浅谈微积分在经济学中的运用

浅谈微积分在经济学中的运用

刘康顺

指导老师：陈明玉（教授）

摘要：微积分是人类智慧最伟大的成就之一，作为数学知识的基础，微积分是学习经济学的必备知识。本文着重讨论了微积分在经济学中最基本的一些应用，边际分析，计算弹性系数，寻求最小生产成本或制定获得最大利润及资本现值与投资问题的一系列策略。 关键词：微积分；边际分析；弹性系数；资本现值；投资问题.

一、导数在经济学中的应用

1. 边际分析

导数在经济学中最通常的应用是边际和弹性。经济学中的边际经济变量都是用增加某一个经济变量一单位从而对另一个经济变量带来的影响是多少,如边际效用、边际成本、边际收益、边际利润、边际替代率等等。这些边际概念几乎都用导数来表示。例如,边际成本是厂商增加一单位产品所增加的总成本,边际成本用公式表示就是

MC = △TC/ △Q 或dQ dTC Q TC MC Q //lim 0

=??=→ 又如边际收益是厂商增加一单位产品所增加的总收益,边际收益用公式表示是

MR = △TR/ △Q 或dQ dTR Q TR MR Q //lim 0

=??=→ 其它的边际经济变量也可以类似地用导数表示。

例1.某企业每月生产的总成本C(千元)是产量x(吨)的函数

2010)(2+-=x x x C 如果每吨产品销售价格2 万元,求每月生产10 吨、15 吨、20 吨时的边际利润。

解:因为利润函数为

2030)2010(20)()()(22-+-=+--=-=x x x x x x C x R x L

所以边际利润为

L ′(x) = - 2x + 30

于是

L ′(10)= -2×10+30=10(千元/吨)

L ′(15)= -2×15+30= 0(千元/吨)

L ′(20)= -2×20+30=-10(千元/吨)

上述结果表明,当月产量为15 吨时,边际利润为0 ,如果再增加产量,利润不会增加反而减少,所以该企业不能单独依靠增加产量来提高利润。

2. 弹性系数

弹性原是物理学上的概念,意指某一物体对外界力量的反应力。经济学中弹性是指经济变量存在函数关系时,因变量对自变量变动的反应程度,其大小可以用两个变量变动的百分比之比,即弹性系数来表示。弹性的一般公式为

自变量变动的百分比

因变量变动的百分比弹性系数= 若两个经济变量之间的函数关系为Y = f (x),以△x 、△y 分别表示变量x 、y 的变动量,以e 表示弹性系数,则弹性公式为

y

x x y x x y y e ???=??=// (1) 若经济变量的变化量趋于无穷小,即当△x →0 , △y →0 时,则弹性公式为

y

x dx dy x x y y e x ?=??=→//lim 0 （2） （1）式称为弧弹性, （2）式称为点弹性。弹性的经济意义为:当自变量化为1 %时,函数变化为e%。

经济学中最通常用的需求弹性是需求价格弹性,它的弹性系数可以表示为

Q

P dP dQ P P Q Q ed p ?-=??-=→//lim 0 在一般情况下,商品的需求量和价格是成反方向变动的,为了使需求弹性系数ed 取正值以便于比较,所以在公式中加了一个负号。 若ed > 1 ,需求富有弹性;若ed = 1 ,需求是单位弹性;若ed < 1 ,需求缺乏弹性。

例2.某商品的需求函数为Q = 40 - P(0 < P < 40) ,求其需求的价格弹性,并讨论当价格为多少时,需求缺乏弹性,单位弹性和富有弹性? 解:需求的价格弹性为

P P Q P P Q e -=?-=40)('

令e = 1 ,即 140=-P

P ,得P = 20 。所以当价格为20 时, e = 1 是单位弹性。此时需求量变化的百分比与价格反方向变化的百分比相同,

价格变化,总的销售收入不变。

令0 < e < 1 ,即 1400<-

P ,得0 < P < 20 。所以当0 < P < 3 是缺乏弹性的,此时需要量变化的百分比小于价格变化的百分比,价格微小变化对总的销售收入影响不大。

令e > 1 ,即140>-P

P ,得20 < P < 40。所以当20 < P < 40 时, e > 1 是富有弹性的,此时需求量变化的百分比大于价格变化的百分比,价格微小变化对总的销售收入影响较大。

二、积分在经济学中的应用

在经济管理中,由边际函数求总函数(即原函数) ,一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分;如果求总函数在某个范围的改变量,则采用定积分来解决。

例3.设生产x 个产品的边际成本C =100+2x,其固定成本为 0C = 1000 元,产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售,

问生产量为多少时利润最大? 并求出最大利润。

解:总成本函数为

1000100)0()2100()(02++=++=?x

x x C dt t x C 总收益函数为R(x) = 500x

总利润x L x x x C x R x L 2400',1000400)()()(2-=--=-=,

令0'=L ,得x = 200 ,因为0)200(''

加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。 资本现值与投资问题

若现有a 元货币，按年利率为r 作连续复利计算，则t 年后的价值为ae n 元; 反过来，若t 年后有货币a 元，则按连续复利计算，现应有ae n 元，即资本现值。

设在时间区间［0，T ］内t 时刻的单位时间的收入为R(t)，称此为收入率，若按年利率为r 的连续复利计算，则在［0，T ］内的总收入为dt t R R T n e ?-=0)(。若收入率R(t)=A (A 为常数)，称此为均匀收入

率，如果年利率r 也为常数，则 总收入的现值为)1(1|00e e e rT T rt T rt r

A r A dt A R ----=-==? 若在t = 0 时，一次投入的资金为a ，则在［0，T ］内的纯收入的贴现值(也称投资效益)为a dt A a R R T rt

e -=-=?-*0 即纯收入的贴现值=总收入现值－ 总投资

例4.若连续3 年内保持收入率每年7500 元不变，且利率为7.5%，问其现值是多少?

解:因均匀收入率A=7500元,r=7.5%,所以现值为元）(20150)7985.01(100000)1(075

.075007500)(3075.030075.030=-=-===?---??e e e dt dt t R R t rt 即现值为20150 元。

资本形成、收入预测都可以用这种方法计算获得。

微积分在经济学研究中的应用极为广泛，本文所涉及的仅仅是九牛之一毛。但是从这些最基础的应用中不难看出，微积分实际上起到

了帮助经济学分析的数学化、定量化打下了基础，对经济学中的数学工具高级化起到了重要的作用。

[参考文献]

[1]高鸿业．西方经济学[M]．北京：中国人民大学出版社，2007．

[2]臧忠卿.导数在经济分析中的应用[J].商场现代化,2006,(10).

