经典难题(一)
1、已知:如图,O 是半圆的圆心,C 、E 是圆上的两点,CD ⊥AB ,EF ⊥AB ,EG ⊥CO . 求证:CD =GF .(初二)
2、已知:如图,P 是正方形ABCD 内点,∠PAD =∠PDA =150. 求证:△PBC 是正三角形.(初二)
3、如图,已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形,A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、
CC 1、DD 1的中点.
求证:四边形A 2B 2C 2D 2是正方形.(初二)
4、已知:如图,在四边形ABCD 中,AD =BC ,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,AD 、BC
的延长线交MN 于E 、F .
求证:∠DEN =∠F .
经典难题(二)
A P C D
B A F
G C
E B
O D D 2 C 2
B 2 A 2
D 1 C 1 B 1
C B D
A A 1
F
1、已知:△ABC 中,H 为垂心(各边高线的交点),O
(1)求证:AH =2OM ; (2)若∠BAC =600,求证:AH =AO .(初二)
2、设MN 是圆O 外一直线,过O 作OA ⊥MN 于A ,自A 引圆的两条直线,交圆于B 、C 及D 、E ,直线EB
及CD 分别交MN 于P 、Q . 求证:AP =AQ .(初二)
3、如果上题把直线MN 设MN 是圆O 的弦,过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE 于P 、Q . 求证:AP =AQ .(初二)
4、如图,分别以△ABC 的AC 和BC 为一边,在△ABC CBFG ,点P 是EF 的中点.
求证:点P 到边AB 的距离等于AB 的一半.
经典难 1、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC ,AE =求证:CE =CF .(初二)
2、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC ,且CE =CA ,直线EC 交DA 延长线于F .
求证:AE =AF .(初二)
3、设P 是正方形ABCD 一边
求证:PA =PF .(初二)
4、如图,PC 切圆O 于C ,AC 为圆的直径,PEF
B 、D .求证:AB =D
C ,BC =A
D .(初三)
经典难
1、已知:△ABC 是正三角形,P
求:∠APB 的度数.(初二)
2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点,且∠PBA =∠PDA . 求证:∠PAB =∠PCB .(初二)
3、设ABCD 为圆内接凸四边形,求证:AB ·CD +AD ·BC =
4、平行四边形ABCD 中,设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点,AE 与CF 相交于P ,且 AE =CF .求证:∠DPA =∠DPC .(初二) 经典难题(五)
1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点,L =
≤L <2.
2、已知:P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点,求PA +PB +PC
3、P 为正方形ABCD 内的一点,并且PA =a ,PB =2a ,PC =3a
4、如图,△ABC 中,∠ABC =∠ACB =800,D 、E 分别是AB 、AC
0,
∠EBA =200,求∠BED 的度数.
经典难题(一)
1.如下图做GH ⊥AB,连接EO 。由于GOFE 四点共圆,所以∠GFH =∠即△GHF ∽△OGE,可得
EO GF =GO GH =CO
CD
,又CO=EO ,所以CD=GF 得证。
2. 如下图做△DGC 使与△ADP 全等,可得△PDG 为等边△,从而可得 △DGC ≌△APD ≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG =150 所以∠DCP=300 ,从而得出△PBC 是正三角形
3.如下图连接BC
1和AB
1
分别找其中点F,E.连接C
2
F与A
2
E并延长相交于Q点,
连接EB
2并延长交C
2
Q于H点,连接FB
2
并延长交A
2
Q于G点,
由A
2E=1
2
A
1
B
1
=1
2
B
1
C
1
= FB
2
,EB
2
=1
2
AB=1
2
BC=F C1 ,又∠GFQ+∠Q=900和
∠GE B2+∠Q=900,所以∠GE B2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2,
可得△B2FC2≌△A2EB2,所以A2B2=B2C2,
又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 ,
从而可得∠A2B2 C2=900 ,
同理可得其他边垂直且相等,
从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。
4.如下图连接AC并取其中点Q,连接QN和QM,所以可得∠QMF=∠F,∠QNM=∠
DEN和∠QMN=∠QNM,从而得出∠DEN=∠F。
经典难题(二)
1.(1)延长AD到F连BF,做OG⊥AF,
又∠F=∠ACB=∠BHD,
可得BH=BF,从而可得HD=DF,
又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM
(2)连接OB,OC,既得∠BOC=1200,
从而可得∠BOM=600,
所以可得OB=2OM=AH=AO,
得证。
3.作OF⊥CD,OG⊥BE,连接OP,OA,OF,AF,OG,AG,OQ。
由于
2
2
AD AC CD FD FD AB AE BE BG BG ====,
由此可得△ADF ≌△ABG ,从而可得∠AFC=∠AGE 。
又因为PFOA 与QGOA 四点共圆,可得∠AFC=∠AOP 和∠AGE=∠AOQ , ∠AOP=∠AOQ ,从而可得AP=AQ 。
4.过E,C,F 点分别作AB 所在直线的高EG ,CI ,FH 。可得PQ=2
EG FH
+。
由△EGA ≌△AIC ,可得EG=AI ,由△BFH ≌△CBI ,可得FH=BI 。 从而可得PQ=
2
AI BI += 2AB
,从而得证。
经典难题(三)
1.顺时针旋转△ADE ,到△ABG ,连接CG.
