

【分析】设椭圆的方程为mx 2+ny 2=1，（m ，n ＞0且m≠n），再由点（2，）、（，﹣）代入椭

圆方程，解方程即可得到m ，n ，进而得到所求标准方程．

【解答】解：设椭圆的方程为mx 2+ny 2=1，（m ，n ＞0且m≠n），

由题意可得，

解得，

即有椭圆方程为+=1．

故答案为： +=1．

【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，注意运用待定系数法，考查运算求解能力，属于基础题．

7．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，B 1C 与BD 所成的角为 60° ．

【分析】连接B 1D 1和D 1C ，由BD∥B 1D 1，知∠D 1B 1C 就是异面直线DB 与B 1C 所成角．由△D 1B 1C 是等边三角形，知异面直线DB 与B 1C 所成角为60°．

【解答】解：连接B 1D 1和D 1C ，

∵BD∥B 1D 1，

∴∠D 1B 1C 就是异面直线DB 与B 1C 所成角．

在△D 1B 1C 中，

∵B 1D 1=D 1C=B 1C ，

∴∠D 1B 1C=60°．

故答案为：60°

【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，解题时要认真审题，仔细求解，注意合理地进行等价转化．

8．直线3x+4y=b 与圆x 2+y 2﹣2x ﹣2y+1=0相交，则b 的取值范围为 （2，12） ．

【分析】求出圆的标准方程，利用直线和圆相交的条件建立不等式关系进行求解即可．

【解答】解：圆的标准方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=1，

则圆心坐标为（1，1），半径r=1，

则若直线3x+4y=b 与圆x 2+y 2﹣2x ﹣2y+1=0相交，

则圆心到直线的距离d==＜1，

即|b ﹣7|＜5，

则﹣5＜b ﹣7＜5，

即2＜b ＜12，

故答案为：（2，12）

【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，利用点到直线的距离与半径之间的关系是解决本题的关键．

9．若正四棱锥的底面边长为，体积为4cm 3，则它的侧面积为 8 cm 2．

【分析】设出正四棱锥的底面边长为a=2

，h 为高，运用体积公式求解得出h=1，求解斜高h′=2，运用

面积公式求解即可．

【解答】解：∵正四棱锥的底面边长为

，体积为4cm 3，

∴a=2

，h 为高，

即

（2）2×h=4，

h=1，

∴斜高为：

=2，

∴侧面积为：4×2=8

故答案为：

【点评】本题考查了三棱锥的几何性质，运用求解斜高，侧面积公式，属于中档题，关键是把立体问题，转化为平面问题．

10．下列命题，其中正确的是 ① （填写序号）．

①若m⊥α，m∥n，则n⊥α；

②若m∥n，m ?α，n ?β，则α∥β；

③若直线m∥n，则直线m 就平行于平面α内的无数条直线；

④若∠ABC 和∠A 1B 1C 1的边AB∥A 1B 1，AC∥A 1C 1，则∠ABC=∠A 1B 1C 1．

【分析】在①中，由线面垂直的性质得n⊥α在②中，α与β相交或平行；在③中，直线m 与平面α有可能相交；在④中，∠ABC=∠A 1B 1C 1或∠ABC 和∠A 1B 1C 1互补．

【解答】解：①若m⊥α，m∥n，则由线面垂直的性质得n⊥α，故①正确；

②若m∥n，m ?α，n ?β，则α与β相交或平行，故②错误；

③若直线m∥n，则直线m 与平面α有可能相交，故③错误；

④若∠ABC 和∠A 1B 1C 1的边AB∥A 1B 1，AC∥A 1C 1，

则∠ABC=∠A 1B 1C 1或∠ABC 和∠A 1B 1C 1互补，故④错误．

故答案为：①．

【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．

11．椭圆+=1的左焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴正半轴上，那么以线段

F 1P 为直径的圆的标准方程为 x 2+（y ﹣）2= ． 【分析】先根据中位线定理可推断出PF 2垂直于x 轴，根据椭圆的标准方程求出焦距，进而设|PF 1|=t ，根据勾股定理求得t 和|PF 2|，可得M 的坐标，可得所求圆的标准方程．

