【沪科版】九年级数学上 第22章 相似形 单元综合测试(含解析)

九年级上册数学单元综合测试卷

（第22章 相似形）

注意事项：本卷共23题,满分：150分,考试时间：120分钟. 一.精心选一选（本大题共10小题,每小题4分,满分40分） 1﹒如果x ：(x +y )＝3：5,那么x y x

-的值是（ ）

A.13

B.12

C.23

D.32

2﹒若

a

b c +＝b a c

+＝

c

a b

+＝k ,则直线y ＝kx +k 一定经过（ ）

A.第一.二象限

B.第二.三象限

C.第三.四象限

D.第一.四象限

3﹒已知线段a ＝2,c ＝6,线段b 是a .c 的比例中项,则线段b 的值为（ ） A.±2

3 B.±

4 C. 23 D.12

4﹒已知两点A （5,6）.B （7,2）,先将线段AB 向左平移一个单位,再以原点

O 为位似中心,在第一象限内将其缩小为原来的12

,得到线段CD ,则点A

的对应点C 的坐标为（ ）

A.（2,3）

B.（3,1）

C.（2,1）

D.（3,3） 5﹒已知点C 在线段AB 上,且点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ）,则下列结论正确的是（ ） A.AB 2＝AC BC B.BC 2＝AC BC C.AC ＝

51

2

-BC D.BC ＝35

2-AB

6﹒如图,直线l 1∥l 2∥l 3,直线AC 分别交l 1,l 2,l 3于点A ,B ,C ；直线DF 分别交l 1,l 2,l 3于点D ,E ,F .AC 与DF 相交于点H ,且AH ＝2,HB ＝1,BC ＝5,则DE

EF

的值为（ ）

A.12

B.2

C.25

D.35

第10题图

第6题图 第7题图 第8题图 第9题图

7﹒如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠B ＝∠ACD ＝90°,若AB ＝2,DC ＝3,则△ABC 与△DCA 的面积比是（ ）

A.2：3

B.2：5

C.4：9

D.

2：3

8﹒如图,在△ABC 中,D .E 分别是BC .AC 上的点,AD 与BE 相交于点G ,若AG ：

GD ＝4：1,BD ：DC ＝2：3,则AE ：EC 的值是（ ）

A. 83

B.32

C.85

D.43

9﹒如图,Rt△ABC 中,∠C ＝90°,以点C 为顶点向△ABC 内做正方形DECF ,使正方形的另三个顶点D ,E ,F 分别在的边AB ,BC ,AC 上.若BC ＝6,AB ＝10,则正方形DECF 的边长为（ ）

A.187

B.247

C.43

D.53

10.如图,在△ABC 中,AB ＝BC ,∠ABC ＝90°,BM 是AC 边 中线,点D ,E 分别在边AC 和BC 上,DB ＝DE ,EF ⊥AC 于点F ,以下结论：①△BMD ≌△DFE ；②△NBE ∽△DBC ； ③AC ＝2DF ；④EF AB ＝CF BC ,其中正确结论的个数是 （ ）

A.1

B.2

C.3

D.4

二.细心填一填（本大题共5小题,每小题4分,满分20分）

11.如图,△ABC 中,D 为BC 上一点,∠BAD ＝∠C ,AB ＝6,BD ＝4,则CD 的长为_______.

第11题图第12题图第13题图第14题图12.如图,在△ABC中,∠C＝90°,将△ABC沿直线MN翻折后,顶点C恰好落

在边AB上的点D处,已知MN∥AB,MC＝6,NC＝23,则四边形MABN的面积是___________.

13.如图,在钝角△ABC中,AB＝6cm,AC＝12cm,动点D从点A出发到B点止,

动点E从点C出发到A点止,点D运动的速度为1cm/s,点E运动的速度为2cm/s.如果两点同时运动,那么当以点A,D,E为顶点的三角形与△ABC 相似时,运动的时间是_______________.

