线性代数在数学建模中的应用举例

线性代数在数学建模中的应用举例

1 基因间“距离”的表示

在ABO 血型的人们中，对各种群体的基因的频率进行了研究。如果我们把四种等位基因A 1，A 2，B ，O 区别开，有人报道了如下的相对频率，见表1.1。

表1.1基因的相对频率

问题 一个群体与另一群体的接近程度如何？换句话说，就是要一个表示基因的“距离”的合宜的量度。

解 有人提出一种利用向量代数的方法。首先，我们用单位向量来表示每一个群体。为此目的，我们取每一种频率的平方根，记ki ki f x =

.由于对这四种群

体的每一种有14

1

=∑=i ki f ，所以我们得到∑==4

1

2

1i ki

x .这意味着下列四个向量的每个都是单位向量.记

.44434241,34333231,24232221,141312114321????

?

?

??????=????????????=?????????

???=????????????=x x x x a x x x x a x x x x a x x x x a

在四维空间中，这些向量的顶端都位于一个半径为1的球面上. 现在用两个向量间的夹角来表示两个对应的群体间的“距离”似乎是合理的.如果我们把a 1和a 2之间的夹角记为θ，那么由于| a 1|=| a 2|=1，再由内只公式，

得21cos a a ?=θ

而

.8307.03464.02943.03216.0,8228.01778.00000.05398.021????

?

?

???????????????

???=a a 故 9187.0cos 21=?=a a θ 得 2.23=θ°. 按同样的方式，我们可以得到表1.2.

表1.2基因间的“距离”

爱斯基摩人

班图人 英国人 朝鲜人 爱斯基摩人 0° 23.2° 16.4° 16.8° 班图人 23.2° 0° 9.8° 20.4° 英国人 16.4° 9.8° 0° 19.6° 朝鲜人

16.8°

20.4°

19.6°

0°

由表1.2可见，最小的基因“距离”是班图人和英国人之间的“距离”，而爱斯基摩人和班图人之间的基因“距离”最大.

2 Euler 的四面体问题

问题 如何用四面体的六条棱长去表示它的体积？这个问题是由Euler （欧拉）提出的.

解 建立如图2.1所示坐标系，设A ，B ，C 三点的坐标分别为（a 1,b 1,c 1）,( a 2,b 2,c 2)和（a 3,b 3,c 3），并设四面体O-ABC 的六条棱长分别为.,,,,,r q p n m l 由立体几何知道，该四面体的体积V 等于以向量→

→

→

OC OB OA ,,组成右手系时，以它们为棱的平

行六面体的体积V 6的1

6 .而

)

(.3

3

3

222

1116c b a c b a c b a V =??= 于是得 .63

3

3222

111

c b a c b a c b a V = 将上式平方，得

.

3623

23233

2323232313132323222

2222121213131312

1212121

21

21

3

33

22211133

3

222

111

22

c b a c c b b a a c c b b a a c c b b a a c b a c c b b a a c c b b a a c c b b a a c

b a

c b a c b a c b a c b a c b a c b a V ++++++++++++++++++=?=

根据向量的数量积的坐标表示，有

.

,,,

,2323233232322

22222313131212121212121c b a c c b b a a c b a c c b b a a c c b b a a OB OA c b a OA OA ++=?++=?++=?++=?++=?++=? 于是

362OC OC OB OC OB OB

OB OB

OA OB OA OA

V ???= （2.1）

由余弦定理，可行

.2

cos 2

22n q p q p -+=??=?θ

同理

.2

,22

22222l r q OC OB m r p OC OA -+=?-+=?

将以上各式代入（2.1）式，得

.2

2

2

222

362

2

222

22

2

22

22

222

222

222

2

r l r p m r p l r p p n q p m r p n q p p

V -+-+-+-+-+-+=

（2.2）

这就是Euler 的四面体体积公式.

例 一块形状为四面体的花岗岩巨石，量得六条棱长分别为

l =10m, m =15m, n =12m, p =14m, q =13m, r =11m.

则

.952

2

22,

462

2

22,

5.1102

2

22=-+=-+=-+l r p m r p n q p

代入（2.1）式，得

.75.1369829121

95

46

951695

.11046

5.110196

236==V 于是

.)195(82639.38050223m V ≈≈

即花岗岩巨石的体积约为195m 3.

