概率p . 【πa
l
2】 例11 在区间（0，1）中随机地取出两个数，求两数之和小于1.2的概率. 【0.68】 例12 半径为r 的圆形硬币任意抛于边长为a 的正方形桌面上，求硬币不与正方形各边相
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交的概率. 【
2
2
)2(a r a ?】
例13 取一长为l 的棒，将其折成三段，问此三段能构成一三角形的概率. 【41】 【注】 矩形上均匀分布的绝大多数问题均可由几何概型来解决。
3 条件概率与独立性
3.1 条件概率与事件独立性的定义 ★ 样本空间缩减法：B →Ω ★ 条件概率定义：P A B P A B P B ()()
()
=
I P B ()>0
注：条件概率也是一种概率，故概率的运算规则同样适用于条件概率。 例14 设()()()3
1
,21||==
=A P A B P B A P . 求()B A P U . 【2
1】 注： ()()())(||B P A P A B P B A P =?=（对称）
例15 从1~100这100个整数中，任取一数，已知取出的一数是不超过50的数，求它是
2或3的倍数的概率. 【5033
】
3.2 独立性的有关重要性质 3.2.1独立性的定义
3.2.2条件概率与独立性的联系
★ A, B ∈ ?相互独立，即)()()(B P A P AB P =
1
)(0|()|(0()
()|(0)()()|(<<=?>=?>=?B P A P B A P B P A P B A P B P A P B A P
3.2.3两事件独立性的实质及与两事件互不相容的关系
结论1：若4对事件},{},,{},,{},,{B A B A B A B A 中有一对是相互独立的，则另外3对也都是相互独立的。
结论2：当0)(),(>B P A P 时，如果A 与B 互不相容，则A 与B 一定不相互独立；如果A 与B 相互独立，则A 与B 一定不会互不相容.
3.2.4两个事件的相关系数的定义与结论 结合随机变量的相关系数的结论 3.2.5多个事件的独立性的定义及其实质
★ 称n 个事件A A A n 12,,,L 是相互独立的，如果对任意自然数k k n ()2≤≤都有 P A A A P A P A P A i i i i i i k k ()()()()1212L L =
其中i i i k 12,,,L 是满足112≤<<<≤i i i n k L 的任意k 个自然数.
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★ C B A ,,相互独立?????
??=??
????
===?)
()()()()()()()()()()()()(C P B P A P ABC P C P A P AC P C P B P BC P B P A P AB P 两两独立
★ 注意：与两两独立的区别与联系 ★ )
()()(1)(1)(
21
1
1
n n
i i
n i i
A P A P A
P A P A P L I U ?=?===
例16 (02-4-11[8]）
设A , B 是任意二事件, 其中A 的概率不等于0 和1, 证明, )()(A B P A B P =是事件A 与B 独立的充分必要条件.
例17 (09-3-7(4)) 设事件A 与事件B 互不相容，则（）. 【D】
(A) 0)(=AB P (B) )()()(B P A P AB P =
(C) )(1)(B P A P ?= (D) 1)(=B A P U
例18 (99-1-1(5))
设两两独立的三事件A ，B ，C 满足条件：φ=ABC ,
,21)()()(<
==C P B P A P 且已知,16
9
)(=C B A P U U , 则)(A P = . 【1/4】 例19 (00-1-1(5))
两个相互独立的事件A 、B 都不发生的概率为1/9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则P (A ) = . 【2/3】 例20 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5。现已知目标被
命中，则它是甲射中的概率为 . 【3/4】
例21 (00-4-2(4))
设A , B, C 是三个事件两两独立, 则A , B, C 相互独立的充分必要条件是 A) A 与BC 独立; B) AB 与A ∪C 独立 ; C) AB 与AC 独立; D) A ∪B 与A ∪C 独立; 【A 】
3.3 条件概率的三大公式 (乘法公式、全概率公式与Bayes 公式) 及应用
★ 乘法公式：若A A A n 12,,,L ∈? 满足P A j n j
(
)=?>1
10I , 则
P A P A P A A P A A A P A A j n
j n j j n ()()()()()==?=1
1213121
1I I I L
★ 全概率公式：设事件B B 12,...为样本空间Ω的一个正划分，则对任何一个事件
A ,有
P A P B P A B i i i ()()()==∞∑1
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★ Bayes 公式(逆概率公式)：设B B 12,,L 为样本空间Ω的一个正划分,∈A ?满足
P A ()>0, 则
)
()
()()(A P B A P B P A B P i i i =
．
若将它与全概率公式结合起来, 就是Bayes 公式的以下的常用形式
P B A P B P A B P B P A B i i i j
j
j m
()()()
()()
=
=∑1
(m ≤+∞, i =12,,L m ) .
例22 将字母M 、A 、X 、A 、M 分开写在5张卡片上，每卡一字，混合后重新排列，问
正好得到顺序MAXAM 的概率是多少？ 【1
】 解： 依次取出后，排成一列，设=1A {第1次取到字母M},=2A {第2次取到字母A},=3A {第3次取到字母X},=4A {第4次取到字母A},=5A {第5次取到字母M},则
11122
432153214213121543211)()()()()()(=
????==A A A A A P A A A A P A A A P A A P A P A A A A A P
例23 在空战训练中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为0.2；若乙机未被击落，就
进行还击，击落甲机的概率是0.3；若甲机未被击落，则再进攻乙机，击落乙机的概率是0.4，求在这几个回合中：
（a ）甲机被击落的概率；
（b ）乙机被击落的概率. 【24.0；424.0】 A ={甲机被击落}，B ={乙机被击落}，=i A {第i 回合射击成功}，则
24.03.08.0)()()()(12121=×===A A P A P A A P A P ；
424
.04.07.08.02.0)()()()()()(21312113211=××+=+==A A A P A A P A P A P A A A A P B P U
例24 一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放 回，试求：第2次抽出的是次品的概率？ 【1/6】 例25 (97-1-1(5))
袋中有50个乒乓球, 其中20个黄球, 30个白球. 今有两人依次随机地从袋中各取一球, 取后不放回, 问第二人取得黄球的概率是_________. 【2/5】 例26 假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品。现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），试求：
（1）先取出的零件是一等品的概率p ；
（2）在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率q 。
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【52； ...48557.0】
解：(1)由全概率公式，知
)|()()|()()(2121111H A P H P H A P H P A P p +==52
53215121=?+?=
(2)由条件概率的定义和全概率公式，知
)
()()|(12112A P A A P A A P q =
==)}|()()|()({)(1
221212111H A A P H P H A A P H P A P + =]2930171821495091021[25××?+××?
=...48557.0]2951
499[41=+ 例27 (03-1-11[10])
已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱中任取3件放入乙箱后，求：
（1）乙箱中次品件数X 的数学期望； 【3/2】 （2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 【4
1】
解（2）：
∑====3
)()|()(k k X P k X A P A P 41
6362610360
333361323362313363303=×+×+×+×=C C C C C C C C C C C C
例28 一袋中有(3)m m ≥个白球和n 个黑球，今丢失一球，不知其色。现随机地从袋中
摸取两球，结果都是白球，求丢失的是白球的概率？ 【2
2?+?n m m 】
解：设A ={摸到的两球都是白球}；B ={丢失的是白球}，则(),()m n
P B P B m n m n
=
=++；且21
2
1(|);m m n C P A B C ?+?=2
21
(|);m m n C P A B C +?= 由Bayes 公式，得
(|)()2
(|)2
(|)()(|)()P A B P B m P B A m n P A B P B P A B P B ?=
=+?+
例29 (98-3-12[9])
设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3
份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份.
