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小学奥数教程下册最完美

第一讲分数乘法（乘法中的简算） (2)

练习卷 (5)

第二讲长方体和正方体（巧算表面积） (6)

练习卷 (10)

第三讲分数除法应用题 (11)

练习卷 (15)

第四讲长方体和正方体（巧算体积） (16)

练习卷 (20)

第五讲较复杂的分数应用题（寻找不变量） (21)

练习卷 (24)

第六讲百分数（浓度问题） (25)

练习卷 (28)

综合演习（1） (29)

综合演习（2） (31)

第一讲分数乘法

例题讲学

例1 （1）

1514×19 （2） 27×2611 【思路点拨】观察这两道题中数的特点，第（1）题中的

1514比1少151，可以把15

14看作1-151，然后和19相乘，利用乘法分配律使计算简便；同样，第（2）题中27与26

11中的分母26相差1，可以把27看作（26+1），然后和2611相乘，再运用乘法分配律使计算简便。

或拆成与1有关的两数之差或和；或者把

一个数拆分成与分数分母相关的和或差，最后用乘法分配律使计算简便。

同步精练

1. 36

13×35 2. 2322×10 3. 8×1514 4. 25

3×126 5. 17×

1211 6. 262524? 例2 1

20001999199820001999-??+ 【思路点拨】仔细观察分子、分母中各数的特点，我们就会发现，分子1999+2000

×1998=1999+2000×（1999-1）=1999+2000×1999-2000=2000×1999-1，这样就把分子转

化成与分母完全相同的式子，结果自然就好计算了，试试吧！

解决稍复杂的分数乘法问题时，不要慌张，要仔细观察数的特点，根据数的

特点一般都能化成分子、分母能约分的情况，然后使计算简便。

同步精练 1. 186

548362361548362-??+ 2.

120112010200920112010-??+ 例3 6

51541431321211?+?+?+?+? 【思路点拨】在这道题中，每个分数的分子都是1，分母是两个连续的自然数的

乘积。看下面规律：

211?=1-21， 321?=21-31， 431?=31-4

1， …… 111)1(1+-=+?n n n n 把每个分数都拆写成两个分数的差，使部分分数前后互相抵消，使计算简便。

前后抵消，从而使计算简便。

同步精练

+?+?+?431321211……+100991? 2. 21+61+121+201+30

3. 20

120182181621614214122+?+?+?+? 练习卷

1. 27×

2617 2. 384544? 3. 611511? 4. 10099

14? 5.

199619941995119961995?+-? 6. 7

69999997599999749999739997299719+++++ 7． 1999

1199919981199819971199719961+?+?+? 第二讲长方体和正方体（巧算表面积）

例题讲学

例1 两个棱长是2厘米的小正方体可以拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多

少

【思路点拨】先根据题意画图：

从图上可以清楚地看出：两个正方体原先各有6个正方形的面，当把它们拼起来时就

少了2个正方形的面。这时，求长方体的表面积只相当于求（12-2=）10个正方形的面积；还可以这样想：当两个正方体拼成一个长方体时，求长方体的表面积，我们可以先分别求

出这个长方体的长、宽、高，再求出它的表面积。

当物体拼合时表面积之和少了，可以根据用原来的面去掉减少了的面，从

而求出拼合后物体的面积数量，然后求出表面积。2.还可以求出拼成后大物体的长、

宽、高，再根据物体形状直接求表面积。

同步精练

1. 把两个棱长是3厘米的小正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少

2．把底面积是36平方厘米的两个正方体木块拼成一个长方体，长方体的表面积是多少

3．把三个完全相同的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是350平方厘米。

每个正方体的表面积是多少平方厘米

例2把一个长、宽、高分别是7厘米、6厘米、5厘米的长方体截成两个长方体，使这两个长方体表面积之和最大，这时表面积之和是多少平方厘米

【思路点拨】把长方体截成两个长方体后，两个长方体表面积之和等于原长方体表面积再加上两个截面的面积。这个长方体几个面中，上、下面的面积最大，所以要看哪个面的面积最大，于是本题就按平行于上、下面的方式去截，才使表面积之和最大。

每一种截法都会产生不同的面，所以判断怎么样截是解决问题的关键。

同步精练

1.把一个长10厘米、宽8厘米、高6厘米的长方体木料截成两个完全一样的长方体，

怎样截才能使截成之后，得到两个长方体的表面积之和最大最大是多少

2.把两个长3厘米、宽2厘米、高1厘米的长方体拼成一个表面积最大的长方体，这个

长方体的表面积是多少平方厘米

3．把两个长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积的最大值与最小值相差多少

例3求出下面立体图形的表面积。（单位：厘米）

【思路点拨】从图上看出，这个图形是由一个长方体和一个正方体组成的，求它的表面积时，可以把正方体的右侧面平移到长方体上，这个立体图形的表面积就可以用一个完整的长方体表面积加上一个正方体的上、下、前、后四个面的面积。

