大学物理静电场精彩试题库
真空中的静电场 一、选择题
1、下列关于高斯定理的说法正确的是（A ） A 如果高斯面上E 处处为零，则面内未必无电荷。 B 如果高斯面上E 处处不为零，则面内必有静电荷。 C 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E 处处为零。
D 如果高斯面内有净电荷，则高斯面上
E 处处不为零。
2、以下说法哪一种是正确的（B ）
A 电场中某点电场强度的方向，就是试验电荷在该点所受的电场力方向
B 电场中某点电场强度的方向可由0q F
E 确定，
其中0q 为试验电荷的电荷量，0q 可正可
负，F 为试验电荷所受的电场力
C 在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的电场强度处处相同
D 以上说法都不正确
3、如图所示，有两个电
2、 下列说法正确的是（D ）
A 电场强度为零处，电势一定为零。电势为零处，电场强度一定为零。
B 电势较高处电场强度一定较大，电场强度较小处电势一定较低。
C 带正电的物体电势一定为正，带负电的物体电势一定为负。
D 静电场中任一导体上电势一定处处相等。
3、点电荷q 位于金属球壳中心，球壳内外半径分别为
21,R R ,所带静电荷为零B A ,为球壳内外两点，试判断
下
列说法的正误（C ）
A 移去球壳，
B 点电场强度变大 B 移去球壳，A 点电场强度变大
C 移去球壳，A 点电势升高
D 移去球壳，B 点电势升高
4、下列说法正确的是（D ）
A 场强相等的区域，电势也处处相等
B 场强为零处，电势也一定为零
C 电势为零处，场强也一定为零
D 场强大处，电势不一定高
5、如图所示，一个点电荷q 位于立方体一顶点A 上，则通过abcd
A 06q ε
B 012q ε
C 024q ε
D 0
36q
ε
6、如图所示，在电场强度E 的均匀电场中，有一半径为R 的半球面，场强E 的方向与半球面的对称抽平行，穿过此半球面的电通量为（C ）
A E R 22π
B E R 2
2π C E R 2π D E R 2
2
1π
7、如图所示两块无限大的铅直平行平面A 和B ，均匀带电，其电荷密度均为）（2
0-??m C σσ，在如图所示的c b a 、、三处的电场强度分别为（D ） A 0,,
00,εσ B 0,2,00,εσ C 000,,2εσεσεσ D 0
0,0,εσ
εσ 8、如图所示为一具有球对称性分布的静电场的E ～r 关系曲线．请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的．（B ）
A 半径为R 的均匀带电球面．
B 半径为R 的均匀带电球体．
C 半径为R 的、电荷体密度为Ar =ρ（A 为常数）的非均匀带电球体
D 半径为R 的、电荷体密度为r A /=ρ（A 为常数）的非均匀带电球体
9、设无穷远处电势为零，则半径为R 的均匀带电球体产生的电场的电势分布规律为(图中的0U 和b 皆为常量)：(C)
10、如图所示，在半径为R 的“无限长”均匀带电圆筒的静电场中，各点的电场强度E 的
大小与距轴线的距离r 关系曲线为（A ）
d
a
11、下列说法正确的是（ D ）
（A ）闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内一定没有电荷
（B ）闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内电荷的代数和必定为零 （C
）闭合曲面的电通量为零时，曲面上各点的电场强度必定为零。
（D ）闭合曲面的电通量不为零时，曲面上任意一点的电场强度都不可能为零。
12、 在一个带负电的带电棒附近有一个电偶极子，其电偶极距P 的方向如图所示。当电偶极子被释放后，该电偶极子将（ B ）
A 沿逆时针方向旋转直到电偶极距P 水平指向棒尖端而停止。
B 沿逆时针方向旋转至电偶极距
P 水平指向棒尖端，同时沿电场线方向朝着棒尖端移动 C 沿逆时针方向旋转至电偶极距P 水平指向棒尖端，同时逆电场线方向朝远离棒尖端移动 D 沿顺时针方向旋转至电偶极距P 水平指向方向沿棒尖端朝外，同时沿电场线方向朝着棒尖端移动
13、 电荷面密度均为σ+的两块“无限大”均匀带电的平行平板如图（a ）放置，其周围空间各点电场强度E （设电场强度方向向右为正、向左为负）随位置坐标x 变化的关系曲线为（ B ）
R
r E
(A)
R
r E (B)
R
r (C)
R
r
(D)
(A) -(B)
二 填空题
