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青岛版3.4切线长定理导学案

3.4直线和圆的位置关系第4课时

《切线长定理》导学案

学习目标

1、了解切线长的概念。

2、理解切线长定理，并能熟练运用切线长定理进行解题和证明

学习重点

理解切线长定理，并能熟练运用切线长定理进行解题和证明

学习难点

熟练运用切线长定理进行解题和证明

学习过程

一、自学新知：

1自学教材自学教材P 96---P 98，思考下列问题

（1）你知道什么是切线长吗？切线长和切线有区别吗？区别在哪里？

（2）通过探究可得

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分__________________．

（3）你知道如何证明切线长定理吗？

如图，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线．求证：PA=PB ，∠OPA=∠OPB ．

证明：

（4）若PO 与圆相分别交于C 、D,连接AB 于PO 交于点E,图中相等的线段有，相等的角有，

相等的弧有，

互相垂直的线段有，

全等的三角形有。

二、例题解析

课本P97页例4 学生自主完成，与课本对照。

三、当堂反馈

1、如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，（1）若PB=12，PO=13，则AO= .

（2）若PO=10，AO=6，则PB= ；（3）若PA=4，AO=3，则PO= ；PD= ；

2.如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别是A 、B ，直线EF 也是⊙O 的切

B A P O B A P

B A

C D

P O

B A

C P O 线，切点为Q ，交PA 、PB 为E 、F 点，已知12PA cm =，求△PEF 的周长.

三、课堂检测

1.已知：如图，P 为⊙O 外一点，PA ，PB 为⊙O 的切线，

A 和

B 是切点，（1）若PA=3cm ，则PB= cm 。

（2）若PA=12-x ，PB=5+x ，则x =

（3）若⊙O 的半径为3，∠APB=60°，则PA=

2.如图，PA 、PB 分别切圆O 于A 、B 两点，C 为劣弧AB 上一点，∠APB=30°，则∠ACB=（）． A ．60° B ．75° C ．105° D ．120°

3．如图，PA 、PB 分别切圆O 于A 、B ，并与圆O 的切线，分别相交于C 、D ，?已知PA=7cm ，求△PCD 的周长．

4．已知：如图，从两个同心圆O 的大圆上一点A ，作大圆的弦AB 切小圆于C 点，大圆的弦AD 切小圆于E 点．求证：(1)AB=AD ； (2)DE=BC ．

四、收获

1.基础知识：

2.基本技能：

3.基本活动经验：

4.基本数学思想：

五、布置作业

六、教学反思 B A P O

九年级切线长定理练习题精选

九年级切线长定理练习题精选 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

九年级切线长定理练习题一、选择题 1.下列说法中，不正确的是 ( ) A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点 B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等 2．给出下列说法： ①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆； ②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形； ③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆； ④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中正确的有 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( ) A．21 B．20 C．19 D．18 4. 如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP，则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有 ( ) A．1个 B．2个C．3个 D．4个 4题图 5题图 6题图 5．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的( ) A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 6.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于( ) A．21 B．20 C．19 D．18 二、填空题 6．如图，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，若∠DEF=52o，则∠A的度为 ________． 6题图 7题图 8题图 7．如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为________． 8．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC为____________度．

《切线长定理及三角形的内切圆》导学案

https://www.wendangku.net/doc/ae1843788.html, 《切线长定理及三角形的内切圆》导学案广元市虎跳中学数学组学习目标 1、了解切线长的概念．了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。 2、理解切线长定理，并能熟练运用切线长定理进行解题和证明（重点） 3、会作已知三角形的内切圆（重点）教学流程一、知识准备： 1、只限于演的有几种位置关系？分贝是那几种？ 2、判断直线与圆相切有几种方法？如何判断直线与圆相切？ 3、角平分线的判定和性质是什么？二、引入课题过圆上一点可以作圆的一条切线，那么过圆外一点可以作圆的几条切线呢？从而引入课题。三、自学新知： 1自学教材自学教材P 96---P 98，思考下列问题（1）通过自学教材P98页的探究你知道什么是切线长吗？切线长和切线有区别吗？区别在哪里？（2）通过自学教材P98页的探究可得切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分__________________．（3））通过自学教材P98页的探究你知道如何证明切线长定理吗？如图，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线．求证：PA=PB ，∠OPA=∠OPB ．证明：__________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ （4）若PO 与圆相分别交于C 、D,连接AB 于PO 交于点E,图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角，有哪些相等的弧？有哪些互相垂直的线段？有哪些全等的三角形。（5）__________________叫做三角形的内切圆，三角形叫做圆的__________三角形，内切圆的圆心是__________的交点，内切圆的圆心叫做三角形的__________。四．当堂检测 1、过圆外一点作圆的切线，这点和，叫做这点到圆的切线长。 2、从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分__________________． 3、与三角形各边都＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿的圆叫三角形的内切圆；