同步精练

1.在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体（如图），求这个立

体图形的表面积。

2.求下列组合图形的表面积。（三个正方体的棱长从上往下

依次是1厘米、2厘米、4厘米）

3. 18个棱长为2厘米的小正方体堆成如下图的形状，求它的表面积。

例4如图，从右面这个图形的顶点处挖去一个小正方体，那么所得物体的表面积现在是多少平方厘米（每个小正方体的棱长为1厘米）

【思路点拨】

从顶点处挖掉一个小正方体后，原来的小正方体露在外面的3个面

就少了，但这时又有3个同样大小的面露了出来，所以表面积是没有大小变化的。

同步精练

1.如上图，如果从小正方体的上面的中间挖去一个小正方体，那么此时正方体的表面

积是多少了呢

2.如下图，在一个棱长为6厘米的大正方体的6个面上分别挖去一个小正方体，现在

剩下图形的表面积是多少

2.从一个长方体的上面往下挖通，求现在物体的表面积是多少。

（原长方体的长、宽、高分别是10厘米、8厘米、12厘米，挖去的图形为长、宽都是4厘米的小长方体。）

练习卷

1.长方体的底面积是12平方厘米，宽2厘米，高和宽相等，表面积是（）平方厘米，底面周长是（）厘米。

2.一个正方体的底面积是25平方分米，它的表面积是（）平方分米。

3.一个长方体的长、宽、高分别是a米、b米、h米，如果高增加4米后，新的长方体表面积比原来增加了（）平方米。

4.把一根长2.4米，宽0.8米，高0.4米的木料锯成大小相等的2段，它的表面积最少增加多少平方米

5.将两本长25厘米、宽20厘米、厚5厘米的书包成一包，怎样才能节约包装纸请画图表示，并求出需要多少包装纸

6.求下面立体图形的表面积。（单位：厘米）

7.把一个棱长为3厘米的正方体外面全部涂上红色，再把它切成棱长为1厘米的小正方体，共切成多少块在这些小正方体中：

①三面涂红的有多少块

②两面涂红的有多少块

③一涂红的有多少块

④任何一面都没有涂红的有多少块

第三讲分数除法应用题

例题讲学

例1 加工一批零件，第一天加工210个，第二天加工240个，这两天共加工了这批

零件的5

3。这批零件共有多少个【思路点拨】

根据题意，把这批零件的总数看作单位“1”，两天共加工210+240=450（个），450正

好占这批零件总数的5

3。求单位“1”的量用除法计算。求单位“1”时，用除法，可以用“具体的量÷它所对应的分率”。

同步精练

1.超市运进水果，第一批运进320千克，第二批运进400千克，这两批运进的水果重量占超市现在所有水果的3

2，超市现在一共有水果多少千克 2.一条铁路，修完900千米后，剩余部分比全长的

43少300千米，这条铁路全长多少千米

3.修路队修一条路，第一天修了全长的5

1，第二天修了1000米。这时已修的米数占全长的15

8。这条路全长多少千米

例2 李添三天看完一本书，第一天看了这本书的

3，第二天看了24页，还剩下全书的52未看。这本书共有多少页【思路点拨】根据题意画线段图，帮助理解题意，分析数量关系。

24页所对应的分率，即总页数-第一天看的-剩下的=1-

10-5=103，用24除以它所对应的分率3，即可求出全书页数。同步精练

1.电脑公司要修一批电脑，已经修了这批电脑的3

1，再修24台就正好修了这批电脑的一半。这批电脑有多少台

2.一筐萝卜卖掉51以后，又卖出6千克，这时卖出的正好是剩下的2

1。这筐萝卜原有多少千克

3.筑路队三天修好一条马路，第一天修了全长的

41，第二天修了全长的52，第一天比第二天少修90米，这条马路全长多少米

例3 一捆电线，第一次用去全长的

1，第二次用去余下的51，这时还剩下108米。这捆电线共长多少米【思路点拨】这道题中已知的具体数量是“还剩下108米，”所以要找出它所对应

的分率——还剩下几分之几。第一次用去全长的

41，第二次用去余下的51，而余下的51即是（1-4

1）的51=203，108米对应的分率是（1-41-203）=53，所以用108除以53求出这捆电线的总长度。

问题的关键还是找题中具体数量所对应的分率。谨记：“具体量÷对应分率=单位1”

同步精练

1.工厂进了一批原料，第一个星期用去总数的

52，第二个星期用去总数的9

4，这时用去的比剩下的多31吨，这批原料共有多少吨 2.牛师傅计划做一批零件，第一天做了计划的

74，第二天又做了余下的5

3，这时还剩42个零件没做。牛师傅计划做多少个零件 3.一批木料，先用去总数的

72，又用去剩下的5

2，这时用去的比剩下的多10立方米，这批木料共有多少立方米例4 有一堆苹果，吃了

1后又买来324个，这时这堆苹果的个数比原来多了51。原来这堆苹果有多少个【思路点拨】① 这道题中仅有一个具体数量“又买来324个”所以解决问题的关键即是找准324的对应分率，也就是找出“又买来的324个苹果占几分之几”根据已知条件吃了41，还剩下43，而买来324个之后，比原来多了51，也就是占原来的5

6，所以买来的324

个苹果就占（

56-43=）20

9，所以用324除以对应的分率就可以求出单位“1”，即原来的苹果总数了。【思路点拨】② 吃了

1后总数少了，而当买来324个苹果之后，却比原来的总数还多了51，这说明这324个苹果不但把吃了的补上了，而且还多出来了5

1，所以324个苹果就占（41+51=）209，故而用324÷209即可以求出单位“1”了。同步精练

1.食堂原有一批大米，吃了

52后，有运进170千克，这时大米的总重量比原来还多了61，原来食堂有大米多少千克

2.玩具店开业当天卖出玩具

94，第二天又新进150件新玩具，这时玩具总数比原来却少了6

1。玩具店原来有玩具多少件练习卷

1.某家具店要生产一批沙发，第一周生产了64套，第二周生产了86套，两周共生产了这批沙发总数的10

3。家具厂还要生产多少套沙发 2.服装厂第一车间有工人150人，第二车间的工人数是第一车间的

52，两个车间的人数正好是全厂工人总数的6

5，全厂有工人多少人 3.一根钢筋截去8米后，所剩部分比原长的5

3还多2米。这根钢筋原长多少米 4.学校植树，第一天完成了计划的83，第二天完成了计划的12

5，第三天植树55棵，结果超过计划的4

1，学校计划植树多少棵

5.欣欣原有一些糖果，吃了

43后，妈妈又给她买来14颗，这时的糖果总数是原来的6

5。欣欣原来有糖果多少颗第四讲长方体和正方体（巧算体积）

例题讲学

例1 把一块棱长为6分米的正方体钢坯，熔铸成横截面是9平方分米的长方体钢材。铸成的钢材有多长

【思路点拨】把正方体钢坯熔铸成长方体后，虽说形状变了，可体积没有变，正方体钢坯的体积就是长方体钢材的体积。所以先求出正方体的体积，也就是长方体的体积。用体积除以长方体钢材的横截面面积，就可以求出长方体钢材的长度了。

同步精练

1.把一块棱长为0.8米的正方体钢坯，锻造成底面积是0.16平方米的长方体钢材，锻造成的钢材有多高

2.把一个棱长10厘米的正方体橡皮泥，重新捏成一个高和宽都是2厘米的长方体，这个长方体的长是多少分米

3.棱长为6分米的正方体容器内有4分米高的水，把这些水全部倒入一个长4分米、宽3分米、高15分米的长方体水箱内，这时水深多少要注满水箱还需要再倒入多少升水

例2 一只长15分米、宽12分米的长方体玻璃钢中，有10分米深的水。放入一块棱长为3分米的正方体铁块，铁块全部浸没在水中并且水未溢出，

这时，水面升高了几厘米

【思路点拨】将物体放入容器中，水面的高度肯定上升，上升的水的体积其实就是物体的体积。本题可以先求出正方体铁块的体积，也就是增加的水的体积，再用这个体积除以容器的底面积从而求出水面上升的高度了。