古埃及的金字塔形状为四面体，因而可通过测量其六条棱长去计算金字塔的体积.

3 动物数量的按年龄段预测问题

问题 某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分成三个年龄组：第一组，0～5岁；第二组，6～10岁；第三组，11～15岁.动物从第二年龄组起开始繁殖后代，经过长期统计，第二组和第三组的繁殖率分别为4和3.第一年龄和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为1

2 和1

4 .假设农场现有三个年龄段的动物各100头，问15年后农场三个年龄段的动物

各有多少头？

问题分析与建模 因年龄分组为5岁一段，故将时间周期也取为5年.15年后就经过了3个时间周期.设)(k i x 表示第k 个时间周期的第i 组年龄阶段动物的数

量（k =1，2，3；i =1，2，3）.

因为某一时间周期第二年龄组和第三年龄组动物的数量是由上一时间周期上一年龄组存活下来动物的数量，所以有

).3,2,1(4

1,21)1(2)

(3)1(1)(2===

--k x x x x k k k k

又因为某一时间周期，第一年龄组动物的数量是由于一时间周期各年龄组出生的动物的数量，所以有

).3,2,1(34)1(3

)1(2)(1=+=--k x x x k k k

于是我们得到递推关系式：

???

?

??

???

==+=----.41,

21,34)1(2)(3)

1(121

3)1(2)(1k k k k k k k x x x x x x x 用矩阵表示

).3,2,1(04

1

0021340)1(3)1(2)1(1)(3)(2)(1=?????????????????

?

???????

?

=??????????---k x x x x x x k k k k k k

则

).3,2,1()

1()(==-k Lx x k k

其中

.100010001000,04

1

00021340)0(??????????=???????

?????

???

?

=x L 则有

),3,2,1()(3)(2

)(1)

(=????

??????=k x x x x k k k k

,250500700010001000100004

1

00021340)

0()1(??????????=?????????????????

?

???????

?==Lx x

,125350027502505007000041

00021340)

1()2(??????????=?????????????????

?

????????

==Lx x .8751375143751253500275004

100021340)

2()3(??????????=?????????????????

?

???????

?==Lx x 结果分析 15年后，农场饲养的动物总数将达到16625头，其中0～5岁的有14375头，占86.47%，6～10岁的有1375头，占8.27%，11～15岁的有875头，占 5.226%.15年间，动物总增长16625-3000=13625头，总增长率为13625/3000=454.16%.

注 要知道很多年以后的情况，可通过研究式)0()1()(x L Lx x k k k ==-中当趋于无穷大时的极限状况得到.

关于年龄分布的人口预测模型 我们将人口按相同的年限（比如5年）分成若干年龄组，同时假设各年龄段的田、女人口分布相同，这样就可以通过只考虑女性人口来简化模型.人口发展随时间变化，一个时间周期的幅度使之对应于基本年龄组间距（如先例的5年），令)(k i x 是在时间周期k 时第i 个年龄组的（女性）人口，i =1,2,…,n .用1表示最低年龄组，用n 表示最高年龄组，这意味着不考虑更大年龄组人口的变化.

假如排除死亡的情形，那么在一个周期内第i 个年龄组的成员将全部转移到i +1个年龄组.但是，实际上必须考虑到死亡率，因此这一转移过程可由一存活系数所衰减. 于是，这一转移过程可由下述议程简单地描述：

),1,,2,1()

1()

(1-==-+n i x b x k i

i k i

其中i b 是在第i 个年龄组在一个周期的存活率，因子i b 可由统计资料确定.

惟一不能由上述议程确定的年龄组是,)

(1k x 其中的成员是在后面的周期内出生的，他们是后面的周期内成员的后代，因此这个年龄组的成员取决于后面的周期内各组的出生率及其人数.

于是有方程

,)

1(122)1(11)(1---+++=k n n k k k x a x a x a x （3.1）

这里),,2,1(n i a i =是第i 个年龄组的出生率，它是由每时间周期内，第i 个年龄组的每一个成员的女性后代的人数来表示的，通常可由统计资料来确定.

于是我们得到了单性别分组的人口模型，用矩阵表示便是

,00

0000

000000)1()1(3

)1(2)1(11

21

1321

)()(3)(2)(1?????

??

????

????????????????????

?=????????????????------k n k k k n n n k n k k k x x x x b b b a a a a a x x x x 或者简写成

.)1()(-=k k Lx x （3.2）

矩阵

???????

