实变函数题库集答案
实变函数试题库及参考答案 本科
一、题
1．设,A B 为集合，则()\A B B U =A B U （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A ≤B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是闭集 4．有限个开集的交是开集
5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E U ≤12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设n
E ??
是可数集，则*
m E =0
7．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1
a ?∈?，()E x f x a ??≥??是可测集，则称()f x 在E 上可测 8．可测函数列的上极限也是可测函数
9．设()()n f x f x ?，()()n g x g x ?，则()()n n f x g x +?()()f x g x + 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上可积
11．设,A B 为集合，则()\B A A U ?A （用描述集合间关系的符号填写） 12．设{}
211,2,A k k =-=L ，则A =a （其中a 表示自然数集N 的基数） 13．设n
E ??
，如果E 中没有不属于E ，则称E 是闭集
14．任意个开集的并是开集
15．设1E 、2E 是可测集，且12E E ?，则1mE ≤2mE 16．设E 中只有孤立点，则*
m E =0
17．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1
a ?∈?，()E x f x a ??
18．可测函数列的下极限也是可测函数
19．设()()n f x f x ?，()()n g x g x ?，则()()n n f x g x ?()()f x g x 20．设()n x ?是E 上的单调增收敛于()f x 的非负简单函数列，则()E
f x dx =?()lim n
E
n x dx ?→∞?
21．设,A B 为集合，则()\A B B U ?B
22．设A 为有理数集，则A =a （其中a 表示自然数集N 的基数） 23．设n
E ??
，如果E 中的每个点都是内点，则称E 是开集
24．有限个闭集的交是闭集 25．设n
E ??，则*
m E ≥0
26．设E 是n
?
中的区间，则*
m E =E 的体积
27．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1
a ?∈?，()E x f x a ??≤??是可测集，则称()f x 在E 上可测
28．可测函数列的极限也是可测函数
29．设()()n f x f x ?，()()n g x g x ?..a e ，则()n f x ?()g x
30．设()n f x 是E 上的非负可测函数列，且单调增收敛于()f x ，由勒维定理，有
()E
f x dx =?()lim n E
n f x dx →∞?
31．设,A B 为集合，则()\B A B A I U =A B U
32．设A 为无理数集，则A =c （其中c 表示自然数集[]0,1的基数） 33．设n
E ??
，如果E 中没有不是内点的点，则称E 是开集
34．任意个闭集的交是闭集 35．设n
E ??
，称E 是可测集，如果n
T ???
，()**m T m T E =+I ()
*c m T E I
36．设E 是外测度为零的集合，且F E ?，则*
m F =0
37．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1
a ?∈?，()E x a f x
b ??≤
（a b ≤）则称()f x 在E 上可测
38．可测函数列的上确界也是可测函数
39．设()()n f x f x ?，()()n g x g x ?..a e ，则()()n n f x g x ?()()f x g x
40．设()()n f x f x ?，那么由黎斯定理，(){}
n f x 有子列()k n f x ，使()()k n f x f x →..a e 于E 41.设,A B 为两个集合,则__c
A B A B -I .（等于）
42.设n
E R ?,如果E 满足E E '?(其中E '表示E 的导集),则E 是闭.
43.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i)(a,b)G ? (ii),a G b G ?? 44.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数) 答案：≥ 45.设12,E E 为可测集, 2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 答案：≥ 46.设()f x 是定义在可测集E 上的实函数,若对任意实数a ,都有[()]E x f x a >是可测集E 上的可测函数.
47.设0x 是E (R ?)的内点,则*
__0m E . 答案>
48.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ?∈,则由____黎斯__定理可知得,存在{}()n f x 的子列
{}
()k
n f
x ,使得.()()
()k a e
n f x f x x E →∈.
49.设()f x 为可测集E (n
R ?)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值不一定存在且|()|f x 在E 上不一定L 可积. 50.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有界变差函数.
51．设,A B 为集合，则___(\)A B B A A U U 答案=
52．设n E R ?，如果E 满足0E E =（其中0E 表示E 的内部），则E 是开集
53．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ?且,a G b G ??，则(,)a b 必为G 的构成区间 54．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数=a (其中a 表示自然数集N 的基数) 55．设,A B 为可测集，B A ?且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B - 答案 =
56．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有[()]E x a f x b <<是可测集 57．若()E R ?是可数集，则__0mE 答案=
58．设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果.()()
()a e
n f x f x x E →∈，则
()()n f x f x ? x E ∈不一定成立
59． 设()f x 为可测集()n
E R ?上的非负可测函数，则()f x 在E 上的L 积分值一定存在
60．若()f x 是[,]a b 上的有界变差函数，则()f x 必可表示成两个递增函数的差（或递减函数的差） 多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =
中无理数，则（ ACD ）
A E 是不可数集
B E 是闭集
C E 中没有内点
D 1m
E =
2．设n
E ??
是无限集，则（ AB ）
A E 可以和自身的某个真子集对等
B E a ≥（a 为自然数集的基数）
C E '≠?
D *0m
E >
3．设()f x 是E 上的可测函数，则（ABD ）
A 函数()f x 在E 上可测
B ()f x 在E 的可测子集上可测
C ()f x 是有界的
D ()f x 是简单函数的极限
4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（ABC ）
A ()f x 在[],a b 上可测
B ()f x 在[],a b 上L 可积
C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续
D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数
5．设n
E ??
，如果E 至少有一个内点，则（ BD ）
A *m E 可以等于0
B *0m E >
C E 可能是可数集
D
E 不可能是可数集
6．设n
E ??
是无限集，则（ AB ）
A E 含有可数子集
B E 不一定有聚点
C E 含有内点
D
E 是无界的
7．设()f x 是E 上的可测函数，则（ BD ）
A 函数()f x 在E 上可测
B ()f x 是非负简单函数列的极限
C ()f x 是有界的
D ()f x 在
E 的可测子集上可测
8．设()f x 是[],a b 上的连续函数，则（ ABD ）
A ()f x 在[],a b 上可测
B ()f x 在[],a b 上L 可积，且()()()()[],b
a a
b R f x dx L f x dx =??
C ()f x 在[],a b 上L 可积，但()()()()[]
,b a a b R f x dx L f x dx ≠??
D ()f x 在[],a b 上有界
9．设()D x 是狄利克莱函数，即()[][]10,100,1x D x x ??=?
??为中有理数
为中无理数
，则（ BCD ）
A ()D x 几乎处处等于1
B ()D x 几乎处处等于0
C ()
D x 是非负可测函数 D ()D x 是L 可积函数
10．设n
E ??
，*
0m E =，则（ ABD ）
A E 是可测集
B E 的任何子集是可测集
C E 是可数集
D
E 不一定是可数集
11．设n
E ??
，()10E c
x E
x x E χ∈?=?
∈?
，则（ AB ） A 当E 是可测集时，()E x χ是可测函数 B 当()E x χ是可测函数时，E 是可测集 C 当E 是不可测集时，()E x χ可以是可测函数
D 当()
E x χ是不是可测函数时，E 不一定是可测集
12．设()f x 是(),a b 上的连续函数，则（BD ）
A ()f x 在(),a b 上有界
B ()f x 在(),a b 上可测
C ()f x 在(),a b 上L 可积
D ()f x 在(),a b 上不一定L 可积
13．设()f x 在可测集E 上L 可积，则（AC ）
A ()f x +，()f x -都是E 上的非负可积函数
B ()f x +和()f x -有一个在E 上的非负可积
C ()f x 在E 上L 可积
D ()f x 在
E 上不一定L 可积
14．设n
E ??
是可测集，则（ AD ）
A c E 是可测集
B mE <+∞
C E 的子集是可测集
D
E 的可数子集是可测集
15．设()()n f x f x ?，则（ CD ）
A ()n f x 几乎处处收敛于()f x
B ()n f x 一致收敛于()f x
C ()n f x 有子列()n f x ，使()()n f x f x →..a e 于E
D ()n f x 可能几乎处处收敛于()f x
16．设()f x 是[],a b 上有界函数，且L 可积，则（BD ）
A ()f x 在[],a b 上黎曼可积
B ()f x 在[],a b 上可测
C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续
D ()f x 在[],a b 上不一定连续
17. 设{[0,1]}E =中的无理点,则(CD)
（A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）E 中的每个点均是聚点 （D ）0mE > 18. 若E (R ?)至少有一个内点，则（BD ）
（A ）*m E 可以等于０ （B ）*
0m E = （C ）E 可能是可数集 （D ）E 不可能是可数集 19．设[,]E a b ?是可测集，则E 的特征函数()E x χ是（ABC ） （A ）[,]a b 上的符号函数 （C ）E 上的连续函数
（B ）[,]a b 上的可测函数 （D ）[,]a b 上的连续函数 20． 设()f x 是[,]a b 上的单调函数，则（ACD ）
（A ）()f x 是[,]a b 上的有界变差函数 （B ）()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数 （C ）()f x 在[,]a b 上几乎处处收敛 （D ）()f x 在[,]a b 上几乎处处可导 21．设{[0,1]}E =中的有理点，则（ AC ）
（A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集
（C ）0mE = （D ）E 中的每一点均为E 的内点 22．若()E R ?的外测度为0，则（ AB ）
（A ）E 是可测集 （B ）0mE =
（C ）E 一定是可数集 （D ）E 一定不是可数集
23．设mE <+∞，{}()n f x 为E 上几乎处处有限的可测函数列，()f x 为E 上几乎处处有限的可测函数，如果
()(),()n f x f x x E ?∈，则下列哪些结果不一定成立（ ABCD ）
（A ）
()E
f x dx ?
