数学建模题目
1、国庆庆典活动的中心广场有数万名学生手持圆花组成大型图案方阵，方阵前排距观礼台120m，方阵纵列95人，每列长度192m，问第一、二两排间距多大能达到满意的观察效果。
解下面给出一个简单的解法，但它是较粗糙的，不过也实用。
所谓满意，可以认为从观礼位置看到的纵列上每个花的部分是一样的。
设观礼者居高a 米，从观礼位置看到的纵列上每个花的部分高度为b 米。
依题意，每列从第一个人到最后一个人（第95人）有94个间空，列长192米，则每列相邻二人平均间距约2米。
为简单起见，不妨设位于192米长的队列中点前后的两人间隔是2米，则
设第一、二排间距为 x米，则
于是，（米）
2、今年年初由中国建设银行北京市分行印发的《个人住房贷款简介》的小册子中介绍了有关个人住房贷款的有关问题。其中指明贷款最高金额为拟购买住房费用的70%；贷款期限最长为20年。个人住房贷款利率如附表1所示。借款人在借款期内每月以相等的月均还款额偿还银行贷款本金和利息。附表2中列出了在不同贷款期限下的月均还款额、还款总额和利息负担总和。试给出公式说明附表2中后三列数是如何算出来的。
近来经国务院批准，中国人民银行决定从1999年9月21日起，延长个人住房贷款期限并降低利率以支持城镇居民购房。各商业银行个人住房贷款的最长期限由现行的20年延长到30年。每笔贷款年限由商业银行根据个人的年龄、工作年限、还款能力等因素与借款人协商确定。个人住房贷款年利率最高水平降为5.58%，并根据贷款期限划分为两个档次：5年以下（含五年）为年利率5.31%，五年以上为年利率5.58%
请你根据新规定计算5年期、20年期的月均还款额、还款总额和利息负担总和，并与原附表2中的同期贷款的负担情况比较，住房贷款的负担各降低了多少。
附表1：中国建设银行北京市分行个人住房贷款利率表
附表2：中国建设银行北京市分行个人住房贷款1～20年月均还款金额表（借款金额为一万元）单位：元
3、压气机叶片排序
由于加工出的压气机叶片的重量和频率不同，安装时需要按工艺要求重新排序。
1．1．压气机24片叶片均匀分布在一圆盘边上，分成六个象限，每象限4片叶片的总重量与相邻象限4片叶片的总重量之差不允许超过一定值（如8g）。2．2．叶片排序不仅要保证重量差，还要满足频率要求，两相邻叶片频率差尽量大，使相邻叶片频率差不小于一定值（如6Hz）。
3．3．当叶片确实不满足上述要求时，允许更换少量叶片。
请按上述要求给出：
1．1．按重量排序算法；
2．2．按重量和频率排序算法；
3．3．叶片不满足要求时，指出所更换叶片及新叶片的重量和频率值范围；
4．4．当叶片保证了重量差和频率差时，按排列顺序输出。
下面是两组叶片数值：重量单位：g ,频率单位：Hz
4、
每天早晨的一段时间内，在一幢写字楼上班的人们随机地走进大楼，乘电梯到达各层；傍晚的一段时间内，他们又随机地从各自的楼层乘电梯到达底层。结果有几部电梯在高峰时段每一层都停下来各上下一二位乘客。实地观察一幢大楼的情况，完成以下任务：
（1）作出数学模型讨论改善这种状况的方案。 （2）怎样衡量改善的程度？
（3）给写字楼的管理者写一封不超过800字的信，建议他接受你的方案。 5、某工件为圆形, 半径为10mm 0.1mm, 超出此范围即为次品. 测量仪器自动在每个工件的圆周上测量36个数据. 假定测量出的二维数据 (i x , i y ) 是足够精确的, 要求建立一个合理的检验正/次品的模型, 对每个工件的36个数据进行计算后给出判断。
下面是5个工件的测量文件, 存放顺序为
(11x , 11y )，(12x , 12y )，……，(36,1x , 36,1y ) (21x , 21y )，(22x , 22y )，……，(36,2x , 36,2y )
(31x , 31y )，(32x , 32y )，……，(36,3x , 36,3y ) (41x , 41y )，(42x , 12y )，……，(36,4x , 36,4y ) (51x , 51y )，(52x , 52y )，……，(36,5x , 36,5y )
其中(ij x , ij y )表示第i 个工件第j 个测量数据 (1≤i ≤5, 1≤j ≤36)。如第
一个工件中 11x = 31.270, 11y = 34.290, 12x = 31.227, 12y = 36.554, ……,
35,1x = 30.964, 35,1y = 31.517, 36,1x = 31.105, 36,1y = 32.743。
第一个工件
31.270 34.290 31.227 36.554 30.660 38.205 30.276 39.375 29.134 40.928 27.808 42.317 26.078 43.503 24.928 43.922 22.922 44.478 21.188 44.713 19.454 44.459 18.096 44.126 16.016 43.195 14.963 42.265 13.513 40.770 12.954 39.891 11.957 38.060 11.578 36.186 11.420 34.289 11.555 32.551 12.162 30.919 12.732 29.450 13.963 27.973 14.615 27.141 16.495 25.853 17.972 25.318 19.971 24.728 21.712 24.648 23.274 24.806 24.441 25.166 26.647 26.181 27.860 27.163 28.981 28.244 30.202
29.937 30.964
31.517
31.105
32.743
第二个工件
－32.303 18.082 －32.496
19.968 －32.622
21.015
－33.623 23.257 －34.561
24.304 －35.930
25.629
－37.209
26.523 －38.462
27.116 －40.631
27.703
第
三个
工件
－
14.711 2.000 －14.761 3.401 －15.317 5.612
－16.053 7.212 －17.346
8.646 －18.274
9.691
－19.731 10.653 －21.289
11.446 －23.158
11.910
－24.552 12.068 －26.627
11.773 －28.488
11.307
－29.711 10.633 －31.135
9.636 －32.483
8.281
－
7.368 －34.007
5.562 －34.685
3.577
－42.182 27.989 －44.273 27.749 －45.736 27.168 －47.117 26.457 －48.935 25.409 －49.970 24.216 －50.902 22.743 －51.420 21.642 －52.157 19.489
－52.230 18.260 －52.090 16.517 －51.594 14.296
－50.731 12.772 －49.686 11.152 －48.322 10.049
－47.117 26.457 －45.783 8.528 －44.249 8.184
－42.529 7.963 －40.278 8.116 －39.064 8.313
－36.870 9.408 －35.540 10.533 －34.761 11.227
－33.576
12.738 －32.880 14.151 －32.407 16.009
33.318
2.346 －34.526 －0.083 －3
3.938 －1.721
－
34.629
－3.327 －32.678 －4.212 －31.481 －5.501 －
33.252
－6.877 －27.990 －7.476 －26.819 －7.840 －
29.447
－
－8.114 －22.826 －7.779 －21.278 －7.476