[3]张丽玲.微积分在经济学中的运用[J].白色学院学报，2007.

[4]褚衍彪.高等数学在经济分析中的运用[J].枣庄学院学报,2007，(10).

[5]辛春元.论微积分在经济分析中的应用[J].现代商贸工业，2008，（9）.

[6]张先荣.谈微积分在经济分析中的运用[J].濮阳职业技术学院学报，2009，（8）.

[7]吴传生.经济数学——微积分[M].北京:高等教育出版社,2003．

[8]赖满瑢.微积分学在经济分析中的应用[J].黑龙江生态工程职业

学院学报,2011,(5).

[9]向菊敏.微积分在经济分析活动中的应用[J].科技信息,2009（26）.

[10]高哲.浅谈微积分在经济中的应用[J].中国科技博览，2009，（7）. Introduction to the application of calculus in economics

Liu Kangshun

Instructor: Chen Mingyu (professor)

Abstract: differential and integral calculus is one of the greatest achievements in human intelligence, as the basis of mathematical knowledge, necessary knowledge of calculus is the study of economics. This paper discusses the calculus in economics, some of the most basic application of marginal analysis, calculation of elastic coefficient of seeking maximum profit and minimum production cost or capital present value a series of policies and investment issues.

Key words: differential and integral calculus; Marginal analysis; Modulus of elasticity; Capital value; Investment issues.

专科经济数学试题与答案

江夏学院成教院2011春专科《经济数学基础》试题 级 专业 姓名 成绩 一、 单项选择(2×5分) 1.函数2 4 2--= x x y 的定义域就是( ) A.),2[+∞- B.),2()2,2[+∞?- C.),2()2,(+∞-?--∞ D.),2()2,(+∞?-∞ 2、若函数4 cos )(π =x f ,则x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim =( )。 A.0 B. 22 C.4sin π- D. 4 sin π 3.下列函数中,( )就是2 sin x x 的原函数。 A. 2cos 2 1 x B.2cos 2x C.2cos 2x - D.2cos 21x - 4.设A 为m×n 矩阵,B 为s×t 矩阵,且B AC T 有意义,则C 就是( )矩阵。 A.m×t B.t×m C.n×s D.s×n 5.用消元法解线性方程组123233241 02x x x x x x +-=?? +=??-=? 得到的解为( )。 A.123102x x x =??=??=-? B.1237 22x x x =-?? =??=-? C.1231122x x x =-??=??=-? D.123 1122x x x =-?? =-??=-? 二、填空题:(3×10分) 6.已知生产某种产品的成本函数为C(q)=80+2q,则当产量q=50单位时,该产品的平均成本为 。 7.函数23 ()32 x f x x x -= -+ 的间断点就是= 。 8.1 1 (cos 1)x x dx -+? = 。 9.矩阵111201134-????-??-???? 的秩为 。 10.若线性方程组1212 0x x x x λ-=?? +=? 有非0解,则λ= 。 11、已知函数21 ()1 x f x x -=-,则点1x =就是函数()f x 的 间断点; 12、设0()()()f x x x x ?=-,()x ?在点0x 连续,则'0()f x =________; 13、若()()f x dx F x c =+?,则2()f x xdx =?______________; 14、设0k >,函数()ln x f x x k e =-+在(0,)+∞内有 个零点; 15、已知函数ln()y x π=,则dy =_________; 16、若某国人口增长的速率为()t μ,则2 1()T T t dt μ?表示_____________ 三、微积分计算题(10×2分) 17.设1ln(1) 1x y x +-=-,求(0)y '。 解: 18.ln 2 20 (1)x x e e dx +? 。 解: 四、代数计算题(10×2分) 19.设矩阵A=1113115,()121I A --?? ??-+??--???? 求。 解 20.设齐次线性方程组123123123 3202530380x x x x x x x x x λ-+=?? -+=??-+=? ,问λ取何值时方程组有非0解,并求一般解。 解

微积分及经济学应用

微积分及经济学应用 Prepared on 22 November 2020

第3章 微积分及其经济学应用 一元函数和多元函数 在数学上，函数的定义为：如果在一个变化过程中有两个变量x 和y ，对任意给定的x 值，仅存在一个y 值与其对应，则称y 是x 的函数，表示为 )(x f y =。 其中x 为自变量，y 为因变量。由于函数关系中仅有一个自变量，因此该函数称为一元函数。x 能够取得的所有值的集合称为函数定义域，y 能够取得的所有值的集合称为函数值域。 在对经济问题的分析过程中，我们通常用函数来描述经济变量之间的变化关系。例如，在商品的供求关系中，定义某种商品价格为P ，需求量为D Q ，供给量为S Q 。那么，需求与价格的函数关系可以表示为：)(P f Q D =， )(P g Q S =。 然而我们所处的经济环境是非常复杂的，每一个经济变量都要受到多种因素的影响。因此，采用一元函数来分析经济问题就会有很大的局限性。所以我们常常采用多元函数来研究经济问题。多元函数是在一个函数关系中函数值是由多个变量确定的，用),,,(21n x x x f y =的形式来表示，它表示因变量y 的值取决于n 个自变量n x x x ,,,21 的大小。 例如在消费理论的基本假设中，每个消费者都同时对多种商品有需求，“效用”取决于所消费的各种商品的数量，效用函数就可以表示为 ),,,(21n x x x f U =，其中U 表示消费者的效用，n x x x ,,,21 是对n 种商品的消 费量。这个函数称为效用函数。同样，生产函数常表示为),(K L f y =，y 为产