存在 （B ）()f x 在E 上L -可积
（C ）.()()
()a e
n f x f x x E →∈ （D ）lim ()()n E
E
n f x dx f x dx →∞=??
24．若可测集E 上的可测函数()f x 在E 上有L 积分值，则（ AD ） （A ）()()f x L E +
∈与()()f x L E -
∈至少有一个成立 （B ）()()f x L E +
∈且()()f x L E -
∈ （C ）|()|f x 在E 上也有L -积分值 （D ）|()|()f x L E ∈
三、单项选择
1．下列集合关系成立的是（ A ）
A ()\
B A A =?I B ()\A B A =?I
C ()\A B B A =U
D ()\B A A B =U
2．若n
R E ?是开集，则（ B ）
A E E '?
B 0E E =
C E E =
D
E E '=
4．设(){}
n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ B ）
A ()()lim lim n n E E
n n f x dx f x dx →∞
→∞≤??
B ()()lim lim n n E E n n f x dx f x dx →∞
→∞
≤??
C ()()lim lim n n E E
n n f x dx f x dx →∞
→∞≤??
D ()()lim lim n n
E E n n f x dx f x →∞
→∞
≤??
5．下列集合关系成立的是（ A ）
A c c A A αα
αα∈Λ∈Λ??= ???U I B c
c
A A αααα∈Λ∈Λ??= ???U U C c
c
A A αα
αα∈Λ∈Λ??= ???I I D c
c
A A αααα∈Λ∈Λ????= ? ?????
I U 6．若n R E ?是闭集，则（ C ）
A E E '=
B E E '?
C E E '?
D 0
E E =
7．设E 为无理数集，则（ C ）
A E 为闭集
B E 是不可测集
C mE =+∞
D 0m
E = 9．下列集合关系成立的是（B ）
A c c A A αα
αα∈Λ∈Λ??= ???I I B c
c
A A αααα∈Λ∈Λ??= ???I U C c
c
A A αααα∈Λ∈Λ????= ? ?????I U D c
c c A A αααα∈Λ∈Λ
??= ???I U
10．设n R E ?，则( A )
A E E ?
B E E '?
C E E '?
D
E E =
11．设P 为康托集，则（ B ）
A P 是可数集
B 0mP =
C P 是不可数集
D P 是开集 13．下列集合关系成立的是（ A ）
A 若A
B ?则c c B A ? B 若A B ?则c c A B ?
C 若A B ?则A B B =I
D 若A B ?则A B B =U
14．设n
R E ?，则（ A ）
A ()
E E = B 0E E ? C E E '? D E E '?
15．设(){},001E x x =
≤≤，则（ B ）
A 1mE =
B 0mE =
C E 是2R 中闭集
D
E 是2R 中完备集
16．设()f x ，()g x 是E 上的可测函数，则（ B ）
A ()()E x f x g x ??≥??不一定是可测集
B ()()E x f x g x ??≠??是可测集
C ()()E x f x g x ??≤??是不可测集
D ()()
E x f x g x ??=??不一定是可测集
１7．下列集合关系成立的是（A ）
（A ）(\)A B B A B =U U （B ）(\)A B B A =U （C ）(\)B A A A ?U （D ）\B A A ? 18. 若()
n E R ?是开集，则 （ B ）
（A ）E 的导集E ? （B ）E 的开核E = （C ）E E = （D ）E 的导集E = 19. 设P 的康托集，则(C)
（A ）P 为可数集 （B ）P 为开集 （C ）0mP = （D ）1mP =
20、设E 是1R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则 （ D ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 21．下列集合关系成立的是（ A ）
（A ）()()()A B C A B A C =I U I U I （B ）(\)A B A =?I （C ）(\)B A A =?I （D ）A B A B ?U I 22. 若()
n E R ?是闭集，则 （ B ）
（A ）0
E E = （B ）E E = （C ）E E '? （D ）E E '= 23. 设Q 的有理数集，则（ C ）
（A ）0mQ > （B ）Q 为闭集 （C ）0mQ = （D ）Q 为不可测集
24.设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()0E
f x dx =?，则 （ A ）
（A ）在E 上，()f x 不一定恒为零 （B ）在E 上，()0f x ≥ （C ）在E 上，()0f x ≡ （D ）在E 上，()0f x ≠ 四、判断题
1. 可数个闭集的并是闭集. （ × ）
2. 可数个可测集的并是可测集. （ √ ）
3. 相等的集合是对等的. （ √ ）
4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （ √ ）
5. 可数个F σ集的交是F σ集. （ × ）
6. 可数个可测函数的和使可测函数. （ √ ）
7. 对等的集合是相等的. (× )
8. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x =的x 全体是零测集. （ × ） 9. 可数个G σ集的并是G σ集. （ √ ）
10. 零测集上的函数是可测函数. （ √ ） 11. 对等的集合不一定相等. （ √ ） 12. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是零测集.（ √ ） 13. 可数个开集的交是开集 （ × ） 14. 可测函数不一定是连续函数. （ √ ） 15. 对等的集合有相同的基数. （ √ ）
16. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体的测度大于0 （ × ） 17. 可列个闭集的并集仍为闭集 （ × ） 18. 任何无限集均含有一个可列子集 （ √ ） 19. 设E 为可测集，则一定存在G σ集G ，使E G ?，且()\0m G E =. （ √ ） 20. 设E 为零测集，()f x 为E 上的实函数，则()f x 不一定是E 上的可测函数（ × ） 21. 设()f x 为可测集E 上的非负可测函数，则()()f x L E ∈ （ × ） 22. 可列个开集的交集仍为开集 （× ） 23. 任何无限集均是可列集 （ × ） 24. 设E 为可测集，则一定存在F σ集F ，使F E ?，且()\0m E F =. （ √ ） 25. 设E 为零测集，则()f x 为E 上的可测函数的充要条件是：?实数a 都有()E x f x a ?≥???是可测集
（ √ ）
26. 设()f x 为可测集E 上的可测函数，则
()E
f x dx ?一定存在. （ × ）
五、简答题
1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合.
答：因为任何无限集均含有可数集，所以可数集是无限集中基数最小的，但无限集没有基数最大的，这是由于任何集合A ，A 的幂集2A
的基数大于A 的基数.
2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系.
答: 内点一定是聚点，边界点不一定是聚点，点集的边界点或为孤立点或为聚点. 3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？
答：连续函数一定是可测函数；简单函数一定是可测函数；简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限
4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？
答：单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差. 5. 简述集合对等的基本性质.
答：A A :；若A B :，则B A :；若A B :，且B C :，则A C :. 6. 简述点集的内点、聚点、边界点和孤立点之间关系.
答：内点一定是聚点，内点不是孤立点，边界点由点集的孤立点和聚点组成. 7. 可测集与开集、G σ集有什么关系？
答：设E 是可测集，则0ε?>，?开集G ，使G E ?，使()\m G E ε<，或? G σ集G ，使G E ?，且()\0m G E =. 8. [],a b 上单调函数、有界变差函数与绝对连续函数有什么关系？
答：绝对连续函数是有界变差函数，反之不然；有界变差函数是单调增函数的差，而单调函数是有界变差函数. 9. 简述证明集合对等的伯恩斯坦定理.
答：若A B B *
?:，又B A A *
?:，则A B : 10. 简述1
R 中开集的结构.
答: 设G 为1
R 中开集，则G 可表示成1
R 中至多可数个互不相交的开区间的并. 11. 可测集与闭集、
F σ
集有什么关系？
答：设E 是可测集，则0ε?>，?闭集F E ?，使()\m E F ε<或? F σ集F E ?，使()\0
m E F =.
12. 为什么说绝对连续函数几乎处处可微？
答：因为绝对连续函数是有界变差，由若当分解定理，它可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处有有限的导数，所以绝对连续函数几乎处处可微.
13. 简述连续集的基数大于可数集的基数的理由.
答:连续集是无限集，因而包含可数子集，又连续集是不可数集，所以连续集的基数大于可数集的基数. 14. 简述n
R 中开集的结构.
答：n
R 中开集可表示成可数个互不相交的半开半闭区间的并 15. 可测函数列几乎处处收敛、依测度收敛和近一致收敛的关系？ 答：设()(),n f x f x 是可测集E 上的一列可测函数，那
当mE <+∞时，()(),.n f x f x a e →于E ，必有()()n f x f x ?.
反之不成立，但不论mE <+∞还是mE =+∞，(){}
n f x 存在子列(){}
k n f x ，使()(),.k n f x f x a e →于E .