25.080
－6.667 －18.537 －5.923 －17.294 －4.693 －
19.723
－3.107 －15.293 －1.434 －14.920 0.447 －
16.228
第四个工件
13.873 －37.357 13.651 －35.092 13.164 －33.406
12.605 －32.311 11.671 －31.046 10.304 －29.452
8.537 －28.306 7.097 －27.660 5.903 －27.375
3.993 －27.143 1.924 －27.436 0.103 －27.986
－1.153 －28.572 －2.857 －29.768 －3.856 －30.742 －4.972 －32.508 －5.387 －33.463 －6.138 －35.605 －6.192 －36.832 －6.045 －39.278 －5.671 －40.265 －4.835 －42.178 －3.985 －43.278 －2.810 －44.543 －1.430 －45.581 0.533 －46.722 2.434 －47.033
4.165 －47.100
5.570 －47.115
6.936 －46.778
8.776 －45.769 10.028 －45.130 11.382 －43.757
12.243 －42.446 13.147 －40.763 13.517 －39.243 第五个工件
27.356 6.440 27.205 7.650 26.732 9.317
26.278 10.831 25.318 12.305 24.111 13.585
22.316 14.668 21.077 15.283 18.740 15.885
17.017 16.019 15.642 15.852 14.253 15.664
12.237 14.623 11.060 13.875 9.972 12.746
8.607 10.945 8.118 9.826 7.527 8.182
7.377 6.265 7.604 4.016 8.079 2.712
8.873 0.785 9.664 －0.144 11.159 －1.851
12.388 －2.528 13.949 －3.291 15.439 －3.810
17.190 －3.830 19.095 －3.726 21.112 －3.186
22.475 －2.416 23.771 －1.545 24.813 －0.384
26.163 1.412 26.794 3.027 27.149 4.011
6、从信息处理的角度来看，我们可以把一个生物神经元分成三个区域：树突区、始段和轴突。
树突区
这一区域包括中间神经元和运动神经元的树突和胞体上所有覆盖有突触的区域，也包括感觉神经元接受外界刺激的区域，这实际上就是神经元接收输入信息的区域。
对于中间神经元和运动神经元来说，其输入是来自本身或是其他网络中生物神经元的脉冲式的输出。当突触前末梢有神经冲动传来时，就会向突触间隙释放一定量的递质，而在突触后膜产生随时间作指数衰减的兴奋性后电位或是抑制性突出后电位。这里需要指出的是从突触前末梢传来的神经冲动，再到突触后膜开始产生电位变化，期间有一段时间约为1毫秒的延迟。
对于感觉神经元来说，其不同之处仅仅在于它的输入不是神经元的脉冲，而是外界的刺激，不妨设为随着时间变化的2倍的正弦函数值。
始段
由于神经元的胞体和树突几乎全部为突触前末梢所覆盖，只有始段裸露在外。而由任一突触的电位所引起的局部电流都要经过每一个始段而在此总和起
来。但由于每一个生物神经元的始段与任意一个神经元的突触距离是不同的，所以要考虑在总和之前乘以不同的权值。而在始段的电位类似于感觉神经元的性质，只是此处的输入可以视作为电流在始段处加权后电流的总和。
轴突
轴突是每个神经元的输出端，其输出值只有0和1（即可用数学上的脉冲函数来表示），也就是上文所说的脉冲式的输出。而当输出值为1时，是因为始段的电位达到了该神经元的阀值，否则输出值为0。
问题：
（1）如果有一个由三个生物神经元组成的完全互联的网络，根据以上的叙述建立该网络的模型。
（2）写出该网络模型计算机模拟的算法。
（3）分析对于不同的权值、阀值，所建立模型可能产生的各种动力学行为（既可以用数学理论说明，也可以用数值模拟演示）。
7、非典型肺炎的传染和控制
2002年11月，在中国广东省首次发现非典型肺炎这一传染性极强的疫疾，短短半年时间，世界上有28个国家和地区都报告发现这种疫情。从历史的视角来看，随着人类知识的积累认识的加强，科学技术的发达和社会的进步，人类征服、控制瘟情(传染病)的时间正在缩短。天花，鼠疫等疫情，存在了几百年，上千年，人类不知其为何物，直至十九世纪终于发现它们是由病毒、细菌导致的。而得到了艾滋病，其找到病原体的时间大大缩短，它在1981年被发现，而分离出病原体只用了三,四年时间，这次非典型肺炎从发现到查出其原凶——冠状病毒只用了三四个月。到目前为止，有不少地区和国家通过得力的措施和医疗手段，对非典型肺炎的疫情己得到有效的控制。但也有一些地区疫情仍在继续漫延.
1．试用数学模型来描述这次非典型肺炎传播的发展规律（可就某一地区，如广东，北京，香港等进行建模）；
2．根据某些地区的经验和治疗措施，使非典型肺炎的疫情得到迅速有效的控制,能否用所建立的数学模型作出适当的解释；
3．有无有效控制非典型肺炎疫情传播的最优方案？
8、乒乓球新旧赛制对比分析
自2001年10月1日起，国际乒联改用11分制等新规则。中国乒乓球老将王家声认为，规则改变的实践效果的检验标准是三个有利于：要有利于运动的推广，有利于形成对抗激烈，场面精彩的比赛，有利于它的市场开发和赞助商利益。
11分制的实行，使比赛增加偶然性增加，让一些二三流选手也有机会战胜一流选手。“但这个偶然性应有个度”王家声说：“如果这个偶然性大到世界顶尖高手也纷纷被无名小卒淘汰，三四流选进决赛，那它就不是好规则了。”乒乓球11分制利弊如何，是否会象羽毛球7分制一样实行不久就取消呢？
1．试对11分制的5盘3胜与21分制的3盘2胜制作定量的比较分析
2．试对11分制的7盘4胜和21分制的5盘3胜制作定量的比较分析
3．综合评价及建议
9、管道包扎问题
用宽度为0.3的带子缠绕包扎圆柱型管道，管道长30m，截面周长为0.5m。（1）、如果用带子全部包住管道，最少要用多长的带子，请你给出计算这个最小长度的公式，并且依次计算出所需长度数值。
（2）、现有一条长度为51m的带子，想将这条带子全部用于缠绕包扎这个管道，可以使带子的接缝处重叠瘩接。请你给出用这条带子缠绕包扎这个管道的方案。（计算结果精确到0.001m）
10、农产品定价
某国政府要为其牛奶、奶油和奶酪等奶制品定价。所有这些产品都直接或间接的来自国家的原奶生产。原奶首先要分离成脂肪和奶粉两中组合，去掉生产出口产品和农场消费的产品的部分后，余下的共有60万吨脂肪和70万吨奶粉，可用于生产牛奶、奶油和两种奶酪，供国内全年消费。
各种产品的百分比组成见下表：
产品\成分脂
肪
奶
粉
水
牛奶 4 9 87 奶油80 2 18
奶酪1 35 30 35
奶酪2 25 40 35
往年的国内消费和价格如下表：
产品牛奶奶油奶酪1 奶酪2
消费量（千吨）4820 320 210 70
价格（元/吨）297 720 1050 815
价格的变化会影响消费需求。为表现这方面的规律，定义需求的价格伸缩性 E：E=需求降低百分数/价格提高百分数
各种产品的E值，可以据往年的价格而后需求变化情况的统计数据，用数理统计方法求出。另外，两种奶酪的需求，随它们价格的相对变化，在某种程度上可以相互替代。表现这一规律要用需求关于价格的交叉伸缩性EAB定义作：
EAB=A需求提高百分数/B价格提高百分数
奶酪1到奶酪2的E12值和奶酪2到奶酪1的交叉伸缩性E21值,同样可以凭数据用统计方法求出
已经求出牛奶、奶油、奶酪1、奶酪2的E值依次为0.4，2.7，1.1和0.4以及E12=0.1, E21=0.4.
