2015届高考数学一轮总复习 4-7解三角形应用举例
2015届高考数学一轮总复习4-7解三角形应用举例
基础巩固强化
一、选择题
1．(文)已知两座灯塔A、B与C的距离都是a，灯塔A在C的北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()
A．a B.3a
C.2a D．2a
[答案] B
[解析]由余弦定理可知，AB2＝a2＋a2－2a·a·cos120°＝3a2，得AB＝3a，故选B.
(理)某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 3 km，那么x的值为()
A.3B．2 3
C．23或 3 D．3
[答案] C
[解析]如图，△ABC中，AC＝3，BC＝3，∠ABC＝30°，
由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，
∴3＝x2＋9－6x·cos30°，∴x＝3或2 3.
2．一艘海轮从A处出发，以每小时40n mile的速度沿东偏南50°方向直线航行，30min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是()
A．102n mile B．103n mile
C．202n mile D．203n mile
[答案] A
[解析]如图，由条件可知△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，∠ACB＝45°，
由正弦定理得BC
sin30°＝20
sin45°，∴BC＝102，故选A.
3．海上有A 、B 两个小岛相距10n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 的距离是( )
A ．103n mile B.106
3n mile
C ．52n mile
D ．56n mile
[答案] D
[解析] 在△ABC 中由正弦定理得10sin45°＝BC sin60°，
∴BC ＝5 6.
4．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( ) A ．1 B ．2sin10° C ．2cos10° D ．cos20° [答案] C
[解析] 如图，BD ＝1，∠DBC ＝20°，∠DAC ＝10°，
在△ABD 中，由正弦定理得1sin10°＝AD
sin160°
， ∴AD ＝2cos10°. 5.
(2012·厦门质检)如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝( )
A.3
2
B ．2－ 3 C.3－1 D.22
[答案] C
[解析] 在△ABC 中，由正弦定理可知，
BC ＝AB ·sin ∠BAC sin ∠ACB ＝100sin15°sin (45°－15°)＝50(6－2)，
在△BCD 中，sin ∠BDC ＝BC ·sin ∠CBD CD
＝50(6－2)·sin45°50
＝3－1.
由题图知，cos θ＝sin ∠ADE ＝sin ∠BDC ＝3－1.
6．如图，海岸线上有相距5n mile 的两座灯塔A 、B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°方向，与A 相距32n mile 的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5n mile 的C 处，则两艘轮船之间的距离为( )
A ．5n mile
B ．23n mile C.13n mile
D ．32n mile
[答案] C
[解析] 连接AC ，∠ABC ＝60°，BC ＝AB ＝5，则AC ＝5.在△ACD 中，AD ＝32，AC ＝5，∠DAC ＝45°，由余弦定理得CD ＝13.
7．在地面上一点D 测得一电视塔尖的仰角为45°，再向塔底方向前进100m ，又测得塔尖的仰角为60°，则此电视塔高约为________m ．( )
A ．237
B ．227
C ．247
D ．257
[答案] A [解析]
解法1：如图，∠D ＝45°，∠ACB ＝60°，DC ＝100，∠DAC ＝15°， ∵AC ＝DC ·sin45°sin15°，
∴AB ＝AC ·sin60° ＝100·sin45°·sin60°sin15°
＝100×22×
3
2
6－24
≈237.∴选A.
解法2：在Rt △ABD 中，∠ADB ＝45°，∴AB ＝BD ， ∴BC ＝AB －100.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝60°， ∴
AB
AB －100
＝3，∴AB ＝150＋503≈237.
二、填空题
8．(2014·镇江月考)一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.
[答案] 30 2
[解析] 如图，依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°，在三角形AMB 中，由正弦定理得60sin45°＝BM sin30°
，
解得BM ＝302(km)．
9．在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时刻物体位于P 点，一分钟后，其位置在Q 点，且∠POQ ＝90°，再过一分钟，该物体位于R 点，且∠QOR ＝30°，则tan ∠OPQ 的值为________．
[答案]
3
2
[解析] 由于物体做匀速直线运动，根据题意，PQ ＝QR ，不妨设其长度为1.在Rt △POQ 中，OQ ＝sin ∠OPQ ，OP ＝cos ∠OPQ ，在△OPR 中，由正弦定理得2sin120°＝OP sin ∠ORP ，在△ORQ 中，
1
sin30°＝OQ sin ∠ORQ
，两式两边同时相除得OQ OP ＝tan ∠OPQ ＝3
2.
