北师大版七年级下册数学第二章相交线与平行线(学生、家长、教师必备)

第二章相交线与平行线

■通关口诀：

几何精华有两个；图及关系不多说。

线线关系本章讲；相交平行只一个。

平行性质和判定；几何之中是根本。

相交斜交和直交；垂直概念太重要。

余角补角要学好；还有相交对顶角。

点到直线最短距；尺规会作已知角。

定义性质和判定；学好数学称三雄。

符号图形和文字；三种语言要互通。

■正奇数学学堂

第一讲：两条直线的位置关系

【知识点一】相交线和平行线的概念。

1．相交线的定义：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。

2．平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线。

3．相交线的性质：两直线相交，只有一个交点。

4．辨析：平行线指的是两条直线，而不是线段或射线。若说两条线段平行，则指的是两条线段所在的直线平行。

5．不相交：就是说两条直线没有公共点。

6．交点数量：n条直线两两相交，最多有

〖母题示例〗

1．平面内两两相交的六条直线，其交点最多为几个？

2．下列说法正确的有（）①在同一平面内的两条线段如果不相交，那么这两条线段一定平行。②两条线段平行是指它们所在的直线平行。③在同一平面内，两条直线不可能既不平行也不相交。

A．1个

B．0个

C．2个

D．3个

【知识点二】对顶角的概念和性质

1．定义：有公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角。

2．性质：对顶角相等。

3．对顶角指的是两个角：一看顶点；二看边。

4．与相交线的关系：两条直线相交，形成两对对顶角。

5．数量：n 条直线相交于一点，有n·(n-1) 对对顶角。

〖母题示例〗

1．下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（）

3．如图，直线a，b相交，∠1=40O ，求∠2 ∠3，∠4的度数

4．下列语句中，是对顶角的语句为( )

A.有公共顶点并且相等的角

B.两条直线相交，有公共顶点的角

C.顶点相对的角

1

2

1 2 1

2

1

2

A B C D

4

3

2

1

D.两条直线相交，有公共顶点没有公共边的两个角 【知识点三】补角、余角的概念。

1．补角：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角。（互为：成双成对）

2．余角：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角。 （互为：成双成对）

3．辨析：

⑴互补（或互余）是针对两个角而言的，是成对出现的，其中一个角叫做另一个角的补角（或余角）。不能单独说一个角是补（余）角。

⑵互补（或互余）仅表明数量关系，没有限制角的位置关系。但确有数形双补（余）的角。

4．求法：角A 的补角表示为180°-A,余角表示为90°-A 。 〖母题示例〗

1．一个角的补角等于这个角的余角的6倍,求这个角的度数.

2．如图：直线AB 与CD 交于点O, ∠EOD=900

,回答下列问题：

（1）∠AOE 的余角是 ；补角是 。∠AOC 的余角是 ；补角是 ；对顶角是 。

（2）已知一个角的余角比这个角的补角的3

1

，求

这个角的余角度数。

3，画图并举例说明数形双补和数形双余的角

（邻补角、邻余角）。

4．判断题：对的打“√”, 错的打“×”。 ① 一个角的余角一定是锐角。（ ） ② 一个角的补角一定是钝角。（ ）

③ 若∠1+∠2+∠3=90°，那么∠1、∠2、∠3 互为余角。 （ ）

5．已知∠A=400

，则∠A 的余角是 ，补角是

6．一个角的补角比这个角的余角的2倍多 30°,求这个角的度数

【知识点四】余角和补角的性质。

1．余角的性质：同角或等角的余角相等。 2．补角的性质：同角或等角的补角相等。 3．辨析：每个性质包含了两个角的性质。同角和等角符号语言中的条件是不同的。

4．举例：符号语言叙述“四个”性质。第一次出现和训练“数学证明”的方法和步骤。 〖母题示例〗

1．如图点O 在直线AB 上，∠DOC 和∠BOE 都等于900

.请找出图中互余的角、互补的角、相等的

角，并说明理由。

2．A 、O 、E 三点在一条直线上，OB 平分∠AOC

∠AOB+∠DOE ＝90°，说明：∠COD ＝∠DOE

O

B

A C

D

E

O D

E

C

B

A

A

B

C

D

O

m

n

3．如图，直线AB 、CD 相交于点O ， ∠AOE=900 ，则

（1）∠1与∠2互为 角； （2）∠1与∠3互为 角； （3）∠3与∠4互为 角； （4）∠1与∠4互为 角；

4．填空（括号内填理由）： ∵∠A+∠B=90o，∠B+∠C=90o

∴∠A ∠C( ) ∵∠1+∠3=90o，∠2+∠4=90o且∠1=∠2 ∴∠3 ∠4( ) 【知识点五】垂线的概念和表示

1．概念：两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直。其中的一条直线叫做另一条直线的垂线。

2．表示：两条直线垂直，它们的交点叫垂足，通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直。给出两条直线垂直时，通常要指出垂足。

如图的两直线垂直可记为：AB ⊥CD 垂足为O 或m ⊥n 垂足为O 读法：略。

〖母题示例〗

1．如图，直线a 、b 、c 、d ，已知c ⊥a ，c ⊥b ，直线b 、c 、d 交于一点，若∠

1=500

，则∠2等于

（ ）

2．如图所示，AB ⊥CD ，垂足为点O ，EF 为过点O?的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的

是（ ）

A ．相等

B ．互余

C ．互补

D ．互为对顶

3．如图，OA ⊥OC ，OB ⊥OD ，∠BOC=30°，求∠AOB ，∠COD ，∠AOD

4． 如图，AO ⊥OB ，OD 平分∠AOC ， ∠BOC=150°，求∠DOC 的度数

●知识点六：垂线的画法

1．利用三角尺两条直角边或刻度线与所在边的垂直关系画垂线。

2．利用直尺在方格纸上画垂线。

4

321O E

D C B

A

O

D

C

B

A

O

D

C

B

A

3．利用折叠法画垂线

4．注意：

⑴画线段或射线的垂线就是画它们所在直线的垂线

⑵过线段外一点画线段的垂线，垂足可以在线段上，也可以在线段的延长线上。

⑶利用三角尺画垂线：一靠二过三画。靠线过点画线。

〖母题示例〗

1．已知直线AB，过直线上一点C和直线外一点D分别做直线AB的垂线m和n。

2．已知钝角∠AOB，点D在射线OB上

（1）画直线DE⊥OB

(2) 画直线DF⊥OA，垂足为F

【知识点七】垂线的性质。

1．垂线段与斜线段：过直线外一点作直线的垂线，这点到垂足的线段，叫做点到直线的垂线段。这点到直线上其它点（不是垂足）之间的线段叫点到直线的斜线段。

2．唯一性条件：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

3．最短性：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最段。

4．“有且只有”：两层含义。有：存在性；只有：唯一性（或数量）。

〖母题示例〗

1．如图，要把水渠中的水引到水池C中，在渠岸的什么地方开沟，水沟的长度才能最短？请画出图来，并说明理由

2．点C在直线 AB上,过点C 引两条射线CE、CD，且∠ACE=32°，∠DCB=58°，则CE、CD有何位置关系关系？为什么？

3．∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下面结论中正确的有（）个。

①点B到AC的垂线段是线段AB；

②线段AC是点C到AB的垂线段；

③线段AD是点A到BC的垂线段；

④线段BD是点B到AD的垂线段。

A、1个；

B、2个；

C、3个；

D、4个。

【知识点八】点到直线的距离

1．定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。

2．距离是一个数量：垂线段是一个图形。二者不能混为一谈。

3．常见错误：“作出点到直线的距离”就是错误的表述。

水渠