14.如图,正方形ABCD中,△BPC是等边三角形,BP.CP的延长线分别交AD于

点E.F,连接BD.DP.BD与CF相交于点H.给出下列结论：①△ABE≌△DCF；

②FP

PH

＝3

5

；③DP2＝PH PB；④BPD

ABCD

S

S

?

正方形

＝31

4

－.其中正确的是________.

（填写正确结论的序号）

三.（本大题共2小题,每小题8分,满分16分）

15.已知实数x.y.z满足430

320

x y

y z

-=

?

?

-=

?

,试求2

2

x y z

x y z

+-

-+

的值.

16.在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC和△DEF的顶点都在格点

上,P1,P2,P3,P4,P5是△DEF边上的5个格点,请你按要求完成下列各小题：（1）求证：△ABC是直角三角形；

（2）判断△ABC与△DEF是否相似,并说明理由；

（3）画一个三角形,使它的三个顶点为P1,P2,P3,P4,P5中的3个格点并且与△ABC相似（要求：用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法与证明）.

四.（本大题共2小题,每小题8分,满分16分）

17.已知,△ABC在直角坐标系内,三个顶点的坐标分别为A（0,3）,B（3,4）,C

（2,2）（正方形网格中每个小正方形的边长均为一个单位长度）. （1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1,点C1的坐标是______________；

（2）以点B为位似中心,在网格内画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且位似比为2：1,点C2的坐标是______________；

（3）求△A2B2C2的面积是__________平方单位.

18.如图,点P是菱形ABCD的对角线BD上一点,连接CP并延长,交AD于E,

交BA的延长线于点F.

（1）图中△APD与哪个三角形全等？并说明理由；

（2）求证：PC2＝PE PF.

五.（本大题共2小题,每小题10分,满分20分）

19.已知,如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,点E在边BC的延长线

上,且OE＝OB,连接DE.

（1）求证：DE⊥BE；

（2）如果OE⊥CD,求证：BD CE＝CD DE.

20.某市经济开发区建有B.C.D三个工厂,这三个工厂和开发区A处的自来

水厂正好在一个矩形的四个顶点上（如图所示）,他们之间有公路相通,且AB＝CD＝900米,AD＝BC＝1700米.自来水公司已经修好一条自来水主管道AN,B.C两厂之间的公路与自来水管道交于E处,EC＝500米.若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担,每米造价800元.

（1）要使修建自来水管道的造价最低,这三个工厂的自来水管道路线应是怎样设计？请你在图中画出他们的路线；

（2）求出各工厂所修建的自来水管道的最低的造价各是多少元？

六.（本题满分12分）

21.如图,四边形ABCD中,AC⊥BD交BD于点E,点F,M分别是AB,BC的中点,BN

平分∠ABE交AM于点N,AB＝AC＝BD,连接MF,NF.

（1）判断△BMN的形状,并证明你的结论；

（2）判断△MFN与△BDC之间的关系,并说明理由.

七.（本题满分12分）

22.如图,Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝6cm,BC＝8cm,动点P从点B出发,

在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒（0＜t＜2）,连接PQ.

（1）若△BPQ与△ABC相似,求t的值；

（2）连接AQ,CP,若AQ⊥CP,求t的值.

八.（本题满分14分）

23.如图,已知反比例函数y＝k

（k＞0,k为常数）的图象经过点A（1,4）,

x

点B（m,n）,其中m＞1,AM⊥x轴,垂足为M,BN⊥y轴,垂足为N,AM与BN

的交点为C.

（1）写出反比例函数的解析式；

（2）求证：△ACB∽△NOM；

（3）若△ACB与△NOM的相似比为2,求出B点的坐标及AB所在直线的解析式.

参考答案

一.精心选一选（本题共10小题,每小题3分,共30分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A

B

C

A

D

D

C

C

B

C

二.细心填一填（本题共8小题,每小题3分,共24分） 11. 5 . 12. 18

3 .