三、解答题
10．港口A 北偏东30°方向的C 处有一检查站，港口正东方向的B 处有一轮船，距离检查站为31n mile ，该轮船从B 处沿正西方向航行20n mile 后到达D 处观测站，已知观测站与检查站距离21n mile ，问此时轮船离港口A 还有多远？
[解析] 在△BDC 中，由余弦定理知， cos ∠CDB ＝BD 2＋CD 2－BC 22BD ·CD ＝－1
7
，
∴sin ∠CDB ＝43
7
.
∴sin ∠ACD ＝sin(∠CDB －π
3
)
＝sin ∠CDB cos π3－cos ∠CDB sin π3＝53
14.
在△ACD 中，由正弦定理知
AD sin ∠ACD ＝CD
sin A
?AD ＝5314×21÷3
2＝15(n mile)．
∴此时轮船距港口还有15n mile.
能力拓展提升
一、选择题
11．江岸边有一炮台高30m ，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距( )
A ．103m
B ．1003m
C ．2030m
D ．30m
[答案] A
[解析] 设炮塔顶A 、底D ，两船B 、C ，则∠BAD ＝45°，∠CAD ＝30°，∠BDC ＝30°，AD ＝30，∴DB ＝30，DC ＝103，BC 2＝DB 2＋DC 2－2DB ·DC ·cos30°＝300，
∴BC ＝10 3.
12．(2012·湖南文，8)在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B.332
C.3＋6
2
D.
3＋39
4 [答案] B
[解析] 在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，即7＝AB 2＋4－2×2AB ×1
2，AB 2－2AB
－3＝0，∴AB ＝3或AB ＝－1(舍去)，则BC 边上的高AD ＝AB sin B ＝3×sin60°＝
33
2
. 二、填空题
13．(2012·重庆理，13)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos A ＝35，cos B ＝5
13，
b ＝3，则
c ＝________.
[答案]
14
5
[解析] 由已知sin A ＝45，sin B ＝12
13
.
∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665.由正弦定理
c
sin C ＝b sin B ，∴c ＝b sin C
sin B ＝3×
56
651213
＝145
.
14.
(2013·湖北八市联考)如图所示，已知树顶A 离地面212m ，树上另一点B 离地面11
2m ，某人在离地
面3
2
m 的C 处看此树，则该人离此树________m 时，看A ，B 的视角最大． [答案] 6
[解析] 过C 作CF ⊥AB 于点F ，设∠ACB ＝α，∠BCF ＝β，由已知得AB ＝212－11
2＝5(m)，BF
＝112－32＝4(m)，AF ＝212－32＝9(m)．则tan(α＋β)＝AF FC ＝9FC ，tan β＝BF FC ＝4
FC ，∴tan α＝[(α＋β)－β]＝tan (α＋β)－tan β1＋tan (α＋β)tan β
＝9FC －
4
FC 1＋36FC 2＝5FC ＋36FC ≤
5
2FC ·
36
FC
＝
512.当且仅当FC ＝36
FC
，即FC ＝6时，tan α取得最大值，此时α取得最大值．
三、解答题
15．(2012·河北衡水中学调研)如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为α＝30°，沿倾斜角为β＝15°的斜坡向上走10m 到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为
γ＝60°，求山高h (单位：m)．
[解析] 在三角形ABP 中， ∠ABP ＝180°－γ＋β，
∠BP A ＝180°－(α－β)－∠ABP ＝180°－(α－β)－(180°－γ＋β) ＝γ－α.
在△ABP 中，根据正弦定理得 AP sin ∠ABP ＝AB
sin ∠APB ，
∴
AP sin (180°－γ＋β)＝10
sin (γ－α)
，
∴AP ＝10sin (γ－β)sin (γ－α)
.
又γ＝60°，α＝30°，β＝15°，
∴山高为h ＝AP sin α＝10sin αsin (γ－β)sin (γ－α)
＝52(m)．
16．在海岛A 上有一座海拔1 km 的山峰，山顶设有一个观察站P ，有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午11：00时，测得此船在岛北偏东15°、俯角为30°的B 处，到11：10时，又测得该船在岛北偏西45°、俯角为60°的C 处．
(1)求船的航行速度；
(2)求船从B 到C 行驶过程中与观察站P 的最短距离． [解析] (1)设船速为x km/h ，则BC ＝x
6km.
