考研数学复习之多维随机变量及其分布
考研数学复习之多维随机变量及其分布
来源：文都教育
多维随机变量及其分布经常和随机变量的数字特征结合出一道大题，经常考试的题型就是求连续性或者离散型随机变量的函数分布，参数的值，以及数字特征等，题目类型很固定，分值在11分左右，主要内容总结如下：
一、二维随机变量概念与性质
1、定义 设E 是随机试验，则由定义在E 的样板空间Ω上的随机变量X 与Y 构成的有序对),(Y X 称为二维随机变量。
2、定义 对任意实数y x ,，二元函数
(,){()()}{,}F x y P X x Y y P X x Y y =≤≤=≤≤
称为随机变量X 和Y 的联合分布函数。
3、定义 称(x)P{X x}P{X x,y }F(x,)X F =≤=≤-∞<<+∞=+∞为随机变量X 的边缘分布函数；称(y)P{Y }P{X ,Y y}F(,y)Y F y =≤=-∞<<+∞≤=+∞为随机变量Y 的边缘分布函数。
4、定义 若把二维随机变量),(Y X 看成平面上随机点),(Y X 的坐标，则分布函数
),(y x F 就表示随机点落在以点),(y x 为顶点的左下方的无限矩形域内的概率：
),(),(),(),(},{111221222121y x F y x F y x F y x F y Y y x X x P +--=≤<≤<
5、分布函数具有以下基本性质：
（1）1),(0≤≤y x F ，且对任意固定的y ，0),(=-∞y F ；对任意固定的
x ，
0),(=-∞x F ；0),(=-∞-∞F ，1),(=∞∞F .
（2）),(y x F 分别是x 和y 的不减函数.
（3）),(),0(y x F y x F =+，),()0,(y x F y x F =+，即),(y x F 关于x 或y 均右连续. （4）若2121,y y x x <<，则0),(),(),(),(11122122≥+--y x F y x F y x F y x F .
二、离散型随机变量及分布
1、概念 如果二维随机变量),(Y X 可能取的值是有限对或可列无限对，则称),(Y X 是二维离散型随机变量。
2、联合分布律),(Y X 的分布律或X 和Y 的联合分布律为
ij j i p y Y x X P ===},{，1,2,,;j 1,2,,n i m ==
其中ij p 满足：（1）;0≥ij p （2）
111
=∑∑∞=∞
=i j ij
p
。
X 和Y 的联合分布律也可用表格表示：
ij j j j i i i p p p y p p p y p p p y x x x X Y 21222122121111
21\
3、边缘分布律
随机变量X 的分布律称为X 的边缘分布律，且12{X x }p p p i i i in P ==++ ；随机变量Y 的分布律称为Y 的边缘分布律，且12{Y }p p p i j j mj P y ==++ ，二维 离散型随机变量的联合分布律与边缘分布律关系为：
12.j 111211.1212222.212.n .
1.
2.
m.
\1
m m m n n n mn i Y X x x x p y p p p p y p p p p y p p p p p p p p
注：
.
.j 1
1
1,1m
m
i i j p
p ====∑∑
三、连续型随机变量及分布
1、概念 对二维随机变量),(Y X 的分布函数),(y x F ，如果存在非负函数),(y x f ，使对任意的y x ,有
?
?
∞-∞
-=y
x
dudv v u f y x F ),(),(
则称),(Y X 是二维连续型随机变量，),(y x f 称为),(Y X 的概率密度，或称为X 和Y 的联合概率密度。
2、),(y x f 具有性质 （1）0),(≥y x f （2）
1),(=??
∞∞-∞
∞
-dxdy y x f
（3）设G 是平面xOy 上的区域，则),(Y X 落在G 内的概率为
??=∈G
dxdy y x f G Y X P ),(}),{(
（4）若),(y x f 在点),(y x 连续，则有
),()
,(2y x f y
x y x F =??? 3、边缘密度函数
X 的边缘密度函数为：?
∞
∞
-=
dy y x f x f X ),()(；Y 的边缘密度函数为：
?∞
∞
-=dx y x f y f Y ),()(。
4、边缘分布函数
X 的边缘分布函数为：(x)P(X x)()x
X X F f x dx -∞
=≤=
?
；Y 的边缘分布函数为：
(y)P(Y )(y)y
Y Y F y f dy -∞
=≤=?。
5、常见的二维连续型随机变量
均匀分布：设D 是平面上的有界区域, 其面积为A , 若二维随机变量(X , Y )的概率密度为
?????∈=,,
0,
),(,1
),(其它D y x A
y x f
则称(X , Y )在D 上服从均匀分布。
正态分布：设二维随机变量(X , Y )的概率密度为
??
????????????????-+------?-=
2
2222121212122
21)())((2)()1(21exp 121
),(σμσσμμρσμρρσπσy y x x y x f ???
?
??+∞<<∞-+∞<<∞-y x . 其中μ1、μ2、σ1、σ2、ρ都是常数, 且σ1> 0, σ2> 0, -1 <ρ< 1. 我们称(X , Y )为服从参数为
μ1、μ2、σ1、σ2、ρ的二维正态分布
注：（1）若221122(u ,),Y (u ,)X N N σσ 且,X Y 相互独立，则：
22221212(au bu c,a b )aX bY c N σσ+++++
四、二维随机变量的条件分布及独立性
（一） 条件分布
1、离散型随机变量的条件分布
设二维随机变量),(Y X 的联合分布律为ij j i p y Y x X P ===},{，
1,2,,;j 1,2,,n i m == ，则
在.(X x )p i i P ==条件下{Y y }j =的条件分布律为：
.