当mE <+∞时，()(),.n f x f x a e →于E ，由Egoroff 定理可得()n f x 近一致收敛于()f x ，反之，无需条件
mE <+∞，结论也成立.
16. 为什么说有界变差函数几乎处处可微？
答：由若当分解定理，有界变差函数可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处可微，所以有界变差函数几乎处处可微.
17. 简述无穷多个开集的交集是否必为开集？
答：不一定，如[]1
111,11,1n n n +∞
=??
--
-+=- ???
I 18. 可测集E 上的可测函数与简单函数有什么关系？
答：简单函数必是可测函数但可测函数不一定是简单函数，可测函数一定可表示成简单函数列的极限形式. 19. [],a b 上的有界变差函数与单调函数有什么关系？
答：单调函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为单调函数，有界变差函数可表示成单调函数之差. 20. 简述无穷多个闭集的并集是否必为闭集？ 答：不一定 如()1111,11,1n n n +∞=??
--
-+=-???
?
U 21. 可测集E 上的可测函数与连续函数有什么关系？
答：E 上连续函数必为可测函数但E 上的可测函数不一定时连续函数，E 上可测函数在E 上是“基本上”连续的函数 22. [],a b 上的绝对连续函数与有界变差函数有什么关系？
答：绝对连续函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为绝对连续函数
六、计算题
1. 设()[]23
0,1\x x E f x x
x E
?∈?
=?∈??，其中E 为[]0,1中有理数集，求
()[]
0,1f x dx ?.
解：因为0mE =，所以()3,.f x x a e =于[]0,1，于是
()[]
[]
30,10,1f x dx x dx =??
，
而3
x 在[]0,1上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系，
[]
()41
3
3
1000,11
|44x x dx R x dx ===?? 因此
()[]
0,11
4
f x dx =
?
. 2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121
,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈??=?
∈??L L ，求()[]
0,1lim n n f x dx →∞?.
解：显然()n f x 在[]0,1上可测，另外由()n f x 定义知，()0,.n f x a e =于[]0,1()1n ≥ 所以
()[]
[]
0,10,100n
f x dx dx ==??
因此()[]
0,1lim
0n
n f x dx →∞
=?.
3. 设()[]2
sin 0,1\x
x P f x x x P ∈?=?
∈?，P 为康托集，求()[]
0,1f x dx ?. 解：因为0mP =，所以()2
,.f x x a e =于[]0,1
于是
()[]
[]
20,10,1f x dx x dx =
?
?
而2
x 在[]0,1上连续，所以
[]
()31
2
2
1000,11
|33x x dx R x dx ===?? 因此()[]
0,11
3
f x dx =?
.
4. 设()()
[]22
sin ,0,11n nx nx f x x n x =
∈+，求()[]
0,1lim n n f x dx →∞?. 解：因为()n f x 在[]0,1上连续，所以可测()1,2,n =L 又()()[]2222
sin 1
,0,1,1,2,1122
n nx nx nx nx f x x n n x n x nx =≤≤=∈=++L 而22
lim
01n nx
n x →∞=+，所以()lim 0n n f x →∞=.
因此由有界控制收敛定理
()[]
()[]
[]
0,10,10,1lim
lim 00n
n
n n f x dx f x dx dx →∞
→∞
===???
5. 设()3
cos 0,\2x x E f x x x E π?∈?
=?
??∈?????
?
，E 为0,
2π??
????中有理数集，求()0,2f x dx π??
??
??
?. 解：因为0mE =，所以()cos ,.f x x a e =于[]0,1 于是
()0,0,22cos f x dx xdx ππ
??
??
??????
??
=??
而cos x 在0,
2π??
????
上连续，所以黎曼可积，由牛顿莱布尼公式 []
()22
00
0,1cos cos sin |1xdx R xdx x π
π
===??
因此
()0,21f x dx π??????
=?
6. 设()()
[]22
cos ,0,11n nx nx f x x n x =
∈+，求()[]
0,1lim n n f x dx →∞?.
解：因为()n f x 在[]0,1上连续，所以可测()1,2,n =L
又()()[]2222
cos 1
,0,1,1,2,1122
n nx nx nx nx f x x n n x n x nx =≤≤=∈=++L 而22
lim
01n nx
n x →∞=+，所以()lim 0n n f x →∞=.
因此由有界控制收敛定理
()[]
()[]
[]
0,10,10,1lim
lim 00n
n
n n f x dx f x dx dx →∞
→∞
===???
7. 设()[]3
sin 0,1\x
x P f x x
x P
?∈?=?
∈??，P 为康托集，求
()[]
0,1f x dx ?.
解：因为0mP =，所以(),.f x x a e =于[]0,1 于是
()[]
[]
0,10,1f x dx xdx =??
而x 在[]0,1上连续，所以
[]
()21
2
1000,11
|22x xdx R x dx ===?? 因此
()[]
0,11
2
f x dx =
?
. 8. 求()()
0,ln lim
cos x
n n x n e xdx n -→∞+?.
解：令()()()
()0,ln cos x
n n x n f x x e x n
χ-+= 显然()n f x 在()0,+∞上可测，且
()()()()
0,0,ln cos x
n n x n e xdx f x dx n -+∞+=?? 因为()()()
()ln ln cos ,0,,1,2,x n x n x n f x e x x n n n
-++≤≤?∈+∞=L
不难验证()()
ln n x n g x n
+=
，当n 足够大时，是单调递减非负函数，且 ()lim 0n n g x →∞
=，所以
()
()()()()()
0,0,0,ln lim
lim lim n n n n n x n dx g x dx g x n →∞→∞→∞+∞+∞+∞+==???()0,00dx +∞==?
由勒贝格控制收敛定理
()()
0,lim
0n n f x dx →∞
+∞=?
故()()
0,ln lim
cos 0x
n n x n e xdx n -→∞+=?.
9. 设()[][]101001x D x x ??=?
??为，上的有理点为，上的无理点
，求
()[]01D x dx ?，
.
证明 记1E 是[]0,1中有理数集，2E 是[]0,1中无理数集，则
[]12120,1,E E E E ==?U I
，120,1mE mE ==，且()1210E E D x χχ=+，
所以
()[]
1
2
0,1100D x dx mE mE =+=?.
10 求()0
ln lim
cos x
n x n e xdx n
+∞
-→∞+?
. 证明 易知()ln lim
cos 0x
n x n e x n
-→∞+=
对任意0,1x n ≥≥，
()()
ln ln cos x x n x n e x n n
-++≤
设()ln ()x y f y y +=，0y >，则()2
ln ()y
x y x y
f y y -++'=，
当3y ≥时，
()1ln y
x y x y
<<++，()0f y '<. 则()
ln ()x n f n n
+=
是单调减函数且非负（3n ≥）； 又()ln 1
lim
lim 0n n x n n x n
→∞→∞+==+，由Levi 单调收敛定理得
()()
00ln ln lim lim 00n n x n x n dx dx dx n n
+∞
+∞+∞→∞→∞++===?
??，即
()ln ()x n L E n +∈， 再由Lebsgue 控制收敛定理得
()()0
00ln ln lim cos lim cos 00x x
n n x n x n e xdx e xdx dx n n
+∞
+∞+∞--→∞→∞++===?
??
11. 设()[]2
3
0,1x
x P
f x x
x P ?∈?=?∈-??，其中P 为康托集，求()[]01f x dx ?，
.
解：因为P 为康托集，故0mP =，[]()
0,1\1m P = 所以()[]320,1P P f x x x χχ-=+ 所以
()[]
[]()2
3
3
0,10,1f x dx x mP x m P x
=+-=?
12. 求()[]22
,0,11n nx
f x E n x =
=+，求()lim n n E
f x dx →∞?.
解：易知：[]()22
lim
00,11n nx
x n x →∞=∈+
令()()222
1
,1n nx f x g x n x x
==+， 则()()()2
22322222
2222
1110111n nx n x nx n x nx g x f x nx nx x n x x x n x n x
+-+--=-
==≥+++g g 所以()()[]()
00,1,1n f x g x x n ≤≤∈≥ 又因为()g x 在[]0,1上Lebesgue 可积， 所以由控制收敛定理，得 22
lim 001n E E
nx
dx dx n x →∞==+??
七、证明题
1．证明集合等式：(\)A B B A B =U U 证明
(\)()c A B B A B B =U I U ()()()c c A B A B B A B B B A B ===I U I U I U U U
2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE =
证明 设F 是[0,1]中的有理数集，则F 是可数集，从而*
0m F =，因此F 是可测集，从而c
F 可测，又
[0,1]\[0,1]c E F F ==I ，故E 是可测集.由于E F =?I ，所以
1[0,1]()0m m E F mE mF mF ===+=+U ，故1mF =
3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集 证明 设{}n r 为全体有理数所成之集，则
()1
1
[|()()][|()()][|()][|()]n n n n n E x f x g x E x f x r g x E x f x r E x g x r ∞∞
==>=≥>=≥
因为(),()f x g x 是E 上的可测函数，所以[|()]n E x f x r ≥，[|()]n E x g x r <是可测集，1,2,n =L ，于是由可测
集性质知[|()()]E x f x g x >是可测集
4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1
[|()|]|()|E mE x f x a f x dx a
≥≤
? 证明 因为()f x 在E 上可测，所以|()|f x 在E 上非负可测，由非负可测函数积分性质，
[|()|]
[|()|]
|()||()|E x f x a E x f x a E
adx f x dx f x dx ≥≥≤≤?
