2018中考数学压轴题专题 以几何图形中的动点最值问题为背景的选择填空题 (解析版)

【考查知识点】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

原型----“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

【解题思路】找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

【典型例题】

【例1】（湖北咸宁第8题）已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=45，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（）

A. （0，0）

B.（1，1

2

） C.（

5

6，

5

3） D.（

7

10，

7

5）

【答案】D．

∴点P 的坐标为（710，75）

故选D.

考点:菱形的性质，平面直角坐标系，，轴对称——最短路线问题，三角形相似，勾股定理，动点问题．

【名师点睛】本题考查了菱形的性质，平面直角坐标系，，轴对称——最短路线问题，三角形相似，勾股定理，动点问题．关于最短路线问题：在直线L 上的同侧有两个点A 、B ，在直线L 上有到A 、B 的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L 的对称点，对称点与另一点的连

线与直线L的交点就是所要找的点（注：本题C，D位于OB的同侧）．如下图，解决本题的关键：一是找出最短路线，二是根据一次函数与方程组的关系，将两直线的解析式联立方程组，求出交点坐标.

【例2】（湖北鄂州第10题）如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点，BP=3，Q是CD 边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A′，当CA′的长度最小时，CQ的长为（）

13

A. 5

B. 7

C. 8

D.

2

【答案】B．

考点：菱形的性质；轴对称（折叠）；等边三角形的判定和性质；最值问题．

【名师点睛】本题考查了菱形的性质；轴对称（折叠）；等边三角形的判定和性质；最值问题．解决本题的关键是确定使CA′的长度最小时点A′的位置。

【方法归纳】

在平面几何的动态问题中，求几何量的最大值或最小值问题常会运用以下知识：

①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

②两点之间线段最短；

③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

④定圆中的所有弦中，直径最长；

⑤利用对称的性质求两条线段之和最小的问题，解决此类问题的方法为：如图，要求线段l上的一动点P 到点A、B距离和的最小值，先作点A关于直线L的对称点A′,连接A′B,则A′B与直线L的交点即为P 点，根据对称性可知A′B的长即为PA+PB的最小值，求出A′B的值即可.

【针对练习】

1．（广西百色）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是（）

A．4 B．32C．23D．2+3

【答案】C

考点：（1）轴对称-最短路线问题；（2）等边三角形的性质．

2．（广西贵港）如图，抛物线y=3

5321212++-x x 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．若点P 是线段AC 上方的抛物线上一动点，当△ACP 的面积取得最大值时，点P 的坐标是（ ）

A ．（4，3）

B ．（5，

1235） C ．（4，1235） D ．（5，3） 【答案】B.

【解析】

试题分析：连接PC 、PO 、PA ，设点P 坐标（m ，35321212++-

x x ） 令x=0，则y=35，点C 坐标（0，3

5）， 令y=0则3

5321212++-x x =0，解得x=﹣2或10， ∴点A 坐标（10，0），点B 坐标（﹣2，0），

∴S △PAC =S △PCO +S △POA ﹣S △AOC =21×35×m+21×10×（35321212++-x x ）﹣21×35×10=﹣125（m ﹣5）2+12

125，

∴x=5时，△PAC 面积最大值为

12125， 此时点P 坐标（5，

12

35）． 故选B ．

考点：抛物线与x 轴的交点；二次函数的最值．

3．（四川雅安）如图，在矩形ABCD 中，AD=6，AE ⊥BD ，垂足为E ，ED=3BE ，点P 、Q 分别在BD ，AD 上，则AP+PQ 的最小值为（ ）

A ． C ．．【答案】D ．

考点：矩形的性质；轴对称-最短路线问题；最值问题．

4.（浙江台州第10题）如图，在△ABC 中，AB =10，AC =8，BC =6，

以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P ，Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是（ ）

A ． 6

B ． 1132

C ． 9

D ．

3

32 【答案】C ．

考点：切线的性质；最值问题．

5. （江苏常州第18题）如图，△APB中，AB=2，∠APB=90°，在AB的同侧作

正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是．

【答案】1．

考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；最值问题．

6.（福建南平第16题）如图，等腰△ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°，

点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，给出下列结论：