求解变力做功的十种方法

求解变力做功的十种方法

功是高中物理的重要概念，对力做功的求解也是高考物理的重要考点，恒力的功可以用公式直接求解，但变力做功就不能直接求解了，需要通过一些特殊的方法，本文结合具体的例题，介绍十种解决变力做功的方法。

一. 动能定理法

例1. 一质量为m 的小球，用长为L 的轻绳悬挂于O 点，小球在水平力F 作用下，从平衡位置P 点很缓慢地移到Q 点,如图1所示，此时悬线与竖直方向夹角为θ,则拉力F 所做的功为：

（ ）

）

A ：θcos mgL

B ：)cos 1(θ-mgL

C.：θsi n FL D ：θcos FL

分析：在这一过程中，小球受到重力、拉力F 、和绳的弹力作用，

只有重力和拉力做功，由于从平衡位置P 点很缓慢地移到Q 点.，小球的动能的增量为零。那么就可以用重力做的功替代拉力做的功。 解：由动能定理可知：0=-G F W W )

cos 1(θ-==mgL W W G F

故B 答案正确。

小结：如果所研究的物体同时受几个力的作用，而这几个力中只有一个力是变力，其余均为恒力，且这些恒力所做的功和物体动能的变化量容易计算时，利用动能定理可以求变力做功是行之有效的。

二. 微元求和法

例2. 如图2所示，某人用力F 转动半径为R 的转盘，力F 的大小不变，但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致，则转动转盘一周该力做多少功。

解：在转动转盘一周过程中，力F 的方向时刻变化，但每一瞬时力F 总是与该瞬时的速度同向（切线方向），即F 在每瞬时与转盘转过的极小位移???s s s 123、、……

?s n 都与当时的F 方向同向，因而在转动一周过程中，力F 做的功应等于在各极小位

移段所做功的代数和，即：

<

W F s F s F s F s F s s s s F R

n n =++++=++++=()

()????????1231232……·π

小结：变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时，可化曲为直,把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用W Fs =cos θ计算功，而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和.

三. 等值法

等值法是若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。由于恒力做功又可以用W=FScosa 计算，从而使问题变得简单。也是我们常说的：通过关连点，将变力做功转化为恒力做功。

例3.如图3，定滑轮至滑块的高度为H ，已知细绳的拉力为F 牛（恒定），滑块沿水平面由A 点前进s 米至B 点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为γ和β。求滑块由A 点运动到B 点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。

分析：在这物体从A 到B 运动的过程，绳的拉力对滑块与物体位移的方向的夹角在变小，这显然是变力做功的问题。绳的拉力对滑块所做的功可以转化为力恒F 做的功，位移可以看作拉力F 的作用点的位移，这样就把变力做功转化

Q

θ

L

P

F

图1

O

图2

图3

为恒力做功的问题了。

解：由图3可知，物体在不同位置A 、B 时，猾轮到物体的绳长分别为：γ

sin 1H s =

β

sin 2

H s =

那么恒力F 的作用点移动的距离为：)sin 1sin 1(21βγ-=-=H s s s

故恒力F 做的功：)sin 1

sin 1(

β

γ-=FH W

小结：把变力做功巧妙转化为恒力做功也是一种很有效的求解方法。

$

四. 平均力法

例4：如图4所示，在盛有水的圆柱形容器内竖直地浮着一块立方体木块，木块的边长为h ，其密度为水的密度ρ的一半，横截面积也为容器截面积的一半，水面高为2h ，现用力缓慢地把木块压到容器底上，设水不会溢出，求压力所做的功。

解:木块下降同时水面上升，因缓慢地把木块压到容器底上，所以压力总等于增加的浮力，压力是変力，当木块完全浸没在水中的下降过程压力是恒力。本题的解法很多，功能关系、F-S 图像法、平均值法等均可求変力做功，现用平均值法求。

木块从开始到完全浸没在水中，设木块下降1x ，水面上升2x 根据水的体积不变，则：22

12

x h x h = 得21x x = 所以当木块下降

4

h

时，木块恰好完全浸没在水中， 1122122)(x x gh x x gh F F ∝=+=?=ρρ浮

所以42

2118

14220424gh h h

gh h F F h F W ρρ=+=+== 木块恰好完全浸没在水中经h h h h 45432=-

=? 到容器底部，压力为恒力22h gh F ρ= 所以4228

5452gh h h gh h F W ρρ=?=?=

故压力所做的功为：4214

3

gh W W W ρ=

+= \

小结：用平均值求变力做功的关键是先判断変力F 与位移S 是否成线性关系，然后求出该过程初状态的力1F 和末状态的力2F 。当已知力为线性变化的力时，我们可以求平均力2

2

1F F F +=，然后再利用功的公式s F W ?=进行求解。

五. 图象法

例5.用铁锤将一铁钉击入木块，设阻力与钉子进入木板的深度成正比，每次击钉时锤子对钉子做的功相同，已知第一次击后钉子进入木板1cm ，则第二次击钉子进入木板的深度为多少 解:铁锤每次做功都是用来克服铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比，F=kx ，以F 为纵坐标，F 方向上的位移x 为横坐标，作出F －x 图象，如图5，函数线与x 轴所夹阴影部分面积的值等于F 对铁钉做的功.由于两次做功相等，故有：S 1=S 2(面积) 即：

21kx 12=21

k(x 2+x 1)(x 2－x 1) 得 cm x 22=

图4

图5

F x

1

2

2

kx

1

kx O

1

S 2

S

所以第二次击钉子进入木板的深度为： cm x x x )12(12-=-=?

