动量守恒定律的典型例题
动量守恒定律的典型例题
【例１】把一支枪固定在小车上,小车放在光滑的水平桌面上．枪发射出一颗子弹.对于此过程，下列说法中正确的有哪些？[]
A．枪和子弹组成的系统动量守恒
Ｂ．枪和车组成的系统动量守恒
Ｃ．车、枪和子弹组成的系统动量守恒
D.车、枪和子弹组成的系统近似动量守恒,因为子弹和枪筒之间有摩擦力．且摩擦力的冲量甚小
【分析】本题涉及如何选择系统，并判断系统是否动量守恒．物体间存在相互作用力是构成系统的必要条件,据此，本题中所涉及的桌子、小车、枪和子弹符合构成系统的条件．不仅如此，这些物体都跟地球有相互作用力.如果仅依据有相互作用就该纳入系统，那么推延下去只有把整个宇宙包括进去才能算是一个完整的体系，显然这对于分析、解决一些具体问题是没有意义的.选择体系的目的在于应用动量守恒定律去分析和解决问题,这样在选择物体构成体系的时候,除了物体间有相互作用之外,还必须考虑“由于物体的相互作用而改变了物体的动量”的条件.桌子和小车之间虽有相互作用力，但桌子的动量并没有发生变化．不应纳入系统内，小车、枪和子弹由于相互作用而改变了各自的动量，所以这三者构成了系统．分析系统是否动量守恒，则应区分内力和外力.对于选定的系统来说，重力和桌面的弹力是外力,由于其合力为零所以系统动量守恒．子弹与枪筒之间的摩擦力是系统的内力,只能影响子弹和枪各自的动量，不能改变系统的总动量．所以Ｄ的因果论述是错误的.
【解】正确的是Ｃ．
【例2】一个质量Ｍ=1kg的鸟在空中v0＝6m／s沿水平方向飞行，离地面高度ｈ＝20m,忽被一颗质量ｍ=20g沿水平方向同向飞来的子弹击中，子弹速度v=300
ｍ／s,击中后子弹留在鸟体内，鸟立即死去,g=10m/s2．求:鸟被击中后经多少时间落地；鸟落地处离被击中处的水平距离.
【分析】子弹击中鸟的过程,水平方向动量守恒,接着两者一起作平抛运动。
【解】把子弹和鸟作为一个系统，水平方向动量守恒．设击中后的共同速度为u,取v０的方向为正方向，则由
Mv0+ｍv=（m+M)u,
得
击中后,鸟带着子弹作平抛运动,运动时间为
鸟落地处离击中处水平距离为
Ｓ=ut=1１.７６×2m=２３．5２m．
【例３】一列车沿平直轨道以速度ｖ0匀速前进,途中最后一节质量为m的车厢突然脱钩，若前部列车的质量为M，脱钩后牵引力不变，且每一部分所受摩擦力均正比于它的重力,则当最后一节车厢滑行停止的时刻，前部列车的速度为［]
【分析】列车原来做匀速直线运动，牵引力F等于摩擦力f，f=k(m+M)ｇ(k为比例系数)，因此,整个列车所受的合外力等于零．尾部车厢脱钩后，每一部分所受摩擦力仍正比于它们的重力.因此，如果把整个列车作为研究对象,脱钩前后所受合外力始终为零,在尾部车厢停止前的任何一个瞬间，整个列车(前部＋尾部)的动量应该守恒．考虑刚脱钩和尾部车厢刚停止这两个瞬间,由
(ｍ＋M)v０=0+Ｍv
得此时前部列车的速度为
【答】B.
【说明】上述求解是根据列车受力的特点,恰当地选取研究对象,巧妙地运用了动量守恒定律,显得非常简单．如果把每一部分作为研究对象,就需用牛顿第二定律等规律求解．有兴趣的同学,请自行研究比较．
【例4】质量ｍ１=10g的小球在光滑的水平桌面上以v１=30cm／ｓ的速率向右运动,恰好遇上在同一条直线上向左运动的另一个小球.第二个小球的质量为ｍ
2=50ｇ,速率v2=10cm/s．碰撞后,小球ｍ２恰好停止.那么,碰撞后小球m1的速度是多大，方向如何？
【分析】取相互作用的两个小球为研究的系统。由于桌面光滑,在水平方向上系统不受外力.在竖直方向上,系统受重力和桌面的弹力,其合力为零.故两球碰撞的过程动量守恒.
【解】设向右的方向为正方向，则各速度的正、负号分别为
v1=3０cm／s,v2=１0ｃm/s,v＇２=0.
据动量守恒定律有
m l v l+m2ｖ2=ｍ1ｖ＇1+m２v＇2.