1、如图所放置示，在坐标-l 处放置点电荷q -，在坐标+l 放置+q ，在Ox 轴上取P 点，其坐标x )(l >>，则P 点电场强度E 的大小为3
0x ql
πε
2、 如图所示，一点电荷C q 9
10-=。A B C 三点分别与点电荷q 相距为10cm 、20cm 、
30cm 。若选B 点电势为零，则A 点电势为 45v C 点的电势为-15v
1、 如图所示一无限大均匀带电平面，电荷密度为σ，Ox 轴与该平面垂直，且b a 、两点
与平面相距为a r 和b r ，试求b a 、两点的电势差b a V V -=)2(2-
00b
a r r εσ
εσ--。根据所求结果，选取0r =b 处为电势零点，则无限大均匀达式
r
02-V εσ
=最简洁。
4、如图所示一无限长均匀带电直线，电荷密度为λ，Ox 轴与该直线垂直，且b a 、两点与直线相距为a r 和b r ，试求b a 、两点的电势差b a V V -=)ln 2-(ln 2-
0b a r r πελπελ-。根据
所求结果，选取m b 1r =处为电势零点，则无限长均匀带电直线的电势分布表达式
σ q
q 习题13（b ）图
习题13（a ）图
5、有一半径为R 的细圆环, 环上有一微小缺口，缺口宽度为)(R d d <，环上均匀带正电, 总电量为q ，如图所示, 则圆心O 处的电场强度大小E =3
02
8R
qd επ,场强方向为 圆心O 点指向缺口的方向 。
6、如图所示两个点电荷分别带电q 和q 2，相距l ，将第三个点电荷放在离点电荷q 的距离为1)l 处它所受合力为零
7、一点电荷q 位于正立方体中心，通过立方体没一个表面的电通量是
6εq 8、真空中有一均匀带电球面，球半径为R ，所带电量为Q （>0），今在球面上挖去一很小面积ds （连同其上电荷），设其余部分电荷仍均匀分布，则挖去以后，球心处电场强度
4
0216R Qds E επ=
，方向球心O 到ds 的矢径方向
9、空间某区域的电势分布为2
2By Ax +=?，其中A B 为常数，则电场强度分布为
x E =x A 2-，y E =y B 2-
10、点电荷1q 2q 3q 4q 在真空中的分布如图所示，图中S 为闭合面，则通过该闭合面的电通量?
?s
ds E =
4
2εq q +，式中的E 是点电荷
q q q q 在闭合面上任一点产生的电场强度的矢量和。
11、电荷量分别为1q 2q 3q 的三个点电荷，分布如图所示，其中任一点电荷所受合力均为零。
已知电荷1q =3q =q ，则2q =4
-
q
；若固定将从O 点经任意路径移到无穷远处，则外力需做功A =a
q 028πε
12、真空中有有一点电荷，其电荷量为Q
三 计算题
1、用细的塑料棒弯成半径为cm 50的圆环，两端间空隙为cm 2，电量为C 1012.39
-?的正电荷均匀分布在棒上，求圆心处电场强度的大小和方向。 解：∵棒长为2 3.12l r d m π=-=，
∴电荷线密度：9
1
1.010
q C m l
λ--=
=??
可利用补偿法，若有一均匀带电闭合线圈，则圆心处的合场强为0，有一段空隙，则圆
心处场强等于闭合线圈产生电场再减去m d 02.0=长的带电棒在该点产生的场强，即所求问题转化为求缺口处带负电荷的塑料棒在O 点产生的场强。 解法1：利用微元积分：
2
1cos 4O x Rd dE R λθ
θπε=
?
，
∴2
000cos 2sin 2444O d E d R R R
α
α
λλλθθααπεπεπε-
=
=
?≈?=?1
0.72V m -=?； 解法2：直接利用点电荷场强公式：
由于d r <<，该小段可看成点电荷：11
2.010
q d C λ-'==?，
则圆心处场强：11
9
122
0 2.0109.0100.724(0.5)
O q E V m R πε--'
?==??=?。 方向由圆心指向缝隙处。
2、如图所示，半径为R 的均匀带电球面，带有电荷q ，沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为λ，长度为l ，细线左端离球心距离为0r 。设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能（设无穷远处的电势为零）。 解：（1）以O 点为坐标原点，有一均匀带电细线的方向为x 轴， 均匀带电球面在球面外的场强分布为：2
04q E r
πε=
（r R >）。
x
取细线上的微元：dq dl dr λλ==，有：d F E d q =， ∴00
2
0000?44()r l
r q
ql r F dr x r r l λλπεπε+=
=+?