=上升的水的体积。

同步精练

1.一个长方体容器，底面积是200平方厘米，高10厘米，里面盛有5厘米深的水。现将一块石头放入水中，水面升高到8厘米处，这块石头的体积是多少立方厘米

2.一个长60厘米、宽20厘米的盛水容器，把5块体积相等的铁块投入水中后，容器

中的水面刚好上升了4厘米，求每块铁块的体积。

3.在一只长120厘米、宽60厘米、深70厘米的浴缸中放入水，李明进入浴缸后，水

刚好没到李明颈部。已知水上升了20厘米，求出李明颈部以下的体积是多少立方分米

例3 如图，一个长方体，高截去2cm，表面积就减少了48平方厘米，剩下部分成

为一个正方体，求原长方体的体积。

【思路点拨】当高少了2cm后，首先明白表面积少了哪些面应该

是前后左右四个小面，因为上面虽然也少了，但又多出来一个上面，所

以少了4个小面，因为剩下的部分是一个正方体，所以这四个小面是完全相等的，故用48除以4从而得出一个小面的面积，再用一个小面的面积除以2，从而能求出正方体的棱长，也是原长方体的长和宽，接着求出原长方体的高，最后求出体积。

表面积是少了哪些面，一般会认为少了5个小

面，其实上面并没有少，只少了4个，而少的这4个面本题是有关系的，因为剩下的为一个正方体，所以先求出一个面积，从而打开解决问题的入口。

同步精练

1.把一个长方体的高截去3厘米后，剩下的部分正好是一个正方体，而表面积却减少了36平方厘米，求原长方体的表面积。

2.从一个长是12厘米、高9厘米的长方体上，平行于底截掉一个4厘米高的小长方体，表面积减少了80平方厘米，求截掉的小长方体的体积是多少立方厘米

例4 一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高以厘米为单位的数都是质数。这个长方体的体积是多少

【思路点拨】要求长方体的体积，就要求出长方体的长、宽、高。因为这个长方体的前面和上面的面积之和是209平方厘米，也就是长×宽+长×高=长×（宽+高）=209。根据“长、宽、高以厘米为单位的数都是质数”这个条件可知：209=11×19。而11和19哪个数能写成两个质数的和呢，只有19=2+17，所以长、宽、高就分别是11、2、17，从而能求出长方体的体积了。

并且这两个数中

同步精练

1.一个长方体的前面和右面的面积之和是54平方厘米，且长方体的长、宽、高都是整数，求这个长方体的体积是多少

2.一个长方体的上面和右面的面积之和是36平方厘米，且长方体的长、宽、高都是整数，求这个长方体的体积和表面积分别是多少

练习卷

1.一个正方体玻璃缸棱长2分米，向容器中倒入5升水，再放入一块不规则的石头，这时量得容器内的水深15厘米。石头的体积是多少立方厘米

2.一个封闭的长方体容器的高是25厘米，长和宽都是10厘米，容器内装着一些水。如果把该容器长、宽都是10厘米的面做底面放在桌面上，这时水的高度是15厘米。如果把容器长25厘米、宽10厘米的面做底面放在桌子上，这时水的高度是多少厘米

3.一只底面是正方形的长方体铁箱，如果把它的侧面展开，正好得到一个边长是40厘米的正方形。求这只长方体铁箱的容积是多少升

4. 一个长方体，如果高截去2厘米，表面积就减少了32平方厘米，剩下的正好是一个正方体。原来长方体的体积是多立方厘米

第五讲较复杂的分数应用题（寻找不变量）

例题讲学

例1 乙队原有的人数是甲队人数的

73。现在甲队派30人到乙队，则乙队人数现在是甲队的3

2。原来两队一共有多少人【思路点拨】当“现在甲队派30人到乙队”后，甲、乙两队的人数都发生了改变，所以单位“1”不好确定，但有一个未变的量，那就是两队的总人数，因此我们可以把两队的

总人数看作单位“1”。从“乙队原有的人数是甲队人数的

3”可以把乙队人数看作3份，甲队人数看作7份，总人数为10份，则乙队人数占总人数的373+=10

3，后来甲队派30到乙队后，乙队占总人数的322+=52，那么乙队多了（52-103）而正是多了30人所致。求出30人所对应的分率，再求出原来的总人数。

1”不能确定，一定要找出不变的量，把它确定为单位“1”，然后再看其中的一个量前后分别是单位“1”的几分之几，最后再利用具体数量和分率从而求出单位“1”。

同步精练

1.甲、乙两个粮库，甲粮库存粮的吨数是乙粮库的

75。现在从乙粮库调6吨粮食到甲粮库，则甲粮库存粮的吨数是乙粮库的5

4。原来两个粮库各存粮多少吨 2.五（3）班在一次聚会中，请假人数是出席人数的9

1，中途又有一人离开，这样请假人数是出席人数的22

3。五（3）班共有多少人例 2 甲、乙、丙、丁四人向希望工程捐款，结果甲捐了另外三人的一半，乙捐了另

外三人的31，丙捐了另外三人的4

1，丁捐了91元。甲、乙、丙、丁四人共捐了多少元【思路点拨】根据题意可知，单位“1”是另外三人的总和，但另外三人的总和是无论如何也不知道，且是变化的，所以行不通。但甲乙丙丁四人的总和是固定不变的，所以可以把四人的钱数总和看作单位“1”。 “甲捐了另外三人的一半”，可以看作甲捐的钱

是1份，另外三人是2份，共3份，甲捐的是四人总数的31，同理，乙捐的是四人总数的4

1，丙捐的是四人总数的5

1。那么我们就可以求出剩下的丁捐的钱数占四人总数的几分之几了，再用具体数量91除以对应分率，从而求出总数。

此类题目的难点就在于虽然单位“1”名字上统一，但却不是固定的，所以

要找出固定不变的量作为统一的单位“1”，然后求出每个量占单位“1”的几分之几，最后用对应的具体数量除以对应分率，从而求出单位“1”。

同步精练

1.三个小朋友合买一枚价值24元的2008年奥运会纪念章，第一个小朋友付的钱是其他孩子付的钱的一半，第二个孩子付的钱是其他孩子付的钱的3

1。问：第三个孩子付了多少元钱

2.甲乙丙丁四个数，甲数是其它三个数之和的

21，乙数是其它三个数之和的31，丙数是其它三个数之和的4

1。已知丁数是260，求四个数的和是多少甲数是多少例3 一堆糖果，其中奶糖占

209，再放入16块水果糖后，奶糖就只占41。这一堆糖果原来一共有多少块

【思路点拨】解答这道题时，应抓住奶糖不变这个条件。因为在总数发生了变化，水果糖也发生了变化的时候，奶糖却是不变的，所以把变化的量——水果糖，求出变化前后分别是奶糖的几分之几，再看变化前后的具体数量，然后求出单位“1”——奶糖，最后再求出总数来。具体解法：变化前，奶糖占总数的