?
?
而
[|()|]
[|()|]E x f x a adx a mE x f x a ≥=?≥?
，所以
1
[|()|]|()|E
mE x f x a f x dx a ≥≤
? 5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞
=，则
lim ()0n
E n f x dx →∞=?
证明 因为lim 0n n mE →∞
=，所以0,1N δ?>?≥，当n N ≥时，n mE δ<，又()f x 在E 上L -可积，所以由积分的绝
对连续性，0,0,εδ?>?>当,e E me δ?<时|
()|e
f x dx ε
于是当n N ≥时，n mE δ<，因此|()|n
E f x dx ε
，即lim ()0n
E n f x dx →∞=?
6．证明集合等式：\(\)A A B A B =I
证明 \(\)()(())()c c c c c c
A A
B A A B A A B A A B ===I I I U I U ()()c
A A A
B A B ==I U I I
7．设12,A A 是[0,1]的可测子集，且121mA mA +>，则12()0m A A >I
证明 因为12[0,1],[0,1]A A ??，所以12[0,1]A A ?U ，于是12()[0,1]1m A A m ≤=U
另一方面，121122[\()]A A A A A A =U I U ，所以
()12112211221122
()[\()][\()]()m A A m A A A A m A A A mA mA m A A mA ==+=-+U I U I I 于是
121212()()0m A A mA mA m A A =+->I U
8．设()f x 是定义在可测集n
E R ?上的实函数，n E 为E 的可测子集（1,2,n =L ），且1
n
n E E
∞
==U ，则()f x 在E 上
可测的充要条件是()f x 在每个n E 上可测 证明 对任何实数a ，因为 1
1
[|()][|()]([|()])n n
n n E x f x a E x f x a E
E x f x a ∞∞
==>=
>=>I U U
所以()f x 在E 上可测的充要条件是对每个1,2,n =L ，()f x 在每个n E 上可测
9．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有()[|()]a
f x E
mE x f x a e e dx -≥≤?
证明 因为()f x 在E 上可测，所以()
f x e
是非负可测函数，于是由非负可测函数积分性质，
()()[|()]
[|()]
a f x f x E x f x a E x f x a E
e dx e dx e dx ≥≥≤≤?
?
?
而
[|()]
[|()]a a E x f x a e dx e mE x f x a ≥=?≥?
，
所以 ()[|()]a
f x E
mE x f x a e
e dx -≥≤?
10．设()f x 是E 上的可积函数，{}n E 为E 的一列可测子集，mE <+∞，如果lim n n mE mE →∞
= 则lim
()()n
E E
n f x dx f x dx →∞=??
证明 因()f x 在E 上L -可积，由积分的绝对连续性知，对任意0ε>，存在0δ>，对任何A E ?，当mA δ<时有|
()|A
f x dx ε
，由于lim n n mE mE →∞
=<+∞，故对上述的0δ>，存在0k ，当0n k >时n E E ?，且有
()n n mE mE m E E δ-=-<，于是
|
()()||()|n
n
E
E E E f x dx f x dx f x dx ε--=
??
，
即 lim
()()n
E E
n f x dx f x dx →∞=??
11．证明集合等式：()\(\)(\)A B C A C B C =U U
证明 ()\()()()(\)(\)c
c
c
A B C A B C A C B C A C B C ===U U I I U I U 12．设n
E R ?是零测集，则E 的任何子集
F 是可测集，且0mF =
证明 设F E ?，*
0m E =，由外测度的单调性和非负性，*
00m F mE ≤≤=，所以 *
0m F =，于是由卡氏条件易知F 是可测集
13．设(),(),(),()n n f x g x f x g x 是E 上几乎处处有限的可测函数，且()()n f x f x ?，()()n g x g x ?，则
()()()()n n f x g x f x g x +?+
.证明 对任何正数0σ>，由于
|(()())(()())||()()||()()|n n n n f x g x f x g x f x f x g x g x +-+≤-+- 所以[|(()())(()())|]n n E x f x g x f x g x σ+-+≥ [|()()|][|()()|]2
2
n n E x f x f x E x g x g x σ
σ
?-≥
-≥
U
于是[|(()())(()())|]n n mE x f x g x f x g x σ+-+≥ [|()()|][|()()|]2
2
n n mE x f x f x mE x g x g x σ
σ
≤-≥
+-≥
0()n →→∞
故()()()()n n f x g x f x g x +?+ 14．设(),()f x g x 是E 上L -
E 上也是L -可积的
证明 因(),()f x g x 是E 上L -可积，所以|()|,|()|f x g x 在E 上L -可积，从而 |()||()|f x g x +L -可积，
|()||()|f x g x ≤=+
E 上L -可积
15．设()f x 是可测集E 上的非负可测函数，如果
()0E
f x dx =?
，则()0.f x a e =于E
证明 反证，令[|()0]A E x f x =>，则由()f x 的可测性知，A 是可测集.下证0mA =，若不然，则0mA >
由于1
1
[|()0][|()]n A E x f x E x f x n ∞
==>=
≥U ，所以存在1N ≥，使 1
[|()]0mE x f x d N
≥
=> 于是
1
1
[|()]
[|()]
111()()[|()]0E
E x f x E x f x N
N
d
f x dx f x dx dx mE x f x N N N N
≥≥≥≥=≥=>?
?
?
因此
()0E
f x dx >?
，矛盾，故()0.f x a e =于E
16．证明等式：\()(\)(\)A B C A B A C =U I 证明
\()()()()()(\)(\)c
c
c
c
c
A B C A B C A B C A B A C A B A C ====U I U I I I I I I
17．设n
E R ?是有界集，则*m E <+∞
.证明 因为E 是有界集，所以存在开区间I ，使E I ?
由外测度的单调性，**
m E m I ≤，而*
||m I I =<+∞（其中||I 表示区间I 的体积），所以
*m E <+∞
18．1R 上的实值连续函数()f x 是可测函数
证明 因为()f x 连续，所以对任何实数a ，{|()}x f x a >是开集，而开集为可测集，因此()f x 是可测函数 19．设mE <+∞，函数()f x 在E 上有界可测，则()f x 在E 上L -可积，从而[,]a b 上的连续函数是L -可积的 证明 因为()f x 在E 上有界可测，所以存在0M >，使|()|f x M <，x E ∈，|()|f x 是非负可测函数，由非负可测函数的积分单调性，
|()|E
E
f x dx Mdx M mE <=?<+∞??
故|()|f x 在E 上L -可积，从而()f x 在E 上L -可积 因为[,]a b 上的连续函数是有界可测函数，所以L -可积的 20．设()n f x （1,2,n =L ）是E 上的L -可积函数，如果lim |()|0n
n E n f x dx →∞=?
，则()0n f x ?
证明 对任何常数0σ>，[|()|]
[|()|]|()|n n n E x f x mE x f x f x dx σσσ≥?≥≤
?
所以 [|()|]
1
[|()|]|()|n n n E x f x mE x f x f x dx σσσ
≥≥≤?
1
|()|0()n
E
f x dx n σ
≤→→∞?
因此 ()0n f x ?
21. 证明集合等式 ：()()()\\\A B C A C B C =U U .
证明 ()()()()
()()\\\c c c A B C A B C A C B C A C B C ===U U I I U I U 22. 设[]{}00,1E =
中的有理点，则0
E
为可测集且00mE =.
证明 因为0E 为可数集，记为{}012,,,n E r r r =L L ，
0ε?>，取()11,1,2,22n n n n n I r r n εε++?
?=--= ??
?L
显然 01
n n E I +∞=?U ，所以001
1
102
n n n n n n E I m E I ε
ε+∞
+∞
+∞
*
===?≤≤
==∑
∑
U ，
让0ε→，得00m E *
=.
n T R ?∈，由于()()00c T T E T E =I U I
所以()(
)00
c
m T m T E m T E *
*
*
≤+I I .
又00,0c T E T m E *
?=I ，所以()()()
000c c m T m T E m T E m T E ****≥=+I I I .
故()()
00c m T m T E m T E ***=+I I 故0E 为可测集，且00mE =
23. 证明：1R 上的实值连续函数()f x 必为1R 上的可测函数
证明 1
,a b R ?∈，不妨假设a b <，因为()f x 是1R 上的连续函数，故()f x 是[],a b 上的连续函数，记[],F a b =，
由()f x 在F 上连续，则(),M m m M ?<，使()m f x M ≤≤，则显然易证，()1,R F f αα?∈≥是闭集，即()f x 为[],a b 上的可测函数，
由,a b 的任意性可知，()f x 是1R 上的可测函数.
24. 设()()f x L E ∈，{}n E 为E 的一列可测子集，mE <+∞ ，如果lim n n mE mE →∞
=，则()()lim
n
n E E
f x dx f x dx →∞
=??.
