复习知识点:
第1章
1. 命题、真命题、假命题 2. 命题符号化(连接词)
设P :天下大雨,Q :他在室内运动,命题“除非天下大雨,否则他不在室内运动”可符合化为( D )
A .Q P ∧?
B .Q P →?
C .Q P ?→?
D .Q P ?→
设P :只有你通过了大学英语六级考试,Q :你是英语专业的学生,R :你可以选修这门课程。命题“只有你通过了大学英语六级考试而且不是英语专业的学生,才可以选修这门课程”( B )
A .R Q)(P →∧
B .R Q)(P →?∧
C .R Q)(P ??∧
D .R Q)(P ?∧
3. 什么是命题公式 4. 命题公式的等价式
5. 利用逻辑等价关系证明下面的等价关系 Q P Q)(P P))(Q Q)((P ∨?∧→→∧→
证明:
6. 用真值表法求命题公式的主析取范式和主合取范式 7. 符号化以下语句,并推证结论的有效性。
有些学生相信所有的老师,任何一个学生都不相信骗子,所以老师都不是骗子。
解:设论述域为全总个体域,S(x):x 是学生,T(x):x 是老师,P(x):x 是骗子,L(x,y):x 相信y 。将前提和结论符号化为
P(x))x(T(x)y)))L(x,y(P(y)x(S (x)y))),L(x,y(T(y)x(S (x)?→???→?→?→?∧?
(1)y)))L(x,y(T(y)x(S (x)→?∧? P
Q)
(P T
Q)(P Q)Q (Q)(P Q Q)(P T)(Q Q)(P P))P ((Q Q)(P Q)(P P)(Q Q)(P Q)(P P)Q (Q)P (Q)(P P))Q (Q)P ((Q)(P P)Q (Q)P (Q)(P P))(Q Q)((P ∨?∧∨?∨?∧∨?∨?∧?∧∨?∧?∨?∧∨?∧?∧∨?∧∨?∧?∧∨∨??∨∨???∧∨∨?∧∨???∧→∨?∧∨??∧→→∧→
(2)y))L(a,y(T(y)S (a)→?∧ T1,ES (3)S(a)
T2,I (4)y))L(a,y(T(y)→? T2,I (5)b)L(a,T(b)→
T4,US (6)y)))L(x,y(P(y)x(S (x)?→?→? P (7)y))L(a,y(P(y)S (a)?→?→ T6,US (8)y))L(a,y(P(y)?→? T3,7,I (9)b)L(a,P(b)?→ T8,US (10)P(b)b)L(a,?→ T9,E (11)P(b)T(b)?→
T5,10,I (12)P(x))x(T(x)?→?
T11,UG
侦查员在调查了某珠宝店的珠宝失窃案现场以及询问了认证之后,得到以下事实: (1) 是营业员甲或营业员乙作案。 (2) 如果是甲作案,则案发在非营业时间。 (3) 如果乙提供的证词可信,则案发时货柜未上锁。 (4) 如果乙提供的证词不可信,则案发在营业时间。 (5) 货柜在案发时上锁了。
侦查员推断是营业员乙作案,请用命题逻辑判断该推断是否正确。
解:设P :甲作案;Q :乙作案;R :发在营业时间;S 乙的证词可信; T :案发时货柜未上锁。 由题意可知,前提为:Q P ∨,R P ?→,T S →,R S →?,T ? 推理过程: (1)T ?
P (2)T S → P (3)S ?
T1,2,I (4)R S →? P (5)R
T3,4,I (6)R P ?→ P
(7)P ?
T5,6,I
(8)Q P ∨ P (9)Q P →? T8,E (10)Q
T7,9,I
所以Q P ∨,R P ?→,T S →,R S →?,T ?Q ?
第2章
8. 谓词的定义、量词包括: 9. 什么是谓词公式 10. 谓词公式的自由变元、约束变元、辖域 11. 自然语句的符号化:比如:所有的狼都吃人,设T(x)表示为x 是狼,C(x)表示为x 吃人。C(x))x(T(x)→? 12. 判断什么是前束范式,y)H(x,y)yG (x,→???x 是前束范式,Q(x))y)y(P(x,→??x 是前束范式 13.
证明xB(x)xA(x)B(x))x(A(x)?→??→?
证明:
第3章
1.集合的元素、集合的基数、集合的子集、集合的运算
空集的问题(空集的基数、空集与集合的子集、真子集的关系) 幂集的问题(集合幂集的求法,幂集的基数) 下面那个命题是不正确的是( A ) A .?∈?
B .?∈{?}
C .???
D .??{?}
下面那个命题是不正确的是( A ) A .{?}??