（?r 为r 方向上的单位矢量） （2）∵均匀带电球面在球面外的电势分布为：04q U r
πε=
（r R >，∞为电势零点）。
对细线上的微元d q d r λ=，所具有的电势能为：04q dW d r r
λπε=
?，
∴00
00
ln
44r l
r r l
q d r
q W r
r λλπεπε++=
=
?
。
3、半径10.05,R m =，带电量8310C q -=?的金属球，被一同心导体球壳包围，球壳内半径20.07R m =，外半径30.09R m =，带电量8210C Q -=-?。
强与电势。（1）0.10r m =（2）0.06r m =（3）0.03r m =。 解：由高斯定理，可求出场强分布：
11212203234
3
200404E r R q E R r R r E R r R Q q E r R r πεπε=
<
=<???
∴电势的分布为： 当1r R ≤时，21
31220044R R R q Q q U d r d r r
r πεπε∞
+=+?
?01203
11()44q Q q
R R R πεπε+=-+
， 当12R r R <≤时，2322
200
44R r R q
Q q U d r d r r
r πεπε∞
+=
+?
?020311()44q Q q
r R R πεπε+=-+
， 当23R r R <≤时，33204R Q q U d r r πε∞
+=?03
4Q q R πε+=
， 当3r R >时，42
0044r Q q Q q
U d r r r
πεπε∞
++=
=?， ∴（1）0.10r m =，适用于3r R >情况，有：
3
420910N 4Q q E r πε+==?，4
0900V 4Q q U r
πε+==； （2）0.06r m =，适用于12R r R <<情况，有： 422
07.510N 4q E r πε=
=?，32020311
() 1.6410V 44q
Q q U r R R πεπε+=
-+=?； （3）0.03r m =，适用于1r R <情况，有：
10E =，310
1203
11
(
) 2.5410V 44q Q q U R R R πεπε+=
-+=?。
Q
4、长cm l 20=的直导线AB 上均匀分布着线密度为m C 8
10
3-?=λ的电荷，如图示，求
（1）在导线的延长线上与导线一端B 相距cm d 8=处P 点的电场强度。 （2）在导线的垂直平分线上与导线中点相距cm d 8=处Q 点的电场强度。 解（1）如题9-4图(a)，取与棒端相距d 1的P 点为坐标原点,x 轴向右为正。设带电细棒电荷元x q d d λ=至P 点的距离x ，它在P 点的场强大小为 2
0d 41d x x
E P λπε=
方向沿x 轴正向
各电荷元在P 点产生的场强方向相同，于是 ?
?-+-=
=1
1)(2
0d 41
d d L d P P x x
E E πε
1
32289110
m V 1041.21028110
81103109114----??=???
???-????=???
? ??+-=
L d d πελ 方向沿x 轴方向。
（2）坐标如题9-4图(b)所示，在带电细棒上取电荷元x q d d λ=与Q 点距离为r ，电荷元在Q 点所产生的场强2
0d 41d r
x
E λπε=
，由于对称性，场d E 的x 方向分量相互抵消，所以
E x =0,场强d E 的y 分量为
θλπεθsin d 41sin d d 2
0r x
E E y =
=
因θθθπθθd csc d d ,d 2d ,csc d 2
2222=-=??
?
?
?
-
==x ctg tg x r ∴ θθπελ
θλπεd sin d 4sin d 41d 2
02
0=
=
r x
E y
)cos (cos d 4d sin d 4d 212
0202
1
θθπελ
θθπελθθ
-==
=??y y E E
其中 2
2
2
22
22
1)
2/(d 2/cos ,
)
2/(d 2/cos L L L L +-
=+=
θθ
代入上式得
2
22
2
0)
2/(4L d L d E y +=
πελ
[]
132
12
22
891027.5)
2/2.0()10
8(10
82.0103109----??=+??????=
m V
方向沿y 轴正向。
5、如计算4题图所示：长为L 的带电细棒沿X 轴放置，其电荷线密度λ= A x , A 为常量试
求：
（1）在其延长线上与棒的近端距离为 a 的一点P 处的电场强度大小。 （2）在其延长线上与棒的近端距离为 a 的一点P 处的电势。
解：（1）取位于x 处的电荷元dq 电量为： Axdx dq = 其在P 点产生电场的场强大小为：
P 点的总场强的大小为：
积分得：
（2）元电荷dq 在P 点出的电势为： )(40x a L Axdx
dU -+=
πε
积分可得P 点的电势：
[]
??