试求出4种产品的价格，试所导致的需求使销售总收入为最大。
然而，政策不允许某种价格指标上升，这使得新的价格必须使消费的总费用较上一年度不增加。因此，对问题的一个特别重要的附加要求，是对这一政策限制的经济代价，给出数量表示。
11、北京工业大学基金使用计划
北京工业大学基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。当前银行存款及各期国库券的利率见下表。假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。取款政策参考银行的现行政策。
校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额。校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对
M=5000万元，n=10年给出具体结果：
1．1．只存款不购国库券；
2．2．可存款也可购国库券。
3．3．学校在基金到位后的第8年(2010年)要举行建校50周年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多20%。
注1：人民币存款利率（%）
注3：国库券只有二年、三年和五年期三种，其存款利率与同期的定期存款利率相同，但不交利息税。
12、大象群落的稳定发展
位于非洲某国的国家公园中栖息这近11000头象。管理者要求有一个健康稳定的环境一边维持这个11000头象的稳定群落。管理者逐年统计了象的数量，发现在过去的20年中，整个象群经过一些偷猎枪杀以及转移到外地还能保持在11000头的数量，而其中每年大约有近600头到800头是被转移的。
近年来，偷猎被禁止，并且每年要转移是些象也比较困难，因此，要控制现的数量就使用了一种避孕注射法。用这种方法注射一次可以使得一头成熟母象在两年内不会受孕。
目前在公园中已经很少发生移入和移出象的情况。象的性别比也非常接近于1：1，且采取了措施精良维持这个性别比。欣赏的幼象的性别比也在1：1左右。而双胞胎的机会接近于1.35%。
母象在10岁和12岁之间将第一次怀孕，平均美3.5年产下一个幼象，直到60岁左右为止。每次怀孕期未22个月。注射避孕药会使母象每月发情，但不会怀孕。象通常在3.5年中仅仅求偶一次，所以这种注射不会引起其它附加的反应。
新生的幼象中只有70%到80%可以活到1岁。但是其后的存活率很高，要超过95%，并且这个存活率对各个年龄段都是相同的，一直到60岁左右。假定象的最高年龄是70岁，由于在这个公园里不可以狩猎，偷猎也微乎其微。
公园有一个近两年内从这个地区运出的象的大致年龄和性别的统计（见表）。但是没有这个公园里的被射杀的和被留下的象的任何可用的数据。
现在的任务是：
（1）探讨年龄在2岁到60岁之间的象的合理的存活率的模型，推测这个大象群落的当前的年龄结构。
（2）估计每年有多少母象要注射避孕药，可以使象群固定在11000头左右。这里不免有些不确定性，也要估计这种不确定性的影响。
（3）假如每年转移50头到300头象到别处，那么上面的避孕措施将可以有怎样的改变？
（4）如果由于某种原因，突然使得注射避孕的方法不得不停止（例如由于一场灾难导致大量象的死亡），那时重新壮大象群的能力如何？
（5）其它可以讨论的问题。
13、两叶风车电机的功率
风能在许多世纪前就被人们所利用，它是一种非常环保的能量，风力发动机所发的电足够单独居住的家庭所需要的电力。所以，做好风车的设计，提高电机的功率具有许多实际的意义。
风吹动风车的叶片，使得叶片旋转，产生能量，这时不争的事实。要提高风车的功率，就必须了解环绕叶片的气流的流动状况。这是一个复杂的问题。能否建立一个简单的数学模型来描述这个情况，显然是有意义的。
研究一个两片平面矩形的叶片的风车电机，肯定是了解更复杂的风车的第一
步。
我们的基本任务是：
（1）（1）求出固定的叶片上所受到的垂直方向的力的大小。
（2）（2）求出固定的叶片上所产生的关于水平轴的力矩。
（3）（3）进一步计算运动着的叶片上所受的力。
（4）（4）再来讨论运动着的叶片所产生的关于水平轴的力矩。
（5）（5）于是就可以来计算风车电机所产生的功率。
在上述讨论的基础上，可以进一步探讨两叶的风车其它问题。
例如，给出电功率的值80瓦（输入的机械能取此值的1.25倍），以及发电机每分钟的转数为350。已知叶片的宽0.15米，长0.5米，风速20米/秒，要求风车电机叶片的倾角。
又如，可以讨论平面叶片风车电机的功率与倾角、角速度、风速等的关系，研究那些因素对功率的影响较大？
等等。
14、随着经济和社会的快速发展，我们不得不面对城市快速交通线项目问题。城市快速交通线项目的建设与运营涉及公众利益，政府通常要对票价实行管制。票价的高低影响到公众的利益、项目投资者的利益和政府的财政支出。因此，应兼顾公众利益、投资者利益和政府的财政支付能力。
要求：
1．试建立最优票价模型，从而为乘客选择交通工具提供指导。
2．城市快速交通线项目票价和运量之间存在着相关关系，对于城市快速交通线项目，需要兼顾公众的利益、项目投资者的利益和政府的承受能力。请建立数学模型，结合运量预测研究票价的合理水平。
3．当项目的票款收入不足于维持正常运营或不足于使民间投资者获得合理的投资回报时，政府需要采取适当的方式给予投资者以合理的经济补偿。试分析并确定合理的年经济补偿或一次性的经济补偿。
15、请分析高跟鞋高度与倾斜角度对人体的稳定性与舒适性的影响，并设计一个合理的方案。
16、课堂教学时间调整方案的评估
为使学校的教学组织安排更加合理,课堂教学时间准备做如此调整：
1、课堂每小节由原来的50分钟改为45分钟，小节课间间隔由10分钟缩短为5分钟，上午、下午每大节课间间隔由20分钟缩短为15分钟；
2、调整后的第二大节由三小节组成，上午由原来的4小节调整为5小节，午休时间为12：15—14：00；晚上第五大节由三小节组成，上课时间为18：00—20：25；
3、全大课堂节数由原来的10小节调整为12小节。
问题：
l、分析食堂学生就餐压力的缓解
以本学期为例，按原教学时间安排平均每天将有约270个本科班级约10800人集中在中午12：00下课，我校大学生美食城和大学生美食广场共计5088个座位，最快周转周期按30分钟计算12：00－13：00最多能够满足10176个人用餐。据后勤集团饮食中心反映和实际调查结果显示，12：05—12：20为学生就餐高峰期，短时间大量学生的涌入导致食堂的售餐窗口相对不足；12：20—13：00食堂的主要压力在于餐位少，无法满足学生同时进餐。调整教学时间后，以下学期为例，预计平均每天约有300个本科班级12000人上午第二大节有课，根据我校现使用的排课系统所能实现的功能和我校现有教学资源的实际情况，可以将第二大节分解，实现大一、大二的学生除体育课程外连上三小节，大约6500人在12：15下课，大三、大四的学生连上二小节，约5500人在11：25下课，大大缓解了食堂压力，很大程度上解决了学生中午就餐难的问题。
2、试分析学生自学时间的增加
新的课堂教学时间由原来的10小节增加为12小节，必将在教学组织安排上更加灵活。例如：《高等数学》课程每学期96学时，按原教学时间安排，一次大课2学时，每学期21个教学周，所以每周至少安排三次课，按调整后的教学时间安排第二大节连上3节，每周两次课（6学时），16周即可完成教学任务。这样一定使学生课外自学、复习的时间相对宽松。
3.给教务部门安排课程一些建议。
17、公共汽车问题
由于种种随机的无规律的因素影响着公共汽车的运行，严格按汽车时刻表运转是非常困难的。作为有人驾驶公共汽车运转问题研究的一部分，请你建立一个模型，用来考察在某一专门线路上公共汽车“汇车”的问题。我们需要同一线路上的公共汽车满足以下条件：
（１）汽车彼此赶不上而且不超车；
（２）乘客不用在两辆车的间隙时间内等得太久。
那么，从起点站出发的两趟车之间始发时间间隔是多少？
18、最佳乘车路线
某城市现有公共汽车线路N条，横贯整个市区。由于城市比较大，从某地到另一个地方，乘坐公共汽车往往要在中间某地换车。请设计一个算法，可算出从某地到另外一个地方（无论换车与否）的最佳乘车路线。请自拟一个例子（实
际某城市交通路线更好）模拟仿真。
19、价格对策问题
国际石油市场的价格在不同时期是波动的，国内石油行业的价格也必须调整，以保持一定的销量。但是价格调整的幅度是有限的，也就是必须保持一定的利润或是一定的成本。在国际市场波动的同时，国际市场的电价也在变化，电费是石油开采的主要成本之一。问在成本一定的条件下，在国内外市场激烈变化的同时，石油行业在电价方面会采取什么对策？