????

?????--00

000000000121

13

2

1n n n b b b a a a a a L

称为Leslie 矩阵.

由（3.2）式递推可得

)0()1()(x L Lx x k k k ==-

这就是Leslie 模型.

4 企业投入产生分析模型

问题 某地区有三个重要产业，一个煤矿、一个发电厂和一条地方铁路.开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费.生产一元钱的电

力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元的电费及0.05元的运输费.创收一元钱的运输费,铁路要支付0.55元的煤费及0.10元的电费.在某一周内，煤矿接到外地金额为50000元的定货，发电厂接到外地金额为25000元的定货，外界对地方铁路没有需求.问三个企业在这一周内总产值多少才能满足自身及外界的需求？

数学模型 设x 1为煤矿本周内的总产值，x 2为电厂本周的总产值，x 3为铁路本周内的总产值，则

???

??=?++-=++-=++?-,

0)005.025.0(,25000)10.005.025.0(,50000)55.065.00(3213

32123211x x x x x x x x x x x x （4.1） 即

.02500050000005.025.010.005.025.055.065.00

321321????

??????=????????????????????-??????????x x x x x x 即

.025********,005.025.010.005.025.055.065.00,321????

?

?????=??????????=??????????=Y A x x x X 矩阵A 称为直接消耗矩阵，X 称为产出向量，Y 称为需求向量，则方程组（4.1）为

,Y AX X =-

即

Y X A E =-)(， （4.2）

其中矩阵E 为单位矩阵，（E-A ）称为列昂杰夫矩阵，列昂杰夫矩阵为非奇异矩阵.

投入产出分析表 设,0

00

00,)(321

1????

?

?????=--=-x x x A C E A E B D=（1，1，1）C.矩阵B 称为完全消耗矩阵，它与矩阵A 一起在各个部门之间的投入产生中起平衡作用.矩阵C 可以称为投入产出矩阵，它的元素表示煤矿、电厂、铁路之间的

投入产出关系.向量D 称为总投入向量，它的元素是矩阵C 的对应列元素之和，分别表示煤矿、电厂、铁路得到的总投入.

由矩阵C ，向量Y ，X 和D ，可得投入产出分析表4.1.

表4.1 投入产出分析表 单位：元 煤矿

电厂

铁路

外界需求

总产出

煤矿 11c 12c 13c

1y 1x

电厂 21c 22c 23c 2y 2x 铁路 31c

32c

33c 3y

3x

总投入

1d 2d

3d

计算求解 按（4.2）式解方程组可得产出向量X ，于是可计算矩阵C 和向量D ，计算结果如表4.2.

表4.2 投入产出计算结果 单位：元 煤矿 电厂 铁路 外界需求 总产出 煤矿 0 36505.96 15581.51 50000 102087.48 电厂 25521.87 2808.15 2833.00

25000 56163.02 铁路 25521.87 2808.15 0 0 28330.02

总投入

51043.74

42122.27

18414.52

5 交通流量的计算模型

问题 图5.1给出了某城市部分单行街道的交通流量（每小时过车数）.

假设：（1）全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量；（2）全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量.试建立数学模型确定该交通网络未知部分的具体流量.

建模与计算 由网络流量假设，所给问题满足如下线方程组：

2344576121578910910836300

50020080080010004002006001000

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+=??+=??-=?

+=??+=?

?

+=??=?

-=??=?++=?? 系数矩阵为

1110

00000000110000

000000110

001100000000100010000000000011000000000010000000001100000000010

1

00

1

01

00A -????????

-??????

=?

?????

??-????

?????? 增广矩阵阶梯形最简形式为

1000100000

800010010000000010000000200000110000050000000101008000000001100100000000000104000000000001600000000000000

000

00000

0B ????-????

??????

=?

?????

????????????

其对应的齐次方程组为

152534568

789100

000

0000x x x x x x x x x x x x x +=??-=??=?

+=??

+=??+=?

=??=?

取（x 5,x 8）为自由取值未知量，分别赋两组值为（1,0），（0,1），得齐次方程组基础解系中两个解向量

()11,1,0,1,1,0,0,0,0,0,'η=--

()20,0,0,0,0,1,1,1,0,0'η=--

其对应的非齐次方程组为

152534568

789108000

200500

8001000400600x x x x x x x x x x x x x +=??-=??=?