微积分在经济生活中的应用

微积分在经济生活中的应用 人们面对着规模越来越大的经济和商业活动，逐渐转向用数学方法来帮助自己进行分析和决策，而且正越来越广泛地应用数学理论进行经济理论研究．在经济生活中经常涉及成本、收入、利润等问题，解决这些问题与微积分有着紧密联系． 1 导数及微分的应用 导数及微分在经济生活中的应用主要有边际分析与弹性分析等． 1.1 边际问题[1](37)P - 1.1.1 边际成本 边际成本是指在一定产量水平下，增加或减少一个单位产量所引起成本总额的变动数． 设成本函数为()C C x =，产量从x 改变到x x +?时，成本相应改变 ()()C C x x C x ?=+?- 成本的平均变化率为 ()() C C x x C x x x ?+?-= ?? 若当0x ?→时，0lim x C x ?→??存在，则这个极限值就可反映出产量有微小变化时，成本的变化情 况．因此，产品在产量x 时的边际成本就是： 00()() ()lim lim x x dC C C x x C x C x dx x x ?→?→?+?-'= ==?? 如果生产某种产品100个单位时，总成本为5000元，单位产品成本为50元．若生产101个时，其总成本5040元，则所增加一个产品的成本为40元，即边际成本为40元． 在经营决策分析中，边际成本可以用来判断产量的增减在经济上是否合算．当企业的生产能力有剩余时，只要增加产量的销售单位高于单位边际成本，也会使得企业利润增加或亏损减少．或者说，只要边际成本低于平均成本，也可降低单位成本．由上面知当产量100x =时，这时候有 (100)40C '= (100) 50100 C = 即边际成本低于平均成本，此时提高产量，有利降低单位成本． 1.1.2 边际收入 边际收入是指在某一水平增加或减少销售一个单位商品的收入增加或减少的量．实际上就是收入函数的瞬时变化率．而从数学的角度来看，它是一个导数问题． 设收入函数为()R R x =，则边际收入函数就是

微积分在微观经济学中的应用

微积分在微观经济学中 的应用 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

1 引言 微积分广泛地应用在自然科学、社会科学及应用科学等各个领域，用来解决那些仅靠代数学不能有效解决的问题．经济学作为社会科学“皇冠上的明珠”，其与微积分的联系也尤为紧密，我们就拿微观经济学为例．微观经济学是研究社会资源配置以及社会微观个体的经济关系的一门科学，从它诞生之日便和数学结下了不解之缘．自威廉-斯坦利和卡尔-门格尔等人的“边际革命”将边际分析引入经济学分析起，微积分在经济学研究中的作用越来越重要，它为解决以“变量”为研究对象的大量问题提供了一种深刻的思想方法，是运用定量分析方法研究经济理论的有效工具．微积分以其特有的严密性为微观经济学理论提供了科学的论证和精确的数理分析，严格的量化的论证与分析提高了经济学理论的科学性．微观经济学这一百多来的发展实践证明：将现代的数学方法例如微积分引入到微观经济学领域，大大地推动了经济学的研究和发展． 本文主要结合微观经济学中的典型的经济模型和经济问题，探讨微积分在微观经济学研究中的具体运用，以提高用高等数学中的方法来处理复杂经济现象的能力．下面研究主要集中在诸如边际分析、弹性分析、成本问题、收入问题、消费者剩余和生产者剩余这些方面，从而让我们对微积分这个分析工具在经济学中的运用有个更加清晰全面的认识． 2经济学中常用函数[1] 在引入微积分在微观经济学中的运用之前，先来简要介绍下经济学中的几个常用的函数．需要注意的是，由于在现实中许多经济函数并不是连续函数，为了能够进行微积分运算，我们不妨先假设它们是连续且可微函数． 需求函数 需求函数是反映在每一可能的价格水平下消费者对某种商品愿意并且能够购买的有效需求量Q与该商品的价格P之间一一对应关系的函数,记作() d =． Q Q P 供给函数 供给函数是反映在每一可能的价格水平下生产者对某种商品愿意并且能够提供的有效供给量Q与该商品的价格P之间一一对应关系的函数，记作() S =． Q Q P 效用函数

经济数学微积分试题

经济数学-微积分模拟试题-按模块分类 一、单项选择题（每小题3分，） 1.下列各函数对中，（ D ）中的两个函数相等． A. x x g x x f ==)(,)()(2 B. 1)(,1 1)(2 +=--= x x g x x x f C. x x g x x f ln 2)(,ln )(2== D. 1)(,cos sin )(2 2 =+=x g x x x f 2.已知1sin )(-= x x x f ，当（ A ）时，)(x f 为无穷小量． A. 0→x B. 1→x C. -∞→x D. +∞→x 3. ? ∞+1 3 d 1x x （ C ）． A. 0 B. 2 1- C. 2 1 D. ∞+ 1.下列函数中为奇函数的是（ ）．B (A) x x y sin = (B) x x y -=3 (C) x x y -+=e e (D) x x y +=2 2.下列结论正确的是（ ）．C (A) 若0)(0='x f ，则0x 必是)(x f 的极值点 (B) 使)(x f '不存在的点0x ，一定是)(x f 的极值点 (C) 0x 是)(x f 的极值点，且)(0x f '存在，则必有0)(0='x f (D) 0x 是)(x f 的极值点，则0x 必是)(x f 的驻点 3.下列等式成立的是（ ）．D (A) x x x d d 1= (B) )1d( d ln x x x = (C) )d(e d e x x x --= (D) )d(cos d sin x x x =- 1．若函数x x x f -= 1)(， ,1)(x x g +=则=-)]2([g f ( )．A A ．-2 B ．-1 C ．-1.5 D ．1.5

微积分在物理 中的简单应用

求解在立体斜面上滑动的物体的速度 一物体放在斜面上，物体与斜面间的摩擦因数μ恰好满足αμtg =，α为斜面的倾角。今使物体获得一水平速度 0V 而滑动，如图一，求： 物体在轨道上任意一点的速度V 与φ的关系，设φ为速度与水平线的夹角。 解：物体在某一位置所受的力有：重力G ， 弹力N 以及摩擦力f 。摩擦力f 总是与运动速度V 的方向相反，其数值 ααααμμsin cos cos mg mg tg mg N f ==== 重力在斜面上的分力为1G ，如图二，将1 G 分解为两个分力：1G ''是1G 沿轨迹切线方向的分 力，φαφsin sin sin 11 mg G G =='' ；1G '是沿轨 迹 法 向 的 分 力 ， φαφcos sin cos 11 mg G G =='，如图三。 根据牛顿运动定律，得运动方程为 τma f G =-''1 （1） n ma G ='1 （2） 由（1）， )1(sin sin )sin sin sin (1 -=-= φααφατg mg mg m a 而 ,dt dV a = τ得到 ,)1(sin sin dt g dV -=φα （3）