解得v'１=-2０cm/ｓ.
即碰撞后球ｍ1的速度大小为20ｃm／s,方向向左.
【说明】通过此例总结运用动量守恒定律解题的要点如下．
(1)确定研究对象.对象应是相互作用的物体系.
（２)分析系统所受的内力和外力，着重确认系统所受到的合外力是否为零,或合外力的冲量是否可以忽略不计.
(3)选取正方向,并将系统内的物体始、末状态的动量冠以正、负号,以表示动量的方向．
(4)分别列出系统内各物体运动变化前（始状态)和运动变化后(末状态)的动量之和．
（５)根据动量守恒定律建立方程,解方程求得未知量.
【例5】甲、乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏.甲和他的冰车的总质量共为M=30kg,乙和他的冰车的总质量也是30kg.游戏时，甲推着一质量为m=15k ｍ的箱子，和他一起以大小为ｖ０=２m/ｓ的速度滑行.乙以同样大小的速度迎面滑来.为了避免相撞,甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子到乙处时乙迅速把它抓住.若不计冰面的摩擦力,求甲至少要以多大的速度(相对于地面)将箱子推出,才能
避免和乙相碰．
【分析】甲推出箱子和乙抓住箱子是两个动量守恒的过程,可运用动量守恒求解．甲把箱于推出后，甲的运动有三种可能：一是继续向前,方向不变；一是静止；一是方向改变，向后倒退．按题意要求．是确定甲推箱子给乙，避免跟乙相碰的最小速度.上述三种情况中,以第一种情况甲推出箱子的速度最小，第二、第三种情况则需要以更大的速度推出箱子才能实现．
【解】设甲推出的箱子速度为v,推出后甲的速度变为v1,取v0方向为正方向,据动量守恒有
（M＋ｍ）v0＝Mv1+mv.(1)
乙抓住箱子的过程,动量守恒,则
Ｍv+mv0=(Ｍ＋m）ｖ2.(2)
甲、乙两冰车避免相撞的条件是v2≥v1,取
v2=v1.（３)
联立(１)、(２)、(3)式,并代入数据解得
v=5.2m/s．
【说明】本题仅依据两个动量守恒的过程建立的方程还能求解，关键是正确找出临界条件,并据此建立第三个等式才能求解.
【例6】两辆质量相同的小车A和B，置于光滑水平面上,一人站在A车上,两车均静止.若这个人从A车跳到B车上，接着又跳回A车，仍与Ａ车保持相对静止,则此时A车的速率［]
A.等于零Ｂ.小于B车的速率
C.大于B车的速率D．等于B车的速率
【分析】设人的质量为ｍ0,车的质量为ｍ．取A、B两车和人这一系统为研究对象,人在两车间往返跳跃的过程中，整个系统水平方向不受外力作用,动量守恒．取开始时人站在A车上和后来又相对A车静止时这两个时刻考察系统的动量，则
0＝(m０＋ｍ)vＡ＋mｖB,
可见,两车反向运动,Ａ车的速率小于B车的速率.
【答】Ｂ．
【说明】本题中两车相互作用前后动量在一直线上,但两者动量方向即速度方向均不甚明确,因此没有事先规定正方向,而是从一般的动
【例7】甲、乙两船在平静的湖面上以相同的速度匀速航行，且甲船在前乙船在后.从甲船上以相对于甲船的速度v,水平向后方的乙船上抛一沙袋,其质量为m．设甲船和沙袋总质量为M，乙船的质量也为M.问抛掷沙袋后,甲、乙两船的速度变化多少?
【分析】由题意可知，沙袋从甲船抛出落到乙船上,先后出现了两个相互作用的过程，即沙袋跟甲船和沙袋跟乙船的相互作用过程．在这两个过程中的系统，沿水平方向的合外力为零，因此，两个系统的动量都守恒.值得注意的是,题目中给定的速度选择了不同的参照系.船速是相对于地面参照系，而抛出的沙袋的速度v是相对于抛出时的甲船参照系.
【解】取甲船初速度V的方向为正方向,则沙袋的速度应取负值．统一选取地面参照系,则
沙袋抛出前,沙袋与甲船的总动量为MＶ．
沙袋抛出后，甲船的动量为（Ｍ-m）v甲'，沙袋的动量为m（v甲'-ｖ)．
根据动量守恒定律有
ＭV=(M-m）ｖ甲'+m(v甲'-v)．(1)
取沙袋和乙船为研究对象,在其相互作用过程中有
ＭV+ｍ(v甲'-v）=（M+m）v乙＇．（2)
联立（l)、(2)式解得
则甲、乙两船的速度变化分别为
【例8】小型迫击炮在总质量为10０0kg的船上发射,炮弹的质量为2kｇ．若炮弹飞离炮口时相对于地面的速度为６０0m／s,且速度跟水平面成４5°角,求发射炮弹后小船后退的速度?