209，水果糖就占（1-209）=20

11，水果糖占奶糖的（2011÷209）=911；加入16块水果糖后，奶糖占总数的41，水果糖就占（1-41）=4

3，水果糖占奶糖的43÷41=3，水果糖变化前后共增加了（3-911）=9

16，正是由于增加16块所致，所以用16÷916=9块……奶糖——单位“1”，那么原来的水果糖就有9×911=11块，总数为9+11=20（块）。

同步精练

1.袋里有若干个球，其中红球占

5，后来又往袋里放了6个红球，这时红球占总数的21。原来袋里共有多少个球 2.某科技发明兴趣小组中女生占

7，后来又转来了15名女生，这样女生占总人数的53。这个兴趣小组的男生有多少人练习卷

1.某公司男职工比全公司总人数的53多60人，女职工人数是男职工的3

1，这个公司共有多少人

2.某工厂有三个车间，第一车间的人数是另外两个车间人数的3

1，第三车间的人数是另外两个车间人数的5

3，已知第二车间有30人。另两个车间各有多少人 3.纺织厂女工占工人总数的8

5，后来又调来30名女工，这时女工人数是男工人数的2倍。问：现在厂里共有多少人

4.甲、乙两人共有邮票若干张，其中甲占

209，若乙给甲12张，则乙余下的张数占总数的5

2。两人共有邮票多少张 5.科技活动小组中，男生人数占8

3，后来又转来4名男生参加，这时，男生人数占小组人数的9

4。求这个科技活动小组女生有多少人现在共有多少人第六讲百分数（浓度问题）

【知识概述】

把盐溶于水就得到盐水，其中盐叫做溶质，水叫溶剂，盐与水的混合液叫做溶液。我

们把盐占盐水的百分比叫做盐水的浓度，通常浓度用百分数表示，又叫做百分比浓度，这一类问题叫做浓度问题。【盐水的浓度也就是含盐率，糖水的浓度也叫做含糖率…】

例题讲学

例1 现有浓度为25%的盐水80克，加入多少克水就能得到浓度为10%的盐水

【思路点拨】将浓度为25%的盐水变为浓度为10%的盐水，盐水中的水的重量增加了，但是盐的重量却没有任何变化。可以根据已知条件先求出不变的量——盐的重量，再求出现在盐水的重量，最后再用现在盐水的重量减去原来盐水的重量，就是增加的水的重量。

解：80×25%=20（克），20÷10%=200（克），200-80=120（克）

答：加入120克水就能得到浓度为10%的盐水。

同步精练

1.把碘溶在酒精里，配成碘酒，现在有含碘15%的碘酒50千克，要把它变成含碘3%的碘酒，需要加入多少千克酒精

2.现有浓度为20%的盐水80克，加入多少克水就能得到浓度为16%的盐水

例2 现有浓度为25%的盐水80克，要使盐水的浓度提高到40%，需要加多少克盐【思路点拨】将浓度为25%的盐水变为浓度为40%的盐水，在盐水的变化过程中，盐的重量增加了，但是水的重量并没有发生变化，也就是原来盐水中的水的重量等于现在盐水中水的重量。

解：80×（1-25%）=60（克），60÷（1-40%）=100（克），100-80=20（克）。

答：需要加20克盐。

同步精练

1.现有浓度为15%的盐水20千克，要使盐水浓度提高到20%，需要加多少千克盐

2.浓度为10%的糖水300克，要把它变成浓度为25%的糖水，需要加糖多少克

3.往40千克含盐16%的盐水中加入10千克盐。求这时盐水的浓度。

例3 有浓度为2.5%的盐水700克，为了制成浓度为10%的盐水，从中要蒸发掉多少克水

【思路点拨】要使溶液的浓度变大，可以采取增加溶质（糖、盐、纯酒精等）的方法，也可以用蒸发水的办法。

把盐水加热，一部分水变成水蒸气蒸发掉了，于是盐水中的水的重量减少了，而在变化过程中盐的重量却没有变化。先根据条件求出原来盐水中盐的重量，由于在变化过程中盐的重量没有变化，所以原来盐水中盐的重量也是现在盐水中盐的重量，再求出现在盐水的重量，最后用原来盐水的重量减去现在盐水的重量，就是要蒸发掉水的重量。

解：700×2.5%=17.5（克），17.5÷10%=175（克），700-175=525（克）

答：从中要蒸发掉525克水。

同步精练

1.现有浓度为1

2.5%的盐水40千克，将它变成浓度为20%的盐水，要蒸发掉多少千克

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方。（n 是几就表示为几阶幻方）。本讲，我们将来学习这方面的知识。例题讲学例1 在一个3×3的表格内，填入1-9九个数，（不能重复，不能遗漏），使得3个横列、3个竖列和2个斜列所加之和都相等。可以怎样填【和为15】【思路分析】这样的3×3幻方，在填写时有一定的规律和口诀：二、四为肩，六、八为足，左七右三，戴九履一，五为中央。【注：戴指头，履指脚。】试试填一填吧！

幻方（第二课时）知识概述：上一讲中，我们讲述了如何填写3×3的幻方，其实在幻方的知识世界里，像3×3、5×5、7×7……像这样幻方，称之为奇数幻方，这一讲我们将来学习如何填写五阶幻方。例题：在一个5×5的方格中，填入1-25这25个数字，使5个横列、5个竖列、2个斜列所加之和都相等。先试试看！看样子，要想顺利填写好这么多的表格，还真的不容易，没有口诀真的不行，下面这个口诀要记牢：一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框时左边写，上出框时下边放，双出占位写下方。 2 9

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1．和差倍问题【和差问题】【和倍问题】【差倍问题】已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系公式? ①(和－差)÷2=较小数较小数＋差=较大数和－较小数=较大数 ②(和＋差)÷2=较大数较大数－差=较小数和－较大数=较小数和÷(倍数＋1)=小数小数×倍数=大数和－小数=大数差÷(倍数-1)=小数小数×倍数=大数小数＋差=大数关键问题求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数 2．年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 3．归一问题的基本特点：