式中φ是t 的函数，但是这个函数是个未知函数，因此还不能对上式积分，要设法在φ与t 中消去一个变量，才能积分，注意到 φφ d d ds V V dS dt 1== （4） 而φ d ds 表示曲线在该点的曲率半径ρ，根据（2）式， ρ φα2 cos sin V m mg = （5） 由式（3）（4）（5），可得到 ,)sec (φφφd tg V dV -= φφφφ d tg V dV V V ??-=00)sec (， 积分，得到 )sin 1ln()ln(sec cos ln ln φφφφ+-=+--=tg V V ， .sin 10 φ += V V 运用积分法求解链条的速度及其时间 一条匀质的金属链条，质量为m ，挂在一个光滑的钉子上，一边长度为1L ，另一边长度为,2L 而且120L L <<，如图一。试求： 链条从静止开始滑离钉子时的速度和所需要的时间。 解：设金属链条的线密度为.2 1L L m += λ当一边长度为 x L +1，另一边长度为x L -2时受力如图二所示，则根据牛 顿运动定律，得出运动方程 ,)()(11a x L T g x L λλ+=-+

微积分及经济学应用

第3章 微积分及其经济学应用 3.1 一元函数和多元函数 在数学上，函数的定义为：如果在一个变化过程中有两个变量x 和y ，对任意给定的x 值，仅存在一个y 值与其对应，则称y 是x 的函数，表示为)(x f y =。 其中x 为自变量，y 为因变量。由于函数关系中仅有一个自变量，因此该函数称为一元函数。x 能够取得的所有值的集合称为函数定义域，y 能够取得的所有值的集合称为函数值域。 在对经济问题的分析过程中，我们通常用函数来描述经济变量之间的变化关系。例如，在商品的供求关系中，定义某种商品价格为P ，需求量为D Q ，供给量为S Q 。那么，需求与价格的函数关系可以表示为：)(P f Q D =，)(P g Q S =。 然而我们所处的经济环境是非常复杂的，每一个经济变量都要受到多种因素的影响。因此，采用一元函数来分析经济问题就会有很大的局限性。所以我们常常采用多元函数来研究经济问题。多元函数是在一个函数关系中函数值是由多个变量确定的，用 ),,,(21n x x x f y =的形式来表示，它表示因变量y 的值取决于n 个自变量n x x x ,,,21 的大小。 例如在消费理论的基本假设中，每个消费者都同时对多种商品有需求，“效用”取决于所消费的各种商品的数量，效用函数就可以表示为),,,(21n x x x f U =，其中U 表示消费者的效用，n x x x ,,,21 是对n 种商品的消费量。这个函数称为效用函数。同样，生产函数常表示为),(K L f y =，y 为产出水平，K 表示资本，L 表示劳动力。它说明产出水平既取决于劳动力又取决于资本。 Q=A*L^ alpha *K^ belta A=1;alpha=0.5;belta=0.5;

微积分在现实中的应用

微积分的应用 微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近",好像一个事物始终在变化你不好研究,但通过微元分割成一小块一小块,那就可以认为是常量处理,最终加起来就行。微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。 微积分建立之初的应用：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。 微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛

的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。 微积分作为一种实用性很强的数学方法和根据，在数学发展中的地位是十分重要的。例如，微分可以解决近似计算问题。比如：求sin29°的近似值，求不规则图形面积或几何体体积的近似值等。通过微积分求极限、利用微分中值定理，能够及时的放缩多项式，有利于不等式的化简和证明。极限求和、导数求和、积分求和也都是解决求数列前n项和的好方法。其次，数理化不分家。而且微积分在不等式中也有很大的运用，我们可以运用微积分中值定理，泰勒公式，函数的单调性，极值，最值，凸函数法等来证明不等式。在物理问题上，通过解微分方程研究物体运动问题、气体问题、电路问题也是非常普遍的。已知位移——时间函数计算速度，已知速度——时间函数计算加速度（即生活中交通管理方面的应用）；运动学中的曲线轨迹求解（即生活中在篮球投篮训练中的应用）；求不规则物体的重心；力学工程中计算变力和非恒力做功等等。在化学领域，用气相色谱仪和液相色谱仪做样品化学成分分析时，我们得到的并不是直观的数字结果，而是一张色谱图。色谱图是由一个一个的峰组成的，而我们进行定量计算的根据，就是这些峰的面积。而求这些峰的面积，就需要用到积分。现在的仪器里都集成了自动积分仪，只要选定某一个峰，它就能把积分计算出来。最终得到的成分含量就是基于积分原理计算出来的 微积分的应用不仅仅遍及各个学科，也渗透到了社会的各个行业，甚至深入人们日常生活和工作。利用微积分进行边际分析（经济函数的

电大历年试题——经济数学基础微积分

电大历年试题——经济数学基础 微积分 一、单项选择题： 1、设，则=))((x f f （ ）. A. x 1 B.21 x C.x D.2x 2、下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等. A. x x g x x f ==)(,()(2 B. x x g x x f ==)(,)()(2 C. x x g x y ln 3)(,ln 3== D. x x g x y ln 2)(,ln 2== 3、下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等. A.x x g x x f ==)(,)()(2 B.1)(,1 1 )(2+=--= x x g x x x f C.x x g x y ln 2)(,ln 2== D.1)(,cos sin )(22=+=x g x x x f 4、下列函数在指定区间（-∞，＋∞﹚上单调增加的是（ ）. A.x sin B.x e C.2x D.x -3 5、下列函数在指定区间（-∞，＋∞﹚上单调下降的是（ ）. A.x sin B. x 3 C.2x D. 5-x 6、下列函数在指定区间（-∞，＋∞﹚上单调增加的是（ ）. A.x sin B.x 2 1 C.x 3 D.21x - 7、函数的定义域是（ ）. A. [-2,+ ∞) B. [-2,2)),2(+∞? C. （-∞,-2)),2(+∞-? D. （-∞,2)),2(+∞? 8、函数的定义域是（ ）. A.(-2,4) B. (-2,4)),4(+∞? C.)4,(-∞ D.),2(+∞- 9、函数的定义域是（ ）. A.1->x B.0>x C.0≠x D. 1->x 且0≠x 10、下列函数中为奇函数的是（ ）.