证明 因()f x 在E 上L 可积，由积分的绝对连续性知，对任意0ε>，存在0δ>，对任何A E ?，当mA δ<时有
|()|A
f x dx ε
=<+∞，故对上述的0δ>，存在0k ，当0n k >时n E E ?，且有
()n n mE mE m E E δ-=-<，于是
\|()()||()|n
n
E
E E E f x dx f x dx f x dx ε-=
，即
lim ()()n
E E
n f x dx f x dx →∞=??
25. 证明集合等式 ：()()()\\\A B C A B A C =U U . 证明
()()()
()()()()
\\\c
c c c
c
A B C A B C A B C A B A C
A B A C ====U I U I I I I I I
26. 设1
E R ?，且0m E *
=，则E 为可测集.
证明 n
T R ?∈，由于()()
n c T R T T E T E ?∈=I U I
所以()(
)c
m T m T E m T E
*
*
*
≤+I I .
又,0c
T E T m E *
?=I ，所以(
)
()(
)
c c
m T m T E m T E m T E ****≥=+I I I .
故()(
)c
m T m T E m T E
*
*
*
=+I I
所以E 为可测集
27. 证明：1
R 上的单调函数()f x 必为可测函数.
证明 1
,a b R ?∈，不妨假设a b <，因为()f x 是1
R 上的单调函数，不妨设()f x 为单调增函数，故()f x 是[],a b 上
实变函数试题库(5)及参考答案
实变函数试题库及参考答案（5） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则___(\)A B B A A 2．设n E R ?，如果E 满足0 E E =（其中0 E 表示E 的内部），则E 是 3．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ?且,a G b G ??，则(,)a b 必为G 的 4．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5．设,A B 为可测集，B A ?且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B - 6．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有[()]E x a f x b <<是 7．若()E R ?是可数集，则__0mE 8．设 {}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果 .()() ()a e n f x f x x E →∈，则()()n f x f x ?x E ∈（是否成立） 二、选择题 1、设E 是1 R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则 （ ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 2．下列集合关系成立的是（ ） （A ）()()()A B C A B A C = （B ）(\)A B A =? （C ）(\)B A A =? （D ）A B A B ? 3. 若() n E R ?是闭集，则 （ ） （A ）0 E E = （B ）E E = （C ）E E '? （D ）E E '= 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设{[0,1]}E =中的有理点 ，则（ ） （A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）0mE = （D ）E 中的每一点均为E 的内点
实变函数期末考试卷A卷完整版
实变函数期末考试卷A 卷 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
实变 函数 一、 判断题（每题2分，共20分） 1.若A 是B 的真子集，则必有B A <。 （×） 2.必有比a 小的基数。 （√） 3.一个点不是E 的聚点必不是E 的内点。 （√） 4.无限个开集的交必是开集。 （×） 5.若φ≠E ，则0*>E m 。 （×） 6.任何集n R E ?都有外测度。 （√） 7.两集合的基数相等，则它们的外测度相等。 （×） 8.可测集的所有子集都可测。 （×） 9.若)(x f 在可测集E 上可测，则)(x f 在E 的任意子集上也可测。（×） 10.)(x f 在E 上可积必积分存在。 （×） 1.设E 为点集，E P ?，则P 是E 的外点.（ × ） 2.不可数个闭集的交集仍是闭集. （ × ） 3.设{}n E 是一列可测集,且1,1,2,,n n E E n +?=则 1( )lim ().n n n n m E m E ∞ →∞ ==（× ） 4.单调集列一定收敛. （√ ） 5.若()f x 在E 上可测,则存在F σ型集,()0F E m E F ?-=,()f x 在F 上连续.（ × ） 二、填空题（每空2分，共20分） 1.设B 是1R 中无理数集，则=B c 。 2.设1,1,,3 1,21,1R n A ???????= ，则=0A φ ，='A }0{ 。 3.设 ,2,1,0),1 1,11(=++-=n n n A n ，则=?∞=n n A 0 )1,1(- ，=?∞=n n A 1 }0{ 。 4.有界变差函数的不连续点构成的点集是 至多可列 集。
实变函数试题库(4)及参考答案
实变函数试题库及参考答案（4） 本科 一、填空题 1.设,A B 为两个集合,则__c A B A B - . 2.设n E R ?,如果E 满足E E '?(其中E '表示E 的导集),则E 是 3.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i) ）（b a ,G (ii),a G b G ?? 4.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5.设12,E E 为可测集,2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 6.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ?∈,则由______定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()() ()k a e n f x f x x E →∈. 7.设()f x 为可测集E (n R ?)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值存在且|()|f x 在E 上L 可积.（填“一定”“不一定”） 8.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有 二、选择题 1．设(){},001E x x =≤≤，则（ ） A 1mE = B 0mE = C E 是2R 中闭集 D E 是2R 中完备集 2．设()f x ，()g x 是E 上的可测函数，则（ ） A 、()()E x f x g x ??≥??不一定是可测集 B 、()()E x f x g x ??≠??是可测集 C 、()()E x f x g x ??≤??是不可测集 D 、()() E x f x g x ??=??不一定是可测集 3．下列集合关系成立的是（） A 、(\)A B B A B = B 、(\)A B B A = C 、(\)B A A A ? D 、\B A A ? 4. 若() n E R ?是开集，则 （ ） A 、E 的导集E ? B 、E 的开核E =C 、E E =D 、E 的导集E =
实变函数 期末考试
黄冈师范学院 2015—2016学年度第学期一期末试卷 考试课程：实变函数 考核类型：考试A 卷 考试形式：闭卷 出卷教师：陈文略 考试专业：应数 考试班级：应数2013 一、填空题：(3分×5题=15分) 1、实数R 的基数为 。 2、设[)(]1,01,0:→f 为一一映射，则()=x f 。 3、非真正的实数是指： 。 4、在区间[]b a ,上的单调函数 连续。 5、若)(x f 在[a ，b]上严格单调，则()f V b a = 二、选择题：(3分×5题=15分) （1）与[)1,0间不存在一一对应的是（ ） A 、有理数Q B 、平面2R C 、实数R （2）对于连续基数c, 下列不成立的是（ ） A 、4c=c B 、c c a =+ C 、c aa = （3）f f n ?与f f n →的关系是（ ） A 、f f n ?则f f n → B 、f f n →则f f n ? C 、都不是 （4）下列正确的表述是（ ） A 、[][]a f E a f E B 、[][]a f E a f E =?> C 、[]??????+>=≥∞ =k a f E a f E k 11
（5）[](){}2221,,1,0R y x y x B R A ?≤+=?=，则B A ?为 A 、圆 B 、圆柱 C 、圆锥 三、计算与证明：(6分×7题=42分) （1）已知(){}2221,R y x y x E ?<+=，求'E （2）证明在区间[]1,01R ?中，不含数码7的点的全体所成之集为一零测度集． （3）证明：有理数集R Q ?为零测度集． （4）已知()()x g x f = a.e. 于E,()()x h x g = a.e. 于E . 证明：()()x h x f = a.e. 于E. （5）对于任何有限实数a ，若[]a f E ≥可测，证明[]a f E >可测. （6）()x f 为E=[0，1]上的狄利克雷函数，求()dx x f E ? （7）已知()x x f sin =，求：()f V π 20 . 四、证明：若()*0m E E φ=≠，E A ?, 则A 可测， 且 0=mA （9分） 五、已知函数()2x x f =，[]1,0∈x 求：()f E mG , (9分) 六、已知()x x f =，求当00=x 时的下列列导数 (1) {}n h 中n h n 1 = (2) {}n h 中n h n 1 -= (10分)