《切线长定理》教案新部编本

精品教学教案设计| Excellent teaching plan 教师学科教案 [20 -20学年度第—学期] 任教学科：_________________ 任教年级：_________________ 任教老师：_________________ xx市实验学校 r \?

《切线长定理》教案教学目标知识与技能掌握切线长定理及其运用过程与方法通过对圆的切线长及切线长定理的学习，培养学生分析，归纳及解决问题的能力情感态度通过学生自己的实践发现定理，培养学生学习的积极性和主动性教学重点切线长定理及运用教学难点切线长定理的推导教学过程一、情境导入，初步认识活动1：如图，过O O外一点P作O O的切线，回答问题： (1) 可作几条切线？ (2) 作切线的依据是什么？学生回答，教师归纳展示作法： (1)①连0P. ②以0P为直径作圆，交O 0于点A、B.③作直线PA, PB.即直线PA、 PB为所求作的圆的两条直线 (2)由0P为直径，可得0A丄PA, 0B丄PB，由切线判定定理知：PA、PB为O 0的两条切【教学说明】该活动中作圆的切线实际上是个难点，教师展示后应放手让学生自己再动手作一次，让学生体会运用知识的成功感二、思考探究，获取新知 1. 切线长定理 (1)切线长定义：从圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线 (2)如图，PA、PB分别与O 0相切于点A、B.求证:FA=PB，/ AP0 =/ BP0.

学生完成：由此得出切线的定理? 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角? 2. 切线长定理的运用例1如图，AD 是O 0的直径，点C 为O O 外一点，CA 和CB 是O 0的切线， A 和 B 是切点，连接BD. 求证:CO // BD. 【分析】连接AB ,因为AD 为直径，那么/ ABD=90°,即卩BD 丄AB.因此要证CO / BD. 只要证CO 丄AB 即可. 证明：连接AB. ?/ CA , CB 是O O 的切线，点A , B 为切点， ??? CA=CB ,Z ACO = Z BCO , ???CO 丄AB. v AD 是O O 的直径， ???/ ABD=90°,即卩 BD 丄 AB ,「. CO / BD. 例2如图，FA 、PB 、CD 分别切O O 于点A 、B 、E ,已知FA=6，求 △ PCD 的周长. 【教学说明】图中有三个分别从点 P 、C 、D 出发的切线基本图形，因此可以用切线长定理实现线段的等量转化 . 解：v CA 、CE 与O O 分别相切于点A 、E , ??? CA=CE. v DE 、DB 与O O 分另肪目切于点 E 、B ,「. DE=DB. v PA 、PB 与O O 分别相切于点A 、B , ??? PA=PB. ? △ PCD 的周长 C A PCD =PC+CD+PD=PC+CE+DE + PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB =2PA=12. 四、运用新知，深化理解 1. ________________________________________________________________________ 如图，PA PB 是O O 的切线，AC 是O O 的直径，/ P=40°,则/ BAC 的度数是 _________________ 2. 如图，从O O 外一点P 引O O 的两条切线FA 、PB ,切点分别为A 、B ,如果/ APB=60°, 第1题图第2题图