⑴ 求先抽到的一份是女生表(A 1)的概率p ； 【29/90】 ⑵ 已知后抽到的一份是男生表(2A )，求先抽到的一份是女生表的概率q . 【20/61】 提示：利用条件概率的全概率公式求P(2A |H i ), q = P(A 1|2A )? 条件概率的全概率公式 =20/61
例30 设甲有赌本()i i ≥1元, 其对手乙有赌本a i ?>0元．每赌一次甲以概率21赢一元, 而以概率2
1输一元．假定不欠不借，赌博一直到甲乙中有一人输光才结束．因此，两个w w
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人中的赢者最终有总赌资a 元． 求甲输光的概率． 【a
i ?1】
解：=i A {甲有赌本i 元，但最终输光}, B ={甲第1次赌赢}．
)()|()()|()(c c i i i i B P B A P B P B A P A P p +===q A P p A P i i )()(11?++
11?++=i i qp pp .
满足10=p ,0=a p ．故得()()p p i p i ?=??1111，令i a =, 可得 p a a
11
=?． 从而有 p i a
i =?
1 例31 r 个人相互传球，从甲开始，每次传球时，传球者等可能地把球传给其余1?r 个人中的任意一个，求第n 次传球时仍由甲传出的概率？ 【2],1
1(1[12≥???=?n r r
p n n 】
例32（P ólya ）于有r 个红球、b 个黑球的袋中，随机取一球，记下颜色后，放回，并加
进c 个同色球. 如此共取n 次. 问第n 次取出红球的概率p n . 【r b r
+】 例33 甲乙两人都有今晚的电影票，但他们只记得座位在第15排，记不清具体的座位号是多少了，现设第15排共有20个座位，问甲乙两人相邻而坐的概率是多少？ 【10
1】 解：假定第15排的座位依次编号为1~20号，设事件
i A ={甲坐第 i 号座位}, 20,,2,1L =i
B ={甲乙两人相邻而坐}
显然， 20
1
)(=
i A P ，20,,2,1L =i 当甲坐第1（或20）号座位时，乙可坐在甲的左边或右边就能与甲相邻，所以
19
1
)|()|(201=
=A B P A B P 而当甲坐第 i )19,,3,2(L =i 号座位时，乙只有坐第2（或19）号座位才能与甲相邻，所以 19,,3,2,19
2
)|(L ==
i A B P i 于是，由全概率公式得
10
1
)19119218191(201)|()()(20
1
=
+×+=
=∑=i i i A B P A P B P 3.4 独立性与独立试验序列 3.4.1 独立性的综合应用
例34 若5.0)()(,4.0)(===C P B P A P ，在下列三种情况下计算)|(C AB C A P U ?： （1） A ,B ,C 独立；
（2） A ,B 独立，且A ,C 互不相容；
（3） B A ?，且A ,C 独立. 【1/6; 2/7; 2/7】
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)
()()()
()()()()())(()|(ABC P C P AB P ABC P AB P C AB P C AB P C AB P C AB C A P C AB C A P ?+?=
==
?U U U U 例35 （小概率事件）
设随机试验E 中事件A 为小概率事件，P (A ) = ε >0, 其中ε为小正数. 试证不断独立重复进行这项试验，小概率事件A 迟早会发生.
3.4.2 系统可靠性
★ 串联系统：p P A A A p p p n n 串==()1212L L
★ 并联系统：()()n n p p A A P p ???==111)(11L U L U 并
例36 设有电路如右图，其中1, 2, 3, 4为继电器接点，它们闭合的概率均为p . 设各继电器接点闭合与否相互独立，求L 和R 间成通路的概率. 【2
2
)2(p p ?】
例37 q ，元件B,C,D 正常工作的概率为（1 【])1(1[3
2
p q ??】 （2. 【
3
2)1(1)1(3p p p ???】
3.4.3 Bernoulli 概型
n 重Bernoulli 试验及其产生的分布 (1) 二项分布B(n , p )的背景 例38 (99-4-1(5))
设),,3(~),,2(~p B Y p B X 当9/5)1(=≥X P 则=≥)1(Y P ______. 【19/27】 (2) Bernoulli 试验产生的其他分布 (a) 几何分布Ge(p )的背景
例39 掷一均匀骰子，直到出现6点为止，求所需抛掷次数X 的分布列. (b) 负二项分布的背景
例40 掷一均匀骰子，直到出现第3个6点为止，求所需抛掷次数X 的分布列.
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例41 (07-1-9[5])某人向统一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为
)10(<
(A) 2)1(3p p ? (B) 2)1(6p p ? (C) 22)1(3p p ? (D) 22)1(6p p ?
例42 (Banach 问题)某售货员同时出售两包各10本的同样的书，每次售书，
他等可能地任选一包，从中取出一本，问他发现有一包已售完时，另一包中尚余3本书的概率为多少? 【17
10
172
1
(C 】 法一：A ={发现第一包的书已取完，第二包中还有3本}，此事件当且仅当第11次取出第一包也正好是第18次售书时才发生，故)(A P =18101710
1810
10
320)2
1()2
1()2
1(C C =??。故所求概
率为=)(2A P 17
10
172
1(C .
法二：由于每次试验取用完那一包的书的概率为
21，取另一包的也为2
1
，设B ={在用完的那一包中取10本，而在另一包中取7本}，是一“成功”概率为2
1
的17重Bernoulli
试验，故17
10171017101017)2
1()21()21()10()(C C X P B P ====?
(3) 非重复的独立Bernoulli 试验的相关问题
★ 记i A ={第i 次试验“成功”}，同样是独立的Bernoulli 试验，但每次试验“成功”的
概率不一样，即i i i i i p q A P p A P ?≡==1)(,)(.
补例 甲、乙、丙三人对同一目标进行射击，击中目标的概率分别 为324354,,，现三人各射击一次，恰有一人击中目标的概率是多少？
【记i A ={第i 次击中目标}，3
2
343
2541)(,)(,)(=
==A P A P A P ；
3
2
111
31114321321321)()()(=
++=
++A A A P A A A P A A A P 】
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第二讲 一维随机变量及其相关问题
1.一维随机变量及其分布
1.1 随机变量与分布函数的概念及性质
★ 在随机试验的样本空间Ω上定义一单值实函数Ω∈=ωω),(X X ，若对任意实数x ，∈≤=≤})(:{}{x X x X ωωF ，则称X 为随机变量。称函数
)()(x X P x F ≤=
为随机变量X 的分布函数。
★ 分布函数)(x F 是刻画随机变量X 的取值的分布特征的，它具有以下的性质： （1）)(x F 是一个单调不减函数。
（2）1)(0≤≤x F ，且1)(,0)(=+∞=?∞F F 。 （3）)(x F 是右连续函数。
可以证明：一个函数)(x F 是某一个随机变量的分布函数，当且仅当性质（1）（2）（3）同时成立。
（4）)()()(,122121x F x F x X x P x x ?=≤<
（6）21x x
)
()()()()()(1221212121x F x F x X x P x X x P x X x P x X x P ?=<≤=<<=≤≤=≤<（7）n i x F i ,,2,1)(L =为分布函数，若0,11
>=∑=i n
i i
a a
，则)(1
x F a n
i i ∑=仍为分布函数。
例1(98-3-2(5))
设)(1x F 与)(2x F 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数，为使)()()(21x bF x aF x F ?=是
某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取 (A) 52,53?==
b a (B) 32,32==b a (C) 23,21=?=b a (D) 2
3
,21?==b a 【A 】
例2 (97-4-11[8])
设X 绝对值不大于1; 4/1)1(,
8/1)1(===?=X P X P ; 在事件}11{<
件下, 在(-1, 1)内的任意一个子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比. 试求 1) X 的分布函数 【(5x +7))/16】 2) X 取负值的概率. 【7/16】
★ 随机变量分类（三类）
1.2 离散型随机变量的分布律
★ 至多取可列多个值的随机变量称为离散型的随机变量
★ 离散随机变量X 的分布律：L L ,,,2,1)(n k p x X P k k ===
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也表示成以下形式：
X 1x 2x … k x … P
1p 2p … k p …
或记为
???
