当前位置：文档库 › 卡方分布及其它分布

卡方分布及其它分布

卡方分布

一、卡方分布的定义：

若n 个相互独立的随机变量ξ1，ξ2，…，ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n 个服从标准正态分布的随机变量的平方和∑ξi∧2构成一新的随机变量，其分布规律称为χ2(n)分布（chi-square distribution ），其中参数 n 称为自由度。

二、卡方分布的性质：:

（1） (可加性) 设i Y ~且相互独立，则,,,1,,2k i i

i n =λχ

,~2,1λχn k Y Y ++

这里.,∑∑==

n n λλ

（2） ,)(2

,λχλ+=n E n

.42)(2

,λχλ+=n Var n

证明（1）根据定义易得。（2）设则依定义，

,λχn Y 可表示为Y ,2

2121n n X X X Y +++=-

其中且相互独立，于是),1,(~,1,,1),1,0(~λN X n i N X n i -=

)

2(.

)()()

1(,

)()(1

2∑∑====n

i i n

i i X Var Y Var X E Y E

因为

?+=+=,1,1)()()(22λi i i X E X Var X E .,

1,,1n i n i =-=

代入（1），第一条结论可得证。直接计算可得

36,1,,1,3244

++=-==λλn i EX n i EX 于是

,1,,1,

213)()(2

242-==-=-=n i EX EX X Var i i i

.42)()(2

242λ+=-=n n n EX EX X Var

代入（2）便证明了第二条结论。

三、卡方分布的概率密度函数：

()???

????≥?

?? ??Γ=--，其他当00,221

21222x e x n x f x n n

x 数）。现在来推导随机变，（相互独立且都服从设随机变量10n ,....1N X X

的分布。2^.....2^2^1n X ++X =χ

()()()

2^x 2^x 2

n ^n 21n 1n 1++-X X θ的密度函数为，

[

]()[]()

[]()[]()

()()x

x x d D X P P o z z X P P n σχ

χ2^2^2

n 21

n 2

121e n 21

z z z 0

z 0z ++??

=+X

==++X =≤ 时，当时，当

其中Dx 为n 维x 空间内由不等式z x x n 2

1+所定的区域。

即，Dz 为n 维x 空间内以坐标原点为球心、z 为半径的球面所围成的区域（边界不在内）

可以利用极坐标来计算这积分。令 ?????

????=-===-----11

112121211cos sin 2cos sin sin cos sin sin sin n n n n n n n r x r x r x r x θθ

θθθθθθθ

与这变换相应的函数行列式为：

()

()()()()()()()()()()Φ

==??-1-n 111,,,,,r r

r r

r r r r x x n n

θθ 其中括号和Φ都表示1,,1-n θθ 的函数。因此。当z>0时，

[]()

()

C P z ???

?????=?z 0dr r -1-n 2

n 22

r 21

z θπχ C 是常数。

为了定出C,在上述等式的两端令,∝+→r 得到

()

C dr r z r n n

???

?????=

?∝+--012

1θπ 从而，

()

∝

+--=

2122dr

r C z

n n

在分母内的积分中令μ=22

r ，即，用21

2μ=r 作代换，那么，这个积分等

于??? ??Γ==?-∝+----

--∝

+??22221221201212212

21-n n d d n

n n n n μθμμμθ

因此，()

? ??Γ=

-22

212

n C n n

从而，当z>0时，

[

]()

--??

??Γ=

n n d n z x P 0

γθγ

--??

??Γ=

n d n 0

212

1νθνν

即，2χ的密度函数为

()???

???

?≥?

?? ??Γ=--，其他当00,221

21222z e z n x f z n n

z 称这个密度函数所定的分布为自由度为n 的2χ分布，记作2

）（n χ。它的图像如下：

图（一）2

χ分布密度函数图

四、卡方分布的累积分布函数为：

()()dx x f x F x k ?+∞

∞-=2

dx e x

n x n n

∞

+--?

