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2020年高三理科数学一轮讲义案第十三章13.1.1《坐标系》

2020年高三理科数学一轮讲义案第十三章

13.1.1《坐标系》

第1节坐标系与参数方程

第1课时坐标系

最新考纲

1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；

2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；

3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．

知识梳理

1.平面直角坐标系中的伸缩变换

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λ·x(λ>0)，

y′＝μ·y(μ>0)的作用下，点P(x，y)

对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.

2.极坐标系

(1)极坐标与极坐标系的概念

在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.点O称为极点，射线Ox称为极轴.平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标.ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角.一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系.我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角.

(2)极坐标与直角坐标的互化

设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ).由图可知下面的关系式成立：

x＝ρcosθ，y＝ρsinθ或ρ2＝x2＋y2，tanθ＝y

(x≠0)，

这就是极坐标与直角坐标的互化公式.

3.常见曲线的极坐标方程

曲线图形极坐标方程

圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ<2π)

圆心为(r，0)，半径为r的圆ρ＝2r cos__θ－

2≤

θ<

圆心为r，π

2，半径为r的圆

ρ＝2r sin__θ

(0≤θ<π)

过极点，倾斜角为α的直线

θ＝α(ρ∈R)

或θ＝α＋π(ρ∈R)

过点(a，0)，与极轴垂直的直线ρcos__θ＝a －

<θ<π

过点a，π

2，与极轴平行的直线

ρsin__θ＝a

(0<θ<π)

[微点提醒]

关于极坐标系

1.极坐标系的四要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，四者缺一不可.

2.由极径的意义知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ

≠0)建立一一对应关系，约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角.3.极坐标与直角坐标的重要区别：多值性.

基础自测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.()(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是2，－

3.()

(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.()(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.(

)

解析(1)一般认为ρ≥0，当θ∈[0，2π)时，平面上的点(除去极点)才与极坐标建立一一对应关系；(4)极坐标θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条射线．答案(1)×(2)√(3)√(4)×

2.(选修4－4P15习题T3改编)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为()A.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤

π2B.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤

π4C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤

π2D.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤

4解析∵y ＝1－x (0≤x ≤1)，

∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)；∴ρ＝1

sin θ＋cos θ0≤θ≤π

答案A

3.(选修4－4P15T4改编)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是(

)

A.1，π

2 B.

1，－π

C.(1，0)

D.(1，π)

解析法一由ρ＝－2sinθ得ρ2＝－2ρsinθ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，即x2＋(y＋1)2

＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为1，－π

法二由ρ＝－2sinθ＝2cos θ＋

2，知圆心的极坐标为

1，－π

2，故选B.

答案B

4.(2015·湖南卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，则曲线C的直角坐标方程为________.

解析由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－1)2＝1.

答案x2＋(y－1)2＝1

5.(2014·广东卷)在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ＝sinθ与ρcosθ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为________.

解析将2ρcos2θ＝sinθ两边同乘以ρ，得2(ρcosθ)2＝ρsinθ，化为直角坐标方程为2x2＝y

①，C2：ρcosθ＝1化为直角坐标方程为x＝1②，联立①②可解得x＝1，

y＝2，

所以曲线C1与C2交点的

直角坐标为(1，2)．答案(1，2)

6.(2014·陕西卷)在极坐标系中，点2，π

6到直线ρsin(θ－π

)＝1的距离是________.

解析将极坐标2，π

6转化为直角坐标为(3，1)．极坐标方程ρsinθ－

6＝1转化为直角坐标方程

为x－3y＋2＝0，则点(3，1)到直线x－3y＋2＝0的距离d＝|3－3×1＋2|

1＋（－3）2

＝1.

答案1

考点一

平面直角坐标系中的伸缩变换易错警示

【例1】在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换x ′＝12

x ，

y ′＝13y

后的图形.

(1)5x ＋2y ＝0；(2)x 2＋y 2＝1.

解伸缩变换x ′＝12x ，

y ′＝13y

则

x ＝2x ′，

y ＝3y ′.(1)若5x ＋2y ＝0，则5(2x ′)＋2(3y ′)＝0，

所以5x ＋2y ＝0经过伸缩变换后的方程为5x ′＋3y ′＝0，为一条直线.(2)若x 2＋y 2＝1，则(2x ′)2＋(3y ′)2＝1，

则x 2＋y 2＝1经过伸缩变换后的方程为4x ′2＋9y ′2＝1，为椭圆.规律方法伸缩变换后方程的求法

平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：x ′＝λx （λ>0），

y ′＝μy （μ>0）的作用下的变换方程的求法是将x ＝x ′λ

，

y ＝

y ′μ代入y

＝f (x )，得y ′

＝f x ′

λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程．

易错警示应用伸缩变换时，要分清变换前的点坐标(x ，y )与变换后的点坐标(x ′，y ′)．【训练1】在同一坐标系中，求将曲线y ＝1

2sin 3x 变为曲线y ＝sin x 的伸缩变换公式.

