当前位置：文档库 › 高考模拟复习试卷试题模拟卷3月高三模拟考试理科数学试题卷

高考模拟复习试卷试题模拟卷3月高三模拟考试理科数学试题卷

时量 120分钟总分 150分

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对条形码上的准考证号、姓名、考试科目与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答的答案无效。

3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

一：选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知复数i

z -=

，则z z -对应的点所在的象限为 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限

2．已知33

cos 25

π???-=

???，且2π?<，则tan ?为 A ．43-B ．43C ．34-D ．3

3．下列命题中，真命题是

A ．0R x ?∈，0

0x e

≤B ．R x ?∈，22x x >

C ．0a b +=的充要条件是

=-D ．1a >，1b >是1ab >的充分条件 4．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N(－1,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为

A ．1193

B ．1359

C ．2718

D ．3413

5.若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对

称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是 A ．2B ．3C ．4D ．6 6．如图，正方体

1111D C B A ABCD -的棱长为1，F E ,是线段11D B 上的两个动点，且

EF ，则下列结论中错误的是 A ．BF AC ⊥；

B ．三棱锥BEF A -的体积为定值；

C ．//EF 平面ABCD

D ．异面直线

AE 、BF 所成的角为定值。

7．如图，在△ABC 中，设AB a =，AC b =，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为

P ，若AP ma nb =+，则n m 、对应的值为 A ．

24,77 B ．11,24C ．12,67D ．13,67

8．函数2

||,0,0)(sin()(π

φωφω<>>+=A x A x f )的图象如图所

示，则)0(f 等于

A ．

23B ．23

- C ．21D ．2

9．已知集合A{1，2，3，4，5，6，7，8，9），在

集合A 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，

记这个三位数为a ，现将组成a 的三个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a （例如

219a =，则()129I a =，()921D a =），阅读如图所示的程序框

图，运行相应的程序，任意输入一个a ，则输出b 的值为

A ．792

B ．693

C ．594

D ．495

10．如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有 A ．11B ．12C ．20D ．21

11．如图，正方体

1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，用过点1,,A E C 的平面截去

该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为

A B C D

12．对于曲线C 所在平面内的点O ，若存在以O 为顶点的角θ，使得AOB θ

≥∠对于曲线

C 上的任意两个不同点A 、B 恒成立，则称θ为曲线C 相对于O 的“界角”，并称最小的“界角”为曲线C 相对于O 的“确界角”，已知曲线M ：2

190

x x x y xe

x -?+≤?=?

+>??，(其中e 为自然对数的底数)，O 为坐标原点，则曲线M 相对于O 的“确界角”为

A B

A B C D 1

第11题

A ．

3πB ．4πC ．23πD ．34

π 二：填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 13.若函数

?≤≤--≤<-=0

2,12

0,1)(x x x x f ，]2,2[,)()(-∈+=x ax x f x g 为偶函数，则实数=a 14.若抛物线2

2y x =上两点()11,A x y 、()22,B x y 关于直线

y x m =+对称，且1212

x x =-

，则实数m 的值为

15.若,x y 满足0,30,30,y x y kx y ≥??

-+≥??-+≥?

且2z x y =+的最大值为4，则k 的值为.

16.已知Q P ,是圆心在坐标原点O 的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P 点的纵坐标为

54，Q 点的横坐标为13

5，则COS POQ ∠=. 三：解答题：（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）

已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，0,11≠=n a a ，*)(141N n S a a n n n ∈-=+。（Ⅰ）证明：42=-+n n a a ；（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式。 18．（本小题满分12分）如图，四棱锥

ABCD

P -中，底面

ABCD 是矩形，⊥

PA 底面

ABCD ，

1==AB PA ，3=AD ，点F 是PB 的中点，点E 在边BC

上移动．

（Ⅰ）点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的位置关系，并说明理由；

（Ⅱ）当BE 为何值时,PA 与平面PDE 所成角的大小为45 19.（本小题满分12分）

小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”, 并用计步器进行统计.小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（图1）及相应的消耗能量数据表（表1）如下.