{X x ,Y y }
{Y y }{X x }
i j ij j i i i P p P X x P p =====
=
=
在.j (X )p j P y ==条件下{X }i x =的条件分布律为：
.j
{X x ,Y y }
{Y y }{Y }
i j ij i j j P p P X x P y p =====
=
=
2、连续型随机变量的条件分布 在X x =条件下Y 的条件密度为：
/(x,y)
f {y }(x)
Y X x f x f =
在Y y =条件下X 的条件密度为：
X/Y (x,y)
f {y }(y)
Y f x f =
（二） 二维随机变量独立性
1、定义设),(y x F 及)(),(y F x F Y X 分别是二维随机变量),(Y X 的分布函数及边缘分布函数。若对所有y x ,有
}{}{},{y Y P x X P y Y x X P ≤?≤=≤≤
即 )()(),(y F x F y x F Y X ?= 则称随机变量X 与Y 是相互独立的。
一般由边缘分布不能确定联合分布，但当随机变量具有独立性时，联合分布就可由边缘分布确定。
2、),(Y X 是二维离散型随机变量时，X 与Y 相互独立的充分必要条件是
}{}{},{j i j i y Y P x X P y Y x X P =?====
即 j i ij p p p ???=，),2,1,,2,1( ==j i 。 3、),(Y X 是二维连续型随机变量时，X 与Y 相互独立的充分必要条件是
)()(),(y f x f y x f Y X ?=。
在xOy 平面上几乎处处成立，或者(,)()()x
y x y
X Y dx f x y dy f x dx f y dy -∞
+∞
-∞
-∞
=??
???
五、二维随机变量函数的分布
1、两个离散型随机变量的函数的分布律
设二维离散型随机变量),(Y X 的分布律为
ij j i p y Y x X P ===},{),,2,1,,2,1(n j m i ==；。
则Y X ,的函数),(Z Y X g =的分布律可按以下步骤计算：
（1）计算),(j i y x g ),,2,1,,2,1(n j m i ==；，将其中互不相同的按由小到大次序排列，设为l z z z ,,,21 ；
（2）按以下公式计算Z 取各个k z 的概率
),,2,1()(}
),()|,{(l k p
z Z P k j i z y x g j i ij
k ==
=∑=
2、两个连续型随机变量的函数的分布，仅讨论以下几个具体的函数： （1）Y X Z +=的分布
设),(Y X 的概率密度为),(y x f ，则Y X Z +=的分布函数为
??≤+=
≤=z
y x Z dxdy y x f z Z P z F ),(}{)(
Z 的概率密度为?
+∞
∞
--=
dy y y z f z f Z ),()(
或?
+∞
∞
--=
dx x z x f z f Z ),()(；
又若X 与Y 相互独立，则
?+∞
∞
-?-=dy y f y z f z f Y X Z )()()(
或
?+∞
∞
--?=dx x z f x f z f Y X Z )()()(；
（2）X
Y
Z =
和XY Z =的分布 X
Y
和XY 的概率密度分别为
?+∞
∞
-=dx xz x f x z f X Y ),(||)(/，
dx x x
z
f x dx x z x f x z f XY ),(||1),(||1)(??+∞∞-+∞
∞-==
又若X 与Y 相互独立，则
?+∞
∞
-?=dx xz f x f x z f Y X X Y )()(||)(/，
dx x f x
z
f x dx x z f x f x z f Y X Y X XY )()(||1)()(||1)(?=?=??+∞∞-+∞
∞-
（3）},max{Y X M =及},min{Y X N =的分布
设随机变量Y X ,相互独立，其分布函数分别为)(x F X 和)(y F Y 。},max{Y X M =的分布函数为
}{}{),{}{)(max z Y P z X P z Y z X P z M P z F ≤?≤=≤≤=≤=
)()(z F z F Y X =
},min{Y X N =的分布函数为
},{1}{1}{)(min z Y z X P z N P z N P z F >>-=>-=≤= )](1)][(1[1}{}{1z F z F z Y P z X P Y X ---=>>-=
不论对数一、数二还是数三来说，都是考试重点，内容和方法多，计算量大，题目综合，所以本节是概率论当中最重要的部分。
多维随机变量及其分布
第三章多维随机变量及其分布 随机向量的定义： 随机试验的样本空间为S={w}，若随机变量X1(w),X2(w),…,X n(w)定义在S上，则称（X1(w),X2(w),…,X n(w)）为n维随机变量（向量）。简记为（X1,X2,…,X n）。 二维随机向量（X,Y），它可看作平面上的随机点。 对（X,Y）研究的问题： 1．（X,Y）视为平面上的随机点。
研究其概率分布——联合分布率、联合分布函数、联合概率密度；Joint 2．分别研究各个分量X,Y的概率分布——边缘（际）分布律、边缘分布函数、边缘概率密度； marginal 3．X与Y的相互关系； 4．（X,Y）函数的分布。 §二维随机变量的分布
一．离散型随机变量 1．联合分布律 定义若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。 设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(x i,y j), i，j=1,2…,取这些值的概率为 p ij=P{(X,Y)=(x i,y i)}=p{X=x i,Y=y i}i ,j=1,2,… ——
称式为(X,Y)的联合分布律。 (X,Y)的联合分布律可以用表格的形式表示如下：
性质： (1) p ij 3 0，i, j=1,2,… (2) j i ij p ,=1 2．边缘分布律 设二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律为 p ij = P{X=x i ,Y=y i } i, j=1,2,… 分量X 和Y 的分布律分别为 p i.=P{X=x i } i=1,2,… 满足①p i.30②S p i.=1 = p{Y=y i }j=1,2, (30)
考研数学二129分个人复习经验分享