切线长定理

《切线长定理》评课稿舒兰十二中曹雪松

李艳萍老师的《切线长定理》这一课体现了“阳光课堂” 的理念。所谓“阳光课堂”，它的核心理念是“积极向上、优质高效、和谐愉悦、整体提升”；“阳光课堂”的内涵：培养学生高尚健全的思想品格，自信乐观的人生态度，积极进取的阳光心态；提高学生自主学习、自我管理的能力，以达到知识与方法的优质高效；营造和谐愉悦的课堂氛围，创设轻松快乐的学习环境；整体提升学生的综合素养和教师的专业品质，全面推进教育内涵的发展。李艳萍老师此次的阳光教学行动，采用“问题导学”的教学模式，即学前准备——自主学习——合作探究——归纳提升——达标测评。一、课前学案的充分“预设”与课堂的自由“生成”相呼应。本节课中李老师课前以学案的形式预设问题：分别让学生画圆的一条切线，两条切线，三条切线、四条切线。以开放的形式为学生创造广泛的思考空间，同时赋予学生充分的思考时间。优秀的学生可以画出多种位置的切线发展他们思维的广泛性，学困生也可以在复习切线判定的基础上顺利完成，激发他们研究的兴趣。这样，不仅节省了课上时间，也兼顾到所有学生的发展，为课堂自由“生成”切线长的概念做好了铺垫。由于，课前学生亲自动手画出圆的切线，不仅增强了学生直观体验，更易于学生体会并发现切线和切线长的区别，完成基础目标的教学。二、充分体现新课标中自主学习、合作探究的精神。新课标中积极倡导自主、合作、探究的学习方式。以激发学生的学习兴趣、好奇心和求知欲。本节课中设置了三个探究问题主线：

问题一：观察从圆外一点画出圆的两条切线的图形，小组交流讨论你的发现和结论，加以验证，并向大家展示你的成果。此环节让学生经历观察、猜想、验证、最后归纳得出切线长定理，使学生的直观操作与逻辑推理有机的整合到一起，让学生在探究的过程中体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性，证明过程的严谨性以及结论的确定性。学生在总结出切线长定理的同时，又通过观察图形发现了圆心和这一点的连线为圆的对称轴，利用对称性还可的到更多的边等、角等、弧等的结论。然后，通过动态演示强化切线长定理这一核心知识。可以看出设置探究性的问题，可以树立学生已知与未知、简单与复杂、特殊与一般在一定条件下可以转化的思想，使学生学会把未知转化为已知，把复杂问题化为简单问题，把一般问题转化为特殊问题的思考方法。本环节教师通过学生探究、学生讲解、学生总结、归纳总结得出本节课的核心知识“切线长定理”，又通过动态演示强化核心知识。最后通过习题、生活中的实例让学生应用核心知识，树立学生的应用意识。这样多种形式、多种角度强化核心知识，更易学生接受。这一环节结束后，教师再次创设问题二：观察圆的三条切线组成三角形的图形，此环节让学生根据题设和已有的切线长定理，经过观察推理学生水到渠成的得出三角形的内切圆的相关概念。问题二的引入自然流畅，层层递进不仅符合学生认知规律，也激发了学生进一步研究的兴趣，达成本节课知识目标的教学。最后，通过在三角形铁皮上裁下一个最大的圆的实际问题的探究，帮助学生从实际中发现数学

四川省成都市青白江区九年级数学下册 3.7 切线长定理圆幂定理(二)导学案(新版)北师大版

圆幂定理圆幂定理（二）第1课时导学提纲班级：___________ 姓名：______________ 小组：_______________ 学习目标： 1. 理解切割线定理、割线定理的定义； 2. 掌握切割线定理、割线定理，并能灵活运用切割线定理、割线定理解题. 学习重点：切割线定理、割线定理的理解学习难点：切割线定理、割线定理的应用【导学流程】一、基础感知（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线 ∴ 2PA PC PB =? （2）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ?=? C O A P B D C O P B E

二、探究未知请写出你在第一部分“基础感知”中没弄明白的地方： 3.如图，BC 为⊙O 的直径，且BC=6，延长CB 与⊙O 在点D 处的切线交于点A ，若AD=4，求AB ．检测： 1.如图，△ABC 的外接圆为⊙O ，延长CB 至Q ，再延长QA 至P ，且QA 为⊙O 的切线（1）求证：QC 2-QA 2=BC?QC （2）若AC 恰好为∠BAP 的平分线，A B=10，AC=15，求 QA QC 的值．

