第1讲 数轴与绝对值
第1讲 有理数、数轴与绝对值
有理数：整数和分数统称为有理数。
数轴：规定原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴
(1)有理数都可以在数轴上表示出来。但数轴上不是所有的点都表示有理数，比如π.（2）互为相反数的两点在数轴上关于原点对称。(3)点A(a)与B(b)的中点表示的数为
2
a b +。 绝对值的定义与性质（注意它的非负性）
1、定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。 用公式表示为： (0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-
2、性质： ①非负性：|a |≥0； ②|ab |=|a ||b |； ③|b a |=|
|||b a （b ≠0）； ④222||||a a a ==； ⑤|a +b |≤|a |+|b |； ⑥||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |+|b |.
3、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
①) a 表示a 点到0点的距离
a b -表示a 点到b 点的距离
注：一般地，设123,,,...n a a a a 是数轴上依次排列的有理数，则
(1)当n 为奇数时，若12
n x a +=亦即x 是中间一个点时，则x 到这n 个点的距离之和
12||||...||n x a x a x a -+-++-的值最小；
(2)当n 为偶数时，若1
22n n a x a +≤≤亦即x 位于中间两个点之间任何位置时，则
12||||...||n x a x a x a -+-++-的值最小。
A 、
B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3
，那么点B 对应的数是___________.
1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别为a 、b 、c 、d ，且d —2a=10,那么原点应是( )
A. A 点
B. B 点
C. C 点
D. D 点
|a|表示数a 到原点的距离，这是绝对值的几何意义。进一步地，数轴上B
两个点A、B，分别用a，b表示，那么AB=|a—b|。(思考一下，为什么？)，利用此结论，回答以下问题：
(1)数轴上表示2和5 的两点之间的距离是_______,数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是______,数轴上表示1和-3的两点之间的距离是______；
(2) 数轴上表示x和-1的两点A、B之间的距离是_______,如果|AB|=2，那么x的值为_____;
（3）求|x+1|+|x+2|的值最小。（希望杯竞赛题）
（4）求|x-1|+|x-2|+|x-3|的值最小。（第18届北京市迎春杯竞赛题）
（5）求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2005|的最小值。
++--++-++=，求23
(12)(21)(31)36
x x y y z z
++的最大值和最小
x y z
值。
【提示】解本题的关键是利用绝对值的几何意义确定括号内每个式子的取值范围。
x的任意允许值，P=|1-2x|+|1-3x|+……+ |1-9x|+|1-10x|的值恒为一常数，则此值是多少？
|||20||20|
=-+-+--,其中，0 y x b x x b ______.（“CASIO杯”河南省竞赛题） 分析:结合已知条件判断每一个绝对值符号内式子的正负性，再去掉绝对值的符号。 |||||| a b ab a b ab ++的所有的可能的值有（ ） A.2 个 B.3 个 C. 4 个 D.无数个 已知|2||1|0ab b -+-=，求1111...(1)(1)(2)(2)(2006)(2006)ab a b a b a b ++++++++++的值。（“华罗庚杯”香港中学竞赛） a 、 b 、 c 为整数，且|a-b|+|c-a|=1，求||||||c a a b b c -+-+-的值。 分析：需要先求出a,b,c 的值。 (1) |21|x - （2）|1||3|x x -+- 分析：需要分情况讨论，我们可以借助于数轴。 练习 1、在数轴上，A 点对应的数字是-2010，B 点对应的数字是+17，则A 、B 两点之间的距离是（ ） A 、1993 B 、2003 C 、2017 D 、2027 2、在数轴上任取一条长度为120102010 的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是（ ）A 、2009 B 、2010 C 、2011 D 、2012 3、如图，在数轴上有六个点，且AB=BC=CD=DE=EF ，则与点C 所表示的数最接近的整数是（ ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、2 4、若x ＜2，则11y x =-+等于（ ） A 、2x + B 、2x -- C 、x D 、x - 5、如果0＜p ＜15，那么代数式1515x p x x p -+-+--在15p x ≤≤的最小值是（ ） A 、30 B 、0 C 、15 D 、一个与p 有关的代数式 6、在数轴上，若N 点与O 点距离是N 点与30所对应点之间的距离的4倍，则N 点表示的数是 7、如果3,5a b ==，那么a b a b +--的绝对值等于 8、已知,,a b c 满足()()()0a b b c c a +++=，且abc ＜0，则代数式a b c a b c ++= 9、设,,a b c 分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且a b c ≤≤，则a b b c c a -+-+-可能取 得的最大值是 10、如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处标上数字0,1,2,3。先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数-1所对应的点重合，再让数轴按逆时针方向绕在该圆上，那么数轴上的数-2010将与圆周上的数字 重合。 11、已知,,,a b c d 是有理数，9,16,a b c d -≤-≤且25a b c d --+=，求b a d c ---的值。 12、若,,a b c 为整数，且19991a b c a -+-=，求c a a b b c -+-+-的值 -4