?
????L L L L k k p p p
x x x X 21
21
~, 分布律满足
k
p k ?≥0
(2.1)
p
k
k
∑= 1 (2.2)
反之，一数组 },,,{1L L k p p 为某个随机变量的分布律，当且仅当它满足(2.1)与(2.2)。 分布律与分布函数的关系：∑≤=x
x k k
k p
x F :)(
结合图形理解
例3（截断的几何分布） 某射手用左轮手枪（内装6发子弹）进行射击，设该射手的命中率为p ，且各次射击是相互独立的，记X 为直到命中目标为止或子弹用完所需射击的次
数，求 X 的概率分布.
★ 类似问题：一大批产品，其次品率为p ，采取下列方法抽样检查：抽样直至抽到一个次品时为止，或一直抽到10个产品时就停止检查. 设X 为停止检查时抽样的个数. 求X 的分布列.
1.3 常见离散型随机变量的概率分布及背景
1.3.1 两点分布
1.3.2 二项分布),(p n B 与超几何分布
★ n k p p C k X P k
n k
k
n ,,2,1,0)
1()(L =?==?
★ ),min(,,2,1,0)(M n k C C C k X P n
N
k
n M
N k M L ===??
例4 N 件产品中含有M 件次品，如果按有放回和不放回两种方法，每次抽一个，共取n 次，求n 次中取到次品数X 的概率分布分别是什么？
例5 一批产品中有15%的次品，现进行独立重复地抽样检验，共抽检了20个样品，问抽检的20个样品中最大可能的次品数是多少？并求出其概率. 【3； 0.2428】 【),,(~p n B X 当??
?
+?+++=否则或为非整数,
)1(1)1()1(],)1[(p n p n p n p n k ，)(k X P =取最大】
例6 设某人在一项比赛每局胜时得1分、平局时记0分而负时为 1?分，相应概率分别为
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p ，r 和q . 求 （1) 6局中恰胜3局的概率. 【（2) 6局中胜3局平1局的概率(多项分布)】
★ 多项分布和多元超几何分布（补充）
模型：若袋中有r 种颜色的球，每种颜色各有r N N N ,,,21L 只球，N N N N r =+++L 21，现从袋中随机地往外摸球，摸出后记录颜色再放回，共摸出了n 只球，用r X X X ,,,21L 分别表示在被摸出的n 只球中，第一种颜色、第二种颜色、… 、第r 种颜色的球数，则
),,,(21r X X X L 是一个随机向量，服从多项分布：
r n r n n r r r N
N
N N N N n n n n n X n X n X P )()()(!!!!),,,(2121212211L L L ====
若摸出后不放回袋中，则),,,(21r X X X L 服从多元超几何分布： r N n N
N n N r r C C C C n X n X n X P r r
n L L 2
211
),,,(2211====
这里,0≥i n 且n n n n r =+++L 21.
1.3.3 几何分布与无记忆性 ★ L ,2,1,)(1
===?k p q
k X P k
定理：设X 为只取正整数值的随机变量，则下列命题等价： （1） X 服从几何分布。
（2） L ,1,0,)()|(=>=>+>n m m X P n X n m X P 。
（3） L L ,1,0,,2,1)()|(====>+=n m m X P n X n m X P 。
例7 某射手的命中率为p ，现对某一目标连续不断地射击，直到第一次命中目标为止，设
各次射击是相互独立的，求他射击次数不超过5次就把目标击中的概率. 【5
)1(1p ??】
1.3.4
Poisson 分布与Poisson 定理
★ L ,2,1,0,0,
!
)(=>=
=?k k e k X P k λλλ
结论1：Poisson 定理：设随机变量X 服从二项分布B (n,n p ) (10<且满足0lim >=∞
→λn n np ，则
L ,2,1,0!
)
1(lim )(lim ==
?==??∞
→∞
→k k e p p C k X P k k
n n k
n k n
n n λ
λ
结论2：Poisson 分布在随机选择下的不变性（也称为随机分流的不变性) 例8 假设某段时间里来百货公司的顾客数服从参数为λ的Poisson 分布, 而在百货公司里每个顾客购买电视机的概率为p , 且每个顾客是否购买电视机是独立的, 问在这段时间内, 百货公司售出k 台电视机的概率多大（这里假定每人最多购买一台电视机）？
【p k e k p λλ?!
)(】
解：记X 为百货公司售出电视机的台数, 而N 为这段时间内进入百货公司的人数, 故
w w
w .
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由全概率公式知
!
)
()
()()(0
0n e
n N k X P n N P n N k X P k X P n n n λ
λ?∞
=∞
=∑∑========
由于在已知有N=n 名顾客进入百货公司的条件下, 百货公司售出电视机的台数服从参数为n 和p 二项分布, 即
?
?
?<≥?===?k
n k n p p C n N k X P k
n k k n 0)1()(
故
∑∞
=???==k
n n k
n k
k
n
n e p p C k X P !
)
1()(λ
λ!)]1([)()!
(!!n e p p k n k n k n k k n λ
λλ??∞
=???=∑
p
k i i k e k p i p k e p λλλλλ?∞=?=?=∑!)(!)]1([!)(0
即X 服从参数为p λ的Poisson 分布。
例9(01-1-11[7])
设某班车起点站上客人数X 服从参数为0>λ的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为
)10(<
（1）在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率； 【m
n m m n q p C ?】
（2）二维随机变量（X ,Y ）的概率分布. 【n m q
p C m Y n X P n e
m
n m
m
n n ≤?===??,),(!
λ
λ】 例10 设随机变量X 服从参数为λ的Poisson 分布，且λ也是一随机变量，服从两点分布：
p P p P ?====1)(,)(21λλλλ，求X 的分布列。
【)(k X P =L ,1,0,!
)
1(!2
1
21=?+=??k k e
p k e
p
k k λλ
λλ】
解：)()|()()|()(2211λλλλλλλλ===+=====P k X P P k X P k X P
!
)
1(!
2
1
2
1k e p k e
p
k k λ
λλλ???+=
1.4 连续型随机变量
★ 对于随机变量X 的分布函数)(x F ，如果存在非负可积函数f (x ) (+∞<<∞?x )，使
对任意实数x ，都有∫
∞
?=
x
dx x f x F )()(，则称X 为连续型随机变量，并称f (x )为X 的概率
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密度函数（简称概率密度或密度）。
密度函数不唯一（结合图形）。 1.4.1 密度函数与分布函数的联系 性质1： R x x f ∈?≥,0)( 性质2：
1)(=∫
∞
∞
?dx x f
一实值函数f (x )为某一随机变量的密度函数当且仅当性质1和2 成立。 性质3 ：连续型随机变量的分布函数)(x F 是连续函数，反之不成立。 性质4：在f (x )的连续点x 处，)()(x f x F =′ 性质5：∫
=∈B
dx x f B X P )()(
例11 (00-3-1(4))
设随机变量X 的概率密度为
f x x x ()/[,]/[,],=∈∈???
?