微积分在经济学中的若干应用

微积分在经济学中的若干应用 微积分在经济学中的若干应用 1微积分的基本思想 微积分是微分论文联盟学和积分学的总称，它的基本思想是：局部求近似、极限求精确。以下我们具体阐述微分学与积分学的思想。 1.1微分学的基本思想：微分学的基本思想在于考虑函数在小范围内是否可能用线性函数或多项式函数来任意近似表示。直观上看来，对于能够用线性函数任意近似表示的函数，其图形上任意微小的一段都近似于一段直线。在这样的曲线上，任何一点处都存在一条惟一确定的直线--该点处的“切线”。它在该点处相当小的范围内，可以与曲线密合得难以区分。这种近似，使对复杂函数的研究在局部上得到简化。 1.2积分的基本思想：积分学的最基本的概念是关于一元函数的定积分与不定积分。蕴含在定积分概念中的基本思想是通过有限逼近无限。因此极限方法就成为建立积分学严格理论的基本方法。现在我们来举一个例子——物理中运动物体经过的路程：设速度函数已知，求运动物体所经过的路程也是上述两大步骤：（1）“局部求近似”：非均匀量近似于均匀量只有在微小局部才能成立.因此要处理这一非匀速变化的整体量，首先必须划分时间区间为若干小时间区间，再在各小时间区间上以“匀”代“不匀”，因此，这一思想需分为两步来实现：论文网

①“分割”：将区间任意划分成n份，考察微小区间上的小段； ②“求近似”：在上将运动近似看作匀速运动，用处理相应均匀量的乘法得：，，. （2）“极限求精确”：由于所求的是整体量，因此先将局部的近似值累加起来再向精确值转化（利用极限法实现“精确”的过程），所以实现精确的思想也分为两步： ①“求和”：； ②“求极限”：，其中. 可见，微分与积分虽然是微观和宏观两种不同范畴的问题，但它们的研究对象都是“非均匀”变化量，解决问题的基本思想方法也是一致的。可归纳为两步：（1）微小局部求近似值； （2）利用极限求精确。微积分的这一基本思想方法贯穿于整个微积分学体系中，并且将指导我们应用微积分知识去解决各种相关的问题。 2微积分在经济学中的基本应用 （1）一般均衡理论中的微积分方法：经济均衡理论是瓦尔拉斯创立的。所谓瓦尔拉斯均衡,就是对每一个商品市场的供给和需求相等的所有均衡条件进行描述。即寻求在经济生活中消费者追求效用最大化,生产者追求利润最大化的过程中,均衡价格体系存在的条件。一般均衡分析是在构建多变量方程组的前提下,运用微积分理论对商品

经济数学--微积分期末测试及答案(A)

经济数学--微积分期末测试及答案(A)

经济数学--微积分期末测试 第一学期期末考试试题 ( A ) 一.选择题（每小题只有一个正确答案，请把正确答案前的字母填入括号，每题2分，共 30分） 1.函数1 ()x f x += Ａ）； ()(1,1)(1,) ()(1,) ()(1,) ()(1,1) A B C D -+∞-+∞+∞-U 2.下列函数中，与3y x =关于直线y x =对称的函数是 （Ａ）； 33 3 3()()()()A y x B x y C y x D x y = ==-=- 3.函数2 14y x = -的渐近线有（Ａ）； 3（A ）条 （B ）2条 （C ）1条 （D ）0条 4.若函数()f x 在(,)-∞+∞有定义，下列函数中必是奇 函数的是（Ｂ）； 32()() ()() ()()() ()() A y f x B y x f x C y f x f x D y f x =--==+-= 5.0x →时，下列函数中，与x 不是等价无穷小量的 试题号 一 二 三 四 总分 考 分 阅卷人

11 00 1()lim (1) ()lim (1) ()lim(1) ()lim (1) x x x x x x x x A x B x C D x x +→∞ →∞ →→++++ 13.若ln x y x = ，则dy ＝（Ｄ）； 2 2 2 ln 11ln ln 1 1ln () () () () x x x x A B C dx D dx x x x x ---- 14.函数2()f x x =，在区间[０，１]内，满足拉格朗日 中值定理的条件，其中ξ＝（Ｄ）； 1 121() () () () 4 3 3 2 A B C D 15.若函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，则2 ()x f x dx ' ? ?= ???（Ｄ）． 2222()[2()()]()2()() ()()()() A xf x x f x dx B xf x x f x C x f x dx D x f x ''++ 二.计算题（每小题7分，共 56分） 1. 2arccos 1y x x x =-y ' 解：1 22 2 2 (arccos )[(1) ]arccos arccos 121y x x x x x x x '''=--==-- 2. 求2(cos sin 32)x x x x e dx -+++? 解：原式＝3 sin cos 2x x x x e x c +++++ （其中c 是任意常数） 3. 求曲线51001y x x y -+= 在0x =对应的点处的切线 方程． 解：0x =时，代入方程得 1 y =；方程两边对x 求导 ６７ ７ ５

【精品完整版】微积分在经济学的应用

唐山师范学院本科毕业论文 题目微积分在经济学的应用 学生武亚南 指导教师张庆教授 年级 2014级专接本 专业数学与应用数学 系别数学与信息科学系 唐山师范学院数学与信息科学系 2016年5月

郑重声明 本人的毕业论文（设计）是在指导教师张庆的指导下独立撰写完成的.如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督.特此郑重声明. 毕业论文（设计）作者（签名）： 年月日

目录 标题 (1) 中文摘要 (1) 1 引言 (1) 2 微积分在经济学的应用 (1) 2.1 边际分析 (1) 2.2 弹性分析 (3) 2.2.1 弹性的概念 (3) 2.2.2 需求弹性 (3) 2.2.3 需求弹性与总收入的关系 (4) 2.3 多元函数偏导数在经济分析中的应用 (5) 2.3.1 边际经济量 (5) 2.3.2 偏弹性 (6) 2.3.3 偏导数求极值 (8) 2.4 积分在经济分析中的应用 (9) 2.4.1 边际函数求原函数 (9) 2.4.2 消费者剩余与生产者剩余 (9) 2.4.3 收益流的现值与未来值 (10) 2.5 实际问题探索 (12) 2.5.1 经济批量问题 (12) 2.5.2 净资产分析 (13) 2.5.3 核废料的处理 (14) 3结束语 (16) 参考文献 (17) 致谢 (18) 外文页 (19)