考研数学二129分个人复习经验分享 数学复习最忌讳的是“眼高手低”！ 从整体上讲，考研数学应按照这样的流程来：课本——复习全书——660题——真题第一遍——真题第二遍，若做完660题后发现还有充裕时间就可以做一下400题。“课本——复习全书——660题——真题第一遍——真题第二遍”这个过程是一定要有的！ 下面详述上面五个阶段。 第一阶段毋庸置疑的应该是踏踏实实地看课本，做课后习题。看课本时大家可以和“考试大纲”对比，在课本的目录上标出所有考点，同时划掉大纲上没有的提到的知识点。考研数学出题是严格按照大纲来的，对于大纲未作要求的知识点大家完全没有必要去看，大家这个可以放心。对于大纲中提到的知识点，虽然有些要求是“掌握”，有些要求是“理解”，但是我们必须将其全部掌握，说白了，就是会做题，能灵活运用！刚开始看课本可能会有些吃力，毕竟高数在大一就学了，平时期末考试的要求与考研也大不一样。所以呢，大家不用着急，不用怕花时间！在看课本时要随时拿着笔，对自己难以理解的知识点要做下标记，对课本上的例题不能只是看看就过去了，而是要动笔计算、证明，这样易于理解，印象更深。针对课后习题，我建议大家全部做完，大家可能会这么想：不就是课后习题么，能有多少，难度又能有多高？其实不然，总的来说课后习题的题量还是比较大的，并且还有一定难度，有些题的难度比真题大！需要引起大家重视的是，有些真题就源于课本，甚至是原题。这一点在“不定积分”和“定积分”相关知识点上体现得很明显。我当时把课后习题基本上都做完了，做到“积分”那一块时感觉确实很吃力，一章差不多有一百个积分，计算起来很花时间，而且有些题还很难，很考技巧。不过还好，自己还是坚持做完了，虽然错了一些，有些看了答案还不是很清楚。高数课本的复习方法是这样，线性代数也是如此。 课本复习完后大家就要开始复习全书的复习了，针对这一阶段，我要突出强调的是：千万不要图快，重点是扎实悟透每一个知识点，并做好笔记（“读厚”）。当时我复习的时候一天看得最多的是14面，最少的是6面，特别是到“微分中值定理及其应用”那一章时就更慢了，一个上午3个小时就看了2面，也就4个题左右吧。重点是要搞透基础知识，若是有些题实在不会就不要太勉强，可以先做个记号，找空余时间和同学讨论。复习全书上的每一章大概可以分为三个板块：知识点（考点）总结、例题、习题。对知识点（考点）总结，不用说，这个是最基本的；对于例题和习题（例题和习题大部分是往年的真题，大家不可忽视），大家要一视同仁，不要因为例题下面就有答案就看一下就过去了，而要像做习题一样，认真在草稿纸上进行演算，并在旁边空白处记下每个题的解答关键点（易错的地方、技巧所在等等）。跟大家说这些就是要鼓励大家一定要一步一个脚印地把复习全书“啃”一遍！（当时我过复习全书第一遍用了整整两个月！）一遍过后，我相信大家对考研数学的基础知识都有底了，至少不会像最初那样担心。有的人接下来就开始做真题，但我觉得还为时过早，这样的水平去对付真题有点操之过急！因此我建议大家再把复习全书看一遍，期间可以穿插着做“660题”。 复习全书第二遍看完后相信大家心里都有底了，若是大家现在热情很高的话，可以做一套真
随机变量及其分布知识点汇总
随机变量及其分布知识点汇总 知识点一 离散型随机变量及其分布列 （一）、离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x x ??????，X 取每一个值 (1,2,,)i x i n =???的概率()i i P X x p ==，则称以下表格 为随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列. 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： （1）0,1,2,,i P i n =???≥ （2）121n p p p ++???+= 1．两点分布 如果随机变量X 的分布列为 则称X 服从两点分布，并称=P(X=1)p 为成功概率. 2．超几何分布 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{}X k =发生的概率为： (),0,1,2,3,...,k n k M N M n N C C P X k k m C --=== 则随机变量X 的概率分布列如下： {}*min ,,,,,,m M n n N M N n M N N =≤≤∈其中且。 注意：超几何分布的模型是不放回抽样
知识点二 条件概率与事件的独立性 （一）、条件概率 一般地，设A,B 为两个事件,且()0P A >,称() (|)() P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 0(|)1P B A ≤≤ 如果B 和C 互斥，那么[()|](|)(|)P B C A P B A P C A =+ （二）、相互独立事件 设A ，B 两个事件，如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即 ()()()P AB P A P B =),则称事件A 与事件B 相互独立。 ()()()A B P AB P A P B ?=即、相互独立 一般地，如果事件A 1,A 2,…,A n 两两相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A =. 注意：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生； (2)相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响. （三）、n 次独立重复试验 1．一般地，在相同条件下，重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验. 在n 次独立重复试验中，记i A 是“第i 次试验的结果”，显然， 1212()()()()n n P A A A P A P A P A ???=??? “相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响 注意: 独立重复试验模型满足以下三方面特征 第一：每次试验是在同样条件下进行； 第二：各次试验中的事件是相互独立的； 第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生. 2．n 次独立重复试验的公式： n A X A p n A k 一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为 ()(1),0,1,2,...,.(1)k k n k k k n k n n P X k C p p C p q k n q p --==-===-其中，而称p 为成功
考研数学详尽攻略