【分析】取炮弹和小船组成的系统为研究对象,在发射炮弹的过程中,炮弹和炮身(炮和船视为固定在一起)的作用力为内力.系统受到的外力有炮弹和船的重力、水对船的浮力．在船静止的情况下，重力和浮力相等，但在发射炮弹时，浮力要大于重力.因此,在垂直方向上,系统所受到的合外力不为零,但在水平方向上系统不受外力(不计水的阻力)，故在该方向上动量守恒．
【解】发射炮弹前，总质量为1000kg的船静止，则总动量Mv=0．
发射炮弹后,炮弹在水平方向的动量为mｖ1＇cos4５°，船后退的动量为(M-m)ｖ2'.
据动量守恒定律有
０=mv１＇ｃｏs４5°＋(Ｍ-m)ｖ2'.
取炮弹的水平速度方向为正方向，代入已知数据解得
【例9】两块厚度相同的木块A和Ｂ,并列紧靠着放在光滑的水平面上,其质量分别为m A=2.0kg，m B=0.90ｋg．它们的下底面光滑,上表面粗糙.另有质量m C=0.10ｋg的铅块C(其长度可略去不计)以v C=10m/s的速度恰好水平地滑到Ａ的上表面(见图）,由于摩擦，铅块最后停在本块B上，测得B、C的共同速度为v＝０.50m ／s，求
木块Ａ的速度和铅块C离开A时的速度．
【分析】C滑上A时，由于B与A紧靠在一起,将推动Ｂ一起运动.取C与A、B这一系统为研究对象,水平方向不受外力，动量守恒．滑上后,C在A的摩擦力作用下作匀减速运动，(A＋B)在C的摩擦力作用下作匀加速运动．待C滑出A 后，C继续减速，B在Ｃ的摩擦力作用下继续作加速运动，于是A与B分离，直至C最后停于B上．
【解】设C离开A时的速度为v C,此时A、B的共同速度为ｖA,对于C刚要滑上Ａ和C刚离开Ａ这两个瞬间,由动量守恒定律知
m C v C＝(m A+ｍB)v A+m C v'C(1)
以后，物体Ｃ离开Ａ，与B发生相互作用.从此时起,物体A不再加速,物体B将继续加速一段时间,于是Ｂ与A分离．当C相对静止于物体Ｂ上时,C与B的速度分别由v＇C和v A变化到共同速度v.因此，可改选C与B为研究对象，对于C 刚滑上B和Ｃ、B相对静止时的这两个瞬间,由动量守恒定律知
mＣv'C+mＢv A＝(ｍB+mＣ)ｖ(2）
由(l)式得ｍCｖ'C=ｍC v C-（m A＋m B)v A
代入(2)式ｍC v'C－(m A+mＣ)ｖA+mＢv A=(ｍB＋ｍＣ）ｖ．
得木块A的速度
所以铅块C离开Ａ时的速度
【说明】应用动量守恒定律时,必需明确研究对象，即是哪一个系统的动量守恒.另外需明确考察的是系统在哪两个瞬间的动量.如果我们始终以(C＋A+B)这一系统为研究对象,并考察C刚要滑上A和C刚离开A，以及C、B刚相对静止这三个瞬间,由于水平方向不受外力，则由动量守恒定律知
ｍC v C=(m A+mＢ)v A+ｍCｖ'Ｃ=m AｖA+（m B＋mＣ)v.
同样可得
【例1０】在静止的湖面上有一质量M=100kg的小船，船上站立质量ｍ=５０kg的人，船长L=6m,最初人和船静止.当人从船头走到船尾(如图),船后退多大距离？(忽略水的阻力)
[分析]有的学生对这一问题是这样解答的.由船和人组成的系统，当忽略水的阻力时,水平方向动量守恒．取人前进的方向为正方向,设t时间内
这一结果是错误的,其原因是在列动量守恒方程时，船后退的速度
考系的速度代入同一公式中必然要出错．
【解】选地球为参考系,人在船上行走，相对于地球的平均速度为
为
【例11】一浮吊质量M=2×10４kg，由岸上吊起一质量m=2×103kg的货物后,再将吊杆OA从与竖直方向间夹角θ=60°转到θ'=３0°，设吊杆长L＝8m,水的阻力不计，求浮吊在水平方向移动的距离？向哪边移动？
【分析】对浮吊和货物组成的系统，在吊杆转动过程中水平方向不受外力，动量守恒．当货物随吊杆转动远离码头时，浮吊将向岸边靠拢，犹如人在船上向前走时船会后退一样，所以可应用动量守恒求解.