微积分在经济学的应用 武亚南 摘要本文从边际分析、弹性分析、多元函数偏导数在经济分析的应用、积分在经济分析中的应用、实际问题探索五方面来讨论微积分在经济学的应用.其中实际问题探索是利用微积分去解决实际问题，为本文讨论的重点. 关键词微积分边际分析弹性分析实际问题 1 引言 微积分的产生是数学史上伟大的成就，它不仅仅是从社会生产和理论科技中产生的，反过来，它应用到我们生活中的社会和科学技术中去.如今，微积分已是广大科学工作者和科技人员必不可少的工具. 微积分是微分学和积分学的总称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期.并且它的产生与科学地继承和发展数学上的长期积累的研究成果是分不开的.以我国古代来说，三国时期魏人刘徽（公元263年）总结了前人的成果，提出了“割圆术”，他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”用正多边形逼近圆周.这是极限论思想的成功运用. 微分是联系到对曲线作切线的问题和函数的极大值、极小值问题.积分概念是求某些面积、体积和弧长而引起的，古希腊数学家阿基米德在《抛物线求积法》中用穷竭法求出抛物线弓形的面积.阿基米德的贡献真正成为积分学的萌芽.通过前人的研究成果，十七世纪末英国物理学家兼数学家牛顿（Newton，1642-1727）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz，1646-1716）创立了微积分学.它的产生并不是偶然的.那时候，建筑工程的盛兴、河道堤坝的修建、造船事业的发展等提出了很多计算不同形状物体的面积、体积、重心、器壁上液体压力等静力学的与流体力学的问题.所以微积分的产生是由于社会经济的发展、生产技术的进步所促使产生的. 2 微积分在经济学的应用 2.1 边际分析 在经济问题中，常常会使用变化率的概念.变化率一般分为平均变化率和即时或瞬时率，平均变化率就是函数的增量与自变量的增量之比，瞬时变化率就是函数对自变量的导数，在经济学中也将

微积分及经济学应用

第3章 微积分及其经济学应用 3、1 一元函数与多元函数 在数学上,函数的定义为:如果在一个变化过程中有两个变量x 与y ,对任意给定的x 值,仅存在一个y 值与其对应,则称y 就是x 的函数,表示为)(x f y =。 其中x 为自变量,y 为因变量。由于函数关系中仅有一个自变量,因此该函数称为一元函数。x 能够取得的所有值的集合称为函数定义域,y 能够取得的所有值的集合称为函数值域。 在对经济问题的分析过程中,我们通常用函数来描述经济变量之间的变化关系。例如,在商品的供求关系中,定义某种商品价格为P ,需求量为D Q ,供给量为S Q 。那么,需求与价格的函数关系可以表示为:)(P f Q D =,)(P g Q S =。 然而我们所处的经济环境就是非常复杂的,每一个经济变量都要受到多种因素的影响。因此,采用一元函数来分析经济问题就会有很大的局限性。所以我们常常采用多元函数来研究经济问题。多元函数就是在一个函数关系中函数值就是由多个变量确定的,用 ),,,(21n x x x f y K =的形式来表示,它表示因变量y 的值取决于n 个自变量n x x x ,,,21K 的 大小。 例如在消费理论的基本假设中,每个消费者都同时对多种商品有需求,“效用”取决于所消费的各种商品的数量,效用函数就可以表示为),,,(21n x x x f U K =,其中U 表示消费者的效用,n x x x ,,,21K 就是对n 种商品的消费量。这个函数称为效用函数。同样,生产函数常表示为),(K L f y =,y 为产出水平,K 表示资本,L 表示劳动力。它说明产出水平既取决于劳动力又取决于资本。 Q=A*L^ alpha *K^ belta A=1;alpha=0、5;belta=0、5;

微积分在物理学上的应用复习过程

微积分在物理学上的 应用

微积分在物理学上的应用 1 引言 微积分是数学的一个基本学科，内容包括微分学，积分学，极限及其应用，其中微分学包括导数的运算，因此使速度，加速度等物理元素可以使用一套通用的符号来进行讨论。而在大学物理中，使用微积分去解决问题是及其普遍的。对于大学物理问题，可是使其化整为零，将其分成许多在较小的时间或空间里的局部问题来进行分析。只要这些局部问题分的足够小，足以使用简单，可研究的方法来解决，再把这些局部问题的结果整合起来啊，就可以得到问题的结果。而这种将问题无限的分割下去，局部问题无限的小下去的方法，即称为微分，而把这些无限个微分元中的结果进行求和的方法，即是积分。这种解决物理问题的思想和方法即是微积分的思想和方法。 2 微积分的基本概念及微分的物理含义 微积分是一种数学思想，其建立在函数，实数和极限的基础上，其主要探讨的就是连续变量。在运用微积分去解决物理问题时，可以将我们所需要得出的结果看成是一个整体，再将这个整体先微分，即将其分成足够小的个体，我们可以将这个个体的变量看成衡量，得出个体结果后，再将其积分，即把个体的结果累积起来进行求和。例如，在我们研究匀变速直线运动时，我们就可以在其运动过程中选取一个微小的时间dt，而这一时间内的位移为dt，在每一段时间内速度的变化量非常小，可以近似忽略，那么我们就可以将这段时间内的运动近似看成匀速直线运动，再把每段时间内的位移相加，无限求和，就可以得出总的位移。

在物理学中，每个物理公式都是某些物理现象和规律的数学表示，因此，我们在使用这些公式时，面对物理量和公式的微分形式我们不能仅仅从数学方面去考虑，更要从物理含义上去考虑。在我们使用微分符号时，不能只从数学角度去理解其为无限小，更要结合具体 的物理量和角度去判断他的正确含义。 例：如图所示，一通有交流电流i=的长直导线旁有一共面的单匝矩形线圈ABCD，试求线圈中的感应电动势大小。 解：设在某个时刻，长直导线电流产生的磁场为 B= 在图中做一个微元面dS,dS=ldx,则该面元上的磁场可以近似于均匀磁场，微元面dS上的磁通量为 d 线圈围成的面上通过的磁通量为 线圈中的感应电动势为