图1 表1

（Ⅰ）求小王这8天“健步走”步数的平均数；

（Ⅱ）从步数为16千步、17千步、18千步的几天中任选2天，设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为X ，求X 的分布列. 20.（本小题满分12分）

已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为2

3，点

3(1,)2A 在椭圆C 上.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点1P 、2P （两点均不在坐标轴上），且使得直线1OP 、2OP 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由. 21.（本小题满分12分）

已知函数()2()ln 0,1x f x a x x a a a =+->≠．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）若存在[]12,1,1x x ∈-，使得12()()1f x f x e -≥-（e 是自然对数的底数），

求实数a 的取值范围。

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．

22、（本小题满分10分）【选修4一1：几何证明选讲】

如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B ，C ，PC ＝2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E.证明：

①BE ＝EC ； ②AD ·DE ＝2PB2.

23.（本小题满分10分）[选修4－4：坐标系与参数方程]

以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种

坐标系中取相同的单位长度．设圆C ：??

x ＝2cos θ

y ＝2sin θ

(θ为参数)上的点到直线l ：

ρcos

????θ－π4＝2k 的距离为d.

①当k ＝3时，求d 的最大值；

②若直线l 与圆C 相交，试求k 的取值范围． 24.（本小题满分10分）[选修4－5：不等式选讲]

已知实数m 、n 满足：关于x 的不等式22369x mx n x x ++≤--的解集为R 。 ①求m 、n 的值；

②若a 、

b 、

c R +∈，且a b c m n ++=-，求证：≤

高考理科数学试题及答案

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目

要

求

的

。

31i

+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -

2. 设集合{}1,2,4A =，{}

40x x x m B =-+=．若{}1A

B =，则B =（）

A ．{}1,3-

B ．{}1,0

C ．{}1,3

D ．{}1,5

3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百

八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）

A ．1盏

B ．3盏

C ．5盏

D ．9盏

4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某

几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π

5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤??

-+≥??+≥?

，则2z x y =+的

最小

值是（）

A ．15-

B ．9-

C ．1

D ．9

6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共

有（）

A ．12种

B ．18种

C ．24种

D ．36种

7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，

2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）

A ．乙可以知道四人的成绩

B ．丁可以知道四人的成绩

C ．乙、丁可以知道对方的成绩

D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的

S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

9. 若双曲线C:22

221x y a b

-=（0a >，0b >）的一条渐

近线被圆()2

224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（）

A ．2

B ．3

C ．2

D ．

10. 若2x =-是函数2

()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）

A.1-

B.32e --

C.35e -

D.1

11. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB

与1C B 所成角的余弦值为（）

A ．

32 B ．155 C ．105

D ．33 12. 已知ABC ?是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ?+的最小值是（）

A.2-

B.32-

C. 4

- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽

到的二等品件数，则D X =． 14. 函数()23sin 3cos 4f x x x =+-

（0,2x π??

∈????

）的最大值是．

15. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则

k k

S ==∑． 16. 已知F 是抛物线C:2

8y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为

F N 的中点，则F N =．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 17.（12分）

ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2

sin()8sin 2

A C +=． (1)求cos B

(2)若6a c += , ABC ?面积为2,求.b

18.（12分）

淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下：

设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A 的概率；

填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法新养殖法

3.根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

P （

） 0.050 0.010 0.001 k

3.841 6.635

10.828

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=

++++

19.（12分）

如图，四棱锥PABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，

o 1

,90,2

AB BC AD BAD ABC ==

∠=∠= E 是PD 的中点.