【解答】解：∵O 是F 1F 2的中点，M 为PF 1的中点，

∴PF 2平行于y 轴，即PF 2垂直于x 轴，

∵c===2，

∴|F 1F 2|=4

设|PF 1|=t ，根据椭圆定义可知|PF 2|=8﹣t ，

∴（8﹣t ）2+16=t 2，解得t=5，

∴|PF 2|=3，

可得M （0，），|PM|=，

即有所求圆的方程为x 2+（y ﹣）2=

．

故答案为：x 2+（y ﹣）2=．

【点评】本题考查椭圆的定义和方程的运用，考查圆的方程的求法，注意运用中位线定理和椭圆的定义，属于中档题．

12．已知双曲线的中心是原点，焦点到渐近线的距离为2，一条准线方程为y=﹣3，则其渐近线方程为

y=±x ．

【分析】双曲线的焦点在y轴上，且=3，焦点到渐近线距离为2，求出a，b，c，即可求出双曲线的渐近线方程．

【解答】解：∵一条准线方程为y=﹣3，

∴双曲线的焦点在y轴上，且=3，

∵焦点到渐近线的距离为2，

∴=2，

∴b=2，

∴a=2，c=4

∴渐近线方程为y=±x=±x．

故答案为：y=±x．

【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其渐近线方程、点到直线的距离公式，属于基础题．

13．定义在R上的函数f（x）满足f′（x）＞1，且f（1）=2，在不等式f（x）＞x+1的解集为（1，+∞）．【分析】由f′（x）＞1，f（x）＞x+1可抽象出一个新函数g（x），利用新函数的性质（单调性）解决问题，即可得到答案．

【解答】解：设g（x）=f（x）﹣（x+1），

因为f（1）=2，f′（x）＞1，

所以g（1）=f（1）﹣（1+1）=0，

g′（x）=f′（x）﹣1＞0，

所以g（x）在R上是增函数，且g（1）=0．

所以f（x）＞x+1的解集即是g（x）＞0=g（1）的解集．

∴x＞1．

故答案为：（1，+∞）．

【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，解决此类问题的关键是构造函数g （x ）=f （x ）﹣（x+1），然后利用导数研究g （x ）的单调性，从而解决问题，属于中档题．

14．已知动点A 、B 分别在图中抛物线y 2=4x 及椭圆

的实线上运动，若AB∥x，点N 的坐标为（1，

0），则三角形ABN 的周长l 的取值范围是 （） ．

【分析】可考虑用抛物线的焦半径公式和椭圆的焦半径公式来做，先通过联立抛物线与椭圆方程，求出A ，B 点的横坐标范围，再利用焦半径公式转换为以B 点的横坐标为参数的式子，再根据前面求出的B 点横坐标方位计算即可．

【解答】解：由得，抛物线y 2=4x 与椭圆在第一象限的交点横坐标为，

设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则0＜x 1＜，＜x 2＜2，

由可得，三角形ABN 的周长l=|AN|+|AB|+|BN|=x 1++x 2﹣x 1+a ﹣ex 2

=+a+x 2=3+x 2，∵，＜x 2＜2，

∴＜3+x 2＜4

故答案为（

） 【点评】本题考查了抛物线与椭圆焦半径公式的应用，做题时要善于把未知转化为已知．

二、解答题：本大题共7小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15．已知圆C ：（x ﹣1）2+y 2=9内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点．

（1）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程；

（2）当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程；

（3）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．

【分析】（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程；

（2）当弦AB被点P平分时，求出直线的斜率，即可写出直线l的方程；

（3）当直线l的倾斜角为45°时，求出直线的斜率，然后求出直线的方程，利用点到直线的距离，半径，半弦长的关系求弦AB的长．

【解答】解：（1）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．

（2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为y﹣2=（x﹣2），即x+2y﹣6=0．

（3）当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l的方程为y﹣2=x﹣2，即x﹣y=0．

圆心到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为．

【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，计算直线的斜率，点到直线的距离；直线与圆的特殊位置关系的应用是本题的关键．

16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=45°，AB=2，AD=，PA⊥平面

ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．

（1）求证：BE∥平面PDF；

（2）求证：平面PDF⊥平面PAB．

【分析】（1）取PD的中点M，由三角形的中位线定理，结合已知条件，易证明四边形MEBF是平行四边形，且BE∥MF，结合线面平行的判定定理，即可得到BE∥平面PDF；

（2）连接BD，由∵∠BAD=45°，AB=2，AD=，F为AB的中点，可得DF⊥AB，由PA⊥平面ABCD，

可得PA⊥DF，结合线面垂直的判定定理可得DF⊥平面PAB，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面PDF⊥平面PAB．