研究生入学考试中,数学是比较特殊的一门,它兼具专业课和公共课的双重性质,是工学,经济学,管理学等学科专业硕士研究生入学考试的必考科目,考查内容涉及高等数学,概率统计以及线性代数三个部分,分为四个类型,即数学一,数学二,数学三以及数学四,分别对应对数学要求不同的专业.四个不同类型的考试范围,难度和侧重点不同,例如:数学二不考概率统计,数学一以外高等数学考察内容较少,数学三和数学四对概率统计要求较高.因此,首先考生应该明确自己欲报专业对数学的要求,以便有针对性地进行复习.对于大多数需要考3门公共课的考生来说,数学相对于另外两门是最难学也最难考的,也因此,历年来数学在3门公共课各自的平均分中几乎都是最低的.在这3门公共课中,政治和英语满分都是100分,而数学是150 分,因此,如果我们把握得好,可以落别人很远,取得总分上的绝对优势,如果把握不好,我们就会失去克敌制胜的最大先机.事实上,相对于英语而言,如果方法得当,数学的提高非常快.本篇接下来就谈谈如何复习数学的问题. 一,科目特点和复习误区 考研数学所考内容众多,知识面宽,综合性强,技巧性高.特别是作为水平考试,考研数学常常把高等数学,线性代数,概率统计三门课程中的知识点有机地结合在一起来考察,这更增加了数学复习的难度,很多考生反映即使给数学分配很多的复习时间,做了很多题,还是很难取得突破性的进展.我们调查发现,现在广大考生复习中普遍存在一些误区.要从根本上提高数学思维能力和解题能力,首先要避免走入以下这几种误区: 消极迎战,效率低下 长期以来,"考研难,考研数学难"的论调广为流传并深入人心,不少考生在尚未了解考试内容和题型的时候,就已经对数学望而生畏,把目标和期望值定得很低. "过线就行,差不多就可以"成为比较普遍的心态.这反映在复习中就是消极地应付,而非积极准备.事实上,数学是需要深入钻研的一门学科,要想学好它,首先要消除惧怕心理和畏惧情绪,树立必胜的信心,这样才可以化消极被动为积极主动,才可以在数学的学习和解题中体会到真正的乐趣.这一部分考生可以参照本章的第一节"成功的心态". 只重技巧,不重理解 从根本上说这是一种投机心理的表现.学习是一件艰苦的工作,很多考生不想努力,片面地追求别人现成的方法和技巧,总想着多学一点套路,考试的时候可以照猫画虎地做答.殊不知,方法和技巧是建立在自己对基本概念和基础知识深入理解的基础上的,每一种方法和技巧都有它特定的适用范围和使用前提.考研数学是一种高水平的较量,表面上看起来一样的题型可能有着本质的区别,因此,单纯地模仿是绝对行不通的.这就要求我们必须放弃投机心理,踏踏实实一步一个脚印地透彻理解每一个方法的来龙去脉. 把看题等同于做题 由于考研复习时间紧任务重,很多考生买了资料,只是匆匆忙忙地看书而不动手练习,一眼扫过去似乎都会了,可是做起来不是写得逻辑混乱就是干脆不知道怎么写.数学是一门严
随机变量及其分布考点总结
第二章 随机变量及其分布 复习 一、随机变量. 1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量. 3、分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为：ΛΛ,,,,21i x x x ξ取每一个值),2,1(Λ=i x 的概率p x P ==)(，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 121i 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 典型例题： 1、随机变量ξ的分布列为(),1,2,3(1) c P k k k k ξ== =+……，则P(13)____ξ≤≤= 2、袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球都是白球的概率为1 7 ，现在甲乙两人从袋中轮流摸去一 球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，用ξ表示取球的次数。（1）求ξ的分布列（2）求甲取到白球的的概率 3、5封不同的信，放入三个不同的信箱，且每封信投入每个信箱的机会均等，X 表示三哥信箱中放有信件树木的最大值，求X 的分布列。 4 已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为5 ． （1）请将上面的列联表补充完整； （2）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由； （3）已知喜爱打篮球的10位女生中，12345,,A A A A A ，，还喜欢打羽毛球，123B B B ，，还喜欢打乒乓球，12C C ，还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求1B 和1C 不全被选中的概率． (参考公式：2 ()()()()() n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)
考研数学2019完整版附参考答案
考研数学2019完整版附参考答案 仅供参考 一、选择题：1－8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则（ ） (A) 0d y y <
第三讲多维随机变量及其分布
第三讲 多维随机变量及其分布 考试要求 1. 理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度.会求与二维随机变量相关事件的概率. 2. 理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握随机变量相互独立的条件. 3. 掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义 . 4. 会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布. 一、 各种分布与随机变量的独立性 1. 各种分布 （1）一般二维随机变量 F （x , y ）=P { X ≤ x , Y ≤ y }, x ∈ （?∞, +∞）, y ∈ （?∞, +∞）的性质 F （x , y ）为联合分布函数 ? 1） 0 ≤F （x , y ）≤1 , ?x ∈ （?∞, +∞）,, y ∈ （?∞, +∞）; 2） F （?∞, y ）= F （x , ?∞）=0, F （+∞,+∞）=1; 3） F （x , y ）关于x , y 均为单调不减函数； 4） F （x , y ）关于x , y 均分别右连续. （2）二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分布 联合概率分布律 P {X = x i , Y = y j } = p i j , i , j =1, 2 ,??? , p i j ≥ 0, 1=∑∑i j j i p . 边缘分布律 p i ? = P {X = x i }= ∑j j i p , i =1, 2 ,??? , p ? j = P { Y = y j }= ∑i j i p , j =1, 2 ,??? , 条件分布律 P {X = x i |Y = y j } = j j i p p ?, P { Y = y j | X = x i } = ? i j i p p . 二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度 f （x , y ）为联合概率密度 ? 1? f （x , y ）≥0, 2? 1=?? ∞+∞-∞ +∞ - ),(dxdy y x f . 设（ X , Y ）~ f （x , y ）则 分布函数: ??∞-∞ -=x y dxdy y x f y x F ),(),(; 边缘概率密度: ? ∞ +∞ -= ),()(dy y x f x f X , ? ∞ +∞ -= ),()(dx y x f x f Y .