+=??

+=??+=?

=??=?

赋值给自由未知量（x 5,x 8）为（0,0）得非齐次方程组的特解

()800,0,200,500,0,800,1000,0,400,600'x *=

于是方程组的通解,*

2211x k k x ++=ηη其中k 1，k 2为任意常数，x 的每一个分量即为交通网络未知部分的具体流量，它有无穷多解.

6 小行星的轨道模型

问题 一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：1.4959787×1011m ）.在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如表6.1.

表6.1 坐标数据

由Kepler （开普勒）第一定律知，小行星轨道为一椭圆.现需要建立椭圆的方程以供研究（注：椭圆的一般方程可表示为

012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .

问题分析与建立模型 天文学家确定小行星运动的轨道时，他的依据是轨道上五个点的坐标数据：

（x 1, y 1）, （x 2, y 2）, （x 3, y 3）, （x 4, y 4）, （x 5, y 5）. 由Kepler 第一定律知，小行星轨道为一椭圆.而椭圆属于二次曲线，二次曲线的一般方程为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .为了确定方程中的五个待定

系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得

22112113141512

2

1222232425222

1323333435322142443444542215

25535455522212221222122212221

a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y ?++++=-?++++=-??++++=-??++++=-?

?++++=-?

这是一个包含五个未知数的线性方程组，写成矩阵

????????????????-----=?????????

???????????????????????111112222222222222225432155

25

5

525

44244424

3323332322222222

11211

121a a a a a y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x 求解这一线性方程组，所得的是一个二次曲线方程.为了知道小行星轨道的一些参数,还必须将二次曲线方程化为椭圆的标准方程形式:

122

22=+b

Y a X 由于太阳的位置是小行星轨道的一个焦点,这时可以根据椭圆的长半轴a 和短半轴b 计算出小行星的近日点和远日点距离,以及椭圆周长L .

根据二次曲线理论,可得椭圆经过旋转和平移两种变换后的方程如下:

[]

2

2

120D X Y C λλ++=

所以,椭圆长半轴:C D a 1λ=;椭圆短半轴: C

D

b 2λ=;椭圆半焦矩:22b a

c -=.

计算求解 首先由五个点的坐标数据形成线性方程组的系数矩阵

???

??

?

?

????

??

???=7200.69600.142896.112656.509504

.550520.53360.143807.62127.363802.516460.35180.133233.36433.246841

.454040.25720.124448.11115

.155138.39292.1528.114199.04701

.72237

.33A

使用计算机可求得

12345(,,,,)(0.6143,0.3440,0.6942, 1.6351,0.2165)a a a a a =---

从而

????

?

?--=????

??=6942.03440.03440.06143.03221

a a a a C C C ,3081.0=的特征值120.3080, 1.0005λλ==

1

232

354

5

0.61430.3440 1.63510.34400.69420.21651 1.63510.21651a a a D a a a a a ---????

????==--????

????--????

.8203.1-=D

于是,椭圆长半轴a=19.1834,短半轴b=5.9045,半焦距c=18.2521.小行星近日点距

和远日点距为039313,37.4355h a c H a c =-==+=

最后,椭圆的周长的准确计算要用到椭圆积分,可以考虑用数值积分解决问题,其近似值为84.7887.

7 人口迁移的动态分析

问题 对城乡人口流动作年度调查,发现有一个稳定的朝向城镇流动的趋势:每年农村居民的2.5%移居城镇,而城镇居民的1%迁出.现在总人口的60%位于城镇.假如城乡总人口保持不变,并且人口流动的这种趋势继续下去,那么一年以后住在城镇人口所占比例是多少?两年以后呢?十年以后呢?最终呢?

解 设开始时,令乡村人口为,0y 城镇人口为,0z 一年以后有

乡村人口

,1001

1000975100y z y =+ 城镇人口 ,100

99

100025100z z y =+

或写成矩阵形式

??

?

???????

??????=??????00111009910002510011000975

z y z y . 两年以后,有

.1009910002510011000975

1009910002510011000975002

1122??

?

???????

??????=????????????????=??????z y z y z y . 十年以后,有

.1009910002510011000975

0010

1010??

?

???????

??????=??????z y z y 事实上,它给出了一个差分方程:k k Au u =+1.我们现在来解这个差分方程.首先

,1009910002510011000975

????