????-???
??++=
-++--+=-+=
-+=?
?L a L a L A x a L a L x a L A x
a L xdx A
x a L Axdx U L
L
L
1ln )(4)ln()()(44)(400
00
πεπεπεπε
四 简答题
?
-+=
L
x a L xdx A
E 0
2
)(4πε2
0)(4x a L Axdx
dE -+=
πε()???
?????? ??+-=
?
?
?
???-++-++=a L a L A
x a L x a L a L A
E L
1ln ln 4ln ln 400
0πεπε
1、 一个内外半径分别为1R 和2R 的均匀带电球壳，总电荷为1Q ，球壳外同心罩一个半径为3R 的均匀带电球面，球面带电荷为2Q .求电场分布.电场强度是否为离球心距离r 的连续函数？ 试分析.
分析 以球心O 为原点，球心至场点的距离r 为半径，作同心球面为高斯面.由于电荷呈球对称分布，电场强度也为球对称分布，高斯面上电场强度沿径矢方向，且大小相等.因而
2
4d r πE ?=?
S E .在确定高斯面内的电荷∑q 后，利用高斯定理∑?=0/d εq S E 即可求出电场强度的分布.
解 取半径为r 的同心球面为高斯面，由上述分析
∑=?02/π4εq r E
r ＜1R ，该高斯面内无电荷，0=∑q ，故01=E 1R ＜r ＜2R ，高斯面内电荷()
3
1323
131R R R r Q q --=∑ 故 ()()
2
313
203
1312π4r R R εR r Q E --= 2R ＜r ＜3R ，高斯面内电荷为Q 1 ，故
2
01
3π4r εQ E =
r ＞3R ，高斯面内电荷为1Q ＋2Q ，故
2
02
14π4r εQ Q E +=
电场强度的方向均沿径矢方向，各区域的电场强度分布曲线如图(B)所示.在带电球面的两侧，电场强度的左右极限不同，电场强度不连续，而在紧贴r ＝3R 的带电球面两侧，电场强度的跃变量
230234π4Δεσ
R εQ E E E ==
-=
这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的必然结果，且具有普遍性.实际带电球面应是有一定厚度的球壳，壳层内外的电场强度也是连续变化的，本题中带电球壳内外的电场，在球壳的厚度变小时，E 的变化就变陡，最后当厚度趋于零时，E 的变化成为一跃变.
2、图3所示静电场中，将负电荷从点P 移至点Q 电场力做正功，电势能的增减如何？哪点的电势高？
解：由n E dn
dV
-
=，电场指向电势降的方向，则Q P V V <。 电场力的功Q P V V A -=，由于0A ，负电荷从低电势移至高电势处时电场力做止功。Q P W W A -=，Q P W W >，电场力做功等于电势能减少。
3、如图所示点电荷q 处于金属球壳中心O 处，当它由O 移至另一点Q 时，球壳上电荷分布是否会发生变化?球壳外表面上一点P 的电场强度会如何变化？
解：点电荷q 在O 点时，因静电感应，球壳内表面均匀带电-q ，外表面均匀带电q 。当q 自O 移至Q 时，球壳内表面感应电荷分布发生变化，仅电荷量不变、而外表面电荷分布与q 移动无关，由表面曲率决定，所
以仍均匀分布，P 点的电场强度也不发生变化。
4、 对下列情况中载流线圈受到的作用作出定性分析，若线路开始处于静止，它们将如何运动?
