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甘肃兰州一中11-12学年度下学期高二期末考试数学理试题

甘肃兰州一中

2011—2012学年度下学期期末考试

高二数学理试题

说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分100分,考试时间100分钟。答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡。

第Ⅰ卷(选择题)

一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一个．．．．

选项符合题意)

1.已知复数z =

,z 是z 的共轭复数,则z z ?等于 A.16 B.4 C.1 D. 116

2若函数2

()sin (),()2

f x x x R f x =-∈则是 A.最小正周期为

的奇函数 B.最小正周期为π的奇函数 C.最小正周期为π2的偶函数 D.最小正周期为π的偶函数

3. 已知数列{}n a 为等比数列，若561516(0),a a a a a a b +=≠+=，则2526a a +等于

A ．b

a B ．22

b a

C ．2

b a

D ．

2b a

4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. 2 B. 1 C. 13 D. 23

5．已知三个函数 ()2x

f x x =+，()2

g x x =-，2()log

h x x x =+的零点依次为,,a b c

则,,a b c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．a b c << C ．a c b <<

D ．a c b >>

6. 庆“元旦”的文艺晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须安排在前两位，节目乙不能安排在第一位，节目丙必须安排在最后一位，则该晚会节目演出顺序的编排方案共有

A ．36种

B ．42种

C ．48种

D ．54种

7.若|8||2|)(-++=x x x f 的最小值为n ，则二项式n

x )2(2

的展开式中的常数项是 A

．第10项 B ．第9项 C ．第8项 D ．第7项

8.若[]2,2,k ∈-则过(1,1)A 可以做两条直线与圆04

-++k y kx y x 相切的概率为 A .21 B .41 C .43 D .13

9. 已知函数),0()0,()(,4)(2

+∞?-∞-=是定义在x g x x f 上的奇函数，当x>0时，

)()(,log )(2x g x f y x x g ?==则函数的大致图象为

10. 以圆2

2210x y x y +---=内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形的个数为 A ．76 B ．78 C ．81 D ．84

第Ⅱ卷(非选择题)

二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 11. 0

63459C C C C ++++= .（用数字作答）

12.某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：

队员i 1

三分球个数

1a 2a 3a 4a 5a 6a

则图中判断框应填，输出的s = .

13．不等式组0013

x y x y x y ≥??≥?

?-≥-??+≤?，

表示的平面区域的面积是 .

14．已知半径为4的球O 中有一内接圆柱,当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是

三.解答题（本大题共5大题,共44分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. (本小题6分)

8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中任取4个球,记取出白球的个数为X .

（1）求X 的分布列；（2）求1(20)

X P X +-≥-

16. (本小题8分)

已知向量m =（sin A ，sin B ），n =（cos B ，cos A ），m n ?=sin 2C ，且△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．（1）求角C 的大小；

（2）若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且()18CA AB AC ?-=，求c .

17.（本小题8分）

在长方形AA 1B 1B 中，AB =2AA 1，C ，C 1分别是AB ，A 1B 1的中点（如下左图）．将此长方形沿CC 1对折，使平面AA 1C 1C ⊥平面CC 1B 1B （如下右图），已知D ，E 分别是A 1B 1，CC 1的中点．（1）求证：C 1D ∥平面A 1BE ;

（2）求证：平面A 1BE ⊥平面AA 1B 1B .

18. (本小题10分)

已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ,首项为1a ,且2，n a ,n s 成等差数列. （I ）求数列{n a }的通项公式；（II ）若2log n n b a =，n

n n

b c a =，求数列{n c }的前n 项和T n .

19. (本小题12分)

已知定义在实数集R 上的奇函数()f x 有最小正周期2，且当(0,1)x ∈时，2()41

x f x =+

（1）证明()f x 在(0,1)上为减函数；（2）求函数()f x 在[]1,1-上的解析式；

（3）当λ取何值时，方程()f x λ=在R 上有实数解.

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

11. 210 ; 12. 6i ≤ ； 123456a a a a a a +++++ ； 13.