微积分在经济中的应用分析

一、经济分析中常用的函数 （一）需求函数和供给函数】【2 1.需求函数。需求函数是描述商品的需求量与影响因素，其影响因素很多，例如收入、价格、消费者的喜好等。我们这里先不考虑其他因素，假设商品的需求量只受市场价格的影响，记Q=Q （p ）（Q 表示某种商品的需求量，P 表示此种商品的价格）一般来说，需求函数为价格p 的单调减少函数．例如，某鸡蛋的价格从10元/千克降到8元/千克时，相应的需求量就从1500千克增到2000千克，显然需求是和价格相关的一个变量。一般来说，需求函数为价格p 的单调减少函数（如图一）。 需求曲线是从左上方向右下方倾斜的具有负斜率的曲线；曲线表明了需求量与价格之间呈反方向变动的关系。当价格下降时，需求量上升；当价格上升时，需求量下降。 2.供给函数。一种商品的市场供给量与商品的价格存在一一对应的关系，记S=S （p ），例如，当鸡蛋收购价为4.5元/千克时，某收购站每月能收购5 000 kg ．若收购价每4.6元/千克时，收购量为5400kg 。一般来说，供给函数为价格的单调增加函数。（如图二）

供给函数特征：横轴S为供给量，纵轴P为自变量价格；供给曲线是从左下方向右上方倾斜的具有正斜率的曲线。当价格上升时，供给增加；当价格下降时，供给减少。 （二）、市场均衡 在市场中，当一种商品满足Q=S即需求量等于供给量时，这种商品就达到了市场均衡，当Q=S时的价格称为均衡价格，当市场价格高于均衡价格时，供给量就会增加而需求量就会减少，这是出现“供过于求”的现象；当市场价格低于均衡价格时，需求量就会增加而供给量减少，这是出现“供不应求”的现象。 （三）、价格函数、收入函数、利润函数 1.价格函数。一般来说，价格是销售量的函数。在我们的生活中是随处可见的，就像我们去买东西，买的越多就可以把价格讲得越低。例如，平和一家茶叶批发公司，批发50千克茶叶给零售商，批发价是50元每千克，若每次多批发20千克茶叶，那么相应的批发价格就可以降低4元，很明显价格和销售量是相关的一个变量。在厂商理论中，强调的是既定需求下的价格。在这种情况下，价格是需求量的函数，表示为P=P（Q）。要注意的是需求函数 Q=f（P）与价格函数 P=P（Q）是互为反函数的关系。 2.收入函数。在商业活动中，一定时期内的收益，就是指商品售出后的收入，记为R。销售某商品的总收入取决于该商品的销售量和价格。因此，收入函数为R=R（Q）=PQ。其中 Q 表示销售量，P表示价格。 3.利润函数。利润是指收入扣除成本后的剩余部分，记为L。则L=L（Q）=R （Q）-C（Q）。其中Q 表示产品的的数量，R（Q）表示收入，C（Q）表示成本。总收入减去变动成本称为毛利，再减去固定成本称为纯利润。 三、导数的经济学意义及其在经济分析中的应用 （一）、边际分析 经济学中的“边际”这一术语是指“新增”的或“额外”的意思。例如，当 【3。消费者多吃一单位的冰淇淋时，会获得“新增”的效用或满足，即边际效用】【4：设函数y=f(x)可导，则导函数f'（x）在经济学中称为边际函数。 定义】 在经济学中，我们经常用到边际函数，例如边际成本函数、边际收益函数、边际利润函数，它们都是表示一种经济变量相对于另一种经济变量的变化率问题，都反映了导数在经济学中的应用。成本函数C（P）表示生产P个单位某种产品时的总成本。平均成本函数c（P）表示生产P个单位某种产品时平均每个单位的成本，即c（P）=c（P）/P。边际成本函数是成本函数C（P）相对于P的变化率，即C（x）的导函数） （p C 。 边际成本的变动规律：最初在产量开始增加时由于各种生产要素的效率为得到充分发挥，所以，产量很小；随着生产的进行，生产要素利用率增大，产

微积分在经济学中的应用分析.doc

微积分在经济学中的应用分析 李博 西南大学数学与统计学院，重庆 400715 摘要：本文从经济学与数学的紧密联系出发,分析了数学,尤其是微积分在经济学研究中的地位和作用。 关键词:微积分;经济学;边际分析 Calculus’s Applied Analysis in Economics Li bo School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China Abstract: Based on the close relationship between economics and maths,this paper analyzes the role and function of maths especially calculus in economics. Key words: calculus; Economics; marginal analysis 1.数学与经济学的紧密联系 经济学与数学之间有天然的联系, 经济学从诞生之日起便与数学结下了不解之缘。 经济学应用数学有客观基础。经济学研究的对象是人与人之间的“物的交换”，是有量化规则的。经济学基本范畴如需求、供给、价格等是量化的概念。经济学所揭示的规律性往往需要数量的说明。特别是经济学的出发点是“理性经纪人”。由于经纪人在行为上是理性的,经纪人能够根据自己的市场处境判断自身利益,且在若干不同的选择场合时,总是倾向于选择能给自己带来最大利益的那一种。所以,数学中所有关于求极值和最优化的理论,都适用于分析各种各样的最优经济效果问题,而很多求极值的数学理论和概念,也只能在最优经济效果中找到原型。 数学方法本身所提供的可能性。多变量微积分的理论特别适用于研究以复杂

经济数学-微积分期末考试试卷与答案

经济数学--微积分期末测试 第一学期期末考试试题 ( B ) 一.选择题（每小题只有一个正确答案，请把正确答案前的字母填入括号，每题2分，共30分） 1. 函数?????<<-≤-=4 393 9)(22x x x x x f 的定义域是（A ）； (A) )4,3[- (B) )4,3(- (C) ]4,3(- (D) )4,4(- 2. 函数2 1 4y x = -的渐近线有（Ａ）； 3（A ）条 （B ）2条 （C ）1条 （D ）0条 3. 设函数)1,0()1(log 2≠>++=a a x x y a ,则该函数是(A ) (A) 奇函数 (B) 偶函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 既奇又偶函数 4. 下列函数中，与3y x =关于直线y x =对称的函数是（A ）； 33()()()()A y B x C y x D x y = ==-=- 5. 若()f x =，则点2x =是函数()f x 的（Ｂ）； ()A 左连续点 ()B 右连续点 ()C 驻点 ()D 极值点 6. 已知点（1，3）是曲线23bx ax y +=的驻点，则b a ,的值是（B ） （A ） 9,3=-=b a （B ） 9,6=-=b a （C ） 3,3=-=b a （D ） 3,6=-=b a 7. 当0x →时，下列函数极限不存在的是（C ）； 1sin 11() ()sin () ()tan 1 x x A B x C D x x x e + 8. 极限 =-→x x x 1ln lim 0 （C ）；