小结：某些求変力做功的问题，如果能够画出変力F 与位移S 的图像，则F-S 图像中与S 轴所围的面积表示该过程中変力F 做的功。

六. 用公式W=Pt 求解

例6.质量为4000千克的汽车，由静止开始以恒定的功率前进，它经100/3秒的时间前进425米，这时候它达到最大速度15米/秒。假设汽车在前进中所受阻力不变，求阻力为多大？

分析：汽车在运动过程中功率恒定，速度增加，所以牵引力不断减小，当减小到与阻力相等时车速达到最大值。已知汽车所受的阻力不变，虽然汽车的牵引力是变力，牵引力所做的功不能用功的公式直接计算。但由于汽车的功率恒定，汽车的功率可用P=Fv 求，因此汽车所做的功则可用W=Pt 进行计算。 解：当速度最大时牵引力和阻力相等， m m fv Fv P ==

]

汽车牵引力做的功为t fv W

m = 根据动能定理有：2

2

1m mv fs W

=

- 解得： f=6000(N)

对于变力做功的问题，首先注意审题，其次在此基础上弄清物理过程，再建立好物理模型，最后使用以上谈到的各种方法进行解题，就会达到事半功倍的效果。

小结：对于机器以额定功率工作时，比如汽车、轮船、火车启动时，虽然它们的牵引力是变力，但是可以用公式W=Pt 来计算这类交通工具发动机做的功。对于交通工具以恒定功率运动时，都可以根据W Pt =来求牵引力这个变力所做的功。

七. 机械能守恒法

例7. 如图7所示，质量m 为2kg 的物体，从光滑斜面的顶端A 点以v m s 05=/的初速度滑下，在D 点与弹簧接触并将弹簧压缩到B 点时的速度为零，已知从A 到B 的竖直高度h m =5，求弹簧的弹力对物体所做的功。 解：由于斜面光滑，故机械能守恒，但弹簧的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做功的数值与弹性势能的增加量相等。取B 所在水平面为零参考面，弹簧原长处D 点为弹性势能的零参考点，则

对状态A ：E mgh mv A =+0

2

2

对状态B ：E W B =+弹簧0

由机械能守恒定律得：W mgh mv

J 弹簧

=+=02

2

125

小结：对于涉及弹簧弹力做功的试题，一般我们都可以用机械能守恒定律求功。 八. 功能原理法

；

例8. 如图8所示，将一个质量为m ，长为a ，宽为b 的矩形物体竖立起来的过程中，人至少需要做多少功

解：在人把物体竖立起来的过程中，人对物体的作用力的大小和方向均未知，无法应用W Fl =cos α求解。该过程中，物体要经历图8所示的状态，当矩形对角线竖直时，物体重心高度最大，重心变化为：

(

)

?h a b b =

+-12

22

由功能原理可知W E E P k 外=+??

如图7

图8

当?E k =0时，W 外最小，为：(

)

W E mg h mg a b b p 外===

+-??12

22。

小结：做功是能量转化的原因，做功是能量转化的量度，我们可以根据能量转化的情况来判断做功的情况，则给求変力做功提供了一条简便的途径。关键是分清研究过程中有多少种形式的能转化，即有什么能增加或减少，有多少个力做了功，列出这些量之间的关系。

九. 能量守恒法

(

例9. 如图9所示，一劲度系数k=800N/m 的轻弹簧两端各焊接着一个质量为m=12kg 的物体。A 、B 竖立静止在水平地面上，现要加一竖直向上的力F 在上面物体A 上，使A 开始向上做匀加速运动，经，B 刚要离开地面。设整个过程弹簧都处于弹性限度内（g 取102

m s /）求：（1）此过程中所加外力F 的最大值和最小值。 （2）此过程中力F 所做的功。

解：（1）设A 上升前，弹簧的压缩量为x 1，B 刚要离开地面时弹簧的伸长量为x 2，A 上升的加速度为a 。

A 原来静止时，因受力平衡，有：kx mg

1=①

设施加向上的力，使A 刚做匀加速运动时的最小拉力为F 1，有：F kx mg ma 11+-=②

B 恰好离开地面时，所需的拉力最大，设为F 2，对A 有：F kx mg ma 22--=③

对B 有：kx mg 2=④ 由位移公式，对A 有：x x at 122

2+=

⑤

由①④式，得：x x mg

k

m 12015==

=.⑥ 由⑤⑥式，解得a m s =3752

./⑦

分别解②③得：

F N F N

1245285==⑧⑨

（2）力作用的内，在末状态有x x 12=，弹性势能相等，由能量守恒知，外力做了功，将其他形式的能转化为系统的重力势能和动能，即：

()W mg x x m at J F =++=122

2

495().

}

小结：当我们分析一个物理过程时，不仅要看速度、加速度，还要分析能量转化情况。 十. 利用W=qU

在匀强电场中移动电荷的时候，可以直接根据恒力做功的公式求解。如果是在非匀强电场中，由于电场力是变力，不能用功的定义式求解，但若已知电荷的电量和电场中两点间的电势差，我们就可以用公式W qU =进行求解。

例10. 电场中有A 、B 两点，它们的电势分别为??A B V V =-=100200，，把电量q C =-?-20107

.的电荷从A 点移动到B 点，是电场力做功还是克服电场力做功做了多少功

解：电荷从A 到B 的过程中，电场力作的功为：

W qU J AB AB ==-??--=?--()().210100*********

图9

因为W 0，所以是电场力做功。

小结：求非匀强电场中电场力做功时，一般都用该方法求解。

综上所述，变力做功的求解有很多方法，一个个看似复杂，无法求解变力做功的问题，只要灵活运用以上方法，就一定能够手到擒来。