在Rt △P AB 中，∠PBA 与俯角相等为30°， ∴AB ＝1tan30°
＝ 3.
同理，Rt △PCA 中，AC ＝1tan60°＝3
3
.
在△ACB 中，∠CAB ＝15°＋45°＝60°， ∴由余弦定理得 BC ＝
(3)2＋(
33)2－2×3×33cos60°＝21
3
， ∴x ＝6×
21
3
＝221km/h ， ∴船的航行速度为221km/h. (2)作AD ⊥BC 于点D ，连接PD ，
∴当航行驶到点D 时，AD 最小，从而PD 最小． 此时，AD ＝AB ·AC ·sin60°
BC
＝
3×
33×3221
3
＝37
14. ∴PD ＝
1＋(3714)2＝25914
.
∴船在行驶过程中与观察站P 的最短距离为
259
14
km.
考纲要求
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 补充说明
1．解斜三角形应用题常见题型
测量距离问题、测量高度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 2．根据实际问题构造三角形是应用的关键
[例1] 在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距离A (3－1)n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 2n mile 的C 处的缉私船奉命以103n mile/h 的速度追截走私船．此时，走私船正以10n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
[解析] 如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D 处相遇，则可先在△
ABC 中求出BC ，再在△BCD 中求∠BCD .
设缉私船用t h 在D 处追上走私船，则有CD ＝103t ，BD ＝10t ， 在△ABC 中，∵AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°， ∴由余弦定理得
BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos120°＝6， ∴BC ＝6，
∵cos ∠CBA ＝BC 2＋AB 2－AC 22BC ·AB ＝6＋(3－1)2－426·(3－1)＝22，
∴∠CBA ＝45°，即B 在C 正东． ∵∠CBD ＝90°＋30°＝120°， 在△BCD 中，由正弦定理得
sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t sin120°103t ＝1
2，
∴∠BCD ＝30°.
即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．
[点评] 本例关键是首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．
备选习题
1．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 到C 距离为2km ，B 船在灯塔C 北偏西40°，AB 两船距离为3km ，则B 到C 的距离为( )
A.19km B ．(6－1)km C ．(6＋1)km D.7km
[答案] B
[解析] 由条件知，∠ACB ＝80°＋40°＝120°，设BC ＝x km ，则由余弦定理知9＝x 2＋4－4x cos120°，
∵x >0，∴x ＝6－1. 2.
(2012·西安五校二模)如图，在某港口A处获悉，其正东方向距离20n mile的B处有一艘渔船遇险等待营救，此时救援船在港口的南偏西30°距港口10n mile的C处，救援船接到救援命令立即从C 处沿直线前往B处营救渔船．
(1)求接到救援命令时救援船距渔船的距离；
(2)试问救援船在C处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？(已知cos49°＝21 7)
[解析](1)由题意，在△ABC中，AB＝20，AC＝10，∠CAB＝120°，∵CB2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos∠CAB，
∴CB2＝202＋102－2×20×10cos120°＝700，
∴BC＝107，
所以接到救援命令时救援船距渔船的距离为107n mile.
(2)△ABC中，AB＝20，BC＝107，∠CAB＝120°，
由正弦定理，得
AB
sin∠ACB
＝
BC
sin∠CAB
，
即
20
sin∠ACB
＝
107
sin120°，∴sin∠ACB＝
21
7.
∵cos49°＝sin41°＝21
7，∴∠ACB＝41°，
故救援船应沿北偏东71°的方向救援．3.
如图所示，甲船由A 岛出发向北偏东45°的方向做匀速直线航行，速度为152n mile/h ，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南40n mile 处的B 岛出发，朝北偏东θ(θ＝arctan 1
2)的方向做匀速
直线航行，速度为105n mile/h.