?130129360若若其它
若k 使得P X k ()/≥=23, 则k 的取值范围是_________. 【[1,3]】
例12（对称分布） 设随机变量X 具有对称的密度函数，即)()(x f x f =?，证明对任意
的0>a ，有
（a ）∫?=?=?a
dx x f a F a F 0
)(21
)(1)(
（b ）1)(2)|(|?=
1.5 常见连续型随机变量的概率分布及背景
1.5.1 均匀分布及应用
例13 设X 的分布函数)(x F 是严格单调的连续函数，则)(X F Y =服从)1,0(U 。
1.5.2指数分布的背景及无记忆性 ★ 如果随机变量X 的概率密度函数为 )0
0()
()(),0[???<≥==?+∞?x x e x I e
x f x x
λλλλ （0>λ）
则称X 服从参数为λ的指数分布。
★ 指数分布产生的背景与定义（与几何分布的比较）.
例14 假设一大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数()N t 服从参数为t λ的Poisson 分布。
（1）求相继两次故障之间的时间间隔T 的概率分布函数；
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（2）求在设备已经无故障运行8小时的情况下，再无故障运行8小时的概率。
注：无记忆性：0,),()|(≥?>=>+>t s t X P s X s t X P 1.5.3 正态分布与标准正态分布 ★ 如果随机变量的概率密度函数为
)(}2)(exp{21
)(2
2
+∞<
π 其中参数μ可为任意实数，而参数0>σ，则称X 服从参数为2
,σμ的正态分布，记为X ～
),(2σμN ，若1,02==σμ，则称X 服从标准正态分布N (0,1)。
★ 正态分布标准化：X ～),(2
σμN )1,0(~N X σ
μ??
例15 若随机变量),2(~2
σN X ，且P {2若随机变量X 服从正态分布)0)(,(2>σσμN ，且二次方程042
=++X y y 无实根的概率是2
1
，则=μ 。 【4】
1.6连续型随机变量的相关问题 1.6.1分布参数的确定
例17 试确定a 值, 使函数)()(),1()1(3x I e a x f x ∞??=为pdf . 【3】
1.6.2利用分布计算概率
1.6.3连续型随机变量与Bernoulli 试验的结合
例18 设某电子元件寿命的概率密度为
????
?≤>=100
100)(2x x x a x f 小时
当
1) 试确定a 值; 【100】
2) 某台设备装有三个这种电子元件. 问在开始使用的150小时中它们中恰有一个要替换
和至少有一个要替换的概率是多少？ 【4/9；19/27】
1.7 随机变量函数的分布 1.7.1离散型随机变量函数的分布 ★ 列表法
1.7.2连续型随机变量函数的分布 ★ 方法一：直接法;
★ 方法二：公式法（线性函数; 单调函数）
定理：设X 为一连续型随机变量，且具有密度函数)(x f ，设函数)(x g 对任意的R x ∈，
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)(x g ′存在、连续且0)(≠′x g ，则)(X g Y =也是连续型随机变量，且有密度函数
?
?
?<<=??其他,0|,)(|))(()(11β
αy y g y g f y f dy d
Y 其中)}({max )},({min 0
)(0
)(x g x g x f x f >>==βα
反函数不唯一时，也可变通处理。
例19 设rv X 有连续的pdf f x X ()，求 Y = X 2 的pdf ; 当 X ～N (0, 1)时，证明Y = X 2 的
pdf 为 f y y e y y Y y (),,//=>≤????
???1
2000122π 它是Γ(1/2, 1/2)分布（也即是χ2(1) 分布）.
例20 (||1)(),0(),(~a
b y f a y f a b aX Y x f X X Y X ?=≠+=则. 例21(03-4-11[13])
设随机变量X 的概率密度函数为
??
?
??≤≤=其他
08
131
)(32
x x x f
F (x )是X 的分布函数，求随机变量Y = F (X )的分布函数. 【[0，1]上的均匀分布】 例22 (99-4-2(5))
设}2,min{),(~X Y E X =则λ的分布函数
A) 是连续函数; B) 至少有两个间断点; C) 是阶梯函数; D) 恰好有1个间断点 【D】 例23 (02-4-1[8])
假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布,平均无故障工作的时间(EX )为5小时, 设备定时开机, 出现故障时自动关机, 而无故障的情况下工作2小时便关机, 试求
该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数F (y ).
【??
?
??≥<≤?<=≤?2,120,10,
0)}2,(min{5y y e y y X P y 】
解：?????≤>?00
,~5
51x x e X x
， }2,min{),(~5
1X Y E X = ??
???≥<≤?=≤=<=≤=≤=?
2,120,1)(0,
0)}2,(min{)()(5y y e y X P y y X P y Y P y F y
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第三讲 多维随机变量及其相关问题
1.二维随机变量
1.1二维随机变量的两种基本形式
1.1.1二维离散型随机变量的联合分布律与边缘分布律 联合分布律：ij j i p y Y x X P ===),(，
}{ij p 为联合分布律??
?
??=≥?∑j i ij ij p p ,1,0
边缘分布律：?≡==∑i j
ij i p p x X P )(，j i
ij j p p y Y P ?≡==∑)(
例1 掷两颗均匀骰子，记第一颗骰子出现的点数为X ，而两颗骰子中点数的最大值为Y ，
求(X ,Y )的联合分布律.
解：
例2 在}4,3,2,1{中任取一数，记为X ，再从},,2,1{X L 中任取一数，记为Y ，求(X ,Y )的
联合分布律以及关于Y 的边缘分布。 解：
??
?>≤≤×=======.,
0,1,)|()(),(1
41i j i j i X j Y P i X P j Y i X P i
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例3 (98-4-12[7])
某箱装有100件产品, 其中一、二和三等品分别为80、10和10件，现在随机抽取一件，
令 X i = ???其它等品
若抽出0,1i , i =1, 2, 3.
1) 求X 1和X 2的联合分布; 2) 求X 1和X 2的相关系数.
1.1.2二维连续型随机变量的联合分布密度与边缘分布密度
★ ),(Y X 为二维连续型随机变量??非负可积函数),(y x f ，使得R y x ∈?,有
∫
∫
∞?∞
?=x
y
dudv v u f y x F ),(),(.称),(y x f 为),(Y X 的联合分布密度函数.
★ ),(y x f 为联合分布密度????
?=≥?∫∫∞∞?∞∞
?1),(0
),(dxdy y x f y x f ★ 若),(y x f 在点),(y x 处连续，则y
x y x F y x f ???=)
,(),(2
★ 重点：边缘分布密度的求法
∫∞
∞
?=dy y x f x f X ),()(，∫
∞∞
?=dx y x f y f Y ),()(
注意积分限的确定.
1.1.3二维连续型随机变量的概率计算公式
∫∫=∈A
dxdy y x f A Y X P ),()),((
例4(03-1-1(5))
设二维随机变量),(Y X 的概率密度为
???≤≤≤=其它0
106),(y x x y x f ，
则)1(≤+Y X P = . 【4
166),(10
}
10{}1{1
2
1=
==
∫
∫∫∫∫∫
?≤<≤≤+≤+x
x
y x y x y x xdy dx xdxdy dxdy y x f I 】
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李贤平 《概率论与数理统计 第一章》答案
第1章 事件与概率 2、若A ，B ，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)A ABC =；(2)A C B A =Y Y ； (3)C AB ?；(4)BC A ?. 3、试把n A A A Y ΛY Y 21表示成n 个两两互不相容事件的和． 6、若A ，B ，C ，D 是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A ，B 都发生而C ，D 都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。 8、证明下列等式：（1）1321232-=++++n n n n n n n nC C C C Λ； （2）0)1(321321=-+-+--n n n n n n nC C C C Λ； （3）∑-=-++=r a k r a b a k b r k a C C C 0. 9、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。 10、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边； （2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。 11、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。 12、在一个装有n 只白球，n 只黑球，n 只红球的袋中，任取m 只球，求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。 13、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。 14、由盛有号码Λ,2,1，N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。
概率论与数理统计知识点总结!