? ??Γ=0

122

221

()()

()

22,2k x k x F k Γ=

γ，

其中γ(k,z)为不完全Gamma 函数。其图像如下：

分布的分布函数图

图（二）2

五、卡方分布的特征函数及其推导：

特征函数：ψ(t)

= f(x)dx

=dx

六、论证过程中的心得体会：

首先通过对卡方的研究和证明，提高了我们对数学的兴趣。其次，通过这次的推导和搜索资料进行分析，大大提高了我们的独立思考的能力，我们当中很多同学之前都很害怕类似的证明题，这一次的合力解决难题使我们信心倍增。当然同时，这个合作锻炼了我们团队合作的能力，分工合作解决问题，有的人负责收集资料，有点人负责推导公式，有的人负责输入文章，整理公式，等等。这让大家明白了团结的力量。做出合理的时间安排，做任何事情，合理的时间安排非常重要，多元课程设计也是一样，事先要做好一个规划，课程设计一共分5个板块（定义，性质，特征函数，密度函数，分布函数，心得体会）。你每天要做完哪几个板块事先要确定好，这样做才会使自己游刃有余，保证在2周时间内内完成论文，以避免由于时间上的不妥，以致于最后无法完成论文。

另外，写论文的过程中也使我们对论文的格式有了一个了解，更规范更具体，为以后的学业报告做了一次很好的准备。论文属于科学性的文章，它有严格

的书写格式规范，因此一篇好的论文一定要有正确的格式，论文格式错误就不能得到好成绩，因此我们写论文时要端正态度，注意书写格式。

多元课程的设计更加是丰富了我们的业余生活，让大家聚在一起讨论题目，其乐融融。这样的课程设计也能使我们找到志同道合的朋友，发现生活中的点滴数学趣事，从实际出发思考题目，同时我们对计算机的知识也有了一定的加深，matlab 的使用等等。

学生t -分布可简称为t 分布。其推导由威廉·戈塞于1908年首先发表，当时他还在都柏林的健力士酿酒厂工作。因为不能以他本人的名义发表，所以论文使用了学生（Student ）这一笔名。之后t 检验以及相关理论经由罗纳德·费雪的工作发扬光大，而正是他将此分布称为学生分布

由于在实际工作中，往往σ是未知的，常用s 作为σ的估计值，为了与u 变换区别，称为

t 变换t =

s u

x ，统计量t 值的分布称为t 分布。 t 分布的分布函数及证明

用);(n x T 表示n t 分布的分布函数，则

{

)21,21(121)21,21(21);()2/(22)/(≤>???

?+=++x x n I n I n x T x n x x n n 证明根据分布函数的定义有

dy n y n B dy n y t n x T n x

/)1(2)1()

1,21(1);();(+-∞

-∞

-+?=

=??

当0>x 时，上式为

212/)1(202/)1(20

)1()2

1,21(1)1()21,21(1);(A A dy n y n B dy n y n B n x T n x

n +=+++=

∧

+-+-∞

-??

ππ

由于?

∞

-=1);(dy n y t ，故立即可得2/11=A ，为了计算2A ，我们做变换)/(2

y n y t +=则

dt t t

dt ny y n dy 2

22)1(2

)2/()(-

?+=π

，因此

dt t t

t n B dy n y n B A n x n x n x 2

02/)1(2

02)1(2

)

1()2

1,21(1

)1()21,21(12

+++--?

-=+=??π

ππ

1,21(21)/(22n I x n x += 故)2

,21(2121);()/(2122n I A A n x T x n X ++=+=

????+=

+)21,21(121)/(22n I x n x 而当0≤x 时，我们有

???-∞-=-=-=x

x x

dy n y t dy n y t dy n y t n x T 0

0);(21

);(21);(1);(

然后利用刚刚的讨论可知

1,21(21)21,21(2121);()/()/(222n I n I n x T x n n x n x ++=-=

综上所述便得我们所要的结论。

t 分布的密度函数及证明

设z ,ζ为相互独立随机变量，ζ服从正态z N ),1,0(服从自由度为n 的2

χ—分布，则