(1)求出发后3h 两船相距多少海里？
(2)求两船出发后多长时间相距最近？最近距离为多少海里？ (3)两船在航行中能否相遇？试说明理由．
[解析] 以A 为原点，BA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系． 设在t 时刻甲、乙两船分别在P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则x 1＝152t cos45°＝15t ，y 1＝x 1＝15t ， 由θ＝arctan 12可得，cos θ＝255，sin θ＝55，
故x 2＝105t sin θ＝10t ， y 2＝105t cos θ－40＝20t －40，
(1)令t ＝3，则P 、Q 两点的坐标分别为(45,45)，(30,20)， |PQ |＝(45－30)2＋(45－20)2＝850＝534. 即两船出发后3h ，相距534n mile. (2)由(1)的求解过程易知： |PQ |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝(10t －15t )2＋(20t －40－15t )2
＝50t 2－400t ＋1600＝50(t －4)2＋800≥202， ∴当且仅当t ＝4时，|PQ |取得最小值20 2. 即两船出发后4h ，相距最近，距离为202n mile.
(3)由(2)知两船航行过程中的最近距离为202n mile ，故两船不可能相遇．
解三角形应用举例练习高考试题练习
解三角形应用举例练习 班级 姓名 学号 得分 一、选择题 1.从A 处望B 处的仰角为α,从B 处望A 处的俯角为β,则α、β的关系为…………………（ ） A.α＞β B.α=β C.α+β=90° D.α+β=180° 2．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为…..（ ） A. 3 400 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米 3.在?ABC 中, 已知sinA = 2 sinBcosC, 则?ABC 一定是…………………………………….( ) A. 直角三角形; B. 等腰三角形; C.等边三角形; D.等腰直角三角形. 4.如图，△ABC 是简易遮阳棚，A 、B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面 成40°角，为了使遮阴影面ABD 面积最大，遮阳棚ABC 与地面所成的角为……………….( ) A C D B 阳光地面 A.75° B.60° C.50° D.45° 5.台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危险区内的时间为…………………………………..( ) A.0.5 h B.1 h C.1.5 h D.2 h 6.在△ABC 中，已知b = 6，c = 10，B = 30°，则解此三角形的结果是 …………………（ ） A 、无解 B 、一解 C 、两解 D 、解的个数不能确定 二、填空题 7. 甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是 8.我舰在敌岛A 南50°西相距12nmile 的B 处，发现敌舰正由岛沿北10°西的方向以10nmile/h 的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要速度的大小为 9.有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为2，为使所走路程最短，小船应朝_______方 向行驶. C D 12 A B D 6045 0 m o o 10．.在一座20 m 高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的 高为_______.
最新解三角形应用举例练习题
解三角形应用举例练习题 一、选择题 1．某人向正东方向走x km后，他向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 3 km，那么x的值为() A.3B．2 3 C．23或 3 D．3 2．已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2km，船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为3km，则A，B两船的距离为() A．23km B．32km C.15km D.13km 3．已知△ABC的三边长a＝3，b＝5，c＝6，则△ABC的面积是() A.14 B．214 C.15 D．215 4．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为() A．a km B.3a km C.2a km D．2a km 5．已知△ABC中，a＝2、b＝3、B＝60°，那么角A等于() A．135°B．90° C．45°D．30° 6．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时() A．5海里B．53海里 C．10海里D．103海里 二、填空题 7．(2010～2011·醴陵二中、四中期中)已知A、B两地的距离为10km，BC两地的距离
为20km，经测量∠ABC＝120°，则AC两地的距离为________km. 8．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是__________． 9. (2011·北京朝阳二模)如图，一艘船上午在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距42n mile，则此船的航行速度是________n mile/h. 三、解答题
解三角形应用举例
东方中学教案 1．知识与技能： 会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系；理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等；通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力 2．过程与方法： 通过巧妙的设疑，顺利的引导新课，为下节课做好铺垫。结合学生的实际情况，采用“提出问题—引发思考—探索猜想—总结规律—反馈练习”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在联系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法。 3．情感、态度与价值观： 实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解三角形，得到实际问题的解。