《概率论与数理统计》 第一章随机事件及其概率 §1.1 随机事件 一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件： 二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性： §1.2 概率 古典概型公式：P （A ）= 所含样本点数 所含样本点数 ΩA 实用中经常采用“排列组合”的方法计算 补例1：将n 个球随机地放到n 个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A ： “每个盒子恰有1个球”。求：P(A)=？Ω所含样本点数：n n n n n =???... Α所含样本点数：!1...)2()1(n n n n =??-?-?n n n A P ! )(=∴ 补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？ 解：设A i ：“信箱中信的最大封数为i”。(i =1,2,3)求：P(A i )=？ Ω所含样本点数：6444 443==?? A 1所含样本点数：24234=?? 8 36424)(1== ∴A P A 2所含样本点数： 363423=??C 16 9 6436)(2== ∴A P A 3所含样本点数：443 3 =?C 16 1644)(3== ∴A P 注：由概率定义得出的几个性质： 1、0
P(A 1+A 2+...+ A n )= P(A 1) + P(A 2) +…+ P(A n ) 推论2：设A 1、 A 2、…、 A n 构成完备事件组，则 P(A 1+A 2+...+ A n )=1 推论3： P （A ）=1－P （A ） 推论4：若B ?A ，则P(B －A)= P(B)－P(A) 推论5（广义加法公式）： 对任意两个事件A 与B ，有P(A ∪B)=P(A)+P(B)－P(A B) 补充——对偶律： n n A A A A A A ???=???......2121 n n A A A A A A ???=??? (2121) §1.4 条件概率与乘法法则 条件概率公式：P(A/B)= )()(B P AB P （P(B)≠0）P(B/A)= ) () (A P AB P （P(A)≠0） ∴P （AB ）=P （A /B ）P （B ）= P （B / A ）P （A ） 有时须与P （A+B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）中的P （AB ）联系解题。 全概率与逆概率公式： 全概率公式： ∑==n i i i A B P A P B P 1 )/()()( 逆概率公式： ) () ()/(B P B A P B A P i i = ),...,2,1(n i = （注意全概率公式和逆概率公式的题型：将试验可看成分为两步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率，就用逆概率公式。） §1.5 独立试验概型 事件的独立性： )()()(B P A P AB P B A =?相互独立与 贝努里公式（n 重贝努里试验概率计算公式）：课本P24 另两个解题中常用的结论—— 1、定理：有四对事件：A 与B 、A 与B 、A 与B 、A 与B ，如果其中有一对相互 独立，则其余三对也相互独立。 2、公式：)...(1)...(2121 n n A A A P A A A P ???-=??? 第二章 随机变量及其分布
概率论第一章习题解答
00第一章 随机事件与概率 I 教学基本要求 1、了解随机现象与随机试验，了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算； 2、了解概率的统计定义、古典定义、几何定义和公理化定义，会计算简单的古典概率和几何概率，理解概率的基本性质； 3、了解条件概率，理解概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，会用它们解决较简单的问题； 4、理解事件的独立性概念. II 习题解答 A 组 1、写出下列随机试验的样本空间 (1) 抛掷两颗骰子，观察两次点数之和； (2) 连续抛掷一枚硬币，直至出现正面为止； (3) 某路口一天通过的机动车车辆数； (4) 某城市一天的用电量. 解：(1) {2,3, ,12}Ω=； (2) 记抛掷出现反面为“0”，出现正面为“1”，则{(1),(0,1),(0,0,1),}Ω=； (3) {0,1,2, }Ω=； (4) {|0}t t Ω=≥. 2、设A 、B 、C 为三个事件，试表示下列事件： (1) A 、B 、C 都发生或都不发生； (2) A 、B 、C 中至少有一个发生； (3) A 、B 、C 中不多于两个发生. 解：(1) ()()ABC ABC ； (2) A B C ； (3) ABC 或A B C . 3、在一次射击中，记事件A 为“命中2至4环”、B 为“命中3至5环”、C 为“命中5至7环”，写出下列事件：(1) AB ；(2) A B ；(3) ()A B C ；(4) ABC . 解：(1) AB 为“命中5环”； (2) A B 为“命中0至1环或3至10环”；
(3) ()A B C 为“命中0至2环或5至10环”； (4) ABC 为“命中2至4环”. 4、任取两正整数，求它们的和为偶数的概率？ 解：记取出偶数为“0”，取出奇数为“1”，则其出现的可能性相同，于是任取两个整数的样本空间为{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=.设A 为“取出的两个正整数之和为偶数”，则 {(0,0),(1,1)}A =，从而1 ()2 p A = . 5、从一副52张的扑克中任取4张，求下列事件的概率： (1) 全是黑桃；(2) 同花；(3) 没有两张同一花色；(4) 同色？ 解：从52张扑克中任取4张，有4 52C 种等可能取法. (1) 设A 为“全是黑桃”，则A 有413 C 种取法，于是413 452 ()C p A C =； (2) 设B 为“同花”，则B 有413 4C 种取法，于是413 452 4()C p B C =； (3) 设C 为“没有两张同一花色”，则C 有4 13种取法，于是4 452 13()p C C =； (4) 设D 为“同色”，则D 有426 2C 种取法，于是426 452 2()C p D C =. 6、把12枚硬币任意投入三个盒中，求第一只盒子中没有硬币的概率？ 解：把12枚硬币任意投入三个盒中，有12 3种等可能结果，记A 为“第一个盒中没有硬币”，则A 有12 2种结果，于是12 2()()3 p A =. 7、甲袋中有5个白球和3个黑球，乙袋中有4个白球和6个黑球，从两个袋中各任取一球，求取到的两个球同色的概率？ 解：从两个袋中各任取一球，有11 810C C ?种等可能取法，记A 为“取到的两个球同色”，则A 有1 111 5 4 3 6C C C C ?+?种取法，于是 1111543611 81019 ()40 C C C C p A C C ?+?==?. 8、把10本书任意放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率？ 解：把10本书任意放在书架上，有10!种等可能放法，记A 为“指定的三本书放在一起”，则A 有3!8!?种放法，于是3!8!1 ()10!15 p A ?= =. 9、5个人在第一层进入十一层楼的电梯，假若每个人以相同的概率走出任一层(从第二层开始)，求5个人在不同楼层走出的概率？
《概率论与数理统计》第一章知识小结
附加知识： 排列组合知识小结： 一、计数原理 1.加法原理：分类计数。 2.乘法原理：分步计数。 二、排列组合 1.排列数（与顺序有关）： )(),1()2)(1(n m m n n n n A m n ≤+---=Λ !n A n n =，n A A n n ==10,1 如：25203456757=????=A ，12012345!5=????= 2.组合数(与顺序无关)： !m A C m n m n =，m n n m n C C -= 如：3512344567!447 4 7 =??????==A C ，211 2672757757=??===-C C C 3.例题：（1）从1，2，3，4，5这五个数字中，任取3个数字，组成一个没有重复的3位数，共有___6034535=??=A ____种取法。 （2）从0，1，2，3，4这五个数字中，任取3个数字，组成一个没 有重复的3位数，共有___483442 414 =??=A A ____种取法。 （3）有5名同学照毕业照，共有__1201234555=????=A _种排法。 （4）有5名同学照毕业照，其中有两人要排在一起，那么共有 _48)1234()12(4422=?????=A A ___种排法。 （5）袋子里有8个球，从中任意取出3个，共有___38C ____种取法。 （6）袋子里有8个球，5个白球，3个红球。从中任意取出3个， 取到2个白球1个红球的方法有___1 325C C ____种。
38876 56321 C ??= =?? 第一章、基础知识小结 一、随机事件的关系与运算 1.事件的包含 设A ，B 为两个事件，若A 发生必然导致B 发生，则称事件B 包含于A ，记作B A ?。 2.和事件 事件“A,B 中至少有一个发生”为事件A 与B 的和事件，记作B A Y 或B A +。 性质：（1）B A B B A A Y Y ?? , ； （2）若B A ?，则B B A =Y 3.积事件：事件A,B 同时发生，为事件A 与事件B 的积事件，记作B A I 或AB 。 性质：（1）,AB A AB B ??； （2）若B A ?，则A AB = 4.差事件：事件A 发生而B 不发生为事件A 与B 事件的差事件，记作()A B AB -。 性质：（1）A B A ?-； （2）若B A ?，则φ=-B A 5.互不相容事件：若事件A 与事件B 不能同时发生，即AB Φ=，则称事件A 与事件B 是互不相容的两个事件，简称A 与B 互不相容（或互斥）。 6.对立事件：称事件A 不发生为事件A 的对立事件，记作A 。 性质：（1）A A =； （2）Ω==Ωφφ,； （3）AB A B A B A -==- 设事件A,B ，若AB=Φ,A+B=?,则称A 与B 相互对立.记作 。