B .{?}?{?}
C .??{{?}}
D .?∈{?}
下列命题中不正确的是( ) A.x ∈{x}-{{x}}
B.{x}?{x}-{{x}}
C.A={x}∪x,则x ∈A 且x ?A
D.A-B=??A=B
设P={x|(x+1)2≤4},Q={x|x 2+16≥5x},则下列选项正确的是( ) A.P ?Q B.P ?Q C.Q ?P
D.Q=P )
()()
()()()())()((B(x))x(A(x)x xB x xA x xB x xA x xB x A x x B x A x ?→???∨????∨???∨???→?
设A={a,{a}},下列命题错误的是(B )
A.{a}∈ρ(A) B.{a}?ρ(A) C.{{a}}∈ρ(A) D.{{a}}?ρ(A) 在0(D )?之间写上正确的符号。
A.= B.?C.∈D.?
判断下列命题哪个为真?(C)
A.空集只是非空集合的子集B.空集是任何集合的真子集
C.A-B=B-A?A=B D.若A的一个元素属于B,则A=B
判断下列命题哪几个正确?(B )
A.若A∪B=A∪C,则B=C B.{a, b}={b, a}
C.ρ(A∩B)≠ρ(A)∩ρ(B),(ρ(S)表示S的幂集)
D.若A为非空集,则A≠A∪A成立
设A={a, b},B={c}。求下列集合:
(1)A?{0, 1}?B;(2)B2?;(3)(A?B)2;(4)ρ (A)?A。
解:
(2)B2?A={
(4)ρ (A)?A={<Ф, a>, <Ф, b>, <{a}, a>, <{a}, b>, <{b}, a>, <{b}, b>, , }。关系
1. 设A={a,b,c},则A上的二元关系有23*3或512 个。
2. 集合A={1, 2, …, 10}上的关系R={
设A={Ф, {1}, {1, 3}, {1, 2, 3}},则A上包含关系“?”的哈斯图为(C)
A.
{1,2,3}
{1,3}
{1}
?B.
{1,2,3}
{1,3}
{1}
?
C.{1,2,3}
{1,3}
{1}
?D.
{1,2,3}
{1,3}
{1}
?
集合A上的等价关系的三个性质是自反性、对称性和传递性。
集合A上的偏序关系的三个性质是自反性、反对称性和传递性。
A上的偏序关系≤的Hasse图如下。
(1)下列哪些关系式成立:a≤b,b≤a,c≤e,e≤f,d≤f,c≤f;
(2)分别求出下列集合关于≤的极大(小)元、最大(小)元、上(下)界及上(下)确界(若存在的话):
(a)A;(b){b, d};(c){b, e};(d){b, d, e}。
a
b
c d
e
f
解:
(1)b≤a,c≤e,d≤f,c≤f成立;
(2)(a)的极大元为a, e, f,极小元为c;无最大元,c是最小元;
无上界,下界是c;无上确界,下确界是c。
(b)的极大元为b, d,极小元为b, d;无最大元和最小元;
上界是e,下界是c;上确界是e,下确界是c。
(c)的极大元为e,极小元为b;最大元是e,b是最小元;
上界是e,下界是b;上确界是e,下确界是b。
(d)的极大元为e,极小元为b,d;最大元是e,无最小元;
上界是e,下界是c;上确界是e,下确界是c。
设A={2,3,4},B={2,4,7,10,12}从A到B的关系
}
,
,
,
{b
a
B
b
A
a
b
a
R整除
且
∈
∈
>
<
=,试给出R的关系图和关系矩阵,并说明此关系R及其逆关系1
R-是否为函数?为什么?
解:}12,4,4,4,12,3,12,2,10,2,4,2,2,2{><><><><><><><=R ,则R 的关系图为:
R 的关系矩阵为
110110*********R M ????=??????