2.如图，圆O的直径AB的延长线与弦CD的延长线交于点P，E是圆O上的一点，弧AE与弧AC相等，ED与AB交于点F，AF＞BF．（Ⅰ）若AB=11，EF=6，FD=4，求BF；（Ⅱ）证明：PF?PO=PA?PB．感谢您的支持，我们会努力把内容做得更好！

圆切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段 1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。 2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。 3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。直线AB 切⊙O 于P ，PC 、PD 为弦，图中几个弦切角呢？（四个） 4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。 5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。 6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。 7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理 ⊙O 中，AB 、CD 为弦，交于P. PA·PB＝PC·PD . 连结AC 、BD ，证：△APC∽△DPB . 相交弦定理的推论 ⊙O 中，AB 为直径，CD⊥AB 于P. PC 2 ＝PA·PB . 用相交弦定理.

切割线定理 ⊙O 中，PT 切⊙O 于T ，割线PB 交⊙O 于A PT 2 ＝PA·PB 连结TA 、TB ，证：△PTB∽△PAT 切割线定理推论 PB 、PD 为⊙O 的两条割线，交⊙O 于A 、C PA·PB＝PC·PD 过P 作PT 切⊙O 于T ，用两次切割线定理圆幂定理 ⊙O 中，割线PB 交⊙O 于A ，CD 为弦 P'C·P'D ＝r 2 －OP'2 PA·PB＝OP 2－r 2 r 为⊙O 的半径延长P'O 交⊙O 于M ，延长OP'交⊙O 于N ，用相交弦定理证；过P 作切线用切割线定理勾股定理证 8.圆幂定理：过一定点P 向⊙O 作任一直线，交⊙O 于两点，则自定点P 到两交点的两条线段之积为常数||（R 为圆半径），因为叫做点对于⊙O 的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。点到直线的距离：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。直线Ax+By+C=0 坐标（Xo ，Yo ）那么这点到这直线的距离就为：。

人教版数学九年级切线长定理—知识讲解(基础)

切线长定理—知识讲解（基础）【学习目标】 1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义； 2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明. 【要点梳理】要点一、切线的判定定理和性质定理 1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 要点诠释：切线的判定方法：（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）. 2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 要点诠释：切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 要点二、切线长定理 1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等. 要点三、三角形的内切圆 1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心：

《24.2.2 第3课时切线长定理》教案、导学案、同步练习

《第3课时切线长定理》教案【教学目标】 1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明． 2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念． 3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．【教学过程】一、情境导入新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．二、合作探究探究点一：切线长定理【类型一】利用切线长定理求三角形的周长如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．若PA 长为2，则△PEF 的周长是________．解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB ，因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，CF ＝BF ，所以△PEF 的周长PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋EC )＋(CF ＋PF )＝PA ＋PB ＝2＋2＝4. 【类型二】利用切线长定理求角的大小如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OPA 的度数是________度．

解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB ＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证 △POA≌△POB，∴∠OPA＝1 2 ∠APB＝20°.故答案为20. 方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB. 【类型三】切线长定理的实际应用为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O 的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO ＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OP＝55(cm)，即铁环的半径为55cm. 探究点二：三角形的内切圆【类型一】求三角形的内切圆的半径如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．

圆切线及切线长定理

. 切线长定理第24章圆切线的性质及判定小题）一．选择题（共21D，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点?1．（2015衢州）如图，已知△ABC ，CE=4，则⊙O的半径是（）的切线交的⊙OBC于点E．若CD=5 4 3 ．C．A．DB ．与为切点，POO的切线，A枣庄校级模拟）如图，P是⊙O外一点，PA2．（2015?是⊙，则∠C 的度数为（上一点，连接CA，CB），⊙O相交于B点，已知∠P=28°C为⊙O 28°62°31°56°A．B．C．D． 3．（2015?河西区一模）如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C的大小为（） 40°50°55°60°A．B．C ．D． 4．（2015?杭州模拟）如图，在△ABC中，∠BCA=60°，∠A=45°，AC=2，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点M，N，则线段MN长度的最小值是（）