解将曲线y ＝1

2sin 3x ①经过伸缩变换变为y ＝sin x ，即y ′＝sin x ′②，

设伸缩变换公式是

x ′＝λx ，

y ′＝μy

(λ>0，μ>0)，

把伸缩变换关系式代入②式得：μy ＝sin λx 与①式的系数对应相等得到

μ＝2，λ＝3，

所以，变换公式为

x ′＝3x ，y ′＝2y .

考点二极坐标与直角坐标的互化

【例2】(2019·德阳诊断)已知极坐标系的极点为平面直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，曲线C 的参数方程为x ＝－1＋2cos α，

y ＝1＋2sin α(α为参数)，直线l 过点(－

1，0)，且斜率为1

2，射线OM 的极坐标方程为θ＝3π4.

(1)求曲线C 和直线l 的极坐标方程；

(2)已知射线OM 与曲线C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，则线段PQ 的长.解(1)∵曲线C 的参数方程为

x ＝－1＋2cos α，

y ＝1＋2sin α

(α为参数)，

∴曲线C 的普通方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2，

将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入整理得ρ＋2cos θ－2sin θ＝0，即曲线C 的极坐标方程为ρ＝22sin θ－

π4.∵直线l 过点(－1，0)，且斜率为12，

∴直线l 的方程为y ＝1

(x ＋1)，

∴直线l 的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0.(2)当θ＝3π

4时，|OP |＝22sin 3π4－π4＝22，

|OQ |＝12×22＋

22＝2

3，

故线段PQ 的长为22－

23＝

.规律方法 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y

(x ≠0)．

2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧.

【训练2】(1)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点A

的极坐标为2，π4，直线的极坐标方程为ρcos θ－

π4＝a ，且点A 在直线上，求a 的值及直线的直角坐标方程.

(2)把曲线C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0化为极坐标方程.解(1)∵点A

2，π4在直线ρcos θ－

π4＝a 上，

∴a ＝2cos π4－

π4＝2，

所以直线的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.

(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，

得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0，

所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.考点三曲线极坐标方程的应用

【例3－1】(2019·太原二模)点P 是曲线C 1：(x －2)2＋y 2＝4上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中点，将点P 逆时针旋转90°得到点Q ，设点Q 的轨迹为曲线C 2.

(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；

(2)射线θ＝π

3(ρ>0)与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点，定点M (2，0)，求△MAB 的面积.

解(1)由曲线C 1的直角坐标方程(x －2)2＋y 2＝4可得曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ.设Q (ρ，θ)，则P ρ，θ－

2，则有ρ＝4cos θ－

2＝4sin θ.所以曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.

(2)M 到射线θ＝π3(ρ>0)的距离d ＝2sin π

＝3，

|AB |＝ρB －ρA ＝4

sin

π3－cos π3＝2(3－1)，

所以S △MAB ＝12|AB |×d ＝1

×2(3－1)×3＝3－ 3.

【例3－2】(2017·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极

坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.

(1)设点M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；

(2)设点A 的极坐标为2，

π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值.解(1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0).由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ

由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0).因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0).(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0).由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积

S ＝1

|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·|sin α－π3|

＝2|sin 2α－π3－32|

≤2＋ 3.

当α＝－π

12时，S 取得最大值2＋ 3.

所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.

规律方法求线段的长度有两种方法．方法一，先将极坐标系下点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后求线段的长度．方法二，直接在极坐标系下求解，设A (ρ1，θ

1)，B (ρ2，θ2)，则|AB |＝ρ21＋ρ2

2－2ρ1ρ2cos （θ2－θ1）；如果直线过极点且与另一曲线相交，求交点之间的距离时，求出曲线的极坐标方程和直线的极坐标方程及交点的极坐标，则|ρ1－ρ2|即为所求．

【训练3】(1)在极坐标系中，求直线ρsin θ＋

π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长.

(2)(2019·衡阳二模)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数).以坐标原

点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A ，B 为C 上两点，且OA ⊥OB ，设射线OA ：θ＝α，

其中0<α<

π2

.(ⅰ)求曲线C 的极坐标方程；(ⅱ)求|OA |·|OB |的最小值.

解(1)由ρsin θ＋π4＝2，得2

2(ρsin θ＋ρcos θ)＝2，可化为x ＋y －22＝0.圆ρ＝4可化为x 2

＋y 2＝16，

圆心(0，0)到直线x ＋y －22＝0的距离d ＝|22|

2＝2，

由圆中的弦长公式，得弦长l ＝2r 2－d 2＝242－22＝4 3.故所求弦长为4 3.

(2)(ⅰ)将曲线C 的参数方程x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)化为普通坐标方程为x 22＋y 2

＝1.