问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。关键问题根据题目中的条件确定并求出单一量； 4．植树问题基本类型? ①在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树； ②在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树； ③在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树；④封闭曲线上植树。基本公式棵数=段数＋1?棵距×段数=总长棵数=段数－1?棵距×段数=总长棵数=段数棵距×段数=总长关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系 5．鸡兔同笼问题基本概念鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路

①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。基本公式 ①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数） ②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）关键问题找出总量的差与单位量的差。 6．盈亏问题基本概念一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．基本思路先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量．基本题型

小学数学奥数教案

第24讲页码问题第25讲智取火柴第26讲逻辑问题（一）第27讲逻辑问题（二）第28讲最不利原则第29讲抽屉原理（一）第30讲抽屉原理（二）第1讲速算与巧算（一）计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下： 86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。求这10名同学的总分。分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下： 6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。于是得到

(完整版)小学奥数教程(最完美)

勇于尝试，把握过程，关注细节目录第一讲奇妙的幻方 (3) 练习卷 (9) 第二讲可能性的大小（游戏与对策） (10) 练习卷 (12) 第三讲图形的面积（一） (13) 第四讲认识分数 (17) 练习卷 (21) 第五讲行程中的相遇（相遇问题） (22) 练习卷 (26) 第六讲公因数与公倍数 (27)

综合演练 (31) - 1 - 勇于尝试，把握过程，关注细节第一讲幻方（第一课时）【知识概述】在一个n×n的正方形方格中，填入一些连续的数字，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等，这样的正方形方格叫做幻方。幻方一般分为奇数幻方和偶数幻方。（n 是几就表示为几阶幻方）。本讲，我们将来学习这方面的知识。例题讲学在一个3×3的表格内，填入1-9九个数，（不能重复，不能1例遗漏），使得3个横列、3个竖列和2个斜列所加之和都相等。可以怎样填？【和为15】

【思路分析】这样的3×3幻方，在填写时有一定的规律和口诀：二、四为肩，六、八为足，左七右三，戴九履一，五为中央。【注：戴指头，履指脚。】试试填一填吧！ - 2 - 勇于尝试，把握过程，关注细节（第二课时）幻方知识概述：的幻方，其实在幻方的知识世3×3上一讲中，我们讲述了如何填写像这样幻方，称之为奇数幻方，这一讲我7……×5、7×3界里，像3×、5 们将来学习如何填写五阶幻方。个横列、使51-25这25个数字，×例题：在一个55的方格中，填入2个斜列所加之和都相等。先试试看！5个竖列、

表格，还真的的好这么多利要看样子，想顺填写牢：要个口诀记不行，下真不容易，没有口诀的面这一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框时左边写，上出框时下边9 2 放，双出占位写下方。 8 1 7 5 6 4 10 - 3 - 勇于尝试，把握过程，关注细节 310 9 2 11

2020-2021小学奥数教程∶比例和反比例计算题

2020-2021小学奥数教程∶比例和反比例计算题一、比例和反比例 1．工人铺一条路，用边长4分米的方砖铺需要500块，如果改用边长5分米的方砖铺，需要多少块？【答案】解：设需要x块， 4×4×500＝5×5×x 25x＝8000 x＝320 答：如果改用边长5分米的方砖铺地，需要320块。【解析】【分析】此题主要考查了反比例应用题，这条路的总面积是一定的，每块砖的面积与铺的块数成反比例，据此列比例解答. 2．如果10千克菜籽可以榨6.5千克菜油，那么有这种菜籽360千克，可以榨多少千克油?（用比例解）【答案】解：设可以榨x千克油。 10：6.5=360：x 10x=6.5×360 x=2340÷10 x=234 答：可以榨油234千克。【解析】【分析】菜籽的重量和榨油的质量的比值是不变的，二者成正比例，设出未知数，根据正比例关系列出比例，解比例求出可以榨油的重量即可。 3．表中x和y是两个成比例的量，观察表格并填完整。 X36181210 y51020 X361812109 y510151820 空位中x和y的值。 4．甲乙两地相距440千米，一辆汽车从甲地开往乙地，3时行了240千米，照这样计算，几小时可以到达乙地？（用比例解）【答案】解：设小时可以到达乙地，

答：5.5小时可以到达乙地。【解析】【分析】“照这样计算”的意思就是汽车的速度不变，路程与时间成正比例；设出未知数，根据速度不变列出比例，解比例求出到达乙地的速度即可。 5．小明打算12天看完一本故事书，平均每天看15页。如果要提前2天看完，平均每天应看多少页?(用比例知识解) 【答案】解：设平均每天应看x页，则（12-2）x=12×15 x=18 答：平均每天应看15页。【解析】【分析】根据故事书的总页数不变可得等量关系式：实际看的天数×实际平均每天应看多少页=计划看的天数×计划平均每天看多少页，据此代入数据列方程解答即可。 6．30kg花生仁能榨出花生油12kg。照这样计算，要榨出48t花生油,需要花生仁多少吨? 【答案】解：设需要花生仁x吨， 12：30=48：x 12x=30×48 x=1440÷12 x=120 答：需要花生仁120t. 【解析】【分析】花生油的出油率是不变的，花生仁的质量和花生油的质量成正比例，设出未知数，根据出油率不变列出比例解答即可. 7．一批零件20人去做需要15天，照这样计算，如果增加5人，几天可以做完？【答案】解：20×15÷(20+5) =300÷25 =12(天) 答：12天可以做完. 【解析】【分析】做这批零件的工作量是不变的，用20乘15求出工作量，然后除以现在的人数即可求出可以做完的天数. 8．圆柱的高一定，圆柱的体积和底面积成________比例；圆柱的侧面积一定，底面周长和高成________比例。

小学数学奥数基础教程(五年级)--12

小学数学奥数基础教程(五年级) 本教程共30讲最大公约数与最小公倍数（一）如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a 的约数。如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。自然数a1，a2，…，a n的最大公约数通常用符号（a1，a2，…，a n）表示，例如，（8，12）=4，（6，9，15）=3。如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。自然数a1，a2，…，a n的最小公倍数通常用符号[a1，a2，…，a n]表示，例如[8，12]=24，[6，9，15]=90。常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。例1 用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱？分析与解：因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元，分装后每袋的价格相等，所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶，分装的袋数应相同，即分装的袋数应是144，180，240的公约数。题目要求每袋的价格尽量低，所以分装的袋数应尽量多，应是144，180，240的最大公约数。所以（144，180，240）=2×2×3=12，即每60元的茶叶分装成12袋，每袋的价格最低是60÷12=5（元）。为节约篇幅，除必要时外，在求最大公约数和最小公倍数时，将不再写出短除式。例2 用自然数a去除498，450，414，得到相同的余数，a最大是多少？