【解答】证明：（1）取PD的中点M，

∵E是PC的中点，

∴ME是△PCD的中位线，

∴ME∥FB，

∴四边形MEBF是平行四边形，

∴BE∥MF，

∵BE?平面PDF，MF?平面PDF，

∴BE∥平面PDF．

（2）连接BD，

∵∠BAD=45°，AB=2，AD=，F为AB的中点，

∴DF⊥AB，

又∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥DF，

又由PA∩AB=A，

∴DF⊥平面PAB，

又∵DF?平面PDF，

∴平面PDF⊥平面PAB．

【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，其中（1）的关键是证得BE∥MF，（2）的关键是证明DF⊥平面PAB．

17．抛物线y=x2上有一点A的横坐标为a，其中a∈（0，1），过点A的抛物线的切线l交x轴及直线x=1于B，C两点，直线x=1交x轴于D点．

（1）求直线l的方程；

（2）求△BCD的面积S（a），并求出a为何值时S（a）有最大值．

【分析】（1）利用导数的运算法则可得y′，利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，进而得到切线的方程；

（2）利用切线的方程即可得出点B，C的坐标，再利用三角形的面积公式，求得S（a），再由导数求得单调区间和最值，即可得出结论．

【解答】解：（1）∵y=x2，∴y'=2x，

可得切线l的斜率为2a，

∴切线l的方程是y﹣a2=2a（x﹣a），即2ax﹣y﹣a2=0；

（2）由2ax﹣y﹣a2=0，令y=0，

解得x=，∴B（，0）；

令x=1，解得y=2a﹣a2，即C（1，2a﹣a2），

∴|BD|=1﹣，|CD|=2a﹣a2，

∴△BCD的面积S（a）=（1﹣）（2a﹣a2）=（a3﹣4a2+4a），

S′（a）=（3a2﹣8a+4）=（3a﹣2）（a﹣2），

令S'（a）=0，∵a∈（0，1），∴a=．

当0＜a＜时，S'（a）＞0；

当＜a＜1时，S'（a）＜0．

∴a=时，S（a）有最大值．

【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值，导数的几何意义等是解题的关键．

18．（文科班选做此题）已知a＞0，命题p：?x≥1，x﹣+2≥0恒成立，命题q：点P（1，1）在圆（x ﹣a）2+（y﹣a）2=4的外部，是否存在正数a，使得p∨q为真命题；p∧q假命题，若存在，请求出a的范围；若不存在，请说明理由．

【分析】根据条件求出命题的成立的等价条件，根据复合命题真假关系进行判断即可．

【解答】解：若：?x≥1，x﹣+2≥0，即x+2≥，

即x2+2x≥a在x≥1时成立，

设f（x）=x2+2x，则f（x）=（x+1）2﹣1，

当x≥1时，函数f （x ）为增函数，则函数f （x ）的最小值为f （1）=1+2=3，

则a≤3，即p ：a≤3

若点P （1，1）在圆（x ﹣a ）2+（y ﹣a ）2=4的外部，

则（1﹣a ）2+（1﹣a ）2＞4，

即（a ﹣1）2＞2，即a ＞1+或a ＜1﹣，

若存在正数a ，使得p∨q 为真命题；p ∧q 假命题，

则p ，q 为一真一假，

则此时p ：0＜a≤3，q ：a ＞1+

，

若p 真q 假，则，得0＜a≤1+，

若p 假q 真，则

，得a ＞3，

综上0＜a≤1+或a ＞3．

【点评】本题主要考查复合命题真假的应用，根据条件求出命题的等价条件是解决本题的关键．

19．求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；

（2）求平面ADC 1与ABA 1所成二面角的正弦值．

【分析】（1）以{

}为单位正交基底建立空间直角坐标系A ﹣xyz ，利用向量法能求出异面直

线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值． （2）分别求出平面ABA 1的法向量和平面ADC 1的法向量，利用向量法能求出平面ADC 1与ABA 1所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面ADC 1与ABA 1所成二面角的正弦值．

【解答】解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A ﹣xyz ，

则由题意知A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，0），

A 1（0，0，4），D （1，1，0），C 1（0，2，4），

∴， =（1，﹣1，﹣4），

∴cos＜＞===，

∴异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为

．

（2）是平面ABA 1的一个法向量，

设平面ADC 1的法向量为，

∵，

∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，

∴平面ADC 1的法向量为

， 设平面ADC 1与ABA 1所成二面角为θ，

∴cosθ=|cos＜

＞|=||=，

∴sinθ==．

∴平面ADC 1与ABA 1所成二面角的正弦值为．

【点评】本题考查两条异面直线所成角的余弦值的求法，考查平面与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．