关系R 不是A 到B 的函数, 因为元素2,4的象不唯一 逆关系1R -也不是B 到A 的函数 因为元素7的象不存在. 下列函数是双射的为(A )。 A .f : Z →E , f (x) = 2x
B .f : N →N ?N, f (n) = C .f : R →Z , f (x) = [x] D .f : Z →N, f (x) = | x | (注:Z —整数集,E —偶数集, N —自然数集,R —实数集) 设Z N E 、、分别为整数集,自然数集,偶数集,则下列函数是双射的为( A ) A .f : Z E → , ()2f x x = B .f : Z E → , ()8f x x = C .f : Z Z →, ()8f x = D .f : N N N →?, (),1f n n n =<+> 设{,,},{1,2,3}A a b c B ==,则下列关系中能构成A 到B 函数的是( C ) A .1{,1,,2,,3}f a a a =<><><> B .2{,1,,1,,2}f a b b =<><><> C .4{,1,,1,,1}f a b c =<><><> D .1{,1,,2,,2,,3}f a a b c =<><><><> 设函数:f B C →,:g A B →都是单射,则:f g A C →( A ) A .是单射 B .是满射 C .是双射 D .既非单射又非满射 设函数:f B C →,:g A B →都是满射,则:f g A C →( B ) A .是单射 B .是满射 C .是双射 D .既非单射又非满射 设,f g 是自然数集N 上的函数,x x g x x f N x 2)(,1)(,=+=∈?, 则()f g x =21x +,()g f x =2(1)x +. 关系F={ ??? ???? ? ????????0101010010000011100100110 则G 的边数为( B ). A .6 B .5 C .4 D .3 已知图G 的邻接矩阵为 , 则G 有( D ). A .5点,8边 B .6点,7边 C .6点,8边 D .5点,7边 设有向图(a )、(b )、(c )与(d )如图四所示,则下列结论成立的是 ( D ). 图四 A .(a )是强连通的 B .(b )是强连通的 C .(c )是强连通的 D .(d )是强连通的 在自然数集N 上,运算 C 是不可结合的。 A .a*b=a+b+3 B .a*b=min{a,b} C .a*b=a+2b D .a*b=a·b(mod 3) Q 是有理集, B .独异点 C .半群 D .交换半群 设>*<,G 是个含幺半群,则对任意的A a ∈有e a a =*,其中e 是幺元.试证明>*<,G 是个阿贝尔群. 证明: 首先来证明>*<,G 是个群(只需证明每个元素均可逆),由条件知,对任意的 元素G a ∈,有e a a a a =*=*,所以a a =-1. 其次,来证明运算*可交换.对任意的G b a ∈,,所以 a b a b b a b a *=*=*=*---111)(. 因此,>*<,G 是个阿贝尔群. 有理数集Q 中的*定义如下:ab b a b a -+=* (1)>*<,Q 是半群吗?是可交换的吗? (2)求单位元. (3)Q 中是否有可逆元?若有,指出哪些是可逆元,并指出其逆元是什么? 解:(1)Q c b a ∈?,,, 因)(*)*(*bc c b a c b a -+= )()(bc c b a bc c b a -+--++= abc ca bc ab c b a +---++= c ab b a c b a *)()*(*-+= c ab b a c ab b a )()(-+-+-+= abc ca bc ab c b a +---++= c b a c b a **=**)()(,>*<,Q 是半群.因Q b a a b b a ∈?*=*,,,故*是可交换的. (2)设e 为其单位元,则应有: a a e e a Q a =*=*∈?,,即a ae e a =-+,由a 的任意性,有0=e .所以单位元为0. (3)设a 是可逆的,其逆元为b ,则应有:0=-+=*ab b a b a ,所以当1≠a 时,有逆元,其逆元为:1 1-= -a a a ,当1=a 时,没有逆元. 设>*<,G 是群,则G b a ∈?,,则(a*b)-1 =b -1 *a -1 。 证明:由于>*<,G 是群,则G b a ∈?,,设a 的逆元为a -1 ,b 的逆元为b -1 ,则 (a*b)*( b -1 *a -1 )=a*(b*b -1 )*a -1 =(a*e)*a -1 =a*a-1 =e 所以,(a*b)-1=b-1*a-1。 离散数学必备知识点总 结 Document number:NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项(m)之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写; 6.真值表中值为1的项为极小项,值为0的项为极大项; 7.n个变元共有n2个极小项或极大项,这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法(=>):真值表法;分析法(假定前键为真推出后键为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P规则,T规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 第三章谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n个个体,多元谓词描述个体之间的关系; 2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时,先消存在量词,再消全称量词; 第四章集合 1.N,表示自然数集,1,2,3……,不包括0; 2.