小学奥数教程：角度计算_全国通用(含答案)

4-1-3.角度计算知识点拨一、角 1、角的定义：自一点引两条射线所成的图形叫角 2、表示角的符号：∠ 3、角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角、负角、正角、优角、劣角、0角这10种（1）锐角：大于0°，小于90°的角叫做锐角。（2）直角：等于90°的角叫做直角。（3）钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。（4）平角：等于180°的角叫做平角。（5）优角：大于180°小于360°叫优角。（6）劣角：大于0°小于180°叫做劣角，锐角、直角、钝角都是劣角。（7）周角：等于360°的角叫做周角。（8）负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角。（9）正角：逆时针旋转的角为正角。（10）0角：等于零度的角。 4、角的大小：角的大小与边的长短没有关系；角的大小决定于角的两条边张开的程度，张开的越大，角就越大，相反，张开的越小，角则越小。二、三角形 1、三角形的定义：由三条边首尾相接组成的封闭图形叫做三角形 2、内角和：三角形的内角和为180度；外角：（1）三角形的一个外角等于另外两个内角的和；（2）三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。 3、三角形的分类（1）按角分：锐角三角形：三个角都小于90度。直角三角形：有一个角等于90度。钝角三角形：有一个角大于90度。注：锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形（2）按边分：不等腰三角形；等腰三角形（含等边三角形）。模块一、角度计算【例1】有下列说法： (1)一个钝角减去一个直角，得到的角一定是锐角， (2)一个钝角减去一个锐姥，得到的角不可能还是钝角． (3)三角形的三个内麓中至多有一个钝角． (4)三角形的三个内角中至少有两个锐角． (5)三角形的三个内角可以都是锐角． (6)直角三角形中可胄邕有钝角． (7)25?的角用10倍的放大镜看就变成了250? 其中，正确说法的个数是【考点】角度计算【难度】3星【题型】填空【解析】几何问题(1)、(3)、(4)、(5)是正确的说法．【答案】(1)、(3)、(4)、(5)是正确的说法【例2】下图是3×3的正方形方格，∠1与∠2相比，较大的是_____。

小学奥数教程(最完美)

目录第一讲奇妙的幻方 (3) 练习卷 (9) 第二讲可能性的大小（游戏与对策） (10) 练习卷 (12) 第三讲图形的面积（一） (13) 第四讲认识分数 (17) 练习卷 (21) 第五讲行程中的相遇（相遇问题） (22) 练习卷 (26) 第六讲公因数与公倍数 (27) 综合演练 (31)

第一讲幻方（第一课时）【知识概述】在一个n×n的正方形方格中，填入一些连续的数字，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等，这样的正方形方格叫做幻方。幻方一般分为奇数幻方和偶数幻方。（n 是几就表示为几阶幻方）。本讲，我们将来学习这方面的知识。例题讲学例1在一个3×3的表格内，填入1-9九个数，（不能重复，不能遗漏），使得3个横列、3个竖列和2个斜列所加之和都相等。可以怎样填？【和为15】【思路分析】这样的3×3幻方，在填写时有一定的规律和口诀：二、四为肩，六、八为足，左七右三，戴九履一，五为中央。【注：戴指头，履指脚。】试试填一填吧！

小学二年级奥数教程1

加减法中的简便运算一：凑整法例1、计算2+4+6+8+10+12+14+16+18 随堂练习1、11+13+15+17+19+21+23+25+27+29 例2、计算2+12+16+18+17+12+13 随堂练习2、计算1+13+15+17+11+14+!9 例3、计算9+18+17+26+11+19 随堂练习3、8+17+16+25+13+12+19

例4、计算3998+407+89 随堂练习4、798+4003+91 二：灵活应用运算法则，改变运算顺序，使运算过程中尽量出现小的数或相同的数例5、38+37—36—35+34+33—32—31+30+29—28—27+26 随堂练习5、40+39+38—37—36—35+34+33+32—31—30—29+28+27+26—25—24—23 例6、15+14—13+12+11—10+9+8—7+6+5—4+3+2—1 随堂练习6、50+49+48—47+46+45+44—43+42+41+40—39

例7、（2+4+6+8+10）—（1+3+5+7+9）随堂练习7、（2+4+6+......+20）—(1+3+5+7+9+ (19) 1、同级运算：括号外面是减号的，添上或去掉括号，括号里面的加减符号要改变，加号要变成减号，减号要变成加号括号外面是加号的，添上或去掉括号，不变去括号后，可以将数与前面的符号一起移动（带着符号搬家），第一个数前面的为加号可以省略 2、简便计算方法：（1）加法A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C) （2）减法A-B-C=A-(B+C) A-B+C=A-(B-C) 例1、运用加法中的凑整计算： 64+97 999+99+9

小学奥数教程(最完美)84247

小学奥数教程(最完美)84247 Newly compiled on November 23, 2020

1．和差倍问题【和差问题】【和倍问题】【差倍问题】已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系公式 ①(和－差)÷2=较小数较小数＋差=较大数和－较小数=较大数 ②(和＋差)÷2=较大数较大数－差=较小数和－较大数=较小数和÷(倍数＋1)=小数小数×倍数=大数和－小数=大数差÷(倍数-1)=小数小数×倍数=大数小数＋差=大数关键问题求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数 2．年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 3．归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。关键问题根据题目中的条件确定并求出单一量； 4．植树问题

基本类型 ①在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树； ②在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树； ③在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树；④封闭曲线上植树。基本公式棵数=段数＋1棵距×段数=总长棵数=段数－1棵距×段数=总长棵数=段数棵距×段数=总长关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系 5．鸡兔同笼问题基本概念鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路 ①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。基本公式

小学奥数教程：完全平方数及应用(一)全国通用(含答案)

1. 学习完全平方数的性质； 2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程 3. 掌握完全平方数的综合运用。一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。 2.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．性质3：自然数N 为完全平方数?自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N 是完全平方数，且21|n p N -，则 2|n p N ．性质4：完全平方数的个位是6?它的十位是奇数．性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数． 3.一些重要的推论 1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。 2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。 4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。 7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 3.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+- 模块一、完全平方数计算及判断【例 1】已知：1234567654321×49是一个完全平方数，求它是谁的平方? 例题精讲知识点拨教学目标 5-4-4.完全平方数及应用（一）

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实用文档文案大全目录第一讲奇妙的幻方 (3) 练习卷 (9) 第二讲可能性的大小（游戏与对策） (10) 练习卷 (12) 第三讲图形的面积（一）.............................................13 第四讲认识分数 (17) 练习卷 (21) 第五讲行程中的相遇（相遇问题） (22) 练习卷 (26) 第六讲公因数与公倍数 (27) 综合演练…………………………………………………….…