(1)如图3—17(a)示，载流圆线圈与长直电流共面；
(2)如图3—17(b)示，矩形载流线圈与两平行长直电流共面；
(3)如图3—17(c)示，矩形载流线圈中轴线与长直电流共面，且bc ad ,边与长直电流等距离。
解：作如图a 坐标系。分析线圈上
静电场中的导体和电解质
一选择题
1、如图所示将一个电量为q 的点电荷放在一个半径为R 的不带电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d ，参见附图。设无穷远处为零电势，则在导体球球心O 点有（ A ）
（A ）d
εq
V E 0π4,0=
= （B ）d
εq
V d εq E 020π4,π4==
（C ）0,0==V E （D ）R
εq
V d εq E 02
0π4,π4==
2、对于各向同性的均匀电介质，下列概念正确的是（ A ）
（A ） 电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的r 1倍
（B ） 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的r ε1倍
（C ） 在电介质充满整个电场时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度
的r 1倍
（D ） 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的r ε倍
3、将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，导体B 的电势将（ A ） （A ）升高 （B ）降低 （C ）不会发生变化 （D ）无法确定
4、 将一带负电的物体M 靠近一不带电的导体N ，在N 的左端感应出正电荷，右端感应出负电荷。若将导体N 的左端接地（如图所示），则（ A ） （A ）N 上的负电荷入地 （B ）N 上的正电荷入地
（C ）N 上的所有电荷入地 （D ）N 上所有的感应电荷入地
5、根据电介质中的高斯定理，在电介质中电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于这个曲面所包围自由电荷的代数和。下列推论正确的是 （ D ） （A ）若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内一定没有自由电荷
（B ）若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内电荷的代数和一定等于零 （C ）若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零，曲面内一定有极化电荷 （D ）介质中的电位移矢量与自由电荷和极化电荷的分布有关
6、当一个带电导体达到静电平衡时（D ） A 表面曲率较大处电势较高
B 表面上电荷密度较大处电势较高
C 导体内部的电势比导体表面的电势高
D 导体内任一点与其表面上任一点电势差等于零
二填空题
1、一平行板空气电容器的两极板都是半径为R 的圆形导体片，在充电时，板间电场强度的变化率为
dt dE 。若略去边缘效应，则两板间的位移电流为dt
dE R 20πε。
2、如图示，一充电后的平行板电容器，A 板带正电，B 板带负电。当将开关K 合上放电时，A B 板之间的电场方向为x 轴正方向 ，位移电流的方向为x 轴负方向 （按图上所标
x 轴正方向来回答
）
习题4图
3、加在平行板电容器极板上的电压变化率为s
V
6
100.1?，在电容器内产生A 0.1的位移电
流，则该电容器的电容量为F μ1。
4、平行板电容器的电容C 为F μ0.20，两板上的电压变化率为s
V dt dU 51050.1?=，则
该平行板电容器中的位移电流为A 3。
5、保持空气平板电容器两极板上电荷量不变，减小极板间距离，两极板间的电压减小，电场强度不变，电容增加，电场强度减小
6、有一平行板电容器，充电并保持电源畅通，这时在电容器中贮存的电场能为0W ，然后再极板间充满相对电容率为r ε的均匀电介质，则电容器内贮存的电场能变为W '=0W r ε
7、真空中有一均匀带电的球体和一均匀带电球面，如果它们的半径和所带的总电荷量都相等，则球体的静电能大于球面的静电能
8、静电场的高斯定理有两种形式：（1）?
∑=
?s
q ds D ，其中q 指的是高斯面S 包围的自
由电荷；（2）?
∑=
?s q
ds E 0ε，其中q 指的是高斯面S 包围的所有（各种）电荷，在电
介质中它还包括自由电荷和极化电荷（或束缚电荷）两部分
三 计算题
1、一空气平行板电容器，两极板面积均为S ，板间距离为d （d 远小于极板线度），在两极板间平行地插入一面积也是S 、厚度为t （＜d ）的金属片．试求： （l ）电容C 等于多少？
（2）金属片放在两极板间的位置对电容值有无影响？ 解：设极板上分别带电量q +和q -；金属片与A 板距离和B 板距离分别为21d d 、；金属片与A 板间场强为 )/(01S q E ε= 金属板与B 板间场强为 )/(02S q E ε=
金属片内部场强为
0'=E 则两极板间的电势差为
d E d E U U B A 21+=- ))](/([210d d S q +=ε
))](/([0t d S q -=ε 由此得)/()/(0t d S U U q C B A -=-=ε
因C 值仅与d 、t 有关，与21d d 、无关，故金属片的安放位置对电容无影响．
2、半径分别为a 和b 的两个金属球，它们的间距比本身线度大得多，今用一细导线将两者相连接，并给系统带上电荷Q ，求：
（1）每个求上分配到的电荷是多少？（2）按电容定义式，计算此系统的电容。 解：（1）首先考虑a 和b
0044a
b
a
b
q q r r πεπε=
┄①，再由系统电荷为Q ，有：a b q q Q +=┄②
两式联立得：a Qa q a b =+，b Qb q a b
=+；
（2）根据电容的定义：04a Q Q C U q a πε==（或04b
Q Q C U q b
πε==），将（1）结论代入， 有：04()C a b πε=+。
6-19. 利用电场能量密度2
e 12
ωε=E 计算均匀带电球体的静电能，设球体半径为R ，带电量为Q 。
解：首先求出场强分布：130
22044Q r E r R E R Q E r R r πεπε?=?