基:集合A中不同元素的个数,|A|; 3.幂集:给定集合A,以集合A的所有子集为元素组成的集合,P(A); 4.若集合A有n个元素,幂集P(A)有n2个元素,|P(A)|=||2A=n2; 5.集合的分划:(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合; ②这几个子集相交为空,相并为全(A); 6.集合的分划与覆盖的比较: 分划:每个元素均应出现且仅出现一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出现,没有要求只出现一次; 第五章关系 1.若集合A有m个元素,集合B有n个元素,则笛卡尔A×B的基 2种不同的关系; 数为mn,A到B上可以定义mn 2.若集合A有n个元素,则|A×A|=2n,A上有22n个不同的关系; 总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项(m)之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项 时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写; 6.真值表中值为1的项为极小项,值为0的项为极大项; 7.n个变元共有n2个极小项或极大项,这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法(=>):真值表法;分析法(假定前键为真推出后键为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P规则,T规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 第三章谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n个个体,多元谓词描述个体之间的关系; 2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时,先消存在量词,再消全称量词; 第四章集合 1.N,表示自然数集,1,2,3……,不包括0; 2.基:集合A中不同元素的个数,|A|; 3.幂集:给定集合A,以集合A的所有子集为元素组成的集合,P(A); 4.若集合A有n个元素,幂集P(A)有n2个元素,|P(A)|=||2A=n2; 5.集合的分划:(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合; ②这几个子集相交为空,相并为全(A); 6.集合的分划与覆盖的比较: 分划:每个元素均应出现且仅出现一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出现,没有要求只出现一次; 第五章关系 1.若集合A有m个元素,集合B有n个元素,则笛卡尔A×B的基数为mn,A到B上可以定义m n 2种不同的关系; 2.若集合A有n个元素,则|A×A|=2n,A上有22n个不同的关系; 3.全关系的性质:自反性,对称性,传递性; 空关系的性质:反自反性,反对称性,传递性; 离散数学复习要点第一章命题逻辑 一、典型考查点 1、命题的判断方法:陈述句真值唯一,特殊:反问句也是命题。其它疑问句、祈使句、感叹句、悖论等皆不是。详见教材P1 2、联结词运算定律┐∧∨→记住特殊的:1∧1?1,0∨0?0,1→0?0,11?1,00?1详见P5 3、命题符号化步骤:A划分原子命题,找准联结词。特殊自然语言:不但而且,虽然但是用∧,只有P才Q,应为Q→P;除非P否则Q,应为┐P→Q。B设出原子命题写出符号化公式。详见P5 4、公式的分类判定(重言式、矛盾式、可满足式)方法:其一根据所有真值赋值情况,其二根据等价演算来判断。详见P9 5、真值表的构造步骤:①命题变元按字典序排列,共有2n个真值赋值。②对每个指派,以二进制数从小到大或从大到小顺序列出。③若公式较复杂,可先列出各子公式的真值(若有括号,则应从里层向外层展开),最后列出所求公式的真值。详见P8。 6、基本概念:置换规则,P规则,T规则,详见P24;合取范式,析取范式,详见P15;小项详见P16;大项详见P18,最小联结词组详见P15 7、等价式详见P22表1.6.2 证明方法:①真值表完全相同②用等价演算③利用A?B的充要条件是A?B且B?A。主要等价式:(1)双否定:??A?A。(2)交换律:A∧B?B∧A,A∨B?B∨A,A?B?B?A。3)结合律:(A∧B)∧C?A ∧(B∧C),(A∨B)∨C?A∨(B∨C),(A?B)?C?A?(B?C)。(4) 分配律:A∧(B∨C)?(A∧B)∨(A∧C),A∨(B∧C)?(A∨B)∧(A∨C)。(5) 德·摩根律:?(A∧B)??A∨?B,?(A∨B)??A∧?B。(6) 等幂律:A∧A?A,A∨A?A。(7) 同一律:A∧T?A,A∨F?A。(8) 零律:A∧F?F,A∨T?T。(9) 吸收律:A∧(A∨B)?A,A∨(A∧B)?A。(10) 互补律:A∧?A?F,(矛盾律),A∨?A?T。(排中律)(11) 条件式转化律:A→B??A∨B,A→B??B→?A。(12) 双条件式转化律:A?B?(A→B)∧(B→A)?(A∧B)∨(?A∧?B) 8、蕴含式详见P23表1.6.3 证明方法:①前件真导后件真方法②后件假导前件假方法③真值表中,前件为真的行,后件也为真或者后件为假的行,前件也为假。