3．DCA．B．．22 经过圆心．若为切点，BC的切线，的弦，OAC是⊙OA是⊙天津）如图，2014．5（?AB 的大小等于（，则∠B=25∠°C）1 / 4 . °50°40°20°25 ．．D ．B．CAAC⊥，DEO交BC的中点于D6．（2015?临淄区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，⊙，则下列结论：，连接AD于E）DE是⊙O的切线，正确的个数是（EDA=∠B；③OA=AC；④②①AD⊥BC；∠ 4个D．个C．3 个A．1 个B．2交的延长线上，弦CD的直径，点P在BA（2015?杭州模拟）已知：如图，AB是⊙O7．、交圆与GGF⊥BC，∠P=∠D，过E作弦AB于E，连接 OD、PC、BC，∠AOD=2∠ABC ．则下列结论：BG两点，连接CF、F．则其中正BG弦CF的弦心距等于③OD∥GF；④①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；）确的是（ ②③④①③④①②③①②④．D．C ．．AB）圆周角的度数（2永川区期末）有下列结论：?（1）平分弦的直径垂直于弦；8．（2013秋）（5）等弧所对的圆周角相等；（4）经过三点一定可以作一个圆；等于圆心角的一半；（3）垂直于半径的直线是（6三角形的外心到三边的距离相等；圆的切线．）其中正确的个数为（ 4个3个D．2．1个B．个C．A 上任意一点，为CD交于O，Q中，对角线．（2012?武汉模拟）正方形ABCDAC、BD9 ．下列

《切线长定理》教案

《切线长定理》教案一、教材分析：本课内容选自九年数学上学期的切线长定理。切线问题，首先条数由一条、两条再到三条，前置作业先让学生动手操作画一条切线，两条切线问题，从而发现切线长定理，然后进行三条切线问题的研究——即三角形的内切圆。通过前置作业和课堂新授课让学生经历了从画到探到计算的全过程，使学生领略了“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的意境，领悟了“化多为少，化难为易，化新为旧”的研究问题的一般思路。重点分析：切线长定理及其应用．因切线长定理再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它属于工具知识，经常应用，因此它是本节的重点．难点分析：与切线长定理有关的证明和计算问题．不仅应用切线长定理，还用到方程的知识，是代数与几何的综合题，学生往往不能很好的把知识连贯起来．二、教学目标：（1）、知识技能目标：了解切线长的定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关的计算；在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何题。（2）、数学思考目标：经历画图、度量、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，培养学生有条理地、清晰地阐述自己的观点的能力。（3）、解决问题目标：初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。在解题中形成解决问题的基本策略，体验问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。（4）、情感与态度目标：了解数学的价值，对数学有好奇心与求知欲，在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。三、教学重点：理解切线长定理四、教学难点：应用切线长定理解决问题五、教学实施过程：活动一 :切线长定义 1、板书定义：在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长. 2、剖析定义：（1）找出中心词，把定义进行缩句。（线段的长叫做切线长）（2）定义中的“线段”具有什么特征？ ①在圆的切线上；②两个端点一个是切点，一个是圆外已知点。 3、在图形中辨别：（1）已知：如图1，PC和⊙O相切于点A ，点P到⊙O的切线长可以 PA）图 1 图2 （2）已知：如图 2，PA和PB分别与⊙O相切于点A、B ，点P到⊙O的切线长可以用哪一条线段的长来表示？（线段PA或线段PB）（3）既然点P到⊙O的切线长可以用两条不同的线段的长来表示，那么这两条线段之间一 P P

九年级数学切线长定理教学设计

九年级数学切线长定理教学设计教学目标：1．了解切线长的概念2．理解切线长定理3．了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用教学重点：切线长定理教学难点：切线长定理教学方法：自主、合作、探究教学过程：一、自主先学阅读教材,完成课前预习知识准备三角形的外心：角平分线的性质定理：角平分线的判定定理：切线的性质定理：切线的判定定理：二、自学新知问题1：如图，纸上有一⊙O ，PA 为⊙O 的一条切线，沿着直线po 将纸对折，设圆上与点A 重合的点为B ，这时，OB 是⊙O 的一条半径吗？PB 是⊙O 的切线吗？利用图形的轴对称性，说明图中的PA 与PB ，∠APO 与∠BPO 有说明关系？ C P