概率论与数理统计学习知识资料心得与分享与分享之第一章
第一章 概率论的基本概念 确定性现象：在一定条件下必然发生的现象 随机现象：在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象 随机试验： 具有下述三个特点的试验： 1.可以在相同的条件下重复地进行 2.每次试验的可能结果不止一个，且能事先明确试验的所有可能结果 3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现 样本空间： 将随机试验E 的所有可能出现的结果组成的集合称为E 的样本空间，记为S 样本点： 样本空间的元素，即E 的每个结果，称为样本点 样本空间的元素是由试验的目的所确定的。 随机事件： 一般，我们称试验E 的样本空间S 的子集为E 的随机事件，简称事件 在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。 基本事件： 由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。 必然事件： 样本空间S 包含所有的样本点，它是S 自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件。 不可能事件： 空集Φ不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，在每次试验中，称为不可能事件。 事件间的关系与运算： 设试验E 的样本空间为S ，而A,B,k A （k=1,2,…)是S 的子集。 1.若B A ?，则称事件B 包含事件A ，这指的是事件A 发生必然导致事件B 发生。 若B A ?且A B ?,即A=B ，则称事件A 与事件B 相等。 2.事件{x B A =?｜A x ∈或}B x ∈称为事件A 与事件B 的和事件。当且仅当A,B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生。 类似地，称n k U 1 =k A 为事件,,21A A …n A ,的和事件；称k k A U ∞ =1 为可列个事件,,21A A … 的和事件。 3.事件B A ?=x {｜A x ∈且}B x ∈称为事件A 与事件B 的积事件。当且仅当A,B 同时发生时，事件B A ?发生。B A ?记作AB 。
第一章概率论习题解答附件
教 案 概率论与数理统计 (Probability Theory and Mathematical Statistics ) Exercise 1.1 向指定目标射三枪，观察射中目标的情况。用1A 、2A 、 3A 分别表示事件“第1、2、3枪击中目标” ，试用1A 、2A 、3A 表示以下各事件： （1）只击中第一枪； （2）只击中一枪； （3）三枪都没击中； （4）至少击中一枪。 Solution （1）事件“只击中第一枪”，意味着第二枪不中，第三枪也不中。所以，可以表示成 1A 32A A 。 （2）事件“只击中一枪”，并不指定哪一枪击中。三个事件“只击中第一枪”、“只击中第二枪”、“只击中第三枪”中，任意一个发生，都意味着事件“只击中一枪”发生。同时，因为上述三个事件互不相容，所以，可以表示成 123A A A +321A A A +321A A A . （3）事件“三枪都没击中”，就是事件“第一、二、三枪都未击中”，所以，可以表示成 123A A A . （4）事件“至少击中一枪”，就是事件“第一、二、三枪至少有一次击中”，所以，可以表示成 321A A A 或 123A A A +321A A A +321A A A +1A 32A A +321A A A +321A A A + 321A A A . Exercise 1.2 设事件B A ,的概率分别为 21,31 .在下列三种情况下分别求)(A B P 的值： （１）A 与B 互斥； （２）；B A ? （３）81)(=AB P ． Solution 由性质（5），)(A B P =)()(AB P B P -. （1） 因为A 与B 互斥，所以φ=AB ，)(A B P =)()(AB P B P -=P(B)= 21 （2） 因为；B A ?所以)(A B P =)()(AB P B P -=)()(A P B P -= 6 13121=-
概率统计第一章答案
概率论与数理统计作业 班级 姓名 学号 任课教师 第一章 概率论的基本概念 教学要求： 一、了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算． 二、理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式． 三、理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算，理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法． 重点：事件的表示与事件的独立性；概率的性质与计算． 难点：复杂事件的表示与分解；试验概型的选定与正确运用公式计算概率；条件概率的理 解与应用；独立性的应用． 练习一 随机试验、样本空间、随机事件 1.写出下列随机事件的样本空间 (1)同时掷两颗骰子，记录两颗骰子点数之和； (2)生产产品直到有5件正品为止，记录生产产品的总件数； (3)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标． 解：（1）{=Ω2；3；4；5；6；7；8；9；10；11；12 }; （2）{=Ω5；6；7；…}; （3）(){} 1,22≤+=Ωy x y x 2.设C B A ,,三事件，用C B A ,,的运算关系表示下列事件： （1）A 发生，B 与C 不发生，记为 C B A ； （2）C B A ,,至少有一个发生，记为C B A Y Y ； (3) C B A ,,中只有一个发生，记为C B A C B A C B A Y Y ； (4）C B A ,,中不多于两个发生，记为ABC ． 3.一盒中有3个黑球，2个白球，现从中依次取球，每次取一个，设i A ={第i 次取到黑
球}，,2,1=i 叙述下列事件的内涵： （1）21A A ={}次都取得黑球次、第第21. （2）21A A Y ={}次取得黑球次或地第21. （3）21A A ={}次都取得白球次、第第21 . （4）21A A Y ={}次取得白球次或地第21. （5）21A A -={}次取得白球次取得黑球，且第第21. 4.若要击落飞机，必须同时击毁2个发动机或击毁驾驶舱，记1A ={击毁第1个发动机}；2A ={击毁第2个发动机}；3A ={击毁驾驶舱}；试用1A 、2A 、3A 事件表示=B {飞机被击落}的事件. 解：321A A A B Y = 练习二 频率与概率、等可能概型（古典概率） 1.若41)()()(===C P B P A P ,0)()(==BC P AB P , 16 3)(=AC P , 求事件A 、B 、C 都不发生的概率. 解：由于 ,AB ABC ? 则 ()(),00=≤≤AB P ABC P 得(),0=ABC P 于是 ()()()()()()()()ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=Y Y 16 9163414141=-++= 所以 ()().16 716911=- =-=C B A P C B A P Y Y 2.设,)(,)(,)(r B A P q B P p A P ===Y 求B A P (). 解：因为 ()()(),AB A P B A P B A P -=-=且,A AB ?则() ()().AB P A P B A P -= 又 ()()()(),r q p B A P B P A P AB P -+=-+=Y
概率论知识点总结及心得体会
概率论总结及心得体会 2008211208班 08211106号 史永涛 班内序号：01 目录 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 (1) 第二章随机变量及其分布 (5) 第三章多维随机变量及其分布 (10) 第四章随机变量的数字特征 (13) 第五章极限定理 (18) 二、学习概率论这门课的心得体会 (20) 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用E表示。 在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。