实变函数期末考试卷A及参考答卷
2011—2012学年第1学期 数计学院09级数学与应用数学专业(1、2班) 《实变函数》期末考试卷（A）
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实变函数期末考试卷(A) 2009级本科1、2班用 考试时间2012年01月 04日 一 填空题（每小题3分，满分24分） 1 我们将定义在可测集q E ??上的所有L 可测函数所成的集合记为()M E .任取()f M E ∈，都可以确定两个非负可测函数： 试卷 共 8 页 第 2 页
()()()(),0, 0,0.f x x E f f x x E f + ∈>?=? ∈≤? 当时当时 和()()()()0, 0, ,0. x E f f x f x x E f - ∈>?=?-∈≤? 当时当时 分别称为f 的正部和负部。请你写出()()(),,f x f x f x + -和()f x 之间的关系： ()f x = ， ()f x = 。 2 上题()M E 中有些元素?被称为非负简单函数，指的是： 12k E E E E =U UL U 是有限个互不相交的可测集的并集，在i E 上()i x c ?≡ （非负常数）（1,2,,i k =L ）.?在E 上的L 积分定义为： ()E x dx ?= ?， 这个积分值可能落在区间 中，但只有当 时才能说?是 L 可积的。 3 若()f M E ∈是非负函数，则它的L 积分定义为： ()E f x dx = ?， 这个积分值可能落在区间 中，但只有当 时才能说f 是 L 可积的。 4 ()M E 中的一般元素f 称为是积分确定的，如果f +和f - ， 即()E f x dx + ?和()E f x dx -?的值 ；但只有当 时 才能说f 是L 可积的，这时将它的积分定义为： ()E f x dx = ?。 5 从()M E 中取出一个非负函数列(){}n f x ，则法图引理的结论是不等式： ； 如果再添上条件和 就 得到列维定理的结论： 。 6 设f 和()1,2,n f n =L 都是()M E 中的可测函数，满足 ()()lim n n f x f x a e →∞ =g g 于E 或n f f ?两个条件之一。 或 的结论：
实变函数习题解答
第一章习题解答 1、证明 A Y(B I C)＝(A Y B)I(A Y C) 证明：设x∈A Y(B I C)，则x∈A或x∈(B I C)，若x∈A，则x∈A Y B，且 x∈A Y C，从而x∈(A Y B)I(A I C)。若x∈B I C，则x∈B且x∈C，于是x∈A Y B 且x∈A Y C，从而x∈(A Y B)I(A Y C)，因此 A Y(B I C) ? (A Y B)I(A Y C) (1) 设x∈(A Y B) I(A Y C)，若x∈A，则x∈A Y(B I C)，若x∈A，由x∈A Y B 且x∈A Y C知x∈B且x∈C，所以x∈B I C，所以x∈A Y(B I C)，因此 (A Y B)I(A Y C) ? A Y(B I C) (2) 由(1)、(2)得，A Y(B I C)＝(A Y B)I(A Y C) 。 2、证明 ①A－B＝A－(A I B)＝(A Y B)－B ②A I(B－C)＝(A I B)－(A I C) ③(A－B)－C＝A－(B Y C) ④A－(B－C)＝(A－B)Y(A I C) ⑤(A－B)I(C－D)＝(A I C)－(B Y D) (A－B)＝A I B A－(A I B)＝A I C(A I B)＝A I(CA Y CB) ＝(A I CA)Y(A I CB)＝φY(A I CB)＝A－B (A Y B)－B＝(A Y B)I CB＝(A I CB)Y(B I CB) ＝(A I CB)Yφ＝A－B ②(A I B)－(A I C)＝(A I B)I C(A I C) ＝(A I B)I(CA Y CC)＝(A I B I CA)Y(A I B I CC)＝φY[A I(B I CC)]＝ A I(B－C) ③(A－B)－C＝(A I CB)I CC＝A I C(B Y C) ＝A－(B Y C) ④A－(B－C)＝A I C(B I CC)＝A I(CB Y C) ＝(A I CB) Y(A I C)＝(A－B)Y(A I C) ⑤(A－B)I(C－D)＝(A I CB)I(C I CD) ＝(A I C)I(CB I CD)＝(A I C)I C(B Y D)
(20080619)实变函数期末复习指导(文本)
（2008.06.19）实变函数期末复习指导（文本） 中央电大教育学院陈卫宏2008年07月01日 陈卫宏：大家好！这里是“实变函数”教学活动。 考试时间 实变函数期末考试时间：7月12日,8：30~10：00. 期末考试题型比例 单选题5（20分） 填空题5（20分） 证明题4（60分） 第1章考核要求 ⑴了解集合的表示，子集，理解集合的并、交、差、补等概念，特别是一列集合的并与交的概念； ⑵掌握集合的运算律，会求一列简单集合的并、交以及上极限和下极限； ⑶熟练掌握证明两个集合相等的方法（互为子集）并会具体应用； ⑷了解单射、满射、双射及对等的概念，知道基数相等与大小的定义，会用伯恩斯坦定理； ⑸理解可列集的定义及等价条件（可排成无穷序列的形式），了解可列集的运算性质，理解有理点集是可列集； ⑹了解常见的连续集和连续集的运算，知道基数无最大者。 第2章考核要求 ⑴了解距离、收敛、邻域、孤立点、边界点、内核、导集、闭包等概念，会求简单集合的内核、导集和闭包，理解聚点的定义及其等价条件； ⑵掌握波尔查诺——维尔斯特拉斯定理的条件和结论； ⑶了解开集、闭集、完备集的定义以及开集、闭集在并、交运算之下的性质，开集与闭集互为补集，掌握直线上开集的构造；
⑷了解波雷尔有限覆盖定理、距离可达定理和隔离性定理的条件和结论； ⑸理解康托集的构造及其性质。 第3章考核要求 ⑴理解勒贝格外测度的定义及其性质，知道可列集的测度为零，区间的测度等于其体积； ⑵理解可测集的（卡拉皆屋铎利）定义，了解可测集的充分必要条件以及可测集的运算性质； ⑶熟练掌握单调可测集列极限的测度； ⑷知道Gδ型集、Fσ型集以及波雷尔集的定义，了解常见的勒贝格可测集，掌握可测集同开集、闭集和可测集同Gδ型集、Fσ型集之间的关系。 第4章考核要求 ⑴知道点集上连续函数的定义和点集上连续函数列一致收敛的极限函数的连续性，了解函数列上、下极限的概念，理解“几乎处处”的概念； ⑵熟练掌握可测函数的定义及其等价条件，掌握可测函数的判定方法，理解可测函数关于四则运算和极限运算的封闭性、连续函数和简单函数皆可测以及可测函数可表示为简单函数列的极限； ⑶了解叶果洛夫定理，理解依测度收敛的定义，知道依测度收敛与几乎处处收敛二者互不包含，理解刻划依测度收敛和几乎处处收敛之间关系的勒贝格定理和黎斯定理，知道依测度收敛的极限函数是惟一的（把几乎处处相等的函数视为同一函数）； ⑷理解刻划可测函数同连续函数之间关系的鲁金定理（两种形式）。 第5章考核要求 ⑴知道测度有限集合上有界函数勒贝格积分的定义，理解测度有限集合上有界函数勒贝格可积的充分必要条件是有界可测； ⑵了解测度有限集合上有界函数勒贝格积分的简单性质，理解闭区间上有界函数黎曼可积必勒贝格可积且二者积分相等； ⑶了解一般集合上非负函数勒贝格积分存在和勒贝格可积的定义，非负函数积分存在的充分必要条件是非负可测； ⑷理解一般集合上一般函数勒贝格积分存在和勒贝格可积的定义，熟练掌握一般可测集上一般函数勒贝格积分的性质； ⑸理解积分极限定理，特别是勒贝格控制收敛定理及其应用；
聊城大学实变函数期末试题
《实变函数》 一、单项选择题 1、下列各式正确的是（ C D ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =?? （C ）1lim n n n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n n n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ D ） （A ）=P c (B) 0m P = (C) P P =' (D) P P = 3、下列说法不正确的是（ B ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( A ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 （C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5. 下列说法不正确的是( C ) (A) 0P 的任一领域内都有E 中无穷多个点，则0P 是E 的聚点 (B) 0P 的任一领域内至少有一个E 中异于0P 的点，则0P 是E 的聚点 (C) 存在E 中点列{}n P ，使0n P P →，则0P 是E 的聚点 (D) 内点必是聚点 6.设)(x f 在E 上L 可积,则下面不成立的是( C ) (A))(x f 在E 上可测 (B))(x f 在E 上a.e.有限 (C))(x f 在E 上有界 (D))(x f 在E 上L 可积 7. 设}{n E 是一列可测集，12n E E E ???? ，则有（B ）。 （A ）1lim n n n n m E m E ∞=→∞???> ??? (B) 1lim n n n n m E m E ∞ =→∞ ???= ???