【解】设浮吊和货物在水平方向都作匀速运动，浮吊向右的速度为v，货物相对于浮吊向左的速度为u，则货物相对河岸的速度为(ｖ－u)．由
0＝Mv+m(v－u),
吊杆从方位角θ转到θ'需时
所以浮吊向岸边移动的距离
【说明】当吊杆从方位角θ转到θ'时,浮吊便向岸边移动一定的距离，这个距离与吊杆转动的速度，也就是货物移动的速度无关。但为了应用动量守恒定律，必须先假设浮吊和货物移动为某个速度。
【例1２】如图所示，一排人站在沿x轴的水平轨道旁，原点O两侧的人的序号都记为ｎ（n=1，２,3…)．每人只有一个沙袋,x>0一侧的每个沙袋质量m=14kg,x<０一侧的每个沙袋质量为ｍ'=10kg．一质量为Ｍ＝４8ｋｇ的小车以某初速度从原点出发向正x方向滑行.不计轨道阻力．当车每经过一人身旁时,此人就把沙袋以水平速度v朝与车相反的方向沿车面扔到车上,v的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的２n倍(n是此人的序号数).(l)空车出发后,车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行?（2)车上最终有大小沙袋共多少个?
【分析】因为扔到车上的沙袋的水平速度与车行方向相反，两者相互作用后一起运动时，总动量的方向(即一起运动的方向）必与原来动量较大的物体的动量方向相同．当经过第ｎ个人时，扔上去的沙袋的动量大于车及车上沙袋的动量时，车就会反向运动.车向负x方向运动时、当扔上去的沙袋的动量与车及车上沙袋的动量等值反向时,车将停止运动．
【解】（1)设小车朝正x方向滑行过程中,当车上已有(ｎ-1)个沙袋时的车速为v n －1，则车与沙袋的动量大小为
ｐ1＝［Ｍ＋(ｎ-l）ｍ]v n-1.
车经过第n个人时，扔出的沙袋速度大小为2nv n-1，其动量大小为
p2=2nmv n－1,
当满足条件ｐ2＞p1时,车就反向滑行.于是由
2ｎmv n-1>[Ｍ+(n-l）m]v n-１,
得
取ｎ=3，即车上堆积3个沙袋时车就反向运动．
（2)设车向负x方向滑行过程中，当第（ｎ—1）个人扔出沙袋后的车速为v＇n-1，其动量大小为
p'１=[M＋3m+（ｎ－l)m']ｖ'n-1.
车经过第n个人时，扔出沙袋的速度大小为2nv'n-１，其动量大小为
当满足条件P＇2=P'1时，车就停止．于是由
[M＋３m＋（n-l）m＇]v n-１＝2nm'v'n-１,
得
所以车停止时车上共有沙袋数为
N=3+8＝１1(个)．
【说明】本题依据的物理道理是很显然的,由于构思新颖，使不少同学难以从具体问题中抽象出简化的物理模型，以致感到十分棘手.因此,学习中必须注重打好基础和提高分析问题的能力.
【例13】一个静止的质量为M的原子核,放射出一个质量为m的粒子,粒子离开原子核时相对于核的速度为v0,原子核剩余部分的速率等于［]
【分析】取整个原子核为研究对象。由于放射过程极为短暂，放射过程中其他外力的冲量均可不计,系统的动量守恒．放射前的瞬间，系统的动量p１＝0,放射出粒子的这一瞬间,设剩余部分对地的反冲速度为v'，并规定粒子运动方向为正方向,则粒子的对地速度ｖ＝v0-ｖ＇,系统的动量
p2=ｍv-(Ｍ－m)v'=m（ｖ0－v')-(M－m）v'．
由p1=ｐ2,即
0＝m(v0-ｖ)－（M-m）ｖ'=mv0-Mv'．
【答】Ｃ．
【说明】本题最容易错选成B、D．前者是没有注意到动量守恒定律中的速度必须统一相对于地面,误写成
0=mｖ0－(M-ｍ)v＇．
后者是已规定了正方向后,但计算矢量和时没有注意正负,误写成
0=m(ｖ0－ｖ'）＋(M-m)v'.
对于矢量性较熟悉的读者,也可不必事先规定正方向,而根据解题结果加以判断，如本题中，粒子对地速度可表示为v=ｖ0+v'，由系统的动量守恒，
０=mv+(M-m)v'=m(ｖ0＋v'）+(M-m)v'．
表示核的反冲速度与粒于运动速度方向相反.