由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350
从而可得B ,G ,D 在一条直线上,可得△AGB ≌△CGB 。 推出AE=AG=AC=GC ,可得△AGC 为等边三角形。
∠AGB=300,既得∠EAC=300,从而可得∠A EC=750。又∠EFC=∠DFA=450+300=750.
可证:CE=CF。
2.连接BD作CH⊥DE,可得四边形CGDH是正方形。由AC=CE=2GC=2CH,
可得∠CEH=300,所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150,
又∠FAE=900+450+150=1500,
从而可知道∠F=150,从而得出AE=AF。
3.作FG⊥CD,FE⊥BE,可以得出GFEC为正方形。
令AB=Y ,BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。
tan∠BAP=tan∠EPF=X
Y
=
Z
Y X Z
-+
,可得YZ=XY-X2+XZ,
即Z(Y-X)=X(Y-X) ,既得X=Z ,得出△ABP≌△PEF ,得到PA=PF ,得证。
经典难题(四)
1.顺时针旋转△ABP 600,连接PQ ,则△PBQ是正三角形。
可得△PQC是直角三角形。
所以∠APB=1500。
2.作过P点平行于AD的直线,并选一点E,使AE∥DC,BE∥PC.
可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP,可得:
AEBP共圆(一边所对两角相等)。
可得∠BAP=∠BEP=∠BCP,得证。
3.在BD取一点E,使∠BCE=∠ACD,既得△BEC∽△ADC,可得:
BE BC =
AD
AC
,即AD?BC=BE?AC,①
又∠ACB=∠DCE,可得△ABC∽△DEC,既得
AB AC =
DE
DC
,即AB?CD=DE?AC,②
由①+②可得: AB?CD+AD?BC=AC(BE+DE)= AC·BD ,得证。
4.过D 作AQ ⊥AE ,AG ⊥CF ,由ADE S V =
2
ABCD
S Y =DFC S V ,可得:
2AE PQ g =2
AE PQ
g ,由AE=FC 。 可得DQ=DG ,可得∠DPA =∠DPC (角平分线逆定理)。
经典难题(五)
1.(1)顺时针旋转△BPC 600 ,可得△PBE 为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP++PE+EF 要使最小只要AP ,PE ,EF 在一条直线上,
即如下图:可得最小L=;
(2)过P点作BC的平行线交AB,AC与点D,F。
由于∠APD>∠ATP=∠ADP,
推出AD>AP ①
又BP+DP>BP ②
和PF+FC>PC ③
又DF=AF ④
由①②③④可得:最大L< 2 ;
由(1)和(2)既得:≤L<2 。
2.顺时针旋转△BPC 600,可得△PBE为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在一条直线上,
即如下图:可得最小PA+PB+PC=AF。
既得=
= = 1)
2
。
=
2
3.顺时针旋转△ABP 900,可得如下图:
既得正方形边长L = a= a。
4.在AB上找一点F,使∠BCF=600,
连接EF,DG,既得△BGC为等边三角形,
可得∠DCF=100 , ∠FCE=200 ,推出△ABE≌△ACF ,
得到BE=CF ,FG=GE 。
推出:△FGE为等边三角形,可得∠AFE=800,
既得:∠DFG=400①又BD=BC=BG ,既得∠BGD=800,既得∠DGF=400②推得:DF=DG ,得到:△DFE≌△DGE ,
从而推得:∠FED=∠BED=300。