实用文档文案大全第一讲幻方（第一课时）【知识概述】在一个n×n的正方形方格中，填入一些连续的数字，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等，这样的正方形方格叫做幻方。幻方一般分为奇数幻方和偶数幻方。（n 是几就表示为几阶幻方）。本讲，我们将来学习这方面的知识。例题讲学例1在一个3×3的表格内，填入1-9九个数，（不能重复，不能遗漏），使得3个横列、3个竖列和2个斜列所加之和都相等。可以怎样填？【和为15】

【思路分析】这样的3×3幻方，在填写时有一定的规律和口诀：二、四为肩，六、八为足，左七右三，戴九履一，五为中央。【注：戴指头，履指脚。】试试填一填吧！实用文档文案大全幻方（第二课时）知识概述：上一讲中，我们讲述了如何填写3×3的幻方，其实在幻方的知识世界里，像3×3、5×5、7×7……像这样幻方，称之为奇数幻方，这一讲我们将来学习如何填写五阶幻方。例题：在一个5×5的方格中，填入1-25这25个数字，使5个横列、5个竖列、2个斜列所加之和都相等。先试试看！

看样子，要想顺利填写好这么多的表格，还真的不容易，没有口诀真的不行，下面这个口诀要记牢：一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框时左边写，上出框时下边放，双出占位写下方。 2 9 1 5 74 6 10 3 11 2

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小学奥数教程完美版 2018.1.18 目录第一讲奇妙的幻方 (3) 练习卷......................................... . (9) 第二讲可能性的大小（游戏与对策） (10) 练习卷 (12) 第三讲图形的面积（一） (13) 第四讲认识分数 (17) 练习卷 (21) 第五讲行程中的相遇（相遇问题） (22) 练习卷 (26) 第六讲公因数与公倍数 (27) 综合演练............................................................. (31)

第一讲幻方（第一课时）【知识概述】在一个n X n的正方形方格中，填入一些连续的数字，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等，这样的正方形方格叫做幻方。幻方一般分为奇数幻方和偶数幻方。（n 是几就表示为几阶幻方）。本讲，我们将来学习这方面的知识。例题讲学例1在一个3X 3的表格内，填入1-9九个数，（不能重复，不能遗漏），使得3个横列、3个竖列和2个斜列所加之和都相等。可以怎样填？【和为15】【思路分析】这样的3X3幻方，在填写时有一定的规律和口诀: 、四为肩，六、八为足，左七右三，戴九履一，五为中央。【注：戴指头，履指脚。】试试填一填吧!

幻方（第二课时）知识概述: 上一讲中，我们讲述了如何填写3X 3的幻方，其实在幻方的知识世界里，像3 X 3、5X 5、7X 7 像这样幻方，称之为奇数幻方，这一讲我们将来学习如何填写五阶幻方。例题：在一个5X 5的方格中，填入1-25这25个数字，使5个横列、5个竖列、2个斜列所加之和都相等。先试试看！不容易，没有口诀真的不行，下面这个口诀要记牢：一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框时左边写，上出框时下边放，双出占位写下方。你能按顺序继续写下去吗？试试看吧!

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②在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树； ③在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树；④封闭曲线上植树。基本公式棵数=段数＋1?棵距×段数=总长棵数=段数－1?棵距×段数=总长棵数=段数棵距×段数=总长关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系 5．鸡兔同笼问题基本概念鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路 ①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。基本公式 ①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数） ②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）关键问题找出总量的差与单位量的差。

小学奥数教程∶比例和反比例计算题

小学奥数教程∶比例和反比例计算题一、比例和反比例 1．同一时间、同一地点测得的树高和它的影长如下表：树高/米2346… 影长/米1.62.43.24.8… （2）树高和影长成什么比例?为什么？（3）量得一颗大树的影长是10.4米，这棵大树有多高？【答案】（1）（2）解：成正比例。因为 =1.25， =1.25， =1.25， =0.8（一定），所以，树高和影长成正比例。（3）解：设这棵大树的高度是x米。 = 1.6x=2×10.4 1.6x=20.8 1.6x÷1.6=20.8÷1.6 x=13

答：这棵大树的高度是13米。【解析】【分析】（1）观察统计图可知，横轴表示树高，竖轴表示影长，据此先描点，再连线，据此作图；（2）分别用树高：影长，求出比值，当比值一定时，成正比例，据此判断；（3）根据题意可知，设这棵大树的高度是x米，用树高：影长=树高：影长，据此列正比例解答. 2．王叔叔开车从甲地到乙地，一共用了3小时，每小时行80km，原路返回每小时行100km。返回时用了多长时间？【答案】解：设返回时用了x小时， 100x=80×3 100x=240 100x÷100=240÷100 x=2.4 答：返回时用了2.4小时. 【解析】【分析】根据题意可知，从甲地到乙地的路程是一定的，速度与时间成反比例，据此列比例解答. 3．把一瓶果汁平均分成若干杯，分的杯数和每杯的果汁量如下表。分的杯数/杯6543 每杯的果汁量/mL100120（）200 （2）分的杯数和每杯的果汁量有什么关系?为什么？（3）如果把这些果汁平均分成10杯，每杯的果汁量是多少毫升？【答案】（1）150 （2）解：成反比例，因为每杯的果汁量×分的杯数=果汁总量。（3）解：6×100÷10=60（毫升）答：每杯的果汁量是60毫升。【解析】【解答】解：（1）100×6÷4=150（mL）【分析】（1）这瓶果汁的总量不变，用总量除以4即可求出每杯的容量；（2）根据正反比例关系的意义确定这两个量的关系；（3）用果汁总量除以10即可求出每杯果汁的容量。 4．某工程队要铺设一条公路，前20天已铺设了2.8千米，照这样计算，剩下的4.2千

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分为奇数幻方和偶数幻方。（n 是几就表示为几阶幻方）。本讲，我们将来学习这方面的知识。例题讲学例1在一个3×3的表格内，填入1-9九个数，（不能重复，不能遗漏），使得3个横列、3个竖列和2个斜列所加之和都相等。可以怎样填？【和为15】【思路分析】这样的3×3幻方，在填写时有一定的规律和口诀：二、四为肩，六、八为足，左七右三，戴九履一，五为中央。【注：戴指头，履指脚。】试试填一填吧！幻方（第二课时）知识概述：