（1）证明：直线//CE 平面PAB

（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所

成锐角为o 45 ，求二面角MABD 的余弦值 20. （12分）

设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2

212

x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =

（1）求点P 的轨迹方程；

（2）设点Q 在直线x=3上，且1OP PQ ?=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 21.（12分）

已知函数3

()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. （1）求a ；

（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且2

30()2e

f x --<<.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。

22.[选修44：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．

（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ?=,求点P 的轨迹2

的直角坐标方程；

（2）设点A 的极坐标为(2,

，点B 在曲线2C 上，求OAB ?面积的最大值．

23.[选修45：不等式选讲]（10分）

已知3

0,0,2a b a b >>+=，证明：（1）3

3()()4a b a b ++≥；（2）2a b +≤．

参考答案

1．D 2．C

【解析】1是方程240x x m -+=的解，1x =代入方程得3m =

∴2430x x -+=的解为1x =或3x =，∴{}13B =， 3．B

【解析】设顶层灯数为1a ，2=q ，()7171238112

-==-a S ，解得13a =．

4．B

【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半．

2211

π310π3663π

22=-=??-???=V V V 总上

5．A

【解析】目标区域如图所示，当直线-2y =x+z 取到点()63--，时，所求z 最小值为15-．

6．D

【解析】只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作．

由此把4份工作分成3份再全排得23

43C A 36?=

7．D

【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．

甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．

8．B

【解析】0S =，1k =，1a =-代入循环得，7k =时停止循环，3S =． 9．A

【解析】取渐近线b

y x a =，化成一般式0bx ay -=，圆心()20，到直线距离为

23b a b =+ 得224c a =，24e =，2e =．

10．C

【解析】M ，N ，P 分别为AB ，1BB ，11B C 中点，则1AB ，1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角

（异面线所成角为π02?

? ??

?，）

可知1152MN AB =

，1122NP BC ==，作BC 中点Q ，则可知PQM △为直角三角形．

1=PQ ，1

MQ AC =

ABC △中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-??∠

14122172??

-???-= ???

，7=AC

则7MQ =

，则MQP △中，2211MP MQ PQ =+= 则PMN △中，222

cos 2MN NP PM PNM MH NP

+-∠=??

222

52111052

2??????+- ? ? ? ? ? ???????=

=-?? 又异面线所成角为π02?

? ??

?，，则余弦值为10．

11．A 【解析】()()21

21x f x x a x a e -'??=+++-???，

则()()3

2422101f a a e a -'-=-++-?=?=-????，

则()()211x f x x x e -=--?，()()212x f x x x e -'=+-?，令()0f x '=，得2x =-或1x =，当2x <-或1x >时，()0f x '>，当21x -<<时，()0f x '<，则()f x 极小值为()11f =-．

12．B

【解析】几何法：

如图，2PB PC PD +=（D 为BC 中点），则()

2PA PB PC PD PA ?+=?，

要使PA PD ?最小，则PA ，PD 方向相反，即P 点在线段AD 上，

D C

则min 22PD PA PA PD ?=-?，即求PD PA ?最大值，又3

23PA PD AD +==?

=，则2

233

24PA PD PA PD ??+?? ??== ? ? ??

???≤，则min 332242

PD PA ?=-?=-．解析法：

建立如图坐标系，以BC 中点为坐标原点， ∴()

03A ，，()10B -，，()10C ，．设()P x y ，， ()

3PA x y

=--，，

()

1PB x y =---，，

()1PC x y =--，，

∴()

222222PA PB PC x y y ?+=-+

23324x y ??????=+-- ? ???????

则其最小值为33242??

?-=- ???

，此时0x =，3y =．

13．1.96

【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中0.02=p ，100n =

则()11000.020.98 1.96x D np p =-=??= 14．1

【解析】()23πsin 3cos 042f x x x x ???

?=+-∈ ????

???，

()231cos 3cos 4

f x x x =-+-

令cos x t =且[]01t ∈， 21

y t t =-++

31t ??

=--+ ? ???

则当3

t =时，()f x 取最大值1． 15．

2+1

n n 【解析】设{}n a 首项为1a ，公差为d ．

则3123a a d =+= 414610S a d =+=

求得11a =，1d =，则n a n =，()12

n n n S +=

()()

112222

122311n

k k

S n n n n ==+++

+??-+∑

111

111121223

11n n n n ??=-+-++-+- ?-+??

122111n n n ?

?=-=

?++??

16．6

【解析】28y x =则4p =，焦点为()20F ，

，准线:2l x =-，如图，M 为F 、N 中点，

故易知线段BM 为梯形AFMC 中位线， ∵2CN =，4AF =， ∴3ME =

又由定义ME MF =，且MN NF =， ∴6

NF NM MF =+=

17.