“随机变量及其分布”简介
“随机变量及其分布”简介 北京师范大学数学科学院李勇 随机变量是研究随机现象的重要工具之一，他建立了连接随机现象和实数空间的一座桥梁，使得我们可以借助于有关实数的数学工具来研究随机现象的本质，从而可以建立起应用到不同领域的概率模型，如二项分布模型、超几何分布模型、正态分布模型等。 在本章中将通过具体实例，帮助学生理解取有限值的离散型随机变量及其分布列、均值、方差的概念，理解超几何分布和二项分布的模型并能解决简单的实际问题，使学生认识分布列对于刻画随机现象的重要性，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。 一、内容与要求 1. 随机变量及其分布的概念。 通过具体实例使学生理解随机变量及其分布列的概念，认识随机变量及其分布对于刻画随机现象的重要性。要求学生会用随机变量表达简单的随机事件，并会用分布列来计算这类事件的概率。 2.超几何分布模型及其应用。 通过实例，理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。 3. 二项分布模型及其应用。 通过具体实例使学生了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验和二项分布模型，并能解决一些简单的实际问题。 4.离散随机变量的均值与方差。 通过实例使学生理解离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。 5.正态分布模型。 借助直观使学生认识正态分布曲线的特点及含义。 二、内容安排及说明 1.全章共安排了4个小节，教学约需12课时，具体内容和课时分配如下（仅供参考）： 2．1 离散型随机变量及其分布列约3课时 2．2 二项分布及其应用约4课时
2．3 离散型随机变量的均值与方差约3课时 2．4 正态分布约1课时 小结约1课时 2. 本章知识框图 3.对内容安排的说明。 研究一个随机现象，可以借助于随机变量，而分布描述了随机变量取值的概率分布规律。二项分布和超几何分布是两个应用广泛的概率模型．为了使学生能够更好地理解它们，并能用来解决一些实际问题，教科书在内容安排上作了如下考虑： (1) 为学生把注意力集中在随机变量的基本概念和方法的理解上，通过取有限个不同 值的随机变量为载体介绍这些概念，以便他们能更好的应用这些概念解决实际问 题。例如，如何定义随机变量来描述所感兴趣的随机事件；一个具体的随机变量都 能表达什么样的事件，如何表达这些事件；如何用分布列来表达随机事件发生的概 率等。 (2) 介绍超几何分布模型及其应用，其目的是 i. 让学生了解它的广泛应用背景，并使学生能够应用该分布设计一些能够丰富学生课外
随机变量及其分布知识点总结
圆梦教育中心 随机变量及其分布知识点整理 一、离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x x ??????，X 取每一个值(1,2,,)i x i n =???的概率 ()i i P X x p ==，则称以下表格 为随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列. 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： （1）0,1,2,,i P i n =???≥ （2）121n p p p ++???+= 1．两点分布 则称X 服从两点分布，并称=P(X=1)p 为成功概率. 2．超几何分布 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{}X k =发生的概率为： (),0,1,2,3,...,k n k M N M n N C C P X k k m C --=== {}*min ,,,,,,m M n n N M N n M N N =≤≤∈其中且。 注：超几何分布的模型是不放回抽样 二、条件概率 一般地，设A,B 为两个事件,且()0P A >,称() (|)() P AB P B A P A = 为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 0(|)1P B A ≤≤ 如果B 和C 互斥，那么[()|](|)(|)P B C A P B A P C A =+U 三、相互独立事件 设A ，B 两个事件，如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即()()()P AB P A P B =),则称事件A 与事件B 相互独立。()()()A B P AB P A P B ?=即、相互独立 一般地，如果事件A 1,A 2,…,A n 两两相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A =.
2020考研数学备考：详细攻略
2020考研数学备考：详细攻略 2014全国硕士研究生入学统一考试数学于1月5日落下了帷幕，对于参加2014考试的学生现在可以稍微松口气了，但是即将参加2015的考生需要加把劲了。考研是一项艰巨的过程，初试考试科目 包括数学、英语、政治以及专业课，数学试卷是150分的分值，在 考研总成绩中占有较大的比例。虽然数学经常被许多考生比喻成考 研途中的“拦路虎”，甚至有很多考生都对数学犯愁，就怕数学挂了。即使前期数学基础不太好，但是后期如果学习方法对头，数学 提升成绩也会很快的，最后取得一个高分会和其他学生拉开一个很 大的差距，对提高整体的考研成绩起到一个关键性的作用。 下面文都教育老师主要谈谈高数的复习方法，给同学们几点建议，以供参考。 第一，重视基础; 考研数学23道题目，70%的题目都是基础题，包括基本概念、基本理论和基本方法。基本概念有极限、连续、间断点、可导、可微、渐近线、拐点、可积等等;基本理论有单调有界准则、夹逼准则、闭 区间连续函数的性质、微分和积分中值定理等等;基本方法有极限的 四则运算法则、罗必达法则求不定式极限、幂级数的求和、函数的 幂级数形式展开、常见微分方程的解法等等。从近十年考研数学真 题来看，几乎没有出现过偏题、怪题，基本上都是以常规题目考查 为主的。 第二，重视计算; 考研数学中80%的题目都是计算题，这就要求你的计算能力一定 要过关，否则即使这道题目你有完整的思路，但是计算过程出现失误，也会导致你最后的结果是错误的，数学拿不到高分。有些同学 学习数学时容易出现眼高手低的坏毛病，一看题目，觉得题目不难，自己不用笔进行计算解答，直接看答案，这样的复习是不会有进步的。再次强调复习时一定要多动手，多思考。