=?
∴222
2200032
000()4(
)42242
4R R
Q r Q W E dV r d r r d r R r
εεεπππεπε∞
==+?????
2
0320Q R
πε=
。
3、 一导体球半径为1R ，外罩一半径为2R 的同心薄导体球壳，外球壳所带总电荷为Q ，而内球的电势为0V ．求此系统的电势和电场的分布．
解 根据静电平衡时电荷的分布，可知电场分布呈球对称．取同心球面为高斯面，由高斯定理()()∑?
?
=?=?0
2/π4d ε
q r E r r E S E ，根据不同半径的高斯面内的电荷分布，解得各区
域内的电场分布为
r ＜1R 时， ()01=r E
1R ＜r ＜2R 时，()2
02π4r εq r E =
r ＞2R 时， ()2
02π4r
εq
Q r E +=
由电场强度与电势的积分关系，可得各相应区域内的电势分布．
r ＜1R 时，2
0103211π4π4d d d d 2
2
1
1R εQ
R εq V R R R R r
r
+=
?+?+?=?=????∞
∞
l E l E l E l E
1R ＜r ＜2R 时， 2
00322π4π4d d d 2
2
R εQ
r εq V R R r
r
+=
?+?=?=???∞
∞
l E l E l E r ＞2R 时， r
εQ
q V r
03π4d +=
?=?∞
l E 3 也可以从球面电势的叠加求电势的分布．在导体球内（r ＜1R ）
2
0101π4π4R εQ
R εq V +=
在导体球和球壳之间（1R ＜r ＜2R ）2
002π4π4R εQ
r εq V +=
在球壳外（r ＞2R ）r
εQ
q V 03π4+=
由题意 1
02001π4π4R εQ
R εq V V +=
=
得1
02001π4π4R εQ
R εq V V +=
=
代入电场、电势的分布得
r ＜1R 时，01=E ；01V V =
1R ＜r ＜2R 时， 2
2012012π4r R εQ R r V R E -=
；r R εQ
R r r V R V 201012
π4)(--= r ＞2R 时，2
20122013π4)(r
R εQ R R r V R E --=
；r R εQ
R R r V R V 2012013π4)(--=
4、电容式计算机键盘的每一个键下面连接一小块金属片，金属片与底板上的另一块金属片间保持一定空气间隙，构成一小电容器（如图）。当按下按键时电容发生变化，通过与之相连的电子线路向计算机发出该键相应的代码信号。假设金属片面积为50.0 mm 2
，两金属片之间的距离是0.600 mm 。如果电路能检测出的电容变化量是0.250 pF ，试问按键需要按下多大的距离才能给出必要的信号？ 解 按下按键时电容的变化量为
??
?
???-=0011Δd d S εC
按键按下的最小距离为
mm 152.0ΔΔΔ00min
2
0min =+=-=S
εC d Cd d d d
5、 盖革－米勒管可用来测量电离辐射．该管的基本结构如图所示，一半径为1R 的长直导线作为一个电极，半径为2R 的同轴圆柱筒为另一个电极．它们之间充以相对电容率1≈r ε 的气体．当电离粒子通过气体时，能使其电离．若两极间有电势差时，极间有电流，从而可测出电离粒子的数量．如以1E 表示半径为1R 的长直导线附近的电场强度．（1） 求两极
间电势差的关系式；（2） 若61
1 2.010V m E -=?? ，1R ＝0.30 mm ，
2R ＝20.0 mm ，两极间的电势差为多少？
解 （1） 由上述分析，利用高斯定理可得L λεrL E 0
1
π2=
?
，则两
极间的电场强度r
ελ
E 0π2=
导线表面（r ＝1R ）的电场强度1
01π2R ελ
E =
两极间的电势差?