【解析】（1）依题得：2

1cos sin 8sin

84(1cos )22

B B B B -==?=-． ∵22sin cos 1B B +=， ∴2216(1cos )cos 1B B -+=，

∴(17cos 15)(cos 1)0B B --=，

l F

N M C B A

∴15cos 17

B =

，（2）由⑴可知8sin 17

B =． ∵2AB

C S =△， ∴1

sin 22ac B ?=， ∴18

2217

ac ?=， ∴17

2ac =

， ∵15cos 17

B =

， ∴22215217

a c

b a

c +-=，

∴22215a c b +-=， ∴22()215a c ac b +--=， ∴2361715b --=， ∴2b =．

18．

【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B

“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C

而()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =?+?+?+?+?

0.62=

()0.06850.04650.01050.0085P C =?+?+?+?

0.66=

()()()0.4092P A P B P C == （2）箱产量50kg <

箱产量50kg ≥

中/华资*源%库旧养殖法 62 38 新养殖法

由计算可得2K 的观测值为

()2

2006266383415.705

10010096104

k ??-?=

=???

∵15.705 6.635> ∴()2 6.6350.001P K ≈≥

∴有99%以上的把握产量的养殖方法有关．

（3）150.2÷=，()0.20.0040.0200.0440.032-++=

80.0320.06817÷=

，8

5 2.3517

?≈ 50 2.3552.35+=，∴中位数为52.35．

19．【解析】

M 'M

（1）令PA 中点为F ，连结EF ，BF ，CE ．

∵E ，F 为PD ，PA 中点，∴EF 为PAD △的中位线，∴1

EF AD ∥．

又∵90BAD ABC ∠=∠=?，∴BC AD ∥．又∵12AB BC AD ==

，∴1

BC AD ∥，∴EF BC ∥． ∴四边形BCEF 为平行四边形，∴CE BF ∥．又∵BF PAB ?面，∴CE PAB 面∥

（2）以AD 中点O 为原点，如图建立空间直角坐标系．

设1AB BC ==，则(000)O ，，，(010)A -，，，(110)B -，，，(100)C ，

，，(010)D ，，， (00P ，．

M 在底面ABCD 上的投影为M '，∴MM BM ''⊥．∵45MBM '∠=?，

∴MBM '△为等腰直角三角形．

∵POC △为直角三角形，3

OC OP =，∴60PCO ∠=?．设MM a '=，3CM a '=

，3

1OM a '=-．∴3100M a ??'- ? ???

，，． 2

231610133BM a a a a ??'=++=+=?= ? ???．∴3211OM a '=-=-． ∴2100M ??'- ? ???，，，2610M ??

- ? ???

，， 26112AM ??=- ? ???

，，，(100)AB =，，．设平面ABM 的法向量11(0)m y z =，，． 116

0y z +

=，∴(062)m =-，， (020)AD =，，，(100)AB =，，．设平面ABD 的法向量为2(00)n z =，，，

(001)n =，，．

∴10

cos ,m n m n m n

?<>=

?． ∴二面角M AB D --的余弦值为10

． 20．

【解析】 ⑴设()P x y ，，易知(0)N x ，

(0)NP y =，又1022NM NP ?== ??

?，

∴1

2M x y ?

，，又M 在椭圆上． ∴2

122x += ???

，即222x y +=． ⑵设点(3)Q Q y -，，()P P P x y ，，(0)Q y ≠，

由已知：()(3)1P P P Q P OP PQ x y y y y ?=?---=，，， ()

1OP OQ OP OP OQ OP ?-=?-=，

∴2

13OP OQ OP ?=+=， ∴33P Q P Q P P Q x x y y x y y ?+=-+=．

设直线OQ ：3

Q y y x =

?-，

因为直线l 与OQ l 垂直．

∴3l Q

k y =

故直线l 方程为3

()P P Q

y x x y y =

-+，令0y =，得3()P Q P y y x x -=-， 1

P Q P y y x x -?=-， ∴1

P Q P x y y x =-?+，

∵33P Q P y y x =+，

∴1

(33)13

P P x x x =-++=-，

若0Q y =，则33P x -=，1P x =-，1P y =±，直线OQ 方程为0y =，直线l 方程为1x =-，直线l 过点(10)-，，为椭圆C 的左焦点．