20、长途列车由于时间漫长，需要提供车上的一些服务。提供一天三
餐是主要的服务。由于火车上各方面的成本高，因此车上食物的价格也略高。以T238次哈尔滨到广州的列车为例，每天早餐为一碗粥、一个鸡蛋及些许咸菜，价格10元；中午及晚上为盒饭，价格一律15元。由于价格偏贵，乘客一般自带食品如方便面、面包等。列车上也卖方便面及面包等食品，但价格也偏贵。如一般售价3元的方便面卖5元。当然，由于列车容量有限，因此提供的用餐量及食品是有限的，适当提高价格是正常的。但高出的价格应有一个限制，不能高得过头。假如车上有乘客1000人，其中500人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给200人；另外，车上还可提供每餐100人的方便面。请你根据实际情况设计一个价格方案，使列车在用餐销售上效益最大。
21、中国队首次闯进世界杯赛，兴奋之余也深知自己水平有限，于
是苦练定位球。请你根据任意一个罚球的位置、排成人墙队员的人数以及守门员的站位设计一个定位罚球的线路。反过来，如果你是守门员，请你设计如何站位及如何排人墙。
22 巢湖水环境污染（2002年全国数模赛科大选拔题）
巢湖是全国著名的五大淡水湖之一，流域面积1.42万平方公里，湖盆长61.7公里，宽12.47公里，水面769.55平方公里，湖岸长155.7公里。四周河沟渠道360多条，人湖河流35条，出湖河流主要是巢湖市境内的裕溪河、牛屯河。
巢湖水产丰富，有鱼类近百种，银鱼、白米虾、大闸蟹合称巢湖三珍。近年来巢湖水环境日趋恶化，给周边地区居民的生活和生产带来深刻的负面效应。参考文献：余秋梅（等），"巢湖水环境质量现状分析"，人民长江，2001。
23：一家大型超市每天需要储存大量物品以满足顾客的需要。现在只考虑其中一种物品的销售和进货情况。
1、假设需求是随机的，不考虑中断（缺货）损失的情况下，确定最佳进货策略。
2、考虑中断损失情况下的最佳进货策略。
3、可进一步考虑有替代品的情况下的最佳进货策略。
注：测试数据可以自己设置。
24：给定一个台球桌（考虑长方形和椭圆形）和桌上的两个同样
的球，问向哪个方向击第一个球使得它从台球桌的边缘弹回而正好正向碰到第二个球？
注：1、正向相碰：第一球运动方向指向第二个球的球心发生相撞。
2、正好碰到第二个球：第一个球碰到第二个球时，第一个球速度减为零。
3、有时需要考虑多次反射的情况。
25、传染病的疫情分析
假设某直接接触性高危型传染病是经由近距离接触已被传染病人，或在病源存活时间内直接接触受病源感染的物件才有可能感染。以往研究已有结果显示一个人的人际关系及活动范围大部分是固定不变的，也就是一个人大部分时间会近接触的人都是以前的熟识，到访的地点大多以前曾去过。而且一个人熟识常往来的亲友数目不多，常去的地点也不太多。只有一些很小的机会会近距离接触到不熟识的人和去以前较少去过的地点。请以上述讨论为出发点，建立一个模型，分析一个正在蔓延中的传染病。在模型建立时可以再参考以下事项：（1）可以SARS为实例，搜集相关资料；
（2）可以假设病人受感染后，活动能力及传染别人的几率因发病状况有不同，感染后死亡率也和病人原身体状况有关，感染后一定时间内有很大几率痊愈，痊愈不带感染源；
（3）可以假设首先发病者为境外移入；
（4）得病后假设多数病人会往医院医疗，进入医院后只有院内感染可能，院内感染几率随疫情持续时期有不同；
（5）模型必须可以分析疫情的趋势及主要传染途径等资讯。
26：三党不过半
某市议会总共有49席议员，N党占7席，D党占了18席，执政党K党占了24席，只要这三党中的任何两党结盟，就可以取得议长的席位。请您将这事件以一个简单的“数学函数”表示出来，再利用这个数学函数来讨论：在不考虑意识形态下，各党如何结盟对市民最有利？
接着，我们鼓励您可以将上述的“数学函数”作更一般化的推广或联想运用，例如，您可以利用这个”数学函数“来讨论寡头垄断企业的结盟行为，假设某种寡头垄断企业（如石油公司）有三家，如果三家结盟会违反公平交易法，可是如果两家结盟，可以在不违反公平交易法的状况下，获得更大的利益。请自由的加入与真实社会吻合的数学条件，做自由的讨论。（您加入的数学条件是否与真实世界一致，是评判的重点之一）。
27、人类的演化
观察地球生物发展的大历史，似乎看得出来，有些原始生物演化速度很慢，几千万年来表面都没有改变，至今仍然存在，例如银杏树，腔棘魚、鱟等生物，称为活化石。据此推论越早期的生物若是演化的越慢，其生存的年代越长。假设平均而言，随生物种类的不同，一种生物会以每百万年累积0.5--1000个致死基因，当致死基因累积达3000个以上，其灭绝的概率会超过0.75，当致死基因累积达5000个以上，其灭绝的概率会超过0.95。据此而言，人类（智人，Homo sapiens 约2-3万年前出现，是很晚才出现的物种）未来的演化速度如何？何时该灭绝？请建立一个数学模型来讨论上述问题。
数学建模期末考试A试的题目与答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2012-2013学年第 二 学期 考试科目：数学建模 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一篮白菜从河岸一边带到河岸对面，由于船的限制，一次只能带 一样东西过河，绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起，怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1，2，3，4，当i 在此岸时记x i = 1，否则为0；此岸的状态下用s =（x 1，x 2，x 3，x 4）表示。该问题中决策为乘船方案，记为d = (u 1, u 2, u 3, u 4)，当i 在船上时记u i = 1，否则记u i = 0。 (1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分） (2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分） (3) 写出该问题的状态转移率。（3分） (4) 利用图解法给出渡河方案. （3分） 解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状（3分） (2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分） (3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分） (4)方法：人先带羊，然后回来，带狼过河，然后把羊带回来，放下羊，带白菜过去，然后再回来把羊带过去。 ?或: 人先带羊过河，然后自己回来，带白菜过去，放下白菜，带着羊回来，然后放下羊，把狼带过去，最后再回转来，带羊过去。 （12分） 1、 二、(满分12分) 在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就下面两种假设，建立一个举重能力和体重之间关系的模型： （1） 假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。6分 （2） 假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关，请给出一个改进模型。6分 解：设体重w （千克）与举重成绩y （千克） （1） 由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比例，所以 y ?I ?S 设h 为个人身高，又横截面积正比于身高的平方，则S ? h 2 再体重正比于身高的三次方，则w ? h 3 （6分） ( 12分) 14分) 某学校规定，运筹学专业的学生毕业时必须至少学
全国数学建模a题解析