13. 3s 或4.8s . 14. ①③④ . 三.（本大题共2小题,每小题8分,满分16分） 15.解答：∵x .y .z 满足430

320x y y z -=??-=?

,

∴4332x y

y z

=??

=?,∴x

y ＝34

,z y

＝32＝64

,

∴3

x ＝4

y ＝6

z ＝k ,∴x ＝3k ,y ＝4k ,z ＝6k ,

∴22x y z x y z

+--+＝386646k k k k k k +--+＝58k k ＝58

.

16.解答：（1）证明：由图形结合勾股定理可得：AB ＝25,AC ＝5,BC ＝5,

∴AB 2+AC 2＝BC 2, ∴△ABC 是直角三角形； （2）△ABC 与△DEF 相似, 由图形结合勾股定理可得：DE ＝42,DF ＝22,EF ＝210,

∴AB DE

＝AC DF

＝BC EF

＝

104

,

∴△ABC ∽△DE ；

（3）如图,△P 2P 4P 5为所画三角形,它与△ABC 相似.

四.（本大题共2小题,每小题8分,满分16分）

17.解答：（1）如图所示,C1（2,－2）；

（2）如图所示,C2（1,0）；

（3）∵A2C22＝20,B2C22＝20,A2B22＝40,

∴A2C22＝B2C22,且A2C22+ B2C22＝A2B22,

∴△△A2B2C2是等腰直角三角形,

∴△A2B2C2的面积是1

2

×20×20＝10（平方单位）.

18.解答：（1）图中△APD与△CPD全等,理由如下：

∵四边形ABCD是菱形,

∴AD＝CD,∠ADP＝∠CDP,

又∵PD＝PD,

∴△APD≌△CPD（SAS）；

（2）证明：由（1）知：△APD≌△CPD,

∴∠DAP＝∠DCP,

∵CD∥AB,

∴∠DCF＝∠DAP＝∠CFB,

又∠FPA＝∠FPA,

∴△APE∽△FPA,

∴AP

FP ＝PE

PA

,即PA2＝PE PF,

由△APD≌△CPD得,PC＝PA,

∴PC2＝PE PF.

五.（本大题共2小题,每小题10分,满分20分）

19.解答：（1）∵四边形ABCD是平行四边形,

∴BO＝DO＝1

2

BD,

∵OE＝OB,∴OE＝OB＝DO＝1

2

BD,

∴∠OBE＝∠OEB,∠ODE＝∠OED,

∵∠OBE+∠OEB+∠ODE+∠OED＝180°,

∴∠OEB+∠OED＝90°,即∠BED＝90°,

∴DE⊥BE；

（2）∵OE⊥CD,∴∠CEO+∠DCE＝∠CDE+∠DCE＝90°, ∴∠CEO＝∠CDE,

∵OB＝OE,∴∠DBE＝∠CDE,

∵∠BED＝∠BED,

∴△BDE∽△DCE,

∴BD

CD ＝DE

CE

,即BD CE＝CD DE.

20.解答：（1）过点B.C.D分别向AN作垂线段BH.CF.DG,垂足分别为H.F.G,则线段BH.CF.DG即为所求的造价最低的管道的路线；画图如下：

（2）由题意知：BE＝BC－CE＝1200米,

由勾股定理得：AE＝22

AB BE

＝1500米,

∵四边形ABCD是矩形,CF⊥AN,

∴∠ABE＝∠CFE＝90°, 又∵∠AEB＝∠CEF,

∴△ABE∽△CFE,∴CF

AB ＝CE

AE

,即

900

CF＝500

1500

,

解得：CF＝300（米）,

∵BH⊥AN,CF⊥AN,∴BH∥CF,

∴△BHE∽△CFE,∴CF

BH ＝CE

BE

,即300

BH

＝500

1200

,

解得：BH＝720（米）,

∵DG⊥AN,∴∠ABE＝∠DGA＝90°, ∵AD∥BC,∴∠AEB＝∠DAG,

∴∴△ABE∽△DGA,∴AB

DG ＝AE

AD

,即900

DG

＝1500

1700

,

解得：DG＝1020（米）,

∴B.C.D三个工厂所建自来水管道的最低造价分别为720×800＝576000（元）,300×800＝240000（元）,1020×800＝816000（元）.