(完整版)实变函数证明题大全(期末复习)
1、设',()..E R f x E a e ?是上有限的可测函数，证明：存在定义在'R 上的一列连续函数 {}n g ，使得lim ()()..n n g x f x a e →∞ =于E 。 证明：因为()f x 在E 上可测，由鲁津定理是，对任何正整数n ，存在E 的可测子集n E ， 使得1 ()n m E E n -< ， 同时存在定义在1R 上的连续函数()n g x ，使得当n x E ∈时，有()()n g x f x =所以对任意的0η>，成立[||]n n E f g E E η-≥?-由此可得 1[||]()n n mE f g n m E E n -≥≤-< ，因此lim [||]0n n mE f g n →∞-≥=即()()n g x f x ?， 由黎斯定理存在{}n g 的子列{}k n g ，使得lim ()()k n k g x f x →∞ =，..a e 于E 2、设()(,)f x -∞∞是上的连续函数，()g x 为[,]a b 上的可测函数，则(())f g x 是可测函数。 证明：记12(,),[,]E E a b =-∞+∞=，由于()f x 在1E 上连续，故对任意实数1,[]c E f c >是 直线上的开集，设11 [](,)n n n E f c α β∞ =>=U ，其中(,)n n αβ是其构成区间（可能是有限 个 ， n α可 能为 -∞ n β可有为 +∞ ）因此 22221 1 [()][]([][])n n n n n n E f g c E g E g E g αβαβ∞ ∞ ==>=<<=><都可测。故[()]E f g c >可测。 3、设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数a ，{|()}E x f x a =>是一开集，而{|()}E x f x a =≥总是一闭集。 证明：若00,()x E f x a ∈>则，因为()f x 是连续的，所以存在0δ>，使任意(,)x ∈-∞∞， 0||()x x f x a δ-<>就有， 即任意00U(,),,U(,),x x x E x E E δδ∈∈?就有所以是 开集若,n x E ∈且0(),()n n x x n f x a →→∞≥则，由于()f x 连续，0()lim ()n n f x f x a →∞ =≥， 即0x E ∈，因此E 是闭集。 4、（1）设2121 (0,),(0,),1,2,,n n A A n n n -==L 求出集列{}n A 的上限集和下限集 证明：lim (0,)n n A →∞ =∞设(0,)x ∈∞，则存在N ，使x N <，因此n N >时，0x n <<，即
(完整版)《实变函数及泛函分析基础》试卷及答案
试卷一： 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（ ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 （C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有
实变函数综合练习题
实变函数综合练习题 《实变函数》综合训练题（一） （含解答） 一、选择题（单选题） 1、下列集合关系成立的是（ A ） （A ）(\)A B B A B ?=? （B ）(\)A B B A ?= （C ）(\)B A A A ?? （D ）(\)B A A ? 2、若n E R ?是开集，则（ B ） （A ）E E '? （B ）E 的内部E = （C ）E E = （D ）E E '= 3、设P 是康托集，则（ C ） （A ）P 是可数集 （B ）P 是开集 （C ）0mP = （D ）1mP = 4、设E 是1R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则（ D ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 5、设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()d 0E f x x =?，则（ A ） （A ）在E 上，()f z 不一定恒为零 （B ）在E 上，()0f z ≥ （C ）在E 上，()0f z ≡ （D ）在E 上，()0f z ≠ 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E 是[0,1]中的无理点全体，则（C 、D ） （A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）E 中的每一点都是聚点 （D ）0mE > 2、若1E R ?至少有一个内点，则（ B 、D ）
（A ）*m E 可以等于零 （B ）* 0m E > （C ）E 可能是可数集 （D ）E 是不可数集 3、设[,]E a b ?是可测集，则E 的特征函数()E X x 是 （A 、B 、C ） （A ）[,]a b 上的简单函数 （B ）[,]a b 上的可测函数 （C ）E 上的连续函数 （D ）[,]a b 上的连续函数 4、设()f x 在可测集E 上L 可积，则（ B 、D ） （A ）()f z +和()f z - 有且仅有一个在E 上L 可积 （B ）()f z + 和()f z - 都在E 上L 可积 （C ）()f z 在E 上不一定L 可积 （D ）()f z 在E 上一定L 可积 5、设()f z 是[,]a b 的单调函数，则（ A 、C 、D ） （A ）()f z 是[,]a b 的有界变差函数 （B ）()f z 是[,]a b 的绝对连续函数 （C ）()f z 在[,]a b 上几乎处处连续 （D ）()f z 在[,]a b 上几乎处处可导 三、填空题（将正确的答案填在横线上） 1、设X 为全集，A ，B 为X 的两个子集，则\A B =C A B ? 。 2、设n E R ?，如果E 满足E E '?，则E 是 闭 集。 3、若开区间(,)αβ是直线上开集G 的一个构成区间，则(,)αβ满足(,)G αβ?、 ,G G αβ??。 4、设A 是无限集，则A 的基数A ≥ a （其中a 表示可数基数） 。 5、设1E ，2E 为可测集，2mE <+∞，则12(\) m E E ≥ 12mE mE -。 6、设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，若对任意实数a ，都有[()]E x f x a > 是 可测集 ，则称()f x 是可测集E 上的可测函数。
实变函数论考试试题及答案
实变函数论考试试题及答案 证明题：60分 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ ==UI 。 证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以I ∞ +=∈ 1 n m m A x Y I ∞=∞ =?1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim YI ∞ =∞ =?1n n m m A 。设YI ∞ =∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使I ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此，n n A lim ∞ →=YI ∞=∞ =1n n m m A 。 2、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<， 证明E 是可测集。 证明：对任何正整数n ， 由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。 令I ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ， 对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 3、设在E 上()()n f x f x ?，且1()()n n f x f x +≤几乎处处成立，Λ,3,2,1=n , 则有{()}n f x .收敛于)(x f 。 证明 因为()()n f x f x ?，则存在{}{}i n n f f ?，使()i n f x 在E 上.收敛到()f x 。设 0E 是()i n f x 不收敛到()f x 的点集。1[]n n n E E f f +=>，则00,0n mE mE ==。因此 ()0n n n n m E mE ∞∞==≤=∑U 。在1 n n E E ∞ =-U 上，()i n f x 收敛到()f x ， 且()n f x 是单调的。 因此()n f x 收敛到()f x （单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）。 即除去一个零集1n n E ∞ =U 外，()n f x 收敛于()f x ，就是()n f x . 收敛到()f x 。
实变函数期末考试题库
《实变函数》期末考试试题汇编 目录 《实变函数》期末考试模拟试题（一） (2) 《实变函数》期末考试模拟试题（二） (7) 《实变函数》期末考试模拟试题（三） (13) 《实变函数》期末考试模拟试题（四） (18) 《实变函数》期末考试模拟试题（五） (27) 《实变函数》期末考试模拟试题（六） (30) 《实变函数》期末考试模拟试题（七） (32) 《实变函数》期末考试模拟试题（八） (36) 《实变函数》期末考试模拟试题（九） (41) 《实变函数》期末考试模拟试题（十） (47) 《实变函数》期末考试题（一） (57) 《实变函数》期末考试题（二） (63)
《实变函数》期末考试模拟试题（一） （含解答） 一、选择题（单选题） 1、下列集合关系成立的是（ A ） （A ）(\)A B B A B ?=? （B ）(\)A B B A ?= （C ）(\)B A A A ?? （D ）(\)B A A ? 2、若n E R ?是开集，则（ B ） （A ）E E '? （B ）E 的内部E = （C ）E E = （D ）E E '= 3、设P 是康托集，则（ C ） （A ）P 是可数集 （B ）P 是开集 （C ）0mP = （D ）1mP = 4、设E 是1R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则（ D ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 5、设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()d 0E f x x =?，则（ A ） （A ）在E 上，()f z 不一定恒为零 （B ）在E 上，()0f z ≥ （C ）在E 上，()0f z ≡ （D ）在E 上，()0f z ≠ 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E 是[0,1]中的无理点全体，则（C 、D ） （A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）E 中的每一点都是聚点 （D ）0mE > 2、若1E R ?至少有一个内点，则（ B 、D ） （A ）* m E 可以等于零 （B ）*0m E > （C ）E 可能是可数集 （D ）E 是不可数集 3、设[,]E a b ?是可测集，则E 的特征函数()E X x 是 （A 、B 、C ） （A ）[,]a b 上的简单函数 （B ）[,]a b 上的可测函数 （C ）E 上的连续函数 （D ）[,]a b 上的连续函数 4、设()f x 在可测集E 上L 可积，则（ B 、D ）