21．

【解析】 ⑴ 因为()()ln 0f x x ax a x =--≥，0x >，所以ln 0ax a x --≥．

令()ln g x ax a x =--，则()10g =，()11

ax g x a x x

-'=-

，当0a ≤时，()0g x '<，()g x 单调递减，但()10g =，1x >时，()0g x <；当0a >时，令()0g x '=，得1

x a

=．当10x a <<

时，()0g x '<，()g x 单调减；当1

x a

>时，()0g x '>，()g x 单调增．若01a <<，则()g x 在11a ?? ???，上单调减，()110g g a ??

<= ???；

若1a >，则()g x 在11a ?? ???，上单调增，()110g g a ??

<= ???；

若1a =，则()()min 110g x g g a ??

=== ???

，()0g x ≥．

综上，1a =．

⑵()2ln f x x x x x =--，()22ln f x x x '=--，0x >．

令()22ln h x x x =--，则()121

2x h x x x

-'=-=

，0x >．令()0h x '=得1

x =

，当102x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减；当1

x >时，()0h x '>，()h x 单调递增．

所以，()min 112ln 202h x h ??

==-+< ???

．

因为()

22e 2e 0h --=>，()22ln 20h =->，21e 02-??∈ ???，，122??

∈+∞ ???

，，

所以在102?? ???，和12??

+∞ ???

，上，()h x 即()f x '各有一个零点．

设()f x '在102?? ???，和12??+∞ ???，上的零点分别为02x x ，

，因为()f x '在102??

???

，上单调减，

所以当00x x <<时，()0f x '>，()f x 单调增；当01

x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减．因此，0x 是()f x 的极大值点．

因为，()f x '在12??

+∞ ???

，上单调增，所以当212x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减，

2x x >时，()f x 单调增，因此2x 是()f x 的极小值点．

所以，()f x 有唯一的极大值点0x ．

由前面的证明可知，201e 2x -?

?∈ ??

?，，则()()

24220e e e e f x f ---->=+>．

因为()00022ln 0f x x x '=--=，所以00ln 22x x =-，则又()()22000000022f x x x x x x x =---=-，因为0102x <<，所以()01

f x <．因此，()201

e 4

f x -<<

． 22．

【解析】⑴设()()00M P ρθρθ，

，，则0||OM OP ρρ==，． 000016

cos 4ρρρθθθ

=??

=??=?

解得4cos ρθ=，化为直角坐标系方程为

()

224x y -+=．()0x ≠

⑵连接AC ，易知AOC △为正三角形．

||OA 为定值．

∴当高最大时，AOB S △面积最大，

如图，过圆心C 作AO 垂线，交AO 于H 点交圆C 于B 点，此时AOB S △最大 max 1

||||2

S AO HB =

? ()1

||||||2

AO HC BC =

23．

【解析】⑴由柯西不等式得：()()()

4a b a b a b ++=+=≥

1a b ==时取等号． ⑵∵332a b +=

∴()()

222a b a ab b +-+=

∴()()2

32a b b ab α??++-=??

∴()()3

32a b ab a b +-+=

∴()()

23a b ab

a b +-=+

由均值不等式可得：()()3

232a b a b ab a b +-+??= ?+??≤ ∴()()3

2232a b a b a b +-+?? ?+??