承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略 摘要 嫦娥三号卫星着陆器实现了我国首次地外天体软着陆任务。要保证准确的在月球预定区域内实现软着陆轨道与控制策略的设计。 问题一运用活力公式[1]来建立速度模型，利用matlab软件代入数值计算出 。 所求速度33 ?? (=1.692210m/s,=1.613910m/s) v v 远 近 采用轨道六根数[2]来建立近月点，远月点位置的模型。轨道根数是六个确定椭圆轨道的物理量，也是联系赤道直角坐标与轨道极坐标重要夹角的关系。通过着陆点的位置求出轨道根数各个值的数据，从而确定近月点，远月点的位置，坐标分别为(19.51W 27.88N 15KM),(160.49 27.885S 100KM) E。 问题二“嫦娥三号”软着陆过程中需要经历6个不同的阶段,对于主减速阶段，在极坐标系下建立其运动方程。结合Pontryagin极大值原理[3]和哈密顿函数[4]，化简出燃料最省的软着陆轨道方程，得出最优控制变量的变化规律。对于其它各阶段，将其简化为加速度不同的线性运动模型，利用动能定理得出相应轨道方程和控制策略。 问题三对第二问中求出的“嫦娥三号”推力和速度切线方向夹角?,给?增加或减小一个角度?,分别求出各个对应的近月点坐标'y。之后求各个坐标与其原始值之间的变化量'y并求其平均值'y，得到其敏感性因数，敏感性系数越大，说明该属性对模型的影响越大。 关键字：活力公式轨道六根数 Pontryagin极大值原理燃料最省
数学建模及全国历年竞赛题目
数学建模及全国历年竞赛题目 (2010-09-28 21:58:01) 标签： 分类：专业教学 数学建模 应用数学模型 教育 一、数学建模的涵 （一）数学建模的概念 数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。使用数学语言描述的事物就称为数学模型，这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。（二）应用数学模型 应用数学去解决各类实际问题，把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构。通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。需要诸如数理统计、最优化、图论、微分方程、计算方法、神经网络、层次分析法、模糊数学，数学软件包如 Mathematica,Matlab,Lingo,Spss,Mapple的使用，甚至排版软件等知识的基础。
（三）数学建模的特点 数学建模具有难度大、涉及面广、形式灵活，对教师和学生要求高等特点；数学建模的教学本身是一个不断探索、不断创新、不断完善和提高的过程。（四）数学建模的指导思想 数学建模的指导思想就是：以实验室为基础、以学生为中心、以问题为主线、以培养能力为目标来组织教学工作。 （五）数学建模的意义 数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领械广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径。通过教学使学生了解利用数学理论和方法去分析和解决问题的全过程，提高他们分析问题和解决问题的能力；提高他们学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力，使他们在以后的工作中能经常性地想到用数学去解决问题，提高他们尽量利用计算机软件及当代高新科技成果的意识，能将数学、计算机有机地结合起来去解决实际问题。 1.培养创新意识和创造能力； 2.训练快速获取信息和资料的能力； 3.锻炼快速了解和掌握新知识的技能； 4.培养团队合作意识和团队合作精神； 5.增强写作技能和排版技术；
数学建模2016A题
实用标准文档 承诺书 参赛队员 (打印并签名) ： 题目系泊系统的设计问题分析 摘要 本文主要研究在风力和海水的作用下，钢管与浮标的受力平衡问题。根据钢桶和钢管分段受力分析，对于锚链结合悬链线法进行求解，进一步可推知其他解。 对于问题一：该题通过对整个系统的各部分进行受力分析并结合悬链线模型来进行解答，首先是假设锚链没有被拉起甚至当风速较小的时候有部分拖地，然后求解锚链与海床的夹角刚好开始从零增大的情况得到临界值为26.47m/s，证明假设成立即可建立悬链线锚角为零的特殊模型求解。 对于问题二：在第一问的基础上使用模型列出方程组进行求解得到第一小问结果，再通过改变重球的重量比较各倾角的变化来得到一个重球重量的范围。 对于问题三：由于从静态的海水转化为有水流速度的动态海水系统，所以在问题1和问题2所建立的模型中要附加一个近海水流力。通过对浮标、钢管、钢桶的受力分析及递推原理和锚链的悬链式方程，得到锚链型号Ⅰ-Ⅴ在临界条件为1.5928下重物球2887.107、2794.959、2661.586、2491.84、2282.809及形状。 关键词受力分析、悬链线、线性规划、非线性方程组、近海水流力
系泊系统的设计问题分析 一．问题重述 近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成。某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。水声通讯系统安装在一个长1m、外径30cm的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100kg。钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。钢桶的倾斜角度超过5度时，设备的工作效果较差。为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。 综上所述，我们需要解决以下问题： 1.某型传输节点选用II型电焊锚链2 2.05m，选用的重物球的质量为1200kg。现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的海域。若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 2.在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。 3.由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m~20m之间。布放点的海水速度最大可达到1.5m/s、风速最大可达到36m/s。请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 二．问题背景与分析 2.1背景分析 系泊系统由浮标、钢管、钢桶、重物球、锚链、以及特制抗拖移的锚组成，其测量系统安放在钢桶里面。测量设备需要正常工作，钢桶的倾斜角度这一个条件首先要满足，然后要确保吃水深度和浮标的游动区域要尽可能的小。浮标的吃水深度与潜在海水中的重物球、钢管、钢桶、锚链、以及特制的锚对锚链向下的拉力直接相关。
数学建模模拟试题及答案.pdf
数学建模模拟试题及答案 一、填空题（每题5分，共20分） 1. 若,, x z z y ∝∝则y 与x 的函数关系是. 2. 在超级市场的收银台有两条队伍可选择，队1有1m 个顾客，每人都买了1n 件商品，队2有2m 个顾客，每人都买了2n 件商品，假设每个人付款需p 秒，而扫描每件商品需t 秒，则加入较快队1的条件是 . 3. 马尔萨斯与罗捷斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了 4. 在研究猪的身长与体重关系时，我们通过与已知其相关性质的的弹性梁作 的方法建立了模型. 二、分析判断题（每小题15分，满分30分） 1. 要为一所大学编制全校性选修课程表，有哪些因素应予以考虑？试至少列出5种. 2. 一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是 ),m l /m g (100/56 又过两个小时，含量降为),m l /m g (100/40试判断，当事故发生时，司 机是否违反了酒精含量的规定（不超过80/100)m l /m g (. （提示：不妨设开始时刻为)(,0t C t =表示t 时刻血液中酒精的浓度，则依平衡原理，在时间间隔],[t t t ?+内酒精浓度的改变量为 t t kC t C t t C ??=??+)()()( 其中0>k 为比例常数，负号则表示了浓度随时间的推移是递减的.） 三、计算题（每题25分，满分50分） 1. 一个毛纺厂使用羊毛、兔毛和某种纤维生产甲、乙两种混纺毛料，生产一个单位产品甲需要的三种原料依次为3、2、8个单位，产值为580元；生产一个单位产品乙需要的三种原料依次为2、3、5个单位，产值为680元，三种原料在计划期内的供给量依次为90、30和80单位.试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答： （1） 最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由. （2） 原材料的利用情况.