六.（本题满分12分）

21.解答：（1）△BMN是等腰直角三角形,

证明：AB＝AC,点M是BC的中点,

∴AM⊥BC,AM平分∠BAC,

∵AC⊥BD,∴∠AEB＝90°,

∴∠BAE+∠ABE＝90°,

∵BN平分∠ABE,∴∠ABN＝1

2

∠ABE,

∴∠MNB＝∠NAB+∠ABN＝1

2

(∠BAE+∠ABE)＝45°,

∴△BMN是等腰直角三角形；

（2）△MFN∽△BDC,

证明：∵F,M分别是AB,BC的中点,

∴FM ∥AC ,FM ＝12

AC ,

∵AC ＝BD ,∴FM ＝12

BD ,即FM BD

＝12

,

∵△BMN 是等腰直角三角形, ∴NM ＝BM ＝12

BC ,即NM BC

＝12

,

∴FM BD

＝NM BC

,

∵AM ⊥BC ,∴∠NMF +∠FMB ＝90°, ∵FM ∥AC ,∴∠ACB ＝∠FMB ,

∵∠CEB ＝90°,∴∠ACB +∠CBD ＝90°, ∴∠CBD +∠FMB ＝90°,∴∠NMF ＝∠CBD , ∴△MFN ∽△BDC . 七.（本题满分12分）

22.解答：（1）①△BPQ 与△ABC 相似时, 则BP BA

＝BQ BC

,

∵BP ＝5t ,QC ＝4t ,AC ＝6cm,BC ＝8cm, ∴510

t ＝848

t -,解得：t ＝1；

②△BPQ 与△BCA 相似时, 则BP BC

＝BQ BC

,即58

t ＝8410

t -,

解得：t ＝3241

,

综合上述：当t ＝1或t ＝3241

时,△BPQ 与△ABC 相似

（2）过点P 作PM ⊥BC 于点M ,设AQ 与CP 相交于点N ,则有PB ＝3t ,MC ＝8－4t ,

∵∠NAC +∠NCA ＝90°,∠PCM +∠NCA ＝90°,

∴∠NAC＝∠PCM,

又∵∠ACQ＝∠CMP＝90°, ∴△ACQ∽CMP,

∴AC

CM ＝CQ

MP

,即6

84t

-

＝4

3

t

t

,

解得：t＝7

8

.

八.（本题满分14分）

23.解答：（1）∵反比例函数y＝k

x

的图象经过点A（1,4）,点B（m,n）,

∴k＝4,∴反比例函数的解析式为y＝4

x

；

（2）∵点A（1,4）,点B（m,n）,

∴AC＝4－n,BC＝m－1,ON＝n,OM＝1,

∴AC

NO ＝4n

n

-＝4

n

－1,

∵点B（m,n）在y＝4

x

上,

∴4

m ＝n,∴AC

NO

＝m－1,而BC

MO

＝1

1

m-,

∴AC

NO ＝BC

MO

,

又∵∠ACB＝∠NOM＝90°,

∴△ACB∽△NOM；

（3）∵△ACB与△NOM的相似比为2, ∴m－1＝2,∴m＝3,

∴B（3,4

3

）,

设直线AB的解析式为y＝kx+b,

则

4

3

3

4

k b

k b

?

=+

?

?

?=+

?

,解得：

4

3

16

3

k

b

?

=-

??

?

?=

??

,

∴AB所在直线的解析式为y＝－4

3x+16

3

.