()1()0()1()A B C D -不存在 9.下列函数中在［－３，３］上满足罗尔定理条件的是（C ）； 22 2 1 ()() ()2()(3)A x B C x D x x -+ 10．若函数()f x 在点0x 处可导，则极限x x x f x x f x x ??--?+→2) 2()2(lim 000 ＝（C ）； 00001 ()4() ()3()()2() () ()2 A f x B f x C f x D f x '''' 11. 0x →时，下列函数中，与x 不是等价无穷小量的函数是（C ） (A) x tan (B) )1ln(x + (c) x x sin - (D) x sin 12.下列极限中，极限值为e 的是（Ｄ）； 11 00 1()lim (1) ()lim (1) ()lim(1) ()lim (1) x x x x x x x x A x B x C D x x +→∞ →∞ →→++++ 13. 若ln x y x = ，则dy ＝（D ）； 2 2 2 ln 11ln ln 1 1ln ()() () () x x x x A B C dx D dx x x x x ---- 14.函数2()f x x =，在区间[０，１]内，满足拉格朗日中值定理的条件，其中ξ＝（Ｄ）； 1 121() () () () 4 3 3 2 A B C D 15.若函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，则2 ()x f x dx '??=?? ?（Ｄ）． 2222()[2()()]()2()() ()()()() A xf x x f x dx B xf x x f x C x f x dx D x f x ''++ 二.计算题（每小题7分，共56分） 1.x e x x y -+-=11 2 1，求y ' 解：)11 ( )1(1)()1(112 2112 '-+'-+-='+'-='--x e x x x e x x y x x 2112 2112 2 2)1(1)1(1221x e x x e x x x x x --+ -=--+ --+ -=-- ２分 7分

微积分在经济中应用

·406 · 第十二章 微积分在经济中的应用 §1.1 微积分在经济中的应用内容网络图 §1.2内容提要与例题 一、极限在经济中的应用 1.复利. 例1 X 银行提供每年支付一次，复利为年利率8%的银行帐户，Y 银行提供每年支付四次，复利为年利率8%的帐户，它们之间有何差异呢？ 解 两种情况中8%都是年利率，一年支付一次，复利8%表示在每年末都要加上当前余额的8%，这相当于当前余额乘以1.08.如果存入100元，则余额A 为 一年后：A=100（1.08）， 两年后：A=100（1.08）2，…，t 年后：A=100（1.08）t . 而一年支付四次，复利8%表示每年要加四次（即每三个月一次）利息，每次要加上当前余额的8%/4=2%。因此，如果同样存入100元，则在年末，已计入四次复利，该帐户将拥有100（1.02）4 元，所以余额B 为 一年后：B =100（1.02）4，二年后：B =（1.02）4×2，…，t 年后：B =（1.02）4t 。 注意这里的8%不是每三个月的利率，年利率被分为四个2%的支付额，在上面两种复利方式下， 微积分在经济中的应用 数列在经济中的应用 复利 年有效收益 极限在经济中的应用 连续复利 导数在经济中的应用 成本函数 平均最小成本 需求函数 供给函数 均衡价格 收益函数 利润函数 边际函数 弹性函数 最大利润 供给弹性 需求弹性 积分在经济中的应用 收入流的现值 收入流的将来值 消费者剩余 生产者剩余 偏导数在经济中应用 求最大利润 常微分方程与差分方程 在经济中的应用 把经济中的某些问题转化为常微方程来求解

·407· 计算一年后的总余额显示 一年一次复利：A=100（1.08）=108.00，一年四次复利：B=100（1.02）4=108.24.因此，随着年份的延续，由于利息赚利息，每年四次复利可赚更多的钱.所以，付复利的次数越频繁可赚取的钱越多（尽管差别不是很大）. 2.年有效收益 由上面的例子，我们可以测算出复利的效果，由于在一年支付四次，复利为年利率的8%的条件下投100元，一年之后可增加到108.24元，我们就说在这种情况下年有效收益为8.24%. 我们现在有两种率来描述同一种投资行为：一年支付四次的8%复利和8.24%的年有效收益，银行称8%为年百分率（或年利率）或APR （aannual percentage rate ），我们也称为票面利率（票面的意思是“仅在名义上”）.然而，正是年有效收益确切地告诉你一笔投资所得的利息究意有多少.因此，为比较两种银行帐户，只须比较年收益. 例2 银行X 提供每月支付一次，年利率为7%的复利，而银行Y 银供每天支付一次，年利率为6.9%的复利，哪种收益好？若分别用100元投资于二个银行，写出t 年后每个银行中所存余额的表达式. 解 由题意知，设在银行X 的一年后的余额为A 1，t 年后的余额为A t ；设在银行Y 的一年后的余额为B 1，t 年后的余额为B t .由题意知 ),3072.1(100)286072.1(100)833005.1(100)12 07.01(1001212 1≈==+ =A ),4071.1(100)413071.1(100)189000.1(100)365 069.01(100365365 1≈==+=B 所以银行X 帐户年有效收益%23.7≈，银行Y 帐户年有效收益%14.7≈.因此，银行X 提供的 投资行为效益好.t 年后每个银行中所存余额则为 .)4071.1(100)413071.1(100,)3072.1(100)286072.1(100t t t t t t B A ≈=≈= 由此，我们可以得出：如果年利率为r （票面利率）的利息一年支付n 次，那么当初始存款为P 元时，t 年后余额A t 则为).()1(是票面利率r n r P A nt t + = 3. 连续复利 在上式中，令n ∞→,得,rt t Pe A =如果初始存款为P 元的利息水平是年率利为r 的连续复利，则t 年后，余额B 可用以下公式计算：.rt Pe B =在解有关复利的问题时，重要的是弄清利率是票面利率还是年有效收益，以及复利是否为连续的. 在现实世界中，有许多事情的变化都类似连续复利.例如，放射物质的衰变；细胞的繁殖；物体被周围介质冷却或加热；大气随地面上的高度的变化；电路的接通或切断时，直流电流的产生或消失过程等等. 例3 设某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在（假定t=0）就售出，总收入为0R （元），如果窖藏起来待来日按陈酒价格出售，t 年末总收入为.5 2 0t e R R = 假定银行的年利率为r ，并以连续复利计息，试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大，并求06.0=r 时的t 值. 解 根据连续复利公式，这批酒在窖藏t 年末售出总收入R 的现值为rt t A -=Re )(，而