数学建模习题集及标准答案
第一部分课后习题 1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学 生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。 （2）2.1节中的Q值方法。 （3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。 如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。 （4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。 2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。 （1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。 （2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。 3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部 只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）： 先用机理分析建立模型，再用数据确定参数 4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角 应 多大（如图）。若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。如果管道是其他形状呢。
数学建模训练题
数学建模训练题 1、个人住房贷款，根据中国人民银行颁布的《个人住房贷款管理办法》的规定，个人住房贷款的最长期限为30年，5年（含5年）的年利率为5.31%（折合月利率为4.425‰），5年以上年利率为5.58%（折合月利率为4.65‰）。同时还规定了个人住房贷款的两种按月还本付息的办法。第一种是等额本息还款法，即在贷款期间借款人以月均还款额偿还银行贷款本金和利息；第二种是等额本金还款法（又叫等本不等息还款法），即在贷款期间除了要还清当月贷款的利息外，还要以相等的额度偿还贷款的本金。 （1）试给出两种还款法的每月还款额、还款总额和利息负担总和的计算公式。 （2）若一借款人从银行得到贷款40万元，计划20年还清。试以此为例说明借款人选择何种还款法更为合算？ 2、某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量。面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最底水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位的时候停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一两次，每次约3h. 水塔是一个高为12.2m，直径为17.4m的正圆柱。按照设计。水塔水位降至约8.2m时，水泵自动启动，水位升至约10.8m时水泵停止工作。 下表是某一天的水位测量记录（符号“//”表示水泵启动），试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量。 表1 水位测量记录 （符号//表示水泵启动） 3、某探险队驾驶一越吉普车穿行2000km的大沙漠。除起点能得到足够的汽油供应外，行车途中的燃料供应必须在沿途设立若干的储油点，依靠自己运输汽油来解决。该车在沙漠中行车平均每公里耗油0.25L，车载油箱及油桶总共只能装载250L汽油。请设计一个最优的行车方案，使行车耗油最少而通过沙漠。试根据实际情况进行推广和评价。 4、由于军事上的需要，需将甲地n名战斗人员（不包括驾驶员）紧急调往乙地，但是由于运输车辆不足，m辆车无法保证每个战斗人员都能同时乘车，显然，部分战斗人员乘车，部分战斗人员急行军是可行的方案。设每辆车载人数目相同，只有一条道路，但足以允许车辆，人员同时进行，请制定一个调运方案，能最快地实现兵力调运，并证明方案的最优性。 5、为向灾区空投一批救灾物资，共2000kg，需选购一些降落伞，已知空投高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20米每秒，降落伞的伞面为半径为r的半球面，用每根长
数学建模典型例题
一、人体重变化 某人的食量是10467焦/天，最基本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/天。每天的体育运动消耗热量大约是69焦/（千克?天）乘以他的体重（千克）。假设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效，而1千克脂肪含热量41868焦。试研究此人体重随时间变化的规律。 一、问题分析 人体重W（t）随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的，假设人体重随时间的变化是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间内体重W的变化值列出微分方程。 二、模型假设 1、以脂肪形式贮存的热量100%有效 2、当补充能量多于消耗能量时，多余能量以脂肪形式贮存 3、假设体重的变化是一个连续函数 4、初始体重为W0 三、模型建立 假设在△t时间内： 体重的变化量为W（t+△t）-W(t)； 身体一天内的热量的剩余为（10467-5038-69*W（t）） 将其乘以△t即为一小段时间内剩下的热量； 转换成微分方程为：d[W(t+△t)-W(t)]=(10467-5038-69*W(t))dt； 四、模型求解 d(5429-69W)/(5429-69W)=-69dt/41686 W(0)=W0 解得： 5429-69W=（5429-69W0）e(-69t/41686) 即： W（t）=5429/69-（5429-69W0）/5429e(-69t/41686) 当t趋于无穷时，w=81; 二、投资策略模型 一、问题重述 一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间的最佳方案。5年后，它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。在策划下一个5年计划时，这家公司评估在年i 的开始买进汽车并在年j的开始卖出汽车，将有净成本a ij（购入价减去折旧加上运营和维修成本）ij
数学建模期末考试2018A试的题目与答案
华南农业大学期末考试试卷（A卷） 2012-2013学年第二学期考试科目：数学建模 考试类型：（闭卷）考试考试时间：120 分钟 学号姓名年级专业 一、(满分12分)一人摆渡希望用一条船将一只狼.一只羊.一篮白菜从河岸一边带到河岸对面.由于船的限制.一次只能带一样东西过河.绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起.怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1.2.3.4.当i在此岸时记x i = 1.否则为0；此岸的状态下用s = （x1.x2.x3.x4）表示。该问题中决策为乘船方案.记为d = (u1, u2, u3, u4).当i 在船上时记u i = 1.否则记u i = 0。 (1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分） (2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分） (3) 写出该问题的状态转移率。（3分） (4) 利用图解法给出渡河方案. （3分） 解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状（3分） (2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分） (3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分） (4)方法：人先带羊.然后回来.带狼过河.然后把羊带回来.放下羊.带白菜过去.然后再回来把羊带过去。 或: 人先带羊过河.然后自己回来.带白菜过去.放下白菜.带着羊回来.然后放下羊.把狼带过去.最后再回转来.带羊过去。（12分） . .
数学建模考试题(开卷)及答案