④用定义,证A?B,即证A→B是永真式。 9、范式求法步骤:①使用命题定律,消去公式中除∧、∨和?以外公式中出现的所有联结词;②使用?(?P)?P和德·摩根律,将公式中出现的联结词?都移到命题变元之前;③利用结合律、分配律等将公式化成析取范式或合取范式。10、主范式的求法重点步骤:(a)把给定公式化成析取(合取)范式;(b)删除析取范式中所有为永假的简单合取(析取)式;(c)用等幂律化简简单合取(析取)式中同一命题变元的重复出现为一次出现,如P∧P?P。(d)用同一律补进简单合取(析取)式中未出现的所有命题变元,如Q,则P?P∧(?Q∨Q)或P?P∨(?Q∧Q),并用分配律展开之,将相同的简单合取式的多次出现化为一次出现,这样得到了给定公式的主析取(合取)范式。 注意:主析取范式与主合取范式之间的联系。例如:(P→Q)∧Q?m1∨m3?M0∧M2,即剩下的编码就是另一个主范式的编码,因此,求主范式,哪一个简单易求,就先求哪个,然后对应出所求结果。详见P16 11、推理证明:重点方法:演算、演绎法(常用的格式)、反证法、CP规则即附加前提等。 重点规则(主要蕴含式):(1) P∧Q?P化简(2) P∧Q?Q化简(3) P?P∨Q附加(4) ?P?P→Q变形附加(5)Q?P→Q变形附加(6) ?(P→Q)?P变形化简(7) ?(P→Q)??Q变形化简(8) P,(P→Q)?Q假言推理(9) ?Q,(P→Q)??P拒取式(10) ?P,(P∨Q)?Q析取三段论(11) (P→Q),(Q→R)?P→R条件三段论(12) (P?Q),(Q?R)?P?R 双条件三段论 文字证明推理三步:一命题符号化,二写出前提和结论,三进行证明。详见P21 二、强化练习 1.命题的是( )A.走,看电影去B.x+y>0C.空集是任意集合的真子集D.你明天能来吗? 2.下列式子为重言式的是( ) A.P→P∨Q B.(┐P∧Q)∧(P∨┐Q) C.┐ (P Q) D.(P∨Q) (P→Q) 3.下列为两个命题变元P,Q的小项是() A.P∧Q∧? P B.? P∨Q C.? P∧Q D.? P∨P∨Q 4.下列语句中是真命题的是() A.我正在说谎B.严禁吸烟C.如果1+2=3,那么雪是黑的D.如果1+2=5,那雪是黑的 5.设P:我们划船,Q:我们跑步。命题“我们不能既划船又跑步”符号化为() A.? P∧? Q B.? P∨? Q C.?(P?Q) D.?(? P∨? Q) 6.命题公式(P∧(P→Q))→Q是()A.矛盾式B.蕴含式C.重言式D.等价式 7.命题公式?(P∧Q)→R的成真指派是() A.000,001,110,B.001,011,101,110,111 C.全体指派D.无 8.设P:他聪明,Q:他用功,命题“他虽聪明但不用功”的符号化正确的是() 离散数学 一、逻辑和证明 1.1命题逻辑 命题:是一个可以判断真假的陈述句。 联接词:∧、∨、→、?、?。记住“p仅当q”意思是“如果p,则q”,即p→。记住“q除非p”意思是“?p→q”。会考察条件语句翻译成汉语。 系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求,即若pq无论取何值都无法让复合语句为真,则该系统规范说明是不一致的。 1.3命题等价式 逻辑等价:在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题,可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。 谓词+量词变成一个更详细的命题,量词要说明论域,否则没有意义,如果有约束条件就直接放在量词后面,如?x>0P(x)。 当论域中的元素可以一一列举,那么?xP(x)就等价于P(x1)∧P(x2)...∧P(xn)。同理,?xP(x)就等价于P(x1)∨P(x2)...∨P(xn)。 两个语句是逻辑等价的,如果不论他们谓词是什么,也不论他们的论域是什么,他们总有相同的真值,如?x(P(x)∧Q(x))和(?xP(x))∧(?xQ(x))。 量词表达式的否定:??xP(x) ??x?P(x),??xP(x) ??x?P(x)。 1.5量词嵌套 我们采用循环的思考方法。量词顺序的不同会影响结果。语句到嵌套量词语句的翻译,注意论域。嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律,将否定词移入所有量词里。 1.6推理规则 一个论证是有效的,如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。但有效论证 二、集合、函数、序列、与矩阵 2.1集合 ∈说的是元素与集合的关系,?说的是集合与集合的关系。常见数集有N={0,1,2,3...},Z整数集,Z+正整数集,Q有理数集,R实数集,R+正实数集,C复数集。 A和B相等当仅当?x(x∈A?x∈B);A是B的子集当仅当?x(x∈A→x∈B);A是B的真子集当仅当?x(x∈A→x∈B)∧?x(x?A∧x∈B)。 幂集:集合元素的所有可能组合,肯定有?何它自身。如?的幂集就是{?},而{?}的幂集是{?,{?}}。 考虑A→B的函数关系,定义域、陪域(实值函数、整数值函数)、值域、像集(定义域的一个子集在值域的元素集合)。 一对一或者单射:B可能有多余的元素,但不重复指向。 映上或者满射:B中没有多余的元素,但可能重复指向。 一一对应或者双射:符合上述两种情况的函数关系。 反函数:如果是一一对应的就有反函数,否则没有。 合成函数:fοg(a)=f(g(a)),一般来说交换律不成立。 2.4序列 无限集分为:一组是和自然数集合有相同基数,另一组是没有相同基数。