概率与数理统计第3章多维随机变量及其分布习题及答案
第三章 多维随机变量及其分布 一、填空题 1、随机点),(Y X 落在矩形域],[2121y y y x x x ≤<≤<的概率为 ),(),(),(),(21111222y x F y x F y x F y x F -+-. 2、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=-∞),(y F 0 . 3、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=+),0(y x F ),(y x F 4、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=+∞),(x F )(x F X 5、设随机变量),(Y X 的概率密度为 ? ? ?<<<<--=其它 04 2,20) 6(),(y x y x k y x f ，则=k 8 1 . 6、随机变量),(Y X 的分布如下，写出其边缘分布. 7、设),(y x f 是Y X ,的联合分布密度，)(x f X 是X 的边缘分布密度，则 =? ∞+∞ -)(x f X 1 . 8、二维正态随机变量),(Y X ，X 和Y 相互独立的充要条件是参数=ρ 0 . X Y 0 1 2 3 j P ? 1 0 8 3 8 3 0 86 3 81 0 8 1 8 2 ?i P 81 83 83 8 1
9、如果随机变量),(Y X 的联合概率分布为 Y X 1 2 3 1 61 91 181 2 3 1 α β 则βα,应满足的条件是 186= +βα ；若X 与Y 相互独立，则=α 184 ，=β 18 2 . 10、设Y X ,相互独立，)1.0(~),1,0(~N Y N X ，则),(Y X 的联合概率密度 =),(y x f 2 2221 y x e +- π ，Y X Z +=的概率密度=)(Z f Z 4 22 21x e - π . 12、 设 ( ξ 、 η ) 的 联 合 分 布 函 数 为 ()()()() ?? ??? ≥≥+-+-+++= y x y x y x A y x F 00,0111111,2 22则 A =__1___。 二、证明和计算题 1、袋中有三个球，分别标着数字1,2,2，从袋中任取一球，不放回，再取一球，设第一次取的球 上标的数字为X ，第二次取的球上标的数字Y ，求),(Y X 的联合分布律. 解：031 }1,1{?= ==Y X P 31 131}2,1{=?===Y X P 31 2132}1,2{=?===Y X P 3 1 2132}2,2{=?===Y X P 2、三封信随机地投入编号为1,2,3的三个信箱中，设X 为投入1号信箱的信数，Y 为投入2 号信箱的信数，求),(Y X 的联合分布律. 解：X 的可能取值为0,1,2,3 Y 的可能取值为0,1,2,3 33 1 }0,0{===Y X P 333}1,0{===Y X P 33233 3 3}2,0{====C Y X P X Y 1 2 1 0 31 2 3 1 3 1
考研数学考试复习攻略
考研数学考试复习攻略 数学考试内容分为三大块：高等数学、线性代数、概率论与数理统计，并且它们所占分值约为2：1：1的关系。 一、复习重点 高等数学主要内容：微积分、空间几何、无穷级数、微分方程。但后三者在考题中也就是一个小题或一个大题，或根本不单独出现，而是与其他内容揉杂在一起。所以基础是微积分。 线性代数主要内容：行列式、矩阵、向量及线性方程组、二次型。线性代数算是三大块内容中最简单的一块，只要把矩阵与向量搞清楚，其他都不是问题。 概率论与数理统计主要内容：随机事件及其概率、随机变量分布函数及其数字特征、大数定律和中心极限定律、数理统计。概率部分的真题基本上每年都是一两个小题外加一个大题，都不是太难的题目。 二、复习方法 对于考研数学，单单强调技巧是不可取的，而只重视基础又无法取得高分。只有在熟悉基础知识的情况下，灵活运用技巧，才能达到理想中的目标。基础存在于教材之中。考研复习时教材至少要阅读三遍，这里的"阅读"指的是带着思考的头脑去看书，这样才会有"不同的时间踏入同一条河流"时的不同感受，对基础知识才会有深入的理解。 技巧是建立在基础之上的，而教材之中很少涉及，它们存在于考研辅导书中。说实话，如果没有参考书的.帮助，很多同学会很难想到下面的解题步骤：第一个等号成立是因为周期函数在任一个周期上的定积分相等，第二个等号成立是因为奇函数在关于原点对称的区间上的定积分等于零。 全国硕士研究生入学统一考试数学科考试是选拔性的水平考试，既测量考生是否具有专业所必需的数学知识和能力，又具有明显的优劣选择功能。所以，只有既掌握复习技巧又掌握复习重点，才能立于不败之地。
考研数学全年复习规划(最新)
考研数学全年复习规划(最新) 2018年考研数学全年复习规划(最新) 一、学习阶段划分： 基础阶段复习(3月～6月) 强化阶段熟悉题型(7月～10月) 提高阶段查缺补漏(11月～12月15日) 冲刺阶段保持状态(12月16日～考试前) 二、参考书目： 必备参考资料： 数学考试大纲 《高等数学》同济版：讲解比较细致，例题难度适中，涉及内容广泛，是现在高校中采用比较广泛的教材，配套的辅导教材也很多。 《线性代数》同济版：轻薄短小，简明易懂，适合基础不好的学生。《线性代数》清华版：适合基础比较的学生 《概率论与数理统计初步》浙大版：基本的题型课后习题都有覆盖。 历年真题 三、复习规划 1、基础阶段，复习(3月～6月) 学习目标：根据去年考研数学大纲要求结合教材对应章节系统复习，打好基础，特别是对大纲中要求的三基——基本概念、基本理