?
==?=
2
1
2
1
1
2110ln d π2d R R R R R R E R r r ελU r E （2） 当61
1 2.010V m E -=?? ，1R ＝0.30 mm ，2R ＝20.0 mm ，m 时，
V 1052.23?=U
6、一片二氧化钛晶片，其面积为1.0 cm 2
，厚度为0.10 mm ．把平行平板电容器的两极板紧贴在晶片两侧.（1） 求电容器的电容；（2） 当在电容器的两极间加上12 V 电压时，极板上的电荷为多少？ 此时自由电荷和极化电荷的面密度各为多少？ （3） 求电容器内的电场强度．
解 （1） 查表可知二氧化钛的相对电容率r ε＝173，故充满此介质的平板电容器的电容
F 1053.190-?==
d
S
εεC r （2） 电容器加上U ＝12 V 的电压时，极板上的电荷
C 1084.18-?==CU Q
极板上自由电荷面密度为
2-80m C 1084.1??==
-S
Q
σ 晶片表面极化电荷密度
2-400m C 1083.111??=??
????-='-σεσr
（3） 晶片内的电场强度为
1-5m V 102.1??==
d
U
E
7、人体的某些细胞壁两侧带有等量的异号电荷。设某细胞壁厚为5.2 ×10－9
m ，两表面所带面电荷密度为±5.2 ×10 －3
C ／m 2
，内表面为正电荷．如果细胞壁物质的相对电容率为
6.0，求（1） 细胞壁内的电场强度；（2） 细胞壁两表面间的电势差． 解 （1）细胞壁内的电场强度V /m 108.960?==
r
εεσ
E ；方向指向细胞外． （2） 细胞壁两表面间的电势差V 101.52
-?==Ed U ．
8、利用电容传感器测量油料液面高度．其原理如图所示，导体圆管A 与储油罐B 相连，圆管的内径为D ，管中心同轴插入一根外径为d 的导体棒C ，d 、D 均远小于管长l 并且相互绝缘．试证明：当导体圆管与导体棒之间接以电压为U 的电源时，圆管上的电荷与液面高度成正比（油料的相对电容率为r ε ）．
证 由分析知，导体A 、C 构成一组柱形电容器，它们的电容分别为
d
D X
εεC r ln π201=
()d D X L εεC r ln π201-=
其总电容
()X βαd D X L εεd D X εεC C C r r +-+=
+=ln π2ln π20021
其中 d D L εαln π20=；()d D L εεβr ln π20-= UX βaU CU Q +==
即导体管上所带电荷Q 与液面高度X 成正比，油罐与电容器联通．两液面等高，测出电荷Q 即可确定油罐的液面高度．
9、平行板电容器的极板面积为S ，极板间距 离为d 。现将厚度为d / 3的同样大小的金属板沿 与原两板平行的方向插入电容器中。求金属板插入 前后电容器电容的变化。
解：插入前电容器的电容为：
d
S
C 00
ε
=计算9题图
金属板插入后，设金属板的上下面与原电容器的极板间的距离分别为x 1 和x 2 ，依题意应有：
金属板的上下两个面与电容器原极板间形成的两个新电容器的电容分别为：
这两个电容应被金属板所串联，所以总电容为：
则金属板插入前后电容器电容的变化为：
四 简答题
1、为了实时检测纺织品、纸张等材料的厚度（待测材料可视作相对电容率为r ε的电介质），通常在生产流水线上设置如图所示的传感装置，其中A ，B 为平板电容器的导体极板，0d 为两极板间的距离．试说明检测原理，并推出直接测量量电容C 与间接测量量厚度d 之间的函数关系．如果要检测钢板等金属材料的厚度，结果又将如何？ 解 由分析可知，该装置的电容为
()
δd εd S
εεC r r -+=
则介质的厚度为()()C εS
εεd εεC εS εεC d εd r r r r r r r 11
10000---=--=
如果待测材料是金属导体，其等效电容为d
d S
εC -=
00
导体材料的厚度C
S
εd d 00=
-= 实时地测量A B 间的电容量C ，根据上述关系式就可以间接地测出材料的厚度．通常智能化的仪表可以实时地显示出待测材料的厚度．
2
021
01x S
C x S
C εε=
=
3
221d
x x =
+d
S C C C C C 230
212
1ε=+=
d
S d S d S C C C 2230000εεε=-=
-=?