前者是可数的,后者不可数。想要证明一个无限集是可数的只要证明它与自然数之间有一一对应的关系。 如果A和B是可数的,则A∪B也是可数的。 第二章谓词逻辑 2—1基本概念 例题1. 所有的自然数都是整数。 设N(x):x是自然数。I(x):x是整数。此命题可以写成?x(N(x)→I(x)) 例题2. 有些自然数是偶数。 设E(x):x是偶数。此命题可以写成?x(N(x)∧E(x)) 例题3. 每个人都有一个生母。 设P(x):x是个人。M(x,y):y是x的生母。此命题可以写 成:?x(P(x)→?y(P(y)∧M(x,y))) 2-2 谓词公式及命题符号化 例题1. 如果x是奇数,则2x是偶数。 其中客体x与客体2x之间就有函数关系,可以设客体函数g(x)=2x, 谓词O(x):x是奇数,E(x):x是偶数, 则此命题可以表示为:?x(O(x)→E(g(x))) 例题2 小王的父亲是个医生。 设函数f(x)=x的父亲,谓词D(x):x是个医生,a:小王,此命题可以表示为D(f(a))。 例题3 如果x和y都是奇数,则x+y是偶数。 设h(x,y)=x+y ,此命题可以表示为:?x?y((O(x)∧O(y))→E(h(x,y)) 命题的符号表达式与论域有关系 两个公式:一般地,设论域为{a1,a2,....,an},则有 (1). ?xA(x)?A(a1)∧A(a2)∧......∧A(an) (2). ?xB(x)?B(a1)∨B(a2)∨......∨B(an) 1.每个自然数都是整数。该命题的真值是真的。 表达式?x(N(x)→I(x))在全总个体域的真值是真的, 因?x(N(x)→I(x))?(N(a1)→I(a1))∧(N(a2)→I(a2))∧…∧(N(an)→I(an)) 式中的x不论用自然数客体代入,还是用非自然数客体代入均为真。例如(N(0.1)→I(0.1))也为真。 而?x(N(x)∧I(x))在全总个体域却不是永真式。 数理逻辑部分 第2章一阶逻辑 2.1 一阶逻辑基本概念 个体词(个体): 所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体个体常项:具体的事物,用a, b, c表示 个体变项:抽象的事物,用x, y, z表示 个体域: 个体变项的取值范围 有限个体域,如{a, b, c}, {1, 2} 无限个体域,如N, Z, R, … 全总个体域: 宇宙间一切事物组成 谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项:F(a):a是人 谓词变项:F(x):x具有性质F 一元谓词: 表示事物的性质 多元谓词(n元谓词, n≥2): 表示事物之间的关系 如L(x,y):x与y有关系L,L(x,y):x≥y,… 0元谓词: 不含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项 量词: 表示数量的词 全称量词?: 表示任意的, 所有的, 一切的等 如?x 表示对个体域中所有的x 存在量词?: 表示存在, 有的, 至少有一个等 如?x表示在个体域中存在x 一阶逻辑中命题符号化 例1 用0元谓词将命题符号化 要求:先将它们在命题逻辑中符号化,再在一阶逻辑中符号化(1) 墨西哥位于南美洲 在命题逻辑中, 设p:墨西哥位于南美洲 符号化为p, 这是真命题 在一阶逻辑中, 设a:墨西哥,F(x):x位于南美洲 符号化为F(a) 例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1)人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域 . 解:(a) (1) 设G(x):x爱美, 符号化为?x G(x) (2) 设G(x):x用左手写字, 符号化为?x G(x) (b) 设F(x):x为人,G(x):同(a)中 集合论部分 第四章、二元关系和函数 集合的笛卡儿积与二元关系有序对 定义由两个客体x 和y,按照一定的顺序组成的 二元组称为有序对,记作 不适合交换律A B B A (A B, A, B) 不适合结合律 (A B)C A(B C) (A, B)对于并或交运算满足分配律 A(B C)=(A B)(A C) (B C)A=(B A)(C A) A(B C)=(A B)(A C) (B C)A=(B A)(C A) 若A或B中有一个为空集,则A B就是空集. A=B= 若|A|=m, |B|=n, 则 |A B|=mn 证明A(B C)=(A B)(A C) 证任取 数理逻辑部分 第1章命题逻辑 命题符号化及联结词 命题: 判断结果惟一的陈述句 命题的真值: 判断的结果 真值的取值: 真与假 真命题: 真值为真的命题 假命题: 真值为假的命题 注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题,陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。 简单命题(原子命题):简单陈述句构成的命题 复合命题:由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题 简单命题符号化 用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1)表示 简单命题 用“1”表示真,用“0”表示假 例如,令p:是有理数,则p 的真值为 0 q:2 + 5 = 7,则q 的真值为 1 联结词与复合命题 1.否定式与否定联结词“” 定义设p为命题,复合命题“非p”(或“p的否定”)称 为p的否定式,记作p. 