修改简记教学过程： 一、复习引入： 二、讲解范例： 例1 自动卸货汽车的车箱采用液压结构，设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点 B与车箱支点A之间的距离为1．95ｍ，AB与水平线之间的夹角 为6°20′，AC长为1．40ｍ，计算BC的长(保留三个有效数字) 分析：求油泵顶杆BC的长度也就是在△ABC内，求边长BC的问题，而根据已知条件， AC＝1．40ｍ，AB＝1．95 ｍ，∠BAC＝60°＋6°20′＝66°20′相当于已知△ABC 的两边和它们的夹角，所以求解BC可根据余弦定理解：由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A ＝1．952＋1．402－2×1．95×1．40×cos66°20′＝3．571 ∴BC≈1．89 （ｍ） 答：油泵顶杆B C约长1．89 ｍ 评述：此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转 换过程中应注意“仰角”这一概念的意义，并排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系 从题目准确地提炼出来 例2某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔 船在方位角为45°、距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向， 以9海里／ｈ的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21海里／ｈ的速度前去营救， 试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间
解三角形应用举例最新衡水中学自用精品教学设计
解三角形应用举例 主标题：解三角形应用举例 副标题：为学生详细的分析解三角形应用举例的高考考点、命题方向以及规律总结。 关键词：距离测量，高度测量，仰角，俯角，方位角，方向角 难度：3 重要程度：5 考点剖析： 能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 命题方向： 1．测量距离问题是高考的常考内容，既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题． 2．高考对此类问题的考查常有以下两个命题角度： (1)测量问题； (2)行程问题． 规律总结： 1个步骤——解三角形应用题的一般步骤 2种情形——解三角形应用题的两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 2个注意点——解三角形应用题应注意的问题 (1)画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形，如等边三角形、直角三角形、等腰三角形等，这样可以优化解题过程． (2)解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量．
知识梳理 1．距离的测量 背景可测元素图形目标及解法 两点均可到达a，b，α 求AB：AB＝ a2＋b2－2ab cos α 只有一点可到达b，α，β 求AB：(1)α＋β＋B＝π； (2) AB sin β＝ b sin B 两点都不可到达a，α，β， γ，θ 求AB：(1)△ACD中，用 正弦定理求AC； (2)△BCD中，用正弦定理 求BC； (3)△ABC中，用余弦定理 求AB 2.高度的测量 背景可测元素图形目标及解法 底部可 到达 a，α求AB：AB＝a tan_α 底部不可到达a，α，β 求AB：(1)在△ACD中用正弦 定理求AD；(2)AB＝AD sin_β 3.实际问题中常见的角 (1)仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图1)．
解三角形应用举例
第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第8课时 解三角 形应用举例 1. (必修5P 11习题4改编)若海上有A 、B 、C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10海里，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B 、C 间的距离是________海里． 答案：5 6 解析：由正弦定理， 知 BC sin60°＝AB sin （180°－60°－75°） ， 解得BC ＝56(海里)． 2. (必修5P 20练习第4题改编)江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m. 答案：10 3 解析：如图，OA 为炮台，M 、N 为两条船的位置，∠AMO ＝45°，∠ANO ＝60°，OM ＝AOtan45°＝30，ON ＝AOtan30°＝ 3 3 ×30＝103，由余弦定理，得 MN ＝ 900＋300－2×30×103× 3 2 ＝300＝103(m)． 3. (必修5P 18例1改编)如图，要测量河对岸A 、B 两点间的距离，今沿河岸选取相距40 m 的C 、D 两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，∠ADC ＝30°，则AB 的距离是__________ m. 答案：20 6 解析：由已知知△BDC 为等腰直角三角形，故DB ＝40；由∠ACB＝60°和∠ADB＝60°知A 、B 、C 、D 四点共圆， 所以∠BAD＝∠BCD＝45°；
在△BDA 中，运用正弦定理可得AB ＝20 6. 4. (必修5P 21习题2改编)某人在C 点测得塔顶A 在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10 m 到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为________m. 答案：10 解析：如图，设塔高为h ，在Rt △AOC 中，∠ACO ＝45°，则OC ＝OA ＝h. 在Rt △AOD 中，∠ADO ＝30°，则OD ＝3h. 在△OCD 中，∠OCD ＝120°，CD ＝10. 由余弦定理得OD 2＝OC 2＋CD 2 －2OC·CD cos ∠OCD ， 即(3h)2 ＝h 2 ＋102 －2h×10×cos120°， ∴ h 2 －5h －50＝0，解得h ＝10或h ＝－5(舍)． 5. 如图，一船在海上自西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α角，前进mkm 后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围nkm 范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险． 答案：mcos αcos β>nsin(α－β) 解析：∠MAB＝90°－α，∠MBC ＝90°－β＝∠MAB＋∠AMB＝90°－α＋∠AMB，∴ ∠AMB ＝α－β.由题可知，在△ABM 中，根据正弦定理得BM sin （90°－α）＝m sin （α－β）， 解得BM ＝ mcos αsin （α－β）.要使船没有触礁危险，需要BMsin(90°－β)＝mcos αcos β sin （α－β） >n ， 所以α与β满足mcos αcos β>nsin(α－β)时船没有触礁危险． 1. 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 2. 实际问题中的常用角 (1) 仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)． (2) 方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等．
解三角形应用举例