论、基本方法要系统理解和掌握。完成从大学学习到考研备战的基 础准备。 复习建议：这一阶段主要的焦点要集中精力把教材好好地梳理，要至始至终不留死角和空白，按大纲要求结合教材对应章节复习， 另外按章节顺序完成教材及相应的配套练习题，通过练习检验你是 否真正地把教材的内容掌握了。由于教材的编写是环环相扣，易难 递进的，所以建议每天学习新内容前要复习前面的内容，按照规律 来复习，经过必要的重复会起到事半功倍的效果。也就是重视基础，长期积累;基础阶段重视纵向学习，夯实知识点。 2、强化阶段熟悉题型(7月～10月) 本阶段是考研复习的重点，对成败起决定性作用。大体可以分两轮学习。 第一轮暑期强化：7～8月 学习目标：熟悉考研题型，加强知识点的前后联系，分清重难点，让复习周期尽量缩短，把握整体的知识体系，熟练掌握定理公式和 解题技巧 复习建议：参加考研教育网强化班学习，根据老师辅导讲义认真研读，做到举一反三。这一时期大课老师所教学的例题都是经过严 格筛选、归纳，可以说会更准确、更有针对性。在学习过程中对重点、难点一定做笔记，便于下一轮复习。 第二轮秋季强化：9～10月 学习目标：通过真题讲解和训练，进一步提高解题能力和技巧，达到实际考试的要求 复习建议：根据老师课堂所讲真题课后进行专项复习，对考试重点题型和自己薄弱的内容进行攻坚复习，达到掌握，不留空白和软肋，让训练达到或稍微超过真题难度。 3、提高阶段查缺补漏(11月～12月15日)
第三章__多维随机变量及其分布总结
第三章 多维随机变量及其分布 第一节 二维随机变量 一、二维随机变量的分布函数 设E 是一个随机试验, 它的样本空间是S . 设X 、Y 是定义在S 上的随机变量, 则由它们构成的一个向量(X , Y )称为二维随机向量或二维随机变量. 一般地, (X , Y )的性质不仅与X 有关, 与Y 有关, 而且还依赖于X 、Y 的相互关系, 因此必须把(X , Y )作为一个整体来研究. 首先引入(X , Y )的分布函数的概念. 定义 设(X , Y )为二维随机变量, 对于任意实数x 、y , 二元函数 F (x , y ) = P {(X ≤ x )∩(Y ≤ y )}= P {X ≤ x , Y ≤ y } 称为二维随机变量(X , Y )的分布函数, 或称为随机变量X 和y 的联合分布函数. 分布函数F (x , y )表示事件(X ≤ x )与事件(Y ≤ y )同时发生的概率. 如果把(X , Y )看成平面上具有随机坐标(X , Y )的点, 则分布函数F (x , y )在(x , y )处的函数值就是随机点(X , Y )落在平面上的以(x , y )为顶点而位于该点左下方的无限矩形内的概率.. 由上面的几何解释, 容易得到随机点(X , Y )落在矩形区域{x 1 < X ≤ x 2, y 1 < Y ≤ y 2}的概率为 P {x 1 < X ≤ x 2, y 1 < Y ≤ y 2} = F (x 2, y 2) - F (x 2, y 1) - F (x 1, y 2) + F (x 1, y 1) (1) 与二元函数类似, 二元分布函数F (x , y )也具有如下一些性质: 1? F (x , y )是变量x 和y 的单调不减函数, 即当x 1 < x 2时, F (x 1, y ) ≤ F (x 2, y ); 当y 1 < y 2时, F (x , y 1) ≤ F (x , y 2). 2? 0 ≤ F (x , y ) ≤ 1, 且F (-∞, y ) = 0, F (x , -∞) = 0, F (-∞,-∞) = 0, F (+∞,+∞) = 1.（凡含-∞的概率分布为0） 3? F (x , y )关于x 和y 都是右连续的, 即F (x + 0, y ) = F (x , y ), F (x , y + 0) = F (x , y ). 4? 对任意的(x 1, y 1)、(x 2, y 2), x 1 < x 2, y 1 < y 2, 有F (x 2, y 2) - F (x 2, y 1) - F (x 1, y 2) + F (x 1, y 1) ≥ 0. 注: 二元分布函数具有性质1?~ 4?, 其逆也成立(2?中0 ≤ F (x , y ) ≤ 1可去), 即若二元实值函数F (x , y )(x ∈ R , y ∈ R )满足1?~ 4?, 则F (x , y )必是某二维随机变量的(X , Y )的分布函数. 其中4?是必不可少的, 即它不能由1?~ 3?推出(除去0 ≤ F (x , y ) ≤ 1). 二、二维离散型随机变量 如果二维随机变量(X , Y )的所有可能取的值是有限对或可列无限多对, 则称(X , Y )是二维离散型随机变量. 设二维离散型随机变量(X , Y )所有可能取的值为(x i , y j ) (i , j = 1, 2, 3, …). 记P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …)则由概率定义有 p ij ≥ 0; 111 =∑∑∞=∞ =i j ij p . 我们称P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …)为二维离散型随机变量(X , Y )的分布律(概率分布)或随机变量X 和Y 的联合分布律, (X , Y )的分布律也可用表格表示. 其分布函数为 = ),(y x F ∑∑≤≤==x x y y j i i j y Y x X P },{= ∑∑≤≤x x y y ij i j p 这里 ∑∑ ≤≤x x y y i j 表示对一切x i ≤ x , y j ≤ y 的那些指标i 、j 求和. 例1 一个口袋中有三个球, 依次标有1、2、2, 从中任取一个, 不放回袋中, 再任取一个. 设每次取球时, 各球被取到的可能性相等, 以X 、Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字, 求X 、Y 的联合分布律与分布函数.. 解: (X , Y )的可能取值为(1, 2)、(2, 1)、(2, 2). P {X = 1, Y = 2}= P {X = 1}P {Y = 2 / X = 1}= 3 12231=?.