不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。 必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S或Ω。 2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全体 样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。 基本事件—单点集，复合事件—多点集 一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。 事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。 3、定义：事件的包含与相等 若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为B?A 或A?B。 若A?B且A?B则称事件A与事件B相等，记为A＝B。 定义：和事件 “事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件 A与事件B的和事件。记为A∪B。用集合表示为: A∪B={e|e∈A，或e∈B}。 定义：积事件 称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩ B或AB，用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。 定义：差事件 称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差 事件,记为A－B,用集合表示为 A-B={e|e∈A，e?B} 。
概率论与数理统计习题及答案__第一章
《概率论与数理统计》习题及答案 第 一 章 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况， A =‘甲盒中至少有一球’ ； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’， B =‘通过的汽车不少于3台’ 。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：
概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案
概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案 1．写出下列随机试验的样本空间． (1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分)； (2)一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取 出3个球； (3)某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数； (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标． 解：(1)}100,,2,1{ =Ω； (2)}345,235,234,145,135,134,125,124,123{=Ω； (3)},2,1{ =Ω； (4)}|),{(22y x y x +=Ω． 2．在}10,,2,1{ =Ω，}432{，，=A ，}5,4,3{=B ，}7,6,5{=C ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)BC A ；(5)C B A ． 解：(1),9,10}{1,5,6,7,8=A ， }5{=B A ；(2)}10,9,8,7,6,5,4,3,1{=B A ； (3)法1：}10,9,8,7,6,2,1{=B ， }10,9,8,7,6,1{=B A ， }5,4,3,2{=B A ； 法2：}5,4,3,2{===B A B A B A ； (4)}5{=BC ， }10,9,8,7,6,4,3,2,1{=BC ， }4,3,2{=BC A ， }10,9,8,7,6,5,1{=BC A ；
(5)}7,6,5,4,3,2{=C B A ， {1,8,9,10}=C B A ． 3．设}20|{≤≤=Ωx x ，}121| {≤<=x x A ，}2 341|{≤≤=x x B ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)AB ；(4)B A ． 解：(1)B B A = ， }22 3,410|{≤<<≤==x x x B B A ；(2)=B A ?； (3)A AB =， }21,10|{≤<≤ ≤==x x x A AB ；(4)}231,2141|{<<<≤=x x x B A ．4．化简下列各式：(1)))((B A B A ；(2)))((C B B A ；(3)))((B A B A B A ．解：(1)A B B A B A B A ==)())(( ； (2)AC B C A B C B B A ==)())((；(3))())()((B A B B A B A B A B A =AB AB A A B A A === )(．5．A ，B ，C 表示3个事件，用文字解释下列事件的概率意义：(1)C B A C A C B A ；(2)BC AC AB ；(3)(C B A ；(4)BC AC AB ． 解：(1)A ，B ，C 恰有一个发生； (2)A ，B ，C 中至少有一个发生； (3)A 发生且B 与C 至少有一个不发生； (4)A ，B ，C 中不多于一个发生． 6．对于任意事件A ，B ，证明：Ω=-A B A AB )(．
概率论与数理统计总结
第一章 随机事件与概率 第一节 随机事件及其运算 1、 随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象 2、 样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω={ω},其中ω 表示基本结果，又称为样本点。 3、 随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A 、B 、C 等表 示，Ω表示必然事件，?表示不可能事件。 4、 随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X 、Y 、Z 等表示。 5、 时间的表示有多种： （1） 用集合表示，这是最基本形式 （2） 用准确的语言表示 （3） 用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示 6、事件的关系 （1）包含关系：如果属于A 的样本点必属于事件B ，即事件 A 发生必然导致事 件B 发生，则称A 被包含于B ，记为A ?B; （2）相等关系：若A ?B 且B ? A ，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。 （3）互不相容：如果A ∩B= ?，即A 与B 不能同时发生，则称A 与B 互不相容 7、事件运算 （1）事件A 与B 的并：事件A 与事件B 至少有一个发生，记为 A ∪B 。 （2）事件A 与B 的交：事件A 与事件B 同时发生，记为A ∩ B 或AB 。 （3）事件A 对B 的差：事件A 发生而事件B 不发生,记为 A －B 。用交并补可以表示为B A B A =-。 （4）对立事件：事件A 的对立事件（逆事件），即 “A 不发生”，记为A 。 对立事件的性质：Ω=?Φ=?B A B A ,。 8、事件运算性质：设A ，B ，C 为事件，则有 （1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA （2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A ∪(B ∩C)＝(A ∪B)∩(A ∪C)、 A(B ∪C)＝(A ∩B)∪(A ∩C)= AB ∪ AC （4）棣莫弗公式（对偶法则）：B A B A ?=? B A B A ?=? 9、事件域：含有必然事件Ω ，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ 称为事件域，又称为σ代数。具体说，事件域ξ满足： （1）Ω∈ξ; (2)若A ∈ξ，则对立事件A ∈ξ； （3）若A n ∈ξ，n=1,2，···，则可列并 ∞=1n n A ∈ξ 。
第一章 概率论的基本概念习题答案
第三章 多维随机变量及其分布习题答案 3. 220,(1)(1),4,(,),0.5940, x y x y e e c F x y --<<+∞?--==? ? 其它 . 4. 2012.4(2),()0,X x x x f x ≤≤?-=??，其它201 2.4(34),()0,Y y y y y f y ≤≤?-+=? ? 其它. 5. ???=,0,4),(y x f ,),(其它G y x ∈???+=,0,48)(x x f X ,05.0其它<≤-x ?? ?-=, 0,22)(y y f Y 其它10<≤y . 6. (1) (|)(1),0,1,;,m m n m n P Y m X n C p p n m n -===-=≤否则(|)0P Y m X n ===; (2)(,)(1)/!,0,1,;,m m n m n n P Y m X n C p p e n n m n λλ--===-=≤否则(|)0P Y m X n ===. 7. 10. ⑴0y ≥时|0 ,(|)0 0,x X Y x e f x y x -≥?=?
11. ⑴放回抽样 ⑵ 不放回抽样 X 的条件分布律与上相同，再结合联合分布律可以看出: 放回抽样时独立，不放回抽样时不独立。 12. 1c = ; 当10x -<<时，|1/2,||(|)0, Y X x y x f y x -<-?=? ? 其它 ; 当| |1y <时，|1/(1||),1|| (|)0,X Y y x y f x y --<<-?=? ? 其它 . 13. ⑴ (2|2)5/16,(3|0)1/5P X Y P Y X ====== ； ⑶ ⑷ . ;0.375 . 16. ? ? ?<≥-=--00 ,0,)1()(6/3/z z e e z f z z Z . 17. ⑴(2)30 3!,()00,t T t t e f t t ->?=?≤? ；⑵(3)50()00,t T t t e f t t ->?=?≤?.