第7节 解三角形应用举例 最新考纲 能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题. 知 识 梳 理 1.仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1). 2.方向角 相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． 3.方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图2)． 4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值. [常用结论与微点提醒] 1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混. 2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)东北方向就是北偏东45°的方向.( ) (2)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( ) (3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为? ?????0，π2.( ) (4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.( )
解析 (2)α＝β；(3)俯角是视线与水平线所构成的角. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2.若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( ) A.北偏东15° B.北偏西15° C.北偏东10° D.北偏西10° 解析 如图所示，∠ACB ＝90°， 又AC ＝BC ， ∴∠CBA ＝45°，而β＝30°， ∴α＝90°－45°－30°＝15°. ∴点A 在点B 的北偏西15°. 答案 B 3.(教材习题改编)如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量 者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ， ∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的 距离为( ) A.50 2 m B.50 3 m C.25 2 m D.2522 m 解析 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝AC sin B ， 又∵B ＝30°，∴AB ＝AC sin ∠ACB sin B ＝50×2212 ＝502(m). 答案 A 4.轮船A 和轮船B 在中午12时同时离开海港C ，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h ，15 n mile/h ，则下午2时两船之间的距离是______n mile. 解析 设两船之间的距离为d ， 则d 2＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝4 900， ∴d ＝70，即两船相距70 n mile.
(完整版)三角形中的几何计算、解三角形的实际应用举例
三角形中的几何计算、 解三角形的实际应用举例 1．仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线的角叫仰角，在水平线的角叫俯角(如图①)． 2．方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． 3．方向角 相对于某一正方向的水平角(如图③) (1)北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向． (2)北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向． (3)南偏西等其他方向角类似． 【思考探究】 1.仰角、俯角、方位角有什么区别？
以平面几何图形为背景，求解有关长度、角度、面积、最值和优化等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量(如边长、角度等)，然后把要解的三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之． 以平面几何图形为背景，求解有关长度、角度、面积、最值和优化等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量(如边长、角度等)，然后把要解的三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之． 如右图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β. (1)证明：sinα＋cos 2β＝0； (2)若AC＝3DC，求β的值． 【变式训练】 1.如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD ＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为________．
求距离问题要注意： (1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 例题2.如图所示，甲船由A 岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为152海里/小时，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南40海里处的B 岛 出发，朝北偏东θ? ?? ??tan θ＝12的方向作匀速直线航行，速度为105海里/小时． (1)求出发后3小时两船相距多少海里？ (2)求两船出发后多长时间距离最近？最近距离为多少海里？
《§3 解三角形的实际应用举例》教学案1
《§3 解三角形的实际应用举例》教学案1 教学目标 1、掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形。 2、能够运用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。 3、培养和提高分析、解决问题的能力。 教学重点难点 1、正弦定理与余弦定理及其综合应用。 2、利用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。 教学过程 一、复习引入 1、正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C === 2、余弦定理： ,cos 2222A bc c b a -+=? bc a c b A 2cos 222-+= ,cos 2222B ca a c b -+=? ca b a c B 2cos 222-+= C ab b a c cos 2222-+=，?ab c b a C 2cos 222-+= 二、例题讲解 引例：我军有A 、B 两个小岛相距10海里，敌军在C 岛，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，为提高炮弹命中率，须计算B 岛和C 岛间的距离，请你算算看。 解：060=A 075=B ∴045=C 由正弦定理知00 45sin 1060sin =BC 6 545sin 60sin 1000 ==?BC 海里 750 600 C B A