≤ ∴()()3

324

a b a b ++-≤

∴

()3

124

a b +≤ ∴2a b +≤ 当且仅当1a b ==时等号成立．

2018年高考理科数学试题及答案-全国卷2

2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1． 12i 12i + = - A． 43 i 55 --B． 43 i 55 -+C． 34 i 55 --D． 34 i 55 -+ 2．已知集合() {} 223 A x y x y x y =+∈∈ Z Z ，≤，，，则A中元素的个数为 A．9 B．8 C．5 D．4 3．函数()2 e e x x f x x - - =的图像大致为 4．已知向量a，b满足||1 = a，1 ?=- a b，则(2) ?-= a a b A．4 B．3 C．2 D．0 5．双曲线 22 22 1(0,0) x y a b a b -=>>3 A．2 y x =B．3 y x =C． 2 y=D． 3 y= 6．在ABC △中， 5 cos 2 C 1 BC=，5 AC=，则AB= A．2B30C29 D．25 7．为计算 11111 1 23499100 S=-+-++- …，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入 A．1 i i=+ B．2 i i=+ C．3 i i=+ D．4 i i=+ 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723 =+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是开始 0,0 N T == S N T =- S 输出 1 i= 100 i< 1 N N i =+ 1 1 T T i =+ + 结束是否

高考理科数学试题及答案2180

高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 31i i +=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 2. 设集合{}1,2,4A =，{} 2 40x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π 5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤?? -+≥??+≥? ，则2z x y =+的最小值是（） A ．15- B ．9- C ．1 D ．9 6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种 7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀， 2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）

2018年高考全国二卷理科数学真题(解析版)

2018年高考全国二卷理科数学真题（解析版）注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解：选D. 点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力. 2. 已知集合，则中元素的个数为 A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数. 详解：，当时，；当时，；当时，；所以共有9个，选A. 点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.

3. 函数的图像大致为 A. A B. B C. C D. D 【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：为奇函数，舍去A, 舍去D; ，所以舍去C；因此选B. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 4. 已知向量，满足，，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果. 详解：因为所以选B. 点睛：向量加减乘： 5. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A. B. C. D. 【答案】A

2018年高三数学试卷

2018年高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）设全集U={x∈R|x＞0}，函数f（x）=的定义域为A，则?U A为（）A．（0，e] B．（0，e） C．（e，+∞）D．[e，+∞） 2．（5分）设复数z满足（1+i）z=﹣2i，i为虚数单位，则z=（） A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i 3．（5分）已知A（1，﹣2），B（4，2），则与反方向的单位向量为（）A．（﹣，）B．（，﹣）C．（﹣，﹣）D．（，） 4．（5分）若m=0.52，n=20.5，p=log20.5，则（） A．n＞m＞p B．n＞p＞m C．m＞n＞p D．p＞n＞m 5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出n的值为（） A．19 B．20 C．21 D．22 6．（5分）已知p：x≥k，q：（x﹣1）（x+2）＞0，若p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（） A．（﹣∞，﹣2）B．[﹣2，+∞） C．（1，+∞）D．[1，+∞） 7．（5分）一个总体中有600个个体，随机编号为001，002，…，600，利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006，则在编号为051～125之间抽得的编号为（） A．056，080，104 B．054，078，102 C．054，079，104 D．056，081，106 8．（5分）若直线x=π和x=π是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的两条相邻对称轴，则φ的一个可能取值为（） A．B．C．D．

9．（5分）如果实数x，y满足约束条件，则z=的最大值为（）A．B．C．2 D．3 10．（5分）函数f（x）=的图象与函数g（x）=log2（x+a）（a∈R）的图象恰有一个交点，则实数a的取值范围是（） A．a＞1 B．a≤﹣C．a≥1或a＜﹣D．a＞1或a≤﹣ 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分） 11．（5分）已知直线l：x+y﹣4=0与坐标轴交于A、B两点，O为坐标原点，则经过O、A、B 三点的圆的标准方程为． 12．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为． 13．（5分）在[0，a]（a＞0）上随机抽取一个实数x，若x满足＜0的概率为，则实数a 的值为． 14．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上的一点M（1，t）（t＞0）到焦点的距离为5，双曲线﹣=1（a＞0）的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为． 15．（5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）=2x，若存在x0∈[1，2]使得等式af（x0）+g（2x0）=0成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分75分） 16．（12分）已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，），函数f（x）=（+）?．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，在△ABC中，角A，B，

2018年全国高考ii卷理科数学试题及答案

绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的、号填写在答题卡上。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解：选D. 点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力. 2. 已知集合，则中元素的个数为 A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】分析：根据枚举法，确定圆及其部整点个数. 详解：，当时，；当时，；当时，；所以共有9个，选A. 点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.