由探究得出结论：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的如上图，PA、PB是⊙O的两条切线， ∴OA⊥AP, OB⊥BP. 又OA=OB, OP=OP, 在Rt△AOP和Rt△BOP中 ∴Rt△AOP≌Rt△BOP（） ∴PA=PB, ∠OPA=∠OPB.（）由此得到切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条，它们的切线长，这一点和圆心的连线两条切线的 . 思考2：如图，是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？

B C E D O F （提示：假设符合条件的圆已经做出，那么它应当与三角形的三条边都相切，这个圆的圆心到三角形的三条边的距离都等于半径。如何找到这个圆心呢？）．并得出结论：与三角形各边都的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条的交点，叫做三角形的内心。三、课堂练习：例1：如图△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D,E,F,且AB=9cm ，BC=14cm ，CA=13cm,求AF,BD,CE 的长. 例2．如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，如果AE=1，CD=2，BF=3，且△ABC 的面积为6．求内切圆的半径r ． E F O A

切线长定理专题

1 《切线长定理》专题班级姓名（一）温故知新： 1．直线和圆有哪几种位置关系？切线的判定定理和性质定理是什么？（二）探究新知：探究一：如图所示，已知⊙O 及圆外一点P ，过点P 作⊙O 的切线，可以作几条？ ☆ 从⊙O 外一点P 可以引⊙O 的条切线， ☆ 切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点与的线段的长，叫做这点到圆的。问题：如图，已知⊙O 及圆外一点P ，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 是切点，连接PO ，图中有哪些相等线段，相等的角？为什么？总结归纳： ☆ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的，圆心和这一点的连线两条切线的夹角. 用符号语言表示定理：（三）学以致用： 1.填空：如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，（1）若PB=12，PO=13，则AO=＿＿＿. （2）若PO=10，AO=6，则PB=＿＿＿；（3）若PA=4，AO=3，则PO=＿＿＿；例 1 如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，PO PA=4cm,PD=2cm. 求半径OA 的长.⑵如果∠APB=50°，C 是⊙O 上异于A 、B 的任意一点，求∠ACB 的度数？ P P

探究二：如图，是一块三角形铁皮，怎样才能从中剪裁一个“最大的圆”？作法：总结归纳： ☆三角形的内切圆：与三角形各边都的圆叫做三角形的.内切圆的圆心是的交点，叫做三角形的。内心到的距离相等 1.已知：如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，图中共有几对相等线段？ ⑴若AD=4，BC=5，CF=2，则△ABC的周长是＿＿；⑵如果∠A=70°，则∠BOC= ； ⑶若AB=4，BC=5，AC=6，求AD，BE，CF的长？例2 如图，⊙I是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，已知∠C=90°，AC=3，BC=4，求⊙I的半径？直线和圆的位置关系习题课 A 2

切线长定理(教案)

优质课教案切线长定理西平县权寨中学 2018年3月1日

切线长定理一、教学设计教材分析 “切线长定理”是人教版九年级数学上册第二十四章“圆”的第二节的内容，本节内容安排六个课时，本课时是本节内容的第五课时，本课设计主要是在切线的基础上，明确切线长的定义，通过学生动手操作，逻辑证明来明确切线长定理，引出三角形的内切圆，通过与三角形的内切圆有关的练习巩固切线长定理。学情分析我班学生来自全县各个乡镇，学生的基础参差不齐。再加上这个班是进入九年级我才接手的成绩较差的班级，基础薄弱，因而要加强动手操作探究知识来源的教学，让学生学知识学到“知其然并知其所以然”，不仅“知其所以然”，还要学以致用。教学目标一、知识与技能： 1.了解切线长的概念． 2.理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用． 3.复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、性质定理知识迁移到切长线的概念和切线长定理，然后根据所学三角形

角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念，最后应用它们解决一些实际问题．二、数学思考： 1.通过操作、观察两条切线长，发展学生的合情推理能力和演绎推理能力。 2.学生经历知识的形成与运用过程，培养学生的数学语言概括、表达能力。三、解决问题 1.学生探索切线长定理过程中，学会用数形结合思想解决问题。 2.学生运用切线长定理解题，提高运用知识和技能解决问题的能力。四.情感、态度与价值观培养学生主动参与探索知识来源，获得数学知识的良好学习习惯，从而提高学生学习数学的积极性。二、教学过程复习巩固：（放投影，提问） 1．如图，PA与⊙O相切于点A，则PA_________OA。 2．如图，四边形ABCD的各边均与⊙O相切，则这个四边形叫圆的_________四边形。