例1．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度(如图)．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B 与车厢支点A 之间的距离为1.95m ，AB 与水平线之间的夹角为/02060，AC 长为1.40m ，计算BC 的长(保留三个有效数字)． 分析：这个问题就是在ABC ?中，已知AB=1.95m ，AC=1.4m ， 求BC 的长，由于已知的两边和它们的夹角，所以可 根据余弦定理求出BC 。 解：由余弦定理，得 答：顶杠BC 长约为1.89m. 解斜三角形理论应用于实际问题应注意： 1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素。 2、要明确题目中一些名词、术语的意义。如视角，仰角，俯角，方位角等等。 3、动手画出示意图，利用几何图形的性质，将已知和未知集中到一个三角形中解决。 练1.如图，一艘船以32海里/时的速度向正北航行，在A 处看灯塔S 在船的北偏东020， 30分钟后航行到B 处，在B 处看灯塔S 在船的北偏东065方向上，求灯塔S 和B 处的距离.(保留到0.1) 解：16=AB 由正弦定理知 020sin 45sin BS AB = ' 2066'20660?=?+?=∠BAC A AC AB AC AB BC cos 2222?-+=)(89.1571.3'2066cos 40.195.1240.195.122m BC ≈∴= ????-+=D C B A 1.40m 1.95m 6020/ 600 ?S B A 1150 450650200
《解三角形的实际应用举例》教学设计
课题：解三角形的实际应用举例 一、教材分析 本节课是学习了正弦定理、余弦定理及三角形中的几何计算之后的一节实际应用课，可以说是为正弦定理、余弦定理的应用而设计的，因此本节课的学习具有理论联系实际的重要作用。在本节课的教学中，用方程的思想作支撑，以具体问题具体分析作指导，引领学生认识问题、分析问题并最终解决问题。 二、教学目标 1、知识与技能 ①能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解测量的方法和意义 ②会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题和基本图形和基本等量关系，理解各种应用问题中的有关名词、术语（如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等） 2、过程与方法 ①采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架 ②通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力；通过解三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用 3、情感态度价值观 ①激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值 ②培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 ③进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力 三、教学重点、难点 1、重点：①实际问题向数学问题的转化 ②掌握运用正、余弦定理等知识方法解三角形的方法 2、难点：实际问题向数学问题转化思路的确定 四、教学方法与手段 本节课的重点是正确运用正弦定理、余弦定理解斜三角形，而正确运用两个定理的关键是要结合图形，明确各已知量、未知量以及它们之间的相互关系。通过问题的探究，要让学生结合实际问题，画出相关图形，学会分析问题情景，确定合适的求解顺序，明确所用的定理；其次，在教学中让学生分析讨论，在方程求解繁与简的基础上选择解题的思路，以提高学生观察、识别、分析、归纳等思维能力。
解三角形应用举例
解三角形应用举例 目标认知 学习目标：初步运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度和测量高度、距离以及航海等的实际问题，了解常用的测量相关术语. 重点：根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系，应用正、余弦定理解斜三角形，解决实际问题. 难点：如何在理解题意的基础上将实际问题数学化，灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题 学习策略： 解斜三角形的知识主要用于测量及航海两大类型问题.实际应用中，首先要弄清题意，画出直观示意图，将实际问题转化为解三角形的问题，再确定是哪类解三角形问题，即应用哪个定理来解决. 知识要点梳理 知识点一：实际问题中的一些名词、术语 1. 仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示： 2. 坡角和坡度 坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i 表示。坡比是坡角的正切值。 3. 方位角与方向角： 方位角：一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角。方位角的取值范围为0°～360°。 如图，点B 的方位角是0 135α=。 方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)多少度。 如图为南偏西060方向（指以正南方向为始边，向正西方向旋转0 60）；
如图为北偏东030方向（指从正北开始向正东方向旋转0 30）. 东南方向：指经过目标的射线是正东与正南的夹角平分线.依此可类推西南方向、西北方向等； 知识点二：解三角形应用题的一般步骤 (1)准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系； (2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型； (3) 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解； (4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题. 知识点三：常见应用题型 正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有： 1. 测量高度问题； 2. 测量距离问题； 3. 测量角度问题； 4. 计算面积问题； 5. 航海问题； 6. 物理问题等. 规律方法指导 1.应用正弦定理、余弦定理解应用题主要用于测量及航海两大类型问题.实际应用中，首先要弄清题意，画出直观示意图，将实际问题转化为解三角形的问题，并将实际问题中的长度、角度看成三角形相应的边和角，再利用边角关系对已知条件进行变形、转化，从而使问题得以解决. 2. 解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况： （1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之； （2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。 3.解斜三角形的应用问题常常是综合应用问题.在解这类问题时，还经常涉及方程、几何、最大（小）值、方位角等方面的知识，因此，应当注意分析问题特点，选用恰当的解题方法.