2010年上学期2008级数学与应用数学，信息与计算科学专业 《数学建模》课程考试供选试题 第1题 4万亿投资与劳动力就业： 2008以来，世界性的金融危机席卷全球，给我国的经济发展带来很大的困难。沿海地区许多中小企业纷纷裁员，造成大量的人员失业。据有关资料估计，从2008年底，相继有2000万人被裁员，其中有1000万人是民工。部分民工返乡虽然能够从一定程度上缓解就业压力，但2009年的600多万毕业大学生给我国就业市场带来巨大压力。但可喜的是，我国有庞大的外汇储备，民间资本实力雄厚，居民储蓄充足。中国还是发展中国家，许多方面的建设还处于落后水平，建设投资的潜力巨大。为保持我国经济快速发展，特别是解决就业问题带来希望，实行政府投资理所当然。在2009年两代会上，我国正式通过了4万亿的投资计划，目的就是保GDP增长，保就业，促和谐。但是有几个问题一直困扰着我们，请你运用数学建模知识加以解决。问题如下： 1、GDP增长8%，到底能够安排多少人就业？如果要实现充分就业，2009年的GDP到底要增长多少？ 2、要实现GDP增长8%，4万亿的投资够不够？如果不够，还需要投资多少？ 3、不同的产业(或行业)吸纳的劳动力就业能力不同，因此投资的流向会有所不同。请你决策，要实现劳动力就业最大化，4万亿的投资应该如何分配到不同的产业(或行业)里？ 4、请你给出相关的政策与建议。 第2题 深洞的估算：假如你站在洞口且身上仅带着一只具有跑秒功能的计算器，你出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计洞的深度，假定你捡到一块质量是1KG的石头，并准确的测定出听到回声的时间T=5S，就下面给定情况，分析这一问题，给出相应的数学模型，并估计洞深。 1、不计空气阻力； 2、受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度成正比，比例系数k1=0.05； 3、受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度的平方成正比，比例系数k2=0.0025； 4、在上述三种情况下，如果再考虑回声传回来所需要的时间。 第3题 优秀论文评选：在某数学建模比赛的评审过程中，组委会需要在一道题目的150 篇参赛论文中选择4 篇论文作为特等奖论文。评审小组由10 名评委组成，包括一名小组组长(出题人)，4 名专业评委(专门从事与题目相关问题研究的评委)，5 名普通评委(从事数学建模的教学和组织工作，参与过数学建模论文的评审)。组委会原先制定的评审步骤如下： step1:首先由普通评委阅读所有150 篇论文，筛选出20 篇作为候选论文。 Step2:然后由小组内的所有评委阅读这些候选论文，每人选择4 篇作为推荐的论文。 Step3:接着进入讨论阶段，在讨论阶段中每个评委对自己选择的 4 篇论文给出理由，大家进行讨论，每个评委对论文的认识都会受到其他评委观点的影响。 Step4:在充分讨论后，大家对这些推荐的论文进行投票，每个评委可以投出4票，获得至少6 票的论文可以直接入选，如果入选的论文不足，对剩余的论文(从20篇候选论文中除去已经入选的论文)重复step2至step4 步的评审工作。如果三轮讨论后入选的论文仍然不够，则由评选小组组长确定剩下名额的归属。 如果有超过4 篇的论文获得了至少6票，则由评选小组组长确定最终的名额归属。问题:
数学建模A题
截排vs清源 摘要 本文讨论了在生态环境建设和治水工作中的“截排”和“清源”措施选择问题并基于政府治污的“一、三、五、八年目标”进行合理性评估. 针对问题一：量化分析雨污“分流”与“混流”收集机制对污水处理系统以及海绵城市建设的影响.我们主要运用了COD浓度分析法分析对设备损耗程度的影响以及对污水处理过程中的耗能进行分析 来判断“分流”与“混流”对污水处理系统的影响.最后我们收集海绵城市的定义，具体分析了“截排”和“清源”对建设海绵城市的影响. 针对问题二：给出区域治污时实施“截排”、“清源”措施的判定条件.所谓“截排”措施，是于治理区域的排水管网末端建设拦截管道或箱涵，将雨、污混合水收集起来送至污水厂处理.对于“截排”措施，我们运用污水的三级处理模型，再根据污水处理厂的运行成本和污水处理量用MATLAB拟合其关系，得到污水处理厂运行成本，再加上污水处理厂建设费用以及设备损耗费用得到“截排”措施的总费用.所谓“清源”措施，则是力图从源头起建立“雨污分流”排污机制，在治理区域内以两套管网分别收集污水和雨水，让污水经污水管进入污水厂处理，让雨水经排洪口直接进入河道，使城市处于一种理想的污水治理状态.对于“清源”措施，我们主要考虑排水管网建设
的管道长度、单位长度所需成本和整治河道长度、单位长度整治费用，进而得到“清源”措施的总费用.比较“截排”和“清源”的总费用，花费较少者即为选定方案. 针对问题三：将深圳某一区域带入问题二中具体分析，判断方案中的总费用，给出污水治理建议方案.然后通过计算对政府治污的“一、三、五、八年目标”进行合理性评估. 关键词：COD浓度分析法；污水的三级处理；海绵城市建设. 一、问题的重述（问题的提出） 1.1背景 随着经济的高速发展，水资源的污染情况日益严重过，甚至到了让人触目惊心的地步，首先是污水排放，各种工业废水 以及城市生活废水的肆意排放，已经严重影响到了主要江河湖 泊等流域的水质，对我们的生存造成了严重的影响.对此，必须 采取适当的措施，缓解并改善水污染现象. 目前深圳市高度重视生态环境建设和治水工作，计划在未来五年安排一系列的治水提质项目，并将采取一系列有力措施，实现“八年让碧水和蓝天共同成为深圳靓丽的城市名片”. 1.2问题 （1）尝试构建深圳治水提质工程数学模型，量化分析雨污“分流”与“混流”收集机制对污水处理系统以及海绵城市的 建设的影响. （2）在既能达到治污要求，又能尽量节省开支的原则下，给出区域治污时实施“清源”与“截流”的判定条件. （3）选定深圳一区域给出污水治理的方案，并基于政府治污的“一、三、五、八年目标”，进行合理性评估. 二、问题的分析
数学建模题目及答案
09级数模试题 1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。（15分） 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很 可能是否定的。 因此对这个问题我们假设： （1）地面为连续曲面 （2）长方形桌的四条腿长度相同 （3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设 条件成立，那么答案是肯定的。以长方 桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图 所示，方桌的四条腿分别在A、B、C、D 处，A、、D的初始位置在与x轴平行，再 假设有一条在x轴上的线,则也与A、B，C、D平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线与x轴的夹角记为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令() fθ为A、B离地距离之和，
()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。由假设（1）， ()f θ,()g θ均为θ的连续函数。又由假设（3） ，三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（?θ）。不妨设(0)0f =(0)0g >（若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为： 已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。 证明：当θ=π时，与互换位置，故()0f π>，()0g π=。作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。又由于00()()0f g θθ=，故必有00()()0f g θθ==，证毕。 2.学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分） 解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员数为x 人，B 宿舍的委员数为y 人，C 宿舍的委员数为z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。 则 10； 10=235/1000；
数学建模题目及其答案(疾病诊断)
数学建模疾病的诊断 现要你给出疾病诊断的一种方法。 胃癌患者容易被误诊为萎缩性胃炎患者或非胃病者。从胃癌患者中抽 取5人（编号为1-5），从萎缩性胃炎患者中抽取5人（编号为6-10），以及非胃病者 中抽取5人（编号为11-15），每人化验4项生化指标：血清铜蓝蛋白（ X）、 1 蓝色反应（ X）、尿吲哚乙酸（3X）、中性硫化物（4X）、测得数据如表1 2 所示： 表1. 从人体中化验出的生化指标 根据数据，试给出鉴别胃病的方法。
论文题目：胃病的诊断 摘要 在临床医学中，诊断试验是一种诊断疾病的重要方法。好的诊断试验方法将对临床诊断的正确性和疾病的治疗效果起重要影响。因此，对于不同疾病不断发现新的诊断试验方法是医学进步的重要标志。传统的诊断试验方法有生化检测、DNA检测和影像检测等方法。而本文则通过利用多元统计分析中的判别分析及SPSS软件的辅助较好地解决了临床医学中胃病鉴别的问题。在临床医学上，既提高了临床诊断的正确性，又对疾病的治疗效果起了重要效果，同时也减轻了病人的负担。 判别分析是在分类确定的条件下，根据某一研究对象的各种特征值判别其类型归属问题的一种多变量统计分析方法。 其基本原理是按照一定的判别准则，建立一个或多个判别函数，用研究对象的大量资料确定判别函数中的待定系数，并计算判别指标。 首先，由判别分析定义可知，只有当多个总体的特征具有显著的差异时，进行判别分析才有意义，且总体间差异越大，才会使误判率越小。因此在进行判别分析时，有必要对总体多元变量的均值进行是否不等的显著性检验。 其次，利用判别分析中的费歇判别和贝叶斯判别进行判别函数的建立。 最后，利用所建立的判别函数进行回判并测得其误判率，以及对其修正。 本文利用SPSS软件实现了对总体间给类变量的均值是否不等的显著性检验并根据样本建立了相应的费歇判别函数和贝叶斯判别函数，最后进行了回判并测得了误判率，从而获得了在临床诊断中模型，给临床上的诊断试验提供了新方法和新建议。 关键词：判别分析；判别函数；Fisher判别；Bayes判别 一问题的提出 在传统的胃病诊断中，胃癌患者容易被误诊为萎缩性胃炎患者或非胃病患者，为了提高医学上诊断的准确性，也为了减少因误诊而造成的病人死亡率，必须要找出一种最准确最有效的诊断方法。为诊断疾病，必须从人体中提取4项生化指标进行化验，即血
数学建模A题
2012年暑期培训数学建模第二次模拟 承诺书 我们仔细阅读了数学建模联赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其它公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。 我们的参赛报名号为： 参赛队员(签名) ： 队员1： 队员2： 队员3：