2019初三数学切线长定理导学案语文

初三数学切线长定理导学案【】初三数学切线长定理导学案通过学习对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想. 1、教材分析 (1)知识结构 (2)重点、难点分析重点：切线长定理及其应用.因切线长定理再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它属于工具知识，经常应用，因此它是本节的重点. 难点：与切线长定理有关的证明和计算问题.如120页练习题中第3题，它不仅应用切线长定理，还用到解方程组的知识，是代数与几何的综合题，学生往往不能很好的把知识连贯起来. 2、教法建议本节内容需要一个课时. (1)在教学中，组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形;对重要的结论及时总结; (2)在教学中，以观察猜想证明剖析应用归纳为主线，开展在

教师组织下，以学生为主体，活动式教学. 教学目标页 1 第 1.理解切线长的概念，掌握切线长定理; 2.通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想. 3.通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度. 教学重点: 切线长定理是教学重点教学难点: 切线长定理的灵活运用是教学难点教学过程设计: （一）观察、猜想、证明，形成定理 1、切线长的概念. P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长．引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量;切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. 2、观察利用电脑变动点P 的位置，观察图形的特征和各量之间的关

人教版初三数学上册切线长定理教学设计

切线长定理教案教学目标：1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。 2、在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何题。教学重点：理解切线长定理。教学难点：灵活应用切线长定理解决问题。学情分析：上节课我们共同学习了切线的定义以及与切线相关的定理，同学们掌握的不错，整体不错，为这节课的学习打下了良好的基础。教学过程：一、复习引入： 1. 切线的判定定理和性质定理. 2. 过圆上一点可作圆的几条切线？过圆外一点呢？过圆内一点呢？二、合作探究 1、切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长 2、切线长定理 (1)操作：纸上一个。0, PA是OO的切线，？连结PQ ?沿着直线PO将纸对折, 设与点A重合的点为B。0B是O 0的半径吗？PB是OO的切线吗？猜一猜PA 与PB的关系？/ AP0与/ BP0呢？从上面的操作及圆的对称性可得：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角. (2)几何证明. 如图，已知PA PB是OO的两条切线.求证：PA=PB Z AP(=Z BPO 证明: B 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

(1) 图中共有几对相等的线段 (2) 若 AF=4 BD=5 CE=9 则厶 ABC 周长为 _______ 例如图，△ ABC 的内切圆。0与BC,CA,AB 分别相切于点D,E,F,且AB=9cm BC=14cm,CA=13cm 求 AF,BD,CE 的长。若 S ^ABC = 18 10 ,求OO 的半径。三、巩固练习 1、如图1, PA PB 是OO 的两条切线、A 、B 为切点。PO 交OO 于E 点 (1) 若 PB=12 PO=13 贝U AO= ___ (2) 若 PO=1Q AO=6 J 则 PB= ____ (3) 若 PA=4 AO=3 贝U PO= ___ ; PE= ___ . (4) 若 PA=4 PE=2 贝U AO= ___ . (1) 若PA=12则厶PCD 周长为 ______ 。 (2) 若厶 PCD 周长=1Q ,贝U PA= __ 。 (3) __________________________ 若/ APB=3Q ，则/AOB= ___________ , M 是OO 上一动点，则/ AMB= _______ 3、如图Rt △ ABC 的内切圆分别与 AB AC BC 相切于点E 、D F ,且/ ACB=9Q , AC=3、BC=4，求OO 的半径。 2、如图2 , 于C D 两点。 PB