(完整版)解三角形应用举例
解三角形应用举例 【重要知识】 1、仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做 仰角；视线在水平线下方的叫做俯角。 2、方向角： 方向角是正北方向或正南方向到目标方向线所成的锐角。 方向角α的取值范围是：?<
2、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是42m，∠BAC=45?， ∠ACB=? 75。求A、B两点的距离. 3、为了开凿隧道，要测量隧道上D、E间的距离，为此在山的一侧选取适当点C，如图，测得CA=400m，CB=600m，∠ACB=60°，又测得A、B两点到隧道口的距离AD=80m，BE=40m(A、D、E、B在一条直线上)，计算隧道DE的长.
解三角形应用举例
解三角形应用举例 一、选择题 1.（2014·高考文科·Ｔ10）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练，已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面的射击线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P 的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）。若15 AB m =，25 AC m =，30 BCM ∠=?则tanθ的最大值（） A ． 30 B． 30 C． 43 D． 53 【解析】选D. 由勾股定理可得，20 BC=，过P作PP BC '⊥，交BC于P'，连结AP'，则 tan PP AP θ ' = '，设CP x '=，则 3 tan30 3 PP CP x '' == 在Rt△ABC中，AB=15m，AC=25m，所以BC=20m 所以 4 cos 5 BCA ∠= ，所以 2 4 625225 5 AP x x '=+-?? 240625 x x =-+ 所以 2 2 2 333 333 tan 406252549 406251() 525 x x x x x θ=== -+-+-+
当 254 5 x = ，即 125 4 x= 时，tanθ取得最大值为 3 53 3 39 5 = 2.（2014·高考文科·Ｔ8）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60cm，则河流的宽度BC等于（） A．240(31)m - B．180(21)m - C．120(31)m - D．30(31)m + 【解题提示】先求AC，再由正弦定理求BC即可． 【解析】选C.记气球的高度为AD，交CB延长线于D，在Rt ACD ?中，120 AC=m，在ABC ?中，由正弦定理知， 120 sin sin45 sin sin75 AC BC BAC ABC =?∠=? ∠ 602 sin(3045) ? = + 120(31) =-m. 二、填空题： 3. （2014·高考理科·Ｔ17）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练. 已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值 【解析】由勾股定理可得，20 BC=，过P作PP BC '⊥，交BC于P'，连结AP'，则 tan PP AP θ ' = '，设CP x '=，则 3 tan30 3 PP CP x '' == 在Rt△ABC中，AB=15m，AC=25m，所以BC=20m 所以 4 cos 5 BCA ∠= ，所以 2 4 625225 5 AP x x '=+-??
解三角形的应用举例
第2讲 解三角形应用举例 ★ 知 识 梳理 ★ 1.已知两角和一边（如A 、B 、C ），由A +B +C = π求C ，由正弦定理求a 、b ． 2.已知两边和夹角（如a 、b 、c ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A +B +C = π，求另一角． 3.已知两边和其中一边的对角（如a 、b 、A ），应用正弦定理求B ，由A +B +C = π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况． 4.已知三边a 、b 、c ，应用余弦定理求A 、B ，再由A +B +C = π，求角C ． 5.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目 标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东××度， 北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度. 6.俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上 方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.如图中OD 、OE 是视线，DOC ∠ 是仰角， EOC ∠ 是俯角. 7.关于三角形面积问题 ①ABC S ?= 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； ②ABC S ?＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1 ac sin B ； ③ABC S ?＝2R 2sin A sin B sin C .（R 为外接圆半径） ④ABC S ?＝ R abc 4； ⑤ABC S ?＝))()((c s b s a s s ---,?? ? ? ?++= )(21c b a s ； ⑥ABC S ?＝r ·s ,( r 为△ABC 内切圆的半径) ★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点：熟练掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，结合几何性质建模解决生活中的应用问题 2.难点：实际问题向数学问题转化思路的确定 3.重难点：熟练掌握解斜三角形的方法.，熟悉实际问题向数学问题的转化的方法； （1）解三角函数应用题要通过审题领会其中的数的本质，将问题中的边角关系与三角