符号称作否定联结词,并规定p为真当且仅当p为假. 2.合取式与合取联结词“∧” 定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式,记作p∧q. ∧称作合取联结词,并规定 p∧q为真当且仅当p 与q同时为真 注意:描述合取式的灵活性与多样性 分清简单命题与复合命题 例将下列命题符号化. (1) 王晓既用功又聪明. (2) 王晓不仅聪明,而且用功. (3) 王晓虽然聪明,但不用功. (4) 张辉与王丽都是三好生. (5) 张辉与王丽是同学. 解令p:王晓用功,q:王晓聪明,则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q. 令r : 张辉是三好学生,s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令t : 张辉与王丽是同学,t 是简单命题 . 说明: 离散数学部分概念和公式总结 命题:称能判断真假的陈述句为命题。 命题公式:若在复合命题中,p、q、r等不仅可以代表命题常项,还可以代表命题变项,这样的复合命题形式称为命题公式。 命题的赋值:设A为一命题公式,p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。给p ,p ,…,p 指定一组真值,称为对A的一个赋值或解释。若指定的一组值使A的值为真,则称成真赋值。真值表:含n(n≥1)个命题变项的命题公式,共有2^n组赋值。将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表,称为A的真值表。 命题公式的类型:(1)若A在它的各种赋值下均取值为真,则称A为重言式或永真式。 (2)若A在它的赋值下取值均为假,则称A为矛盾式或永假式。 (3)若A至少存在一组赋值是成真赋值,则A是可满足式。 主析取范式:设命题公式A中含n个命题变项,如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项,则称该析取范式为A的主析取范式。 主合取范式:设命题公式A中含n个命题变项,如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项,则称该析取范式为A的主析取范式。 命题的等值式:设A、B为两命题公式,若等价式A?B是重言式,则称A与B是等值的,记作A<=>B。 约束变元和自由变元:在合式公式?x A和?x A中,称x为指导变项,称A为相应量词的辖域,x称为约束变元,x的出现称为约束出现,A中其他出现称为自由出现(自由变元)。一阶逻辑等值式:设A,B是一阶逻辑中任意的两公式,若A?B为逻辑有效式,则称A与B是等值的,记作A<=>B,称A<=>B为等值式。 前束范式:设A为一谓词公式,若A具有如下形式Q1x1Q2x2Q k…x k B,称A为前束范式。集合的基本运算:并、交、差、相对补和对称差运算。 笛卡尔积:设A和B为集合,用A中元素为第一元素,用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积,记为A×B。 二元关系:如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对,则称集合R是一个二元关系。特殊关系:(1)、空关系:Φ(2)全域关系:EA={ 离散数学笔记 第一章命题逻辑 合取 析取 定义 1. 1.3否定:当某个命题为真时,其否定为假,当某个命题为假时,其否定为真定义 1. 1.4条件联结词,表示“如果……那么……”形式的语句 定义 1. 1.5双条件联结词,表示“当且仅当”形式的语句 定义 1.2.1合式公式 (1)单个命题变元、命题常元为合式公式,称为原子公式。 (2)若某个字符串A 是合式公式,则?A、(A)也是合式公式。 (3)若A、B 是合式公式,则A ∧B、A∨B、A→B、A?B 是合式公式。 (4)有限次使用(2)~(3)形成的字符串均为合式公式。 1.3等值式 1.4析取范式与合取范式 将一个普通公式转换为范式的基本步骤 1.6推理 定义 1.6.1 设 A 与 C 是两个命题公式, 若 A → C 为永真式、 重言式,则称 C 是 A 的有 效结论,或称 A 可以逻辑推出 C ,记为 A => C 。(用等值演算或真值表) 第二章 谓词逻辑 2.1、基本概念 ?:全称量词 ?:存在量词 一般情况下, 如果个体变元的取值范围不做任何限制即为全总个体域时, 带 “全称量词”的谓词公式形如"?x(H(x)→B(x)),即量词的后面为条件式,带“存在量词”的谓词公式形如?x(H(x)∨WL(x)),即量词的后面为合取式 例题 R(x)表示对象 x 是兔子,T(x)表示对象 x 是乌龟, H(x,y)表示 x 比 y 跑得快,L(x,y)表示x 与 y 一样快,则兔子比乌龟跑得快表示为: ?x ?y(R(x)∧T(y)→H(x,y)) 有的兔子比所有的乌龟跑得快表示为:?x ?y(R(x)∧T(y)→H(x,y)) 2.2、谓词公式及其解释 定义 2.2.1、 非逻辑符号: 个体常元(如 a,b,c)、 函数常元(如表示22 y x 的 f(x,y))、 谓词常元(如表示人 类的 H(x))。 定义 2.2.2、逻辑符号:个体变元、量词(??)、联结词(﹁∨∧→?)、逗号、括号。 定义 2.2.3、项的定义:个体常元、变元及其函数式的表达式称为项(item)。 定义 2.2.4、原子公式:设 R(n x x ... 1)是 n 元谓词,n t t ...1是项,则 R(t)是原子公式。原子公式中的个体变元,可以换成个体变元的表达式(项),但不能出现任何联结词与量词,只能为单个的谓词公式。 