概率论第一章答案
.1. 解：（正， 正）， （正， 反）， （反， 正）， （反， 反） A （正 ，正） ， （正， 反） .B （正，正），（反，反） C （正 ，正） ， （正， 反） ，（反，正） 2.解：(1,1),(1,2), ,(1,6),(2,1),(2,2), ,(2,6), ,(6,1),(6,2), ,(6,6)；AB (1,1),(1,3),(2,2),(3,1)； A B (1,1),(1,3),(1,5), ,(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)； AC - BC (1,1),(2,2). A B C D (1,5), (2,4), (2,6), (4,2), (4,6), (5,1), (6,2), (6,4) 3. 解：(1) ABC ；(2) ABC ；(3) ABC ABC ABC ； (4) ABC ABC ABC ；( 5) A B C ； (6) ABC ；(7) ABC ABC ABC ABC 或AB AC BC (8) ABC ；(9) ABC 4. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中； 甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中c 5. 解：如图： 第一章概率论的基本概念习题答案
每次拿一件，取后放回，拿3次: ABC ABC; AB C ABC C; B A C ABC ABC ABC BA ABC BC ABC 6. 解：不 疋成立 。例如： A 3,4,5 B 那么 A C B C 但A B 0 7. 解：不 疋成立 。例如： A 3,4,5 B 那么 A (B C) 3 , 但是 （A B) C 3,6,7 ABC ABC A B 4,5,6 o 8.解: C ABC ABC ABC 3 C 4,5 6,7 P( BA) P(B AB) P(B) P(AB) (1) 2 ; (2) P( BA) P(B A) P(B) 1 P(A) 6 ; (3) P( BA) P(B AB) P(B) 1 P(AB)- 2 9. 解： P(ABC) P A B C 1 P(A B C)= 1 1 8 P (1 ) 2 982 1003 0.0576 ; 1旦 1003 0.0588 ; 1 P(A) 1 P(B) 1 P(C) 1 P(AB) 1 P(AC) 3 P(BC) P(ABC) 16 16 g 八牛 A)n .(.( (C p( B P (1) C ；8C ； C 100 0.0588 ; P (2) 3 100 1 98 0.0594 ; D P 3 2 2 P c ；c
概率论与数理统计知识总结之第一章
概率论与数理统计知识总结之第一章 1、可以在相同的条件下重复地进行 2、每次试验的可能结果不止一个，且能事先明确试验的所有可能结果 3、进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现样本空间：将随机试验E的所有可能出现的结果组成的集合称为E的样本空间，记为S样本点：样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点样本空间的元素是由试验的目的所确定的。随机事件：一般，我们称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。基本事件：由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。必然事件：样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件。不可能事件：空集不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，在每次试验中，称为不可能事件。事件间的关系与运算：设试验E的样本空间为S，而A,B,（k=1,2,…)是S的子集。 1、若，则称事件B包含事件A，这指的是事件A发生必然导致事件B发生。 若且,即A=B，则称事件A与事件B相等。 2、事件｜或称为事件A与事件B的和事件。当且仅当A,B 中至少有一个发生时，事件发生。
类似地，称为事件…的和事件；称为可列个事件…的和事件。 3、事件=｜且称为事件A与事件B的积事件。当且仅当A,B 同时发生时，事件发生。记作AB。 类似地，称为n个事件…的积事件；称为可列个事件…的积事件。 4、事件｜且称为事件A与事件B的差事件。当且仅当A发生、B不发生时事件发生。 5、若，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的。这指的是事件A与事件B不能同时发生。基本事件是两两互不相容的。 6、若且,则称事件A与事件B互为逆事件。又称事件A与事件B互为对立事件。这指的是对每次试验而言，事件A,B中必有一个发生。A的对立事件、设为事件，则有交换律：结合律：分配律：德摩根律：频率与概率频率：在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数，称为事件A发生的频数，比值/n称为事件A发生的频率，并记成频率的基本性质： 1、0≦≦ 12、 = 13、若…是两两互不相容的事件，则(…）=（)+…+（）概率：设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数P()满足下列条件：
概率论课后答案
习题1-2 1. 选择题 (1) 设随机事件A ，B 满足关系A B ?,则下列表述正确的是( ). (A) 若A 发生, 则B 必发生. (B) A , B 同时发生. (C) 若A 发生, 则B 必不发生. (D) 若A 不发生，则B 一定不发生. 解 根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D). (2) 设A 表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件A 表示( ). (A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销. (C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销. 解 设B 表示“甲种商品畅销”，C 表示“乙种商品滞销”，根据公式B C B C = , 本题应选(D). 2. 写出下列各题中随机事件的样本空间: (1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球, 观察其颜色; (2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色； (3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数； (4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数. 解 (1) {黑球,白球}； (2) {黑黑,黑白,白黑,白白}； (3) {0,1,2}； (4) 设在生产第10件正品前共生产了n 件不合格品，则样本空间为{10|0,1,2,n n += }. 3. 设A, B, C 是三个随机事件, 试以A, B, C 的运算关系来表示下列各事件： (1) 仅有A 发生； (2) A , B , C 中至少有一个发生; (3) A , B , C 中恰有一个发生; (4) A , B , C 中最多有一个发生; (5) A , B , C 都不发生; (6) A 不发生, B , C 中至少有一个发生. 解 (1) ABC ; (2) A B C ; (3) ABC ABC ABC ; (4) ABC ABC ABC ABC ; (5) ABC ; (6) ()A B C . 4. 事件A i 表示某射手第i 次(i =1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件： (1) A 1∪A 2; (2) A 1∪A 2∪A 3; (3)3A ; (4) A 2－A 3; (5)2 3A A ； (6)12A A . 解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目标;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没有击中目标. 习题1-3 1. 选择题 (1) 设A, B 为任二事件, 则下列关系正确的是( ). (A)()()()P A B P A P B -=-. (B)()()()P A B P A P B =+ . (C)()()()P AB P A P B = . (D)()()()P A P AB P AB =+. 解 由文氏图易知本题应选(D). (2) 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论正确的是 ( ). (A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件. (C) AB 未必是不可能事件. (D) P (A )=0或P (B )=0. 解 本题答案应选(C). 2. 设P (AB )=P (AB ), 且P (A )＝p ，求P (B ). 解 因 ()1()1()()()()P AB P A B P A P B P AB P AB =-=--+= , 故()()1P A P B +=. 于是()1.P B p =- 3. 已知() 0.4P A =,()0.3P B =,()0.4P A B = , 求()P AB .
《概率论与数理统计》第一章知识小结
附加知识： 排列组合知识小结： 一、计数原理 1.加法原理：分类计数。 2.乘法原理：分步计数。 二、排列组合 1.排列数（与顺序有关）： )(),1()2)(1(n m m n n n n A m n ≤+---= !n A n n =，n A A n n ==10,1 如：25203456757=????=A ，12012345!5=????= 2.组合数(与顺序无关)： !m A C m n m n =，m n n m n C C -= 如：3512344567!447 4 7 =??????==A C ，211 2672757757=??===-C C C 3.例题：（1）从1，2，3，4，5这五个数字中，任取3个数字，组成一个没有重复的3位数，共有___6034535=??=A ____种取法。 （2）从0，1，2，3，4这五个数字中，任取3个数字，组成一 个没有重复的3位数，共有___483442 414 =??=A A ____种取法。 （3）有5名同学照毕业照，共有__1201234555=????=A _种排 法。 （4）有5名同学照毕业照，其中有两人要排在一起，那么共有_48)1234()12(4422=?????=A A ___种排法。 （5）袋子里有8个球，从中任意取出3个，共有___38C ____种取法。
（6）袋子里有8个球，5个白球，3个红球。从中任意取出3 个，取到2个白球1个红球的方法有___1 325C C ____种。 3 8876 56321 C ??= =?? 第一章、基础知识小结 一、随机事件的关系与运算 1.事件的包含 设A ，B 为两个事件，若A 发生必然导致B 发生，则称事件B 包含于A ，记作B A ?。 2.和事件 事件“A,B 中至少有一个发生”为事件A 与B 的和事件，记作B A 或B A +。 性质：（1）B A B B A A ?? , ； （2）若B A ?，则B B A = 3.积事件：事件A,B 同时发生，为事件A 与事件B 的积事件，记作B A 或AB 。 性质：（1）,AB A AB B ??； （2）若B A ?，则A AB = 4.差事件：事件A 发生而B 不发生为事件A 与B 事件的差事件，记作()A B AB -。 性质：（1）A B A ?-； （2）若B A ?，则φ=-B A 5.互不相容事件：若事件A 与事件B 不能同时发生，即 AB Φ=，则称事件A 与事件B 是互不相容的两个事件，简称A 与B 互不相容（或互斥）。 6.对立事件：称事件A 不发生为事件A 的对立事件，记作A 。