; 14. 32π. 三.解答题（本大题共5大题,共44分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. (本小题6分) .解：（

1）随机变量X 所有的可能取值为2,3,4，则有，………………………1分

264

(2),14

C C p X C === 1326484

(3),7

C C p X C ===

0426483

(4),14

C C p X C ===

………………………3分（2）1(20)(13)(2)(3)1

X P P X P X P X X +-≥=<≤==+=-3411

14714=+=

………………………6分

16. (本小题8分)

.解：（1）sin cos sin cos sin()sin m n A B B A A B C ?=+=+=,

又

sin 2m n C ?=， sin sin22sin cos C C C C ∴==

cos ,2

C ∴= ………………………3分

又

0,C π<< .3

C π

∴=

………………………4分

(2) 由已知得sin sin 2sin A B C +=，即2a b c +=

又∵()18CA AB AC ?-=，∴18CA CB ?=36ab =即 ………………………6分由余弦定理得：2222cos 36c a b ab C =+-=

∴ 6.c = ………………………8分

17.（本小题8分）

.解：（1）取1A B 的中点F ,连结,,DF EF

111,D F A B A B 分别为，的中点， 11DF A BB ∴?是的中位线，

1111////11

DF BB CC DF BB CC ∴=

=且即四边形1C EFD 为平行四边形,

1//EF C D

∴1,EF A BE ?平面

11//.C D A BE ∴平面 ………………………4分

（2）依题意：1111A B C A BBA ⊥平面平面,

11D A B 为的中点，111AC B 且三角形为等腰直角三角形，

111C D A B ∴⊥，由面面垂直的性质定理得

111C D A BB A ⊥平面， ……………………6分

1//,C D EF 又

11EF A BB A ∴⊥平面，

1,EF A BE ?平面

平面A 1BE ⊥平面AA 1B 1B . ……………………8分

18. (本小题10分)

解：（1）∵2，n a , n S 成等差数列， 22n n a S ∴=+

当1=n 时，111222a S a ∴=+=+，解得12a ∴=． …………………2分当2n ≥时，．即1122(22)n n n n n a S S a a --=-=---

12n n a a -=即．

∴数列}{

n a 是首项为2，公差为2的等差数列，

2.n

n a ∴= ……………………5分

（2）

22log log 2,n n n b a n ===

又n n n b c a =

n n n

c ∴= ………………………6分 ,2232221322211n n n n n

a b a b a b T ++++=+++= ①

232221211432+++++=n n n

T ② ①—②，得

n n T 212121212132++++= .2

1+-n n

………………………8分 111(1)

222212212

n n n n n n T +-+∴=-=-- ………………………10分 19. (本小题12分)

解：（1）证明：设1212,(0,1)x x x x ∈<且则，

121222()()4141

x x x x f x f x -=-

++ 1221122412414141x x x x x x +-+=

++（）（）

（）（） 211212+22214141x x x x x x --=

++（）（）

（）（）

………………………3分 1201x x <<<，211222,21x x x x +∴>>

1212()-()0,()()f x f x f x f x ∴>>即，

∴()f x 在(0,1)上为减函数.

………………………4分

（2）(1,0)(0,1)x x ∈-∴-∈,

2()41

f x --∴-=+, ()f x 又为奇函数，2()()41

x f x f x --∴-==-+

2()41x

f x --∴=-+ ………………………6分 (1)=(1)(1)=(1)f f f f ---又

，且 (1)(1)=0f f ∴=-

2(0,1),410

0,1,()2(1,0)41x

x x x f x x ?∈?+?

=±?∴=??-∈-?+??

………………………8分

（3）若(0,1),x ∈21

()1

4122x x x x

f x ∴==++ 又152(2,),22x x

+∈ 21

()(,),52

f x ∴∈ ………………………10分

若(1,0),x ∈-21

()14122

x x x

f x ∴=-=-++

()(,),25

f x ∴∈--

λ∴的取值范围是1221|=0<<<.2552λλλλ?

?<-???

?或-或 ………………………12分

（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）