??????=A

k 年之后的分布(将A 对角化):

.757

57275

10

0200193115210000??????????

?

?????-????????????? ??????????-=?

?????=??????z y z y A z y k k k k 这就是我们所要的解,而且容易看出经过很长一个时期以后这个解会达到一个极限状态

.7572)(00?

???

??????+=???

???∞∞z y z y 总人口仍是00z y +,与开始时一样,但在此极限中人口的75在城镇,而7

2

在乡村.无论初始

分布是什么样,这总是成立的.值得注意这个稳定状态正是A 的属于特征值1的特征向量.上述例子有一些很好的性质:人口总数保持不变,而且乡村和城镇的人口数决不能为负.前一性质反映在下面事实中:矩阵每一列加起来为1;每个人都被计算在内,而没有人被重复或丢失.后一性质则反映在下面事实中:矩阵没有负元素;同样地0y 和0z 也是非负的,从而1y 和

21,y z 和2z 等等也是这样.

8 常染色体遗传模型

为了揭示生命的奥秘,遗传学的研究已引起了人们的广泛兴趣.动植物在产生下一代的过程中,总是将自己的特征遗传给下一代,从而完成一种“生命的延续”.

在常染色体遗传中,后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因,形成自己的基因对.人类眼睛颜色即是通过常染色体控制的,其特征遗传由两个基因A 和a

控制.基因对是AA 和Aa 的人,眼睛是棕色,基因对是aa 的人,眼睛为蓝色.由于AA 和Aa 都表示了同一外部特征,或认为基因A 支配a ,也可认为基因a 对于基因A 来说是隐性的(或称A 为显性基因,a 为隐性基因).

下面我们选取一个常染色体遗传——植物后代问题进行讨论.

某植物园中植物的基因型为AA ,Aa ,aa .人们计划用AA 型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代.经过若干年后,这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形?

我们假设),2,2,0(,, =n c b a n n n 分别代表第n 代植物中,基因型为AA ,Aa 和aa 的植物占植物总数的百分率,令),,()

('=n n n n c b a x

为第n 代植物的基因分布, ),,(000)0('

=c b a x 表示植物基因型的初始分布,显然,我们有

.1000=++c b a (8.1)

先考虑第n 代中的AA 型，第1-n 代AA 型与AA 型相结合，后代全部是AA 型；第

1-n 代的Aa 型与和与AA 相结合，后代是AA 型的可能性为2

1

；1-n 代的aa 型与AA 型

相结合，后代不可能是AA 型。因此，我们有

.02

1

1111---?++

?=n n n n c b a a （8.2） 同理,我们有

,2

1

11--+=

n n n c b b （8.3） .0=n c （8.4）

将(8.2),(8.3),(8.4)式相加,得

.111---++=++n n n n n n c b a c b a （8.5）

将(8.5)式递推,并利用(8.1)式,易得

.1=++n n n c b a

我们利用矩阵表示(8.2),(8.3)及(8.4)式,即

,2,1,)1()(==-n Mx x n n (8.6)

其中

.00

01210

021

1???????

????????

?=M 这样,(8.6)式递推得到

.)0()1(2)1()(x M x M Mx x n n n n ====-- (8.7)

(8.7)式即为第n 代基因分布与初始分布的关系.下面,我们计算n M .

对矩阵M 做相似变换,我们可找到非奇异矩阵P 和对角阵D ,使

,1-=PDP M

其中

.100210111,00

01210

001

1??

????????--==???

?

?????

?=-P P D

这样,经(8.7)得到

.)()0()1()0()(1x P PD x PDP x n n n -==-

?????

?????????????

?

?--???????????????

????

????????--=0001002101110000210001100210111c b a n

.021*********

010000

??

?

???

?

?

????????+--++=--c b c b c b a n n n n 最终有

?????

??

?

=+=--=--.0,2121,2

1211010010n n n n n n n

c c b b c b a

显然,当+∞→n 时,由上述三式,得到

.0,0,1→→→n n n c b a

即在足够长的时间后,培育出的植物基本上呈现AA 型.

通过本问题的讨论,可以对许多植物(动物)遗传分布有一个具体的了解,同时这个结果也验证了生物学中的一个重要结论:显性基因多次遗传后占主导因素,这也是之所以称它为显性的原因.