上一讲中，我们讲述了如何填写3×3的幻方，其实在幻方的知识世界里，像3×3、5×5、7×7……像这样幻方，称之为奇数幻方，这一讲我们将来学习如何填写五阶幻方。例题：在一个5×5的方格中，填入1-25这25个数字，使5个横列、5个竖列、2个斜列所加之和都相等。先试试看！看样子，要想顺利填写好这么多的表格，还真的不容易，没有口诀真的不行，下面这个口诀要记牢：一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框时左边写，上出框时下边放，双出占位写下方。幻方（第三课时）

根据上讲中的方法，把口诀运用到所有的奇数幻方中，可以继续填写七阶幻方、九阶幻方、十一阶幻方……，本讲，我们继续试着填写七阶幻方和九阶幻方。【思路点拨】再来重温一下口诀吧！一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框时左边写，上出框时下边放，双出占位写下方。 ①把1-49这49个数字填入下面方格内，使得所有的横、 ②把1-81这81个数字填入下面表方格内，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等。幻方（第四课时）上面三讲我们学习了奇数幻方的填法，那么偶数幻方该怎样填呢？下面这节课我们将来学习四阶幻方的填法。例题讲学将1-16这16个数填入下面这个4×4的方格内，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等。【思路点拨】

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小学奥数教程最完美 The pony was revised in January 2021

目录第一讲奇妙的幻方 (3) 练习卷 (9) 第二讲可能性的大小（游戏与对策） (10) 练习卷 (12) 第三讲图形的面积（一） (13) 第四讲认识分数 (17) 练习卷 (21) 第五讲行程中的相遇（相遇问题） (22) 练习卷 (26) 第六讲公因数与公倍数 (27) 综合演练 (31) 第一讲幻方（第一课时）【知识概述】

在一个n×n的正方形方格中，填入一些连续的数字，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等，这样的正方形方格叫做幻方。幻方一般分为奇数幻方和偶数幻方。（n 是几就表示为几阶幻方）。本讲，我们将来学习这方面的知识。例题讲学例1 在一个3×3的表格内，填入1-9九个数，（不能重复，不能遗漏），使得3个横列、3个竖列和2个斜列所加之和都相等。可以怎样填？【和为15】【思路分析】这样的3×3幻方，在填写时有一定的规律和口诀：二、四为肩，六、八为足，左七右三，戴九履一，五为中央。【注：戴指头，履指脚。】试试填一填吧！

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目录第一讲奇妙的幻方......................................................３练习卷......................................................． (9) 第二讲可能性的大小(游戏与对策) (10) 练习卷 (12) 第三讲图形的面积（一) (13) 第四讲认识分数 (17) 练习卷 (21) 第五讲行程中的相遇(相遇问题） (22) 练习卷............................................................2６第六讲公因数与公倍数 (27) 综合演练 (31)

第一讲幻方（第一课时）【知识概述】在一个n×ｎ的正方形方格中，填入一些连续的数字,使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等，这样的正方形方格叫做幻方。幻方一般分为奇数幻方和偶数幻方。（n 是几就表示为几阶幻方)。本讲,我们将来学习这方面的知识。例题讲学例１在一个３×３的表格内，填入１-9九个数，（不能重复，不能遗漏)，使得3个横列、3个竖列和2个斜列所加之和都相等。可以怎样填?【和为15】【思路分析】这样的3×3幻方,在填写时有一定的规律和口诀: 二、四为肩,六、八为足，左七右三，戴九履一,五为中央。【注:戴指头，履指脚。】试试填一填吧！

幻方（第二课时）知识概述: 上一讲中,我们讲述了如何填写3×3的幻方，其实在幻方的知识世界里，像3×3、5×5、7×7……像这样幻方，称之为奇数幻方，这一讲我们将来学习如何填写五阶幻方。例题：在一个５×5的方格中,填入1-25这2５个数字，使５个横列、5个竖列、２个斜列所加之和都相等。先试试看! 看样子，要想顺利填写好这么多的表格，还真的不容易,没有口诀真的不行，下面这个口诀要记牢:一居首行正中央,依次斜向右上方,右出框时左边写，上出框时下边放,双出占位写下方。

小学奥数教程∶比例和反比例计算题

小学奥数教程∶比例和反比例计算题一、比例和反比例 1．同一时间、同一地点测得的树高和它的影长如下表：树高 /米2346 影长/米 1.62.43.24.8 3）量得一颗大树的影长是10.4 米，这棵大树有多高？答案】（1） 2）解：成正比例。 1.6x=2 × 10.4 1.6x=20.8 1.6x ÷ 1.6=20.8 ÷ 1.6 x=13 答：这棵大树的高度是13 米。因为=1.25，=1.25，=1.25，=0.8（一定），所以，树高和影长成正比例。 3）解：设这棵大树的高度是x 米。

【解析】【分析】（1）观察统计图可知，横轴表示树高，竖轴表示影长，据此先描点，再连线，据此作图；（2）分别用树高：影长，求出比值，当比值一定时，成正比例，据此判断；（3）根据题意可知，设这棵大树的高度是x 米，用树高：影长=树高：影长，据此列正比例解答. 2．王叔叔开车从甲地到乙地，一共用了 3 小时，每小时行80km ，原路返回每小时行 100km。返回时用了多长时间？【答案】解：设返回时用了x 小时， 100x=80 ×3 100x=240 100x ÷ 100=240 ÷100 x=2.4 答：返回时用了2.4 小时. 【解析】【分析】根据题意可知，从甲地到乙地的路程是一定的，速度与时间成反比例，据此列比例解答. 3．把一瓶果汁平均分成若干杯，分的杯数和每杯的果汁量如下表。（）请把上表补充完整。（2）分的杯数和每杯的果汁量有什么关系?为什么？（3）如果把这些果汁平均分成10 杯，每杯的果汁量是多少毫升？【答案】（1）150 （2）解：成反比例，因为每杯的果汁量×分的杯数=果汁总量。（3）解：6×100÷10=6（0 毫升）答：每杯的果汁量是60 毫升。【解析】【解答】解：（1）100×6÷4=15（0 mL）分析】（1）这瓶果汁的总量不变，用总量除以 4 即可求出每杯的容量； 2）根据正反比例关系的意义确定这两个量的关系； 3）用果汁总量除以10 即可求出每杯果汁的容量。 4．某工程队要铺设一条公路，前20 天已铺设了2.8 千米，照这样计算，剩下的4.2 千米，还要多少天才能铺完?（用比例解）【答案】解：设还要x 天才能铺完。 2.8∶20=4.2∶x

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