3. 函数的图像大致为 A. A B. B C. C D. D 【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：为奇函数，舍去A, 舍去D; ，所以舍去C；因此选B. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 4. 已知向量，满足，，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果. 详解：因为所以选B. 点睛：向量加减乘： 5. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为

四川大学网络教育入学考试高等数学试题

四川大学网络教育入学考试高等数学试题1、题目Z1-2（2）（） A．A B．B C．C D．D 标准答案：A 2、题目20－1：（2）（） A．A B．B C．C D．D 标准答案：A 3、题目20－2：（2）（） A．A B．B C．C D．D 标准答案：B 4、题目20－3：（2）（）

A．A B．B C．C D．D 标准答案：A 5、题目20－4：（2）（） A．A B．B C．C D．D 标准答案：D 6、题目20－5：（2）（） A．A B．B C．C D．D 标准答案：D 7、题目20－6：（2）（） A．A B．B C．C

D．D 标准答案：A 8、题目20－7：（2）（） A．A B．B C．C D．D 标准答案：D 9、题目20－8：（2）（） A．A B．B C．C D．D 标准答案：C 10、题目11－1（2）（） A．A B．B C．C D．D 标准答案：C

11、题目11－2（2）（） A．A B．B C．C D．D 标准答案：B 12、题目11－3（2）（） A．A B．B C．C D．D 标准答案：A 13、题目20－9：（2）（） A．A B．B C．C D．D 标准答案：C 14、题目11－4：（2）（）

A．A B．B C．C D．D 标准答案：D 15、题目11－5（2）（） A．A B．B C．C D．D 标准答案：C 16、题目20－10：（2）（） A．A B．B C．C D．D 标准答案：B 17、题目11－6（2）（） A．A B．B C．C D．D 标准答案：B 18、题目11－7（2）（）

(完整)2018年上海高考数学试卷

2018年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷时间120分钟，满分150分一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1.行列式41 25的值为_________. 2.双曲线2 214 x y -=的渐近线方程为_________. 3.在7(1)x +的二项展开式中，2x 项的系数为_________.（结果用数值表示） 4.设常数a R ∈，函数2()log ()f x x a =+。若()f x 的反函数的图像经过点(3,1)，则 a =_________. 5.已知复数z 满足(1)17i z i +=-（i 是虚数单位），则z =_________. 6.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S =_________. 7.已知12,1,,1,2,32α? ?∈---???? 。若幂函数()f x x α=为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则 α=_________. 8.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =u u u r ，则AE BF ?u u u r u u u r 的最小值为_________. 9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个。从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是_________.（结果用最简分数表示）

10.设等比数列{}n a 的通项公式为1n n a q -=（*n ∈N ），前n 项和为n S 。若1 1lim 2n n n S a →+∞+=，则q =_________. 11.已知常数0a >，函数2()2x x f x ax =+的图像经过点6,5P p ?? ???、1,5Q q ??- ?? ?。若236p q pq +=，则a =_________. 12.已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212 x x y y += ，则的最大值为_________. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 13.设P 是椭圆22 153 x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）（A ）（B ）（C ）（D ）14.已知a ∈R ，则“1a >”是“11a <”的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件 15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马。设1AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图。若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以1AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）（A ）4 （B ）8 （C ）12 （D ）16 16.设D 是含数1的有限实数集，()f x 是定义在D 上的函数。若()f x 的图像绕原点逆时针旋转6 π后与原图像重合，则在以下各项中，(1)f 的可能取值只能是（） A 1