20．已知函数f （x ）=（m ，n ∈R ）在x=1处取到极值2

（Ⅰ）求f （x ）的解析式；

（Ⅱ）设函数g （x ）=ax ﹣lnx ．若对任意的，总存在唯一的，使得g （x 2）=f （x 1），求实数a 的取值范围．

【分析】（I ）由已知中，函数，易求出导函数的解析式，再由函数在x=1处取到极值2，其导函数在x=1处等0，易构造一个关于m 的方程，解方程求出m 值，即可得到f （x ）的解析式；

（Ⅱ）由（I ）我们可以求出函数导函数的解析式，进而可分别出函数f （X ）的单调性，由此易判断f （x ）

在区间[，2]上的值域，由对任意的，总存在唯一的，使得g （x 2）=f （x 1），及函数g （x ）=ax ﹣lnx ．我们分别对a 值与e 及e 2的关系进行分类讨论，即可得到满足条件的实数a 的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）f′（x ）==

f （x ）在x=1处取到极值2，故f′（1）=0，f （1）=2即，

解得m=4，n=1，经检验，此时f （x ）在x=1处取得极值．故

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故f （x ）在上单调递增，在（1，2）上单

调递减，由，故f （x ）的值域为

依题意，记，∵x∈M∴

（ⅰ）当a≤e 时，g'（x ）≤0，g （x ），依题意由得，

故此时

（ⅱ）当e ＜a≤e 2时，＞＞当

时，g′（x ）＜0，当时，g′（x ）＞

0．依题意由，得，即．与a ＞e 矛盾

（ⅲ）当a ＞e 2时，＜，此时g′（x ）＞0，g （x ）．依题意得即此不等式组

无解综上，所求a 取值范围为0＜a≤ e

【点评】本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，函数解析式的求解及常用方法，函数在某点取得极值的条件，其中根据已知条件构造关于m 的方程，进而求出函数f （x ）的解析式是解答的关键．

21．已知椭圆E ： +=1（a ＞b ＞0）的短轴为2，离心率为，直线x=my ﹣1（m ∈R ）交椭圆E 于A ，B 两点，O 为坐标原点．

（1）求椭圆E 的方程；

（2）求△OAB 面积的最大值；

（3）当m ∈R 时，判断点G （﹣2，0）与AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．

【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程；

（2）设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，求出|y 1﹣y 2|以及|0N|，表示出三角形OAB 面积，利用换元法以及函数的单调性求出面积的最大值；

（3）设AB 中点为H （x 0，y 0），运用中点坐标公式可得y 0，再由两点的距离公式可得|GH|，再由弦长公

式，可得|AB|，作差|GH|2﹣|AB|2，化简整理，即可判断G 与AB 为直径的圆的位置关系．

【解答】解：（1）由题意可得2b=2，e==

，

由a 2﹣b 2=c 2，解得b=1，a=

，c=，

即有椭圆的方程为+y 2=1； （2）设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），

由直线x=my ﹣1代入椭圆的方程可得，

（3+m 2）y 2﹣2my ﹣2=0，

判别式为4m 2+8（3+m 2）＞0恒成立，

y 1+y 2=，y 1y 2=﹣，

设直线与x 轴的交点为N （﹣1，0），

|y 1﹣y 2|===，

S △AOB =|ON||y 1﹣y 2|=×1×=，

令

=t （t≥），则m 2=t 2﹣2，

∴S △AOB ==，

∵t≥，t+是增函数，

∴当t=，即m=0时，S

△AOB 取得最大值，最大值为=．

（3）AB 中点为H （x 0，y 0）．

由（2）可得，y 1+y 2=

，y 1y 2=﹣，

∴y 0==． G （﹣2，0），

∴|GH|2=（x 0+2）2+y 02=（my 0+1）2+y 02=（1+m 2）y 02+2my 0+1

=（1+m 2）++1，

|AB|2=（1+m 2）（y 1﹣y 2）2=（1+m 2）[+]，

故|GH|2﹣|AB|2=（1+m 2）++1﹣（1+m 2）[+]

=

＞0