定义 2.2.5 合式公式:(1)原子公式是合式公式;(2)若 A 是合式公式,则(﹁A)也是合式公式;(3)若 A,B 合式,则 A ∨B, A ∧B, A →B , A ?B 合式(4)若 A 合式,则?xA 、?xA 合式(5)有限次使用(2)~(4)得到的式子是合式。 定义 2.2.6 量词辖域:?xA 和?xA 中的量词?x/?x 的作用范围,A 就是作用范围。 定义 2.2.7 约束变元:在?x 和?x 的辖域 A 中出现的个体变元 x ,称为约束变元,这是与量词相关的变元,约束变元的所有出现都称为约束出现。 定义 2.2.8 自由变元:谓词公式中与任何量词都无关的量词,称为自由变元,它的每次出现称为自由出现。一个公式的个体变元不是约束变元,就是自由变元。 注意:为了避免约束变元和自由变元同名出现,一般要对“约束变元”改名,而不对自由变元改名。 定义 2.2.9 闭公式是指不含自由变元的谓词公式 1.常用公式 p ∧(P →Q)=>Q 假言推论 ┐Q ∧(P →Q)=>┐P 拒取式 ┐p ∧(P ∨Q)=>Q 析取三段式 (P →Q) ∧(Q →R)=>P →R 条件三段式 (PQ) ∧(QR)=>PR 双条件三段式 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∧R)=>Q →S 合取构造二难 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∨R)=>Q ∨S 析取构造二难 (?x)((Ax)∨(Bx)) <=>( ?x)(Ax)∨(?x)(Bx) (?x)((Ax)∧(Bx)) <=>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) (?x)(A ∨(Bx)) <=>A ∨(?x)(Bx) (?x)(A ∧(Bx)) <=>A ∧(?x)(Bx) (?x)((Ax)→(Bx)) <=>(?x)(Ax)→(?x)(Bx) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) (?x)(Ax)∨(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)∨(Bx)) (?x)((Ax)∧(Bx)) =>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) (?x)(Ax)→(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)→(Bx)) 2.命题逻辑 1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项(m)之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P ,Q,R 的顺序依次写; 6.真值表中值为1的项为极小项,值为0的项为极大项; 7.n 个变元共有n 2个极小项或极大项,这n 2为(0~n 2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法(=>):真值表法;分析法(假定前键为真推出后键为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P 规则,T 规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 3.谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n 个个体,多元谓词描述个体之间的关系; 2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时,先消存在量词,再消全称量词; 4.集合 1.N ,表示自然数集,1,2,3……,不包括0; 2.基:集合A 中不同元素的个数,|A|; 3.幂集:给定集合A ,以集合A 的所有子集为元素组成的集合,P(A); 4.若集合A 有n 个元素,幂集P(A)有n 2个元素,|P(A)|=||2A =n 2; 5.集合的分划:(等价关系) ①每一个分划都是由集合A 的几个子集构成的集合; ②这几个子集相交为空,相并为全(A); 6.集合的分划与覆盖的比较: 分划:每个元素均应出现且仅出现一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出现,没有要求只出现一次; 5.关系 1.若集合A 有m 个元素,集合B 有n 个元素,则笛卡尔A ×B 的基数为mn ,A 到B 上可以定义mn 2种不同的关系; 2.若集合A 有n 个元素,则|A ×A|=2n ,A 上有22n 个不同的关系; 3.全关系的性质:自反性,对称性,传递性; 空关系的性质:反自反性,反对称性,传递性; 全封闭环的性质:自反性,对称性,反对称性,传递性; 4.前域(domR):所有元素x 组成的集合; 后域(ranR):所有元素y 组成的集合; 5.自反闭包:r(R)=RU Ix ; 对称闭包:s(R)=RU 1-R ; 传递闭包:t(R)=RU 2R U 3R U …… 6.等价关系:集合A 上的二元关系R 满足自反性,对称性和传递性,则R 称为等价关系; 7.偏序关系:集合A 上的关系R 满足自反性,反对称性和传递性,则称R 是A 上的一个偏序关系; 8.covA={(其中*为普通乘法)不能构成( A )。 A .群
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