2018高考理科数学全国一卷试题及答案

2018高考理科数学全国一卷一．选择题 1.设则( ) A. B. C. D. 2、已知集合 ,则( ) A. B. C. D. 3、某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区系农村建设前后农村的经济收入构成比例。得到如下饼图: 则下面结论中不正确的是( ) A.新农村建设后,种植收入减少 B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入增加一倍 D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4、记为等差数列的前项和,若,则( ) A.-12 B.-10 C.10 D.12 5、设函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为( ) A. B. C. D. 6、在中,为边上的中线,为的中点,则( ) A. B. C. D. 7、某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如下图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上, 从M到N的路径中,最短路径的长度为( ) A. B. C. D. 8、设抛物线的焦点为,过点且斜率为的直线与交于两点,则( ) A.5 B.6 C.7 D.8

9、已知函数,,若存在个零点,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 10、下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个车圈构成,三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边,直角边.的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ,在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别记为,则( ) A. B. C. D. 11、已知双曲线,为坐标原点,为的右焦点,过的直线与的两条渐近线的交点分别为若为直角三角形,则( ) A. B. C. D. 12、已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等,则截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A. B. C. D. 13、若满足约束条件则的最大值为。 14、记为数列的前n项的和,若,则。 15、从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案) 16、已知函数,则的最小值是。三解答题： 17、在平面四边形中, 1.求; 2.若求 18、如图,四边形为正方形,分别为的中点,以为折痕把折起,使点到达点的位置,且. 1. 证明:平面平面; 2.求与平面所成角的正弦值

历年名牌大学自主招生数学考试试题及答案

上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题一、填空题（每小题5分，共50分） 1．设函数()f x 满足2(3)(23)61f x f x x +-=+，则()f x = ． 2．设,,a b c 均为实数，且364a b ==，则11a b -= ． 3．设0a >且1a ≠，则方程2122x a x x a +=-++的解的个数为． 4．设扇形的周长为6，则其面积的最大值为． 5．11!22!33!!n n ?+?+?++?=L ． 6．设不等式(1)(1)x x y y -≤-与22x y k +≤的解集分别为M 和N ．若M N ?，则k 的最小值为． 7 ．设函数 ()x f x x = ，则 2112()3()()n S f x f x nf x -=++++=L ． 8．设0a ≥，且函数()(cos )(sin )f x a x a x =++的最大值为 25 2 ，则a = ． 9．6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为． 10．已知函数121 ()1 x f x x -= +，对于1,2,n =L ，定义11()(())n n f x f f x +=，若355()()f x f x =，则28()f x = ．二、计算与证明题（每小题10分，共50分） 11．工件内圆弧半径测量问题．

为测量一工件的内圆弧半径R ，工人用三个半径均为r 的圆柱形量棒 123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ，试写出R 用h 表示的函数关系式，并计算当 10,4r mm h mm ==时，R 的值． 12．设函数()sin cos f x x x =+，试讨论()f x 的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性），求其极值，并作出其在[]0,2π内的图像． 13．已知线段AB 长度为3，两端均在抛物线2x y =上，试求AB 的中点 M 到y 轴的最短距离和此时M 点的坐标．参考答案： 1. 21x - 2. 1 2 - 3. 2 4. 94 5. ()1!1n +- 6. 2

2018年全国各地高考数学(理科试卷及答案)

2018年高考数学理科试卷（江苏卷）数学Ⅰ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．已知集合{}8,2,1,0=A ，{}8,6,1,1-=B ，那么=?B A ． 2．若复数z 满足i z i 21+=?，其中i 是虚数单位，则z 的实部为． 3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为． 4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为． 5．函数()1log 2-=x x f 的定义域为．

6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为． 7．已知函数()??? ??<<-+=22 2sin ππ ?x x y 的图象关于直线3π=x 对称，则?的值是． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x 的右焦点()0,c F 到一条渐近线的距离为 c 2 3 ，则其离心率的值是． 9．函数()x f 满足()()()R x x f x f ∈=+4，且在区间]2,2(-上，()??? ? ???≤<-+≤<=02,2120,2cos x x x x x f π，则()()15f f 的值为． 10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为． 11．若函数()()R a ax x x f ∈+-=122 3 在()+∞,0内有且只有一个零点，则()x f 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为．

2018高考理科数学模拟试题

2018学年高三上期第二次周练数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（） A. i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=，则数列{}n a 的前9项的和9S =（） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（） A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 2 5y x 的项的系数是（） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A. 11<<