实变函数历年考试真题汇总
第 1 页 共 6 页 陇东学院2011—2012学年第一学期实变函数(A) 一．填空.（每空2分，共20分） 1给出自然数集+N 与整数集Z 之间的一一对应关系 . 2设B A ,是两集合，B A <是指 . 3?? ?????????????=≠==0,00,1sin ),(x x x y y x E ,在2 R 内求= E ,='E ， 4.设, ,(),[0,1]\. x x x P f x e x P ∈?=? ∈?其中P 是Cantor 集,则[] =?1,0)(dx x f ________. 5.设n E R ?,则称E 是L 可测的是指: . 6.设()sin f x x =,[0,2]x π∈,则()f x + = ; ()f x -= . 7.称)(x f 为可测集E 上的简单函数是指 8.设⑴mE <∞;⑵ {}()n f x 是 E 上一列几乎处处有限的可测函数;⑶ lim ()()n n f x f x →∞ =..a e 于E ,且()f x <∞..a e 于E .则0δ?>,E E δ??,使得 mE δδ<,而{}()n f x 在 上一致收敛于()f x . 二.选择（每题2分，共10分） 1.若A 是有限集或可数集,B 是不可数集,则以下不对的是（ ）. A .A B 是可数； B .A B 是不可数； C .A B c =； D .A B B = 2.设E 是任一可测集,则( )． A .E 是开集; B .0ε?>,存在开集G E ?,使得(\)m G E ε<; C .E 是闭集; D . E 是 F σ型集或 G δ型集. 3.下列关系式中成立的是（ ） ①()A B B A =\ ，②()A B B A = \，③()B A B A ''=' ， ④() B A B A =，⑤()B A B A =，其中B A ,是二集合. A .①② B .③④⑤ C .③⑤ D .①②③④⑤ 4. 设n E R ?,mE <+∞,{}()n f x 在E 上几乎处处收敛于()f x .则( ). A ．{}()n f x 在E 上处处收敛于()f x ; B ．存在{}()n f x 的子列{}()i n f x ,使得{} ()i n f x 在E 上一致收敛于()f x . C . {}()n f x 在E 上一致收敛于()f x ; D . {}()n f x 在 E 上依测度收敛于()f x ; 5.设q R E ?为可测集，{}()n f x 是E 上的一列非负可测函数，则（ ） A ??∞→∞ →≤E n n n E n dx x f dx x f )(lim )(lim B ??∞→∞ →≥E n n n E n dx x f dx x f )(lim )(lim C ??∞→∞ →=E n n n E n dx x f dx x f )(lim )(lim D ??∞→∞ →=E n n n E n dx x f dx x f )(lim )(lim 三．判断题(每题2分，共10分) 1. 0mE =E ?是有限集或可数集. （ ） 2. 若开集1G 是开集2G 的真子集,则12mG mG < （ ） 3. 直线上的开集至多是可数多个互不相交的开区间的并 （ ） 4. 设()f x ,()g x 是可测集E 上的可测函数,则()()f x g x 也是E 上的可测函数 （ ） 5.可测函数)(x f 在E 上L 可积?)(x f 在E 上L 可积 （ ） 四．证明题(每题8分，共40分) 1.证明： 设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数,则a R ?∈,{} ()E x f x a =>是 试 卷 密 封 装 订 线 院 系 班 级 姓 名 学 号
实变函数期末复习指导
实变函数期末复习指导（文本） 实变函数题型比例 单选题：5题，每题4分，共20分。 填空题：5题，每题4分，共20分。 计算与证明题：4题，每题15分，共60分。 第1章主要内容 本章所讨论的集合的基本知识是集合论的基础，包括集合的运算和集合的基数两部分. 主要内容有： 一、集合的包含关系和并、交、差、补等概念，以及集合的运算律． 关于概念的学习，应该注意概念中的条件是充分必要的，比如，B A ?当且仅当A x ∈时必有B x ∈．有时也利用它的等价形式：B A ?当且仅当B x ∈时必有A x ∈．在证明两个集合包含关系时，这两种证明方式可视具体问题而选择其一． 还要注意对一列集合并与交的概念的理解和掌握．n n A x ∞ =∈1 当且仅当x 属于这一列集 合中的“某一个”（即存在某个n A ，使n A x ∈），而n n A x ∞ =∈1 当且仅当x 属于这一列集合中 的“每一个”（即对每个n A ，都有n A x ∈）．要熟练地进行集合间的各种运算，这是学习本章必备的基本技能. 读者要多做些这方面的练习． 二、映射是数学中一个基本概念，要弄清单射、满射和双射之间的区别与联系． 对集合基数部分的学习，应注意论证两个集合对等技能的训练，其方法主要有下面三种：一是依对等的定义直接构造两集间的双射；二是利用对等的传递性，如欲证C A ~，已知B A ~，此时只须证C B ~；三是应用有关定理，特别是伯恩斯坦定理，它是判断两个集合对等的常用的有效方法． 三、可列集是无限集中最重要的一类集合，它是无限集中基数最小者. 要掌握可列集的定义和运算性质，有理数集是可列的并且在直线上处处稠密，这是有理数集在应用中的两条重要性质. 四、连续集及其运算性质.要掌握长见的连续集的例子，知道基数无最大者. 第2章主要内容 本章讨论的点集理论，不仅是以后学习测度理论和新积分理论的基础，也为一般的抽象空间的研究提供了具体的模型.
实变函数练习题A
实变函数与泛函分析试卷A 一、判断题 1.定义在区间),(+∞-∞上的单调函数的间断点所成之集至多可数。 2.赋范空间中的压缩映射一定存在不动点。 3.平面上所有点的集合的势不能与含在其中的直线上的点集的势相等。 4.直线上互不相交的开区间所成之集为不可数集。 5.赋范空间中上压缩映射一定存在不动点。 二、填空题 1.直线上任何____可表示成至多可数的个互不相交的构成区间的并集。 2.实数集中一集合的闭包是包含此集合的所有闭集的____。 3.有限维空间上的任何两个范数都是____。 4.一闭集中所有点都是此集合的聚点，则称此集合为____。 5.在半序集中，如果所有全序集都有上界，则此半序集中有____。 三、选择题 1.直线上的单调函数的不连续点集____。 A.可数 B.至多可数 C.不可数 D.有限 2.有限维赋范空间中____中点列有收敛子列。 A.开集 B.闭集 C.有界集 D.无界集 3.Banach 空间间的____线性算子必是连续的。 A.无界 B.开 C.闭 D.有界 4.可分赋范空间的共轭空间必是____。 A.可分的 B.完备的 C.不可分的 D.不完备的 5.闭区间上____函数是Riemann 可积的。 A.有界的几乎处处连续 B.有界 C.几乎处处连续 D.Lebesgue 可积函数 四、论述题 1.证明：设F 是n 维欧几里得空间),(ρn R 中的有界闭集，映射F F T →:满足： ),,)(,(),(y x F y x y x Tx Tx ≠∈?<ρρ.求证T 在F 中存在唯一的不动点。 2.证明：设集1R E ?有界，0*>E m ，则对于任意小于E m *的正数，恒有E 的子集1 E 使得c E m =1*。 3.设,...,21αα是一列数，∞ 实变函数测试题 一,填空题 1. 设1,2n A n ??=????, 1,2n =L , 则lim n n A →∞ = 、 2. ()(),,a b -∞+∞:,因为存在两个集合之间的一一映射为 、 3. 设E 就是2R 中函数1cos ,00,0 x y x x ?≠?=?? =?的图形上的点所组成的 集合,则E '= , E ?= 、 4. 若集合n E R ?满足E E '?, 则E 为 集、 5. 若(),αβ就是直线上开集G 的一个构成区间, 则(),αβ满足: , 、 6. 设E 使闭区间[],a b 中的全体无理数集, 则mE = 、 7. 若()n mE f x →()0f x ??=?? , 则说{}()n f x 在E 上 、 8. 设n E R ?, 0n x R ∈,若 ,则称0x 就 是E 的聚点、 9. 设{}()n f x 就是E 上几乎处处有限的可测函数列, ()f x 就是E 上 几乎处处有限的可测函数, 若0σ?>, 有 , 则称{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x 、 10. 设()()n f x f x ?,x E ∈, 则?{}()n f x 的子列{} ()j n f x , 使得 、 二, 判断题、 正确的证明, 错误的举反例、 1. 若,A B 可测, A B ?且A B ≠,则mA mB <、 2. 设E 为点集, P E ?, 则P 就是E 的外点、 3. 点集11,2,,E n ??=???? L L 的闭集、 4. 任意多个闭集的并集就是闭集、 5. 若n E R ?,满足*m E =+∞, 则E 为无限集合、 三, 计算证明题 1、 证明:()()()A B C A B A C --=-U I 2、 设M 就是3R 空间中以有理点(即坐标都就是有理数)为中心, 有理数为半径的球的全体, 证明M 为可数集、 3、 设n E R ?,i E B ?且i B 为可测集, 1,2i =L 、根据题意, 若有 ()()*0,i m B E i -→ →∞, 证明E 就是可测集、 4. 设P 就是Cantor 集, ()[]32ln 1,(),0,1x x P f x x x P ?+ ∈? =? ∈-?? 、 求1 0(L)()f x dx ?、 5. 设函数()f x 在Cantor 集0P 中点x 上取值为3x , 而在0P 的余 1.若E有界,则m*E<正无穷 2.可数点集的外测度为零 3.设E是直线上一有界集合,m*E>0,则对任意小于m*E的正数c,恒有E的子集E1,使m*E=c 4.设S1,S2,…，Sn是一些互不相交的可测集合，Ei包含于Si，i=1，2，3...n，求证m*（E1并E2并E3...并En）=m*E1+m*E2+…+m*En 5.若m*E=0，则E可测。 6.证明康托尔（Cantor）集合的测度为0 7.设A，B包含于Rp，且m*B<正无穷，若A是可测集，证明m*（A并B）=mA+m*B-m*（A 交B） 8.证明：若E可测，则对于任意e〉0，恒有开集G及闭集F，使F包含于E包含于G，而m （G-E）〈e，m（E-F）〈e 9.设E包含于Rq，存在两列可测集{An}，{Bn}，使得An包含于E包含于Bn且m（Bn-An）--> 0(n-->无穷)，则E可测。 10.设是一列可测集，证明和都是可测集且 11.设{En}是一列可测集，若求和m（En）<正无穷，证明m（En上极限）=0 12.设E是[0，1]中可测集，若m（E）=1，证明对任意可测集A包含于[0，1]，m（E交A）=m（A） 13.设{En}是[0，1]中可测集列，若m（En）=1，n=1，2，...，则 定理5.6设E是任一可测集，则一定存在型集G，使G包含E，且m（G-E）=0。 设E是任一可测集，则一定存在型集F，使F包含于E，且m（E-F）=0。 次可数可加性证明 卡拉泰奥多里条件：m*T=m*（T交E）+m*（T交Ec）极限的测度等于测度的极限 1.证明：f（x）在E上为可测函数的充要条件是对任一有理数r，E[f〉r]可测，如果集E[f=r]可测，问f（x）是否可测？实变函数测试题与答案
实变函数复习题