数学学案：切线长定理和内切圆

切线长定理和内切圆学习目标 1、了解切线长的概念．了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。 2、理解切线长定理，并能熟练运用切线长定理进行解题和证明（重点） 3、会作已知三角形的内切圆（重点）学习的重、难点：重点：切线长定理及其运用．难点：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决问题。一、复习巩固 1、直线和圆有几种位置关系？分别是那几种？_______________________________________ 2、如何判断直线与圆相切？_______________________________________________________ 3、角平分线的判定和性质是什么？_________________________________________________ 二、问题探索问题1：如图，纸上有一⊙O ，PA 为⊙O 的一条切线，沿着直线PO 将纸对折，设圆上与点A 重合的点为B ，这时，OB 是⊙O 的一条半径吗？PB 是⊙O 的切线吗？利用图形的轴对称性，说明图中的PA 与PB ，∠APO 与∠BPO 有说明关系？得出结论：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的证明：∵PA 、PB 是⊙O 的两条切线， ∴OA ⊥AP, OB ⊥BP. 在Rt △AOP 和Rt △BOP 中 ∴Rt △AOP ≌Rt △BOP （） ∴PA=PB, ∠OPA=∠OPB.（） P A O P A O B B A

B C E D O O B C A O B C A P O B A P B O A 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条，它们的切线，这一点和圆心的连线两条切线的 . 思考2：如图，是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？（提示：假设符合条件的圆已经做出，那么它应当与三角形的三条边都相切，这个圆的圆心到三角形的三条边的距离都等于半径。如何找到这个圆心呢？）．并得出结论：与三角形各边都的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条的交点，叫做三角形的内心。三、例题评讲例1 PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∠OAB=30°．（1）求∠APB 的度数；（2）当OA=3时，求AP 的长．例2 如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，如果AE=2， CF=1，BF=3．求△ABC 的面积和内切圆的半径r ．解：四、当堂练习： 1如图1，从圆外一点P 引⊙O 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，如果∠APB=60°，PA=10，则弦AB 的长（）A ．5 B. 35 C.10 D. 310 2. 如图2,点O 是△ABC 的内切圆的圆心,若∠BAC=80°, 则∠BOC 等于( ) A. 130° B. 100° C 50° D 65° 3．如图3, ⊙O 与∠ACB 两边都相切,切点分别为A,B,且∠ACB=90°, 那么四边形ABCD 是 4．.如图4，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∠OAB=30°，则∠APB ＝________。图1 图2 图3 图4 作业：

湘教版九年级数学下册2.5.3 切线长定理教案与反思

*2.5.3 切线长定理原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！师者，所以传道，授业，解惑也。韩愈 1．理解和掌握切线长定理；(重点) 2．初步学会用切线长定理进行计算与证明．(难点) 一、情境导入有一天，同学们去王老师家做客，王老师正在洗锅，就问：谁能测出这个锅盖的半径，就可以得到一根雪糕，同学们都跃跃欲试，但老师家里只有一个曲尺，到底谁能得到这根雪糕呢？教师引导学生发现A、B分别为⊙O与PA、PB的切点，连接OB，OA，则四边形OAPB是正方形，所以，圆的半径为A点或B点的刻度，PA＝PB. 如果这根尺子的夹角不是90°，是否还能得到PA＝PB? 二、合作探究探究点：切线长定理及应用【类型一】利用切线长定理求线段的长如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，如果∠APB＝60°，线段PA＝10，那么弦AB的长是( ) A．10 B．12 C．5 3 D．10 3

解析：∵PA 、PB 都是⊙O 的切线，∴PA ＝PB .∵∠APB ＝60°，∴△PAB 是等边三角形，∴AB ＝PA ＝10.故选A. 方法总结：切线长定理是判断线段相等的主要依据，在圆中经常用到．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】利用切线长定理求三角形的周长如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．若PA 长为2，则△PEF 的周长是________．解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB .因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，CF ＝BF ，所以△PF 的周长＝PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋EA )＋(BF ＋PF )＝PA ＋PB ＝2＋2＝4.故答案为4. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型三】利用切线长定理求角的大小如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OPA 的度数是________度．解析：如图所示，连接OA 、OB .∵PA 、P 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°.又∵∠AOB ＝2∠ACB ＝140°，∴∠APB ＝360°－∠PAO －∠AOB －∠OBP ＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA ≌△POB ，∴∠OPA ＝12 ∠APB ＝20°.故答案为20. 方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据等的判定，可得到PO 平分∠APB . 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题