2012年暑期培训数学建模第二次模拟 编号专用页 参赛队伍的参赛号码：（请各个参赛队提前填写好）： 竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）： 竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）： 数学课程的成绩分析 摘要 本文针对大学甲、乙两个专业数学成绩分析问题，进行建模分析，主要用到统计分析的知识和 excel以及matlab软件，建立了方差分析、相关分析的相关模型，研究了影响学生成绩的相关因素, 以及大学生如何进行数学课程的学习。 问题一针对每门课程分析两个专业的数学成绩可以通过excel工具得出各门功课的平均值、方差
进行比较分析。 问题二针对专业分析两个专业的数学成绩的数学水平有无明显差异，可以运用平均数、方差进行 比较。并对两专业的数学成绩进行T检验，进一步分析其有无显著性差异。 问题三针对各班高数成绩和线代、概率论成绩进行散点图描述建立一元回归线性模型，然后对模 型进行求解，对模型进行改进。包括分析置信区间，残差等。 关键词：平均值方差 T检验一元回归线性模型置信区间 残差 excel matlab 一、问题重述 附件是甲专业和乙专业的高等数学上册、高等数学下册、线性代数、概率论与数理统计等三门数学课程的成绩数据，请根据数据分析并回答以下问题： （1）针对每门课程分析，两个专业的分数是否有明显差异？ （2）针对专业分析，两个专业学生的数学水平有无明显差异？ （3）高等数学成绩的优劣，是否影响线性代数、概率论与数理统计的得分情况？ （4）根据你所作出的以上分析，面向本科生同学阐述你对于大学数学课程学习方面的看法。 二、模型假设 1.假设附件中所给的数据为学生真实考试成绩（由于数据的来源要符合真实可靠的原则）； 2.每位学生的成绩之间是相互独立的； 3.同一个专业不同班之间学生的成绩是相互独立的； 4.假设显著性水平是a=0.05; 三、符号约定 X：甲专业高数平均成绩 Y：乙专业高数平均成绩 ：回归系数 ：回归系数 四、问题分析 问题一分析：比较两个专业成绩是否有明显差异可以通过分别求出各自的成绩平均值以及方差等方法，并画出柱状图来形象表示。 问题二分析：比较两个专业数学水平可以在平均值与方差的基础上进行T检验，从而得出结论。 问题三分析:根据处理后的数据分析高数成绩对其他两科的影响，首先根据数据画出散点图进行模型建立，再用matlab进行回归分析，求出回归系数并分析模型的残差，对模型进行改进直至得到较为满意的模型；并根据模型对问题进行分析得出结论。
全国数学建模大赛题目
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 A题储油罐的变位识别与罐容表标定 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。 许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。 请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。 （2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。 附件1：小椭圆储油罐的实验数据 附件2：实际储油罐的检测数据 地平线油位探针
2019年数学建模训练题
西安市蔬菜价格变动分析及采购计划的制定 摘要 食品价格是居民消费价格指数的重要组成部分，食品价格波动直接影响居民生活成本和农民收入，是关系国计民生的重要战略问题。在收入增长缓慢的情况下，食品价格上涨将使人民群众明显感到生活成本增加，特别是蔬菜价格的变化关系到千家万户的日常生活，菜价的上涨将严重影响城市低收入群体的生活质量。本文应用时间序列法来研究蔬菜价格的变动以及蔬菜价格指数的编制问题，并运用所构建的模型来进行蔬菜价格的短期预测。 针对问题一，要求根据所选的5种蔬菜近几年的价格数据，建立数学模型研究这5种蔬菜价格随月份的变化规律，并预测2015年这5种蔬菜每月的价格。通过绘制5种蔬菜价格随月份变化的折线图，发现蔬菜价格具有较明显的季节性变动。显然，5种蔬菜价格分别是5个时间序列，利用EViews软件对5个时间序列进行稳定性检验，结果显示全部5个时间序列都是平稳时间序列。因此，本文分别对5个时间序列建立了ARMA模型，利用EViews和MATLAB软件进行参数求解和模型检验得出具体的时间序列模型，并通过所建立的模型对未来一年内的蔬菜价格进行了预测。 针对问题二，本文首先利用SPSS软件对17种蔬菜进行了系统聚类，将17种蔬菜分为三类，通过分别计算三类蔬菜价格的平均值来给各类蔬菜对价格指数的影响程度赋予不同的权重值。然后考虑人们的消费习惯对价格指数的影响，本文查找网上资料，按销量将17种蔬菜分为五类，用各类蔬菜的销量在一定程度上反映人们的消费习惯。通过各类蔬菜的销量来给各类蔬菜对价格指数的影响程度赋予不同的权重值。最后对于上述两种因素，本文凭借生活经验，人为的对两种因素赋予不同的权重值，进而计算每月蔬菜价格的加权平均价格，求出每月的定基价格指数。通过检验发现价格指数仍是一平稳的时间序列，因此同第一问一样建立ARMA模型进行研究。 针对问题三，本文对问题二所得到的蔬菜价格指数进行回归分析，利用SPSS软件绘制散点图，发现在95%的置信区间内可以进行线性回归分析。然后利用SPSS软件做线性回归，得到显著性水平为0.05时，线性回归模型整体显著。由回归方程可知近几年蔬菜价格总体升高，结合蔬菜价格指数的变动情况可知西安市每年一月至四月蔬菜价格总体处于高位。 针对问题四，本文根据题目要求，在满足所有约束条件的情况下，以采购蔬菜的最大重量为目标函数，分别对四个蔬菜批发市场建立整数规划模型。通过LINGO软件进行求解，得出到胡家庙蔬菜批发市场进行一次采购可以使得当天采购蔬菜的总重量最大。 关键词：蔬菜价格时间序列 ARMA模型价格指数线性回归整数规划 一、问题重述 为监测食品价格的实际变化情况，西安市物价局对食品价格一直进行着严密的监测，每周都会在其官方网站上公布食品价格监测数据。为了跟踪研究西安市农副产品价格变动的规律，请从该网站下载查阅相关监测数据，建立数学模型解决如下问题：
数学建模试题
2012-2013第一学期 《数学建模》试题卷 班级：2010级统计 姓名：石光顺 学号：20101004025 成绩：
一、用Matlab 求解以下优化问题（10分） 用Matlab 求解下列线性规划问题： 解：首先化Matlab 标准型，即 123min 3w x x x =-++ 123121114123x x x ?? -??????≤??????---???? ???? ， [][]1 2 32011T x x x -?= 然后编写Matlab 程序如下： f=[-3,1,1]; a=[1,-2,1;4,-1,-2]; b=[11,-3]; aeq=[-2,0,3]; beq=1; [x,y]=linprog(f,a,b,aeq,beq,zeros(3,1)); x,y=-y 运行结果： x = 0.0000 2.3333 0.3333 y = -2.6667 即当1230, 2.3333,0.3333x x x ===时，max 2.6667z =-。
二、求解以下问题，列出模型并使用Matlab求解（20分） 某厂生产三种产品I，II，III。每种产品要经过A, B两道工序加工。设该厂有两种规格的设备能完成A工序，它们以A1, A2表示；有三种规格的设备能完成B工序，它们以B1, B2, B3表示。产品I可在A, B任何一种规格设备上加工。产品II可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能在B1设备上加工；产品III 只能在A2与B2设备上加工。已知在各种机床设备的单件工时，原材料费，产品销售价格，各种设备有效台时以及满负荷操作时机床设备的费用如表1，求安排最优的生产计划，使该厂利润最大。 表1 解：（1）根据题意列出所有可能生产产品I、II、III的工序组合形式，并作如下假设： x ; 按(A1，B1)组合生产产品I，设其产量为 1 x; 按(A1，B2)组合生产产品I，设其产量为 2 x; 按(A1，B3)组合生产产品I，设其产量为 3 x; 按(A2，B1)组合生产产品I，设其产量为 4 x; 按(A2，B2)组合生产产品I，设其产量为 5
数学建模拟合与差分习题答案
第一题 解：由题意可设 2 123()s t a t a t a =++ 中的A=（1a ，2a ，3a ）使得： 2 6 1 [()]i i i s t s =-∑最小 用多项式拟合的命令 输入以下命令： 输出结果：A = 2.2488 11.0814 -0.5834 2() 2.2488t 11.0814t 0.5834f x =+- 第二题 输入以下命令： >> x=[19 25 31 38 44]; >> y=[19.0 32.3 49.0 73.3 97.8]; >> A=polyfit(x,y,2)
>> z=polyval(A,x); >> plot(x,y,'k+',x,z,'r') 输出结果：A = 0.0497 0.0193 0.6882 =x x (2+ f ) x + .0 6882 .0 0193 .0 0497 因为2 6882 .0 ) = .0 f+ x (x f+ ) b 0497 (x a =，所以2 x 草图 >> x=1200:400:4000; >> y=1200:400:3600; >> height=[1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700; 1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850; 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950; 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010; 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070; 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550; 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980]; >> mesh(x,y,height) >>