随机变量及其分布知识点整理
随机变量及其分布知识点整理 一、离散型随机变量的分布列 一般地,设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x x ??????,Ｘ取每一个值(1,2,,)i x i n =???的概率()i i P X x p ==,则称以下表格 为随机变量X 的概率分布列,简称X 的分布列、 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质: (1)0,1,2,,i P i n =???≥ (2)121n p p p ++???+= 1、两点分布 则称Ｘ服从两点分布,并称=P(X=1)p 为成功概率、 2、超几何分布 一般地,在含有Ｍ件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则事件{}X k =发生的概率为: (),0,1,2,3,...,k n k M N M n N C C P X k k m C --=== {}*min ,,,,,,m M n n N M N n M N N =≤≤∈其中且。 注:超几何分布的模型就是不放回抽样 二、条件概率 一般地,设Ａ,Ｂ为两个事件,且()0P A >,称()(|)() P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率、 0(|)1P B A ≤≤ 如果B 与C 互斥,那么[()|](|)(|)P B C A P B A P C A =+ 三、相互独立事件 设A,Ｂ两个事件,如果事件A 就是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即()()()P AB P A P B =),则称事
件A 与事件B 相互独立。()()()A B P AB P A P B ?=即、相互独立 一般地,如果事件Ａ1,A ２,…,A n 两两相互独立,那么这n 个事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A =. 注:(1)互斥事件:指同一次试验中的两个事件不可能同时发生; (２)相互独立事件:指在不同试验下的两个事件互不影响、 四、n 次独立重复试验 一般地,在相同条件下,重复做的n 次试验称为ｎ次独立重复试验、 在n 次独立重复试验中,记i A 就是“第i 次试验的结果”,显然,1212()()()()n n P A A A P A P A P A ???=??? “相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其她试验的影响 注: 独立重复试验模型满足以下三方面特征 第一:每次试验就是在同样条件下进行; 第二:各次试验中的事件就是相互独立的; 第三:每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生、 n 次独立重复试验的公式: n A X A p n A k 一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为 ()(1),0,1,2,...,.(1)k k n k k k n k n n P X k C p p C p q k n q p --==-===-其中,而称p 为成功概率、 五、二项分布 一般地,在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率为p ,则 ()(1)0,1,2,,k k n k n P X k C p p k n -==-=???， 此时称随机变量Ｘ服从二项分布,记作~(,)X B n p ,并称ｐ为成功概率、 六、离散随机变量的均值(数学期望) 则称1122()i i n n E X x p x p x p x p =+++++ 为X 的数学期望或均值,简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 则()EY aE X b =+,即()()E aX b aE X b +=+ 2.一般地,如果随机变量X 服从两点分布,那么
经验分享考研数学暑期复习攻略
---真理惟一可靠的标准就是永远自相符合 对在校大学生来说，期末考试结束，暑假来临，即将有大量的时间可以用来进行考研复习，考研数学复习下一阶段如何开展才能达到效果 教材复习后阶段 此前对教材基础知识的学习如果已经顺利完成，那么暑期就可以按计划开始综合复习了，或者以复习大全为蓝本，辅以强化课程，或者以
辅导讲义为主，加上题集，从框架的建立到重要知识点的把握，再到题型及方法的掌握，一步步加强，一点点提升!如果遇到对基本知识或性质理解感到不知所云，那么建议你拿出教材再看看这些东西的来龙去脉。 还有一些同学，或许是因为着手较晚，或许是因为基础薄弱，到现在教材基础知识还没有复习完。对这些同学来说，先要将剩余的教材内容进行归纳，给自己未来一个月时间做个计划，看如何才能按时完成教材内容的学习。比如，先抓住重点内容是哪些，对这些内容稍微多投入一些经历，弄懂弄透;而对于考纲要求但不是重点考查的内容，可以少安排一点时间。在完成教材的第一遍学习之后，即可开始强化训练。在强化中，依然是遇到理解有障碍或稍嫌模糊的概念、性质、定理等，随时翻阅基础教材，可达到二遍熟悉教材的目的!在第二次翻看教材的时候，你会发现在理解上比第一次更深入，想的问题层次更高了! 强化阶段听课与笔记
---真理惟一可靠的标准就是永远自相符合 现在已经很少有考生不参加辅导班、不买参考资料进行复习而能得到高分的。 暑期是参加强化辅导班的黄金期，集中培训有很积极的学习气氛。但同时辅导班课程节奏快，每一节课有大量的信息需要消化吸收，这不仅是对同学们体力意志的考验，也是同学们之间听课方法的较量。注意力集中是首要的，在课上跟着老师的思路，将知识的联系与要点方法的总结纳入自己的系统中。记录笔记是第二重要的，虽然课程都配
考研攻略及考研数学复习方案
2011年考研全攻略——考研总体计划篇 ◆◆◆◆复习阶段◆◆◆◆ 政治 要选权威的出版社公认的好资料,高教,人大出版的,考试中心出的说明,试题分析,应试参考书(今两年的新出的,无论是)那是必备的。时间允许的情况下，最好将教育部推荐的教材看几遍，对于系统深刻理解相关理论原理非常有用，尤其是马哲，经济理论，毛思想，好多得分率低的选择题出自课本（考虑是考试中心在某种意义上狙击社会上的一些资料）另外，还要多做题来巩固背的结果。后期，要重视辅导班和各种信息.政治,因其学科特点必定要每年有变化,高度重视每年考试说明的修钉变化,历史的经验表明新修订的考点出题率高,分值大.另外,要多听广播,多看电视,浏览互连网等等注意时事动态,我当初每天早晨跑步听中央台的< <新闻纵横> >等节目,既了解了时事,又是对专业理论的一种实际观察/ 英语 外语,要打持久战,早准备,并且一直不松懈。分类复习各个击破.听力,阅读,翻译,写作/几个板块,词汇,语法,句型都要重视.历年试题要仔细研究,大部分的所谓模拟题其水准与考题相去甚远,所以要研究历年题尤其阅读－－放在开头,或9月后。另要大量快速做题.其资料的选择也很关键,考试中心出的说明,试题分析,应试参考书(今两年的新出的,无论是)是必备的，真题里解析比较好的还有王林主编的考研英语真题《考研真相》，突出在词汇和长难句上。我自己经验听力要听写,用新东方或人大白洁的,阅读王若平考试虫,老石的220，写作要看背一些范文如王建华写作160篇,但不可原版照抄,今年有阅卷老师透漏一个句子的出现率奇高(出自一本普及率高的作文书)最后,他们对此很不感冒/所以,不要唯作文书是从,要看看英文报纸<
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- 第三章__多维随机变量及其分布总结
- 第三章-多维随机变量及其分布测试题答案
- 多维随机变量及其分布习题及答案
- 多维随机变量及其分布课件
- 第三讲多维随机变量及其分布
- 第3章多维随机变量及其分布习题及答案范文
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- 第三章 多维随机变量及其分布
- 第三章多维随机变量及其分布
- 概率论多维随机变量及其分布函数
- 第3章多维随机变量及其分布习题及答案
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