因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，

所以曲线C 的极坐标方程为ρ2＝2

1＋sin 2θ

(ⅱ)根据题意：射线OB 的极坐标方程为θ＝α＋π2或θ＝α－π

2，

所以|OA |＝

1＋sin 2α

，

|OB |＝

1＋sin 2α±

π2

＝2

1＋cos 2α

，

所以|OA |·|OB |＝

21＋sin 2α·

1＋cos 2α

＝

4(1＋sin 2α)(1＋cos 2α)≥21＋sin 2α＋1＋cos 2

α2

＝4

.当且仅当sin 2α＝cos 2α，即α＝π4

时，|OA |·|OB |取得最小值为4

[思维升华]

1.曲线的极坐标方程化成直角坐标方程：对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等．

2.直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的步骤：(1)运用ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y

(x ≠0)；

(2)在[0，2π)内由tan θ＝y

x (x ≠0)求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限(即θ的终边位置)．

[易错防范]

1.确定极坐标方程，极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可．

2．平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的，但点的极坐标的表示形式不唯一．当规定ρ≥0，0≤θ＜2π，使得平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点．3．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，应注意两点：(1)注意ρ，θ的取值范围及其影响．

(2)重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用.

基础巩固题组(建议用时：60分钟)

1.求双曲线C ：x 2

－y 2

64＝1经过φ：x ′＝3x ，2y ′＝y

变换后所得曲线C ′的焦点坐标.

解设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由上述可知，得x ＝1

3x ′，

y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1，得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′2

16＝1，

即x 29－y 2

＝1为曲线C ′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)为所求.

2.(2018·武汉模拟)在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin θ－π4＝2

(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；

(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标.解(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin θ－π4＝2

2，

即ρsin θ－ρcos θ＝1，

则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得

x ＝0，y ＝1，

故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为1，

3.以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝

1－sin θ

(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ，Q ，若|OP |＝3|OQ |，求直线l 的极坐标方程.解(1)∵ρ＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，

∴ρ＝2

1－sin θ化为ρ－ρsin θ＝2，得ρ2＝(2＋ρsin θ)2，

∴曲线的直角坐标方程为x 2＝4y ＋4.(2)设直线l 的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R )，根据题意21－sin θ0＝3·2

1－sin(θ0＋π)，

解得θ0＝π6或θ0＝5π

，

直线l 的极坐标方程θ＝π6(ρ∈R )或θ＝5π

(ρ∈R ).

4.(2019·安阳二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x ＋3y ＝53，以原点O 为极点，x 轴的

正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.

(1)求直线l 的极坐标方程和圆C 的直角坐标方程；

(2)射线OP ：θ＝π

6与圆C 的交点为O ，A ，与直线l 的交点为B ，求线段AB 的长.

解(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，直线l ：x ＋3y ＝53，所以直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋3ρsin θ＝53，化简得2ρsin θ＋

π6＝53，即为直线l 的极坐标方程.由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，所以x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，即为圆C 的直角坐标方程.(2)由题意得ρA ＝4sin

＝2，ρB ＝53

2sin π6＋

π6＝5，

所以|AB |＝|ρA －ρB |＝3.

5.(2019·福州四校期末联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为

x ＝2＋cos α，

y ＝2＋sin α

(α为参

数)，直线C 2的方程为y ＝3x .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 1和曲线C 2的极坐标方程；

(2)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA |＋

|OB |.解

(1)由曲线C 1的参数方程为

x ＝2＋cos α，

y ＝2＋sin α

(α为参数)，得曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋(y －2)2

＝1，

则C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，

由于直线C 2过原点，且倾斜角为π3，故其极坐标方程为θ＝π

(ρ∈R ).

(2)由

ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，

θ＝

得ρ2－(23＋2)ρ＋7＝0，设A ，B 对应的极径分别为ρ1，

ρ2，

则ρ1＋ρ2＝23＋2，ρ1ρ2＝7，

∴1|OA |＋1

|OB |＝|OA |＋|OB ||OA |·|OB |＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝

23＋27. 6.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为

x ＝2cos φ，y ＝sin φ

(其中φ为参数)，曲线C 2：x 2＋y 2－2y

＝0.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l ：θ＝α(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (均异于原点O ).(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)当0<α<

时，求|OA |2＋|OB |2的取值范围.解(1)∵x ＝2cos φ，y ＝sin φ，∴x 22＋y 2＝1，由

x ＝ρcos θ，

y ＝ρsin θ，得曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝2

1＋sin 2θ；

∵x 2＋y 2－2y ＝0，

∴曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.

(2)设A ，B 对应的极径分别为ρ1，ρ2，则由(1)得|OA |2＝ρ21＝21＋sin 2

，|OB |2＝ρ22＝4sin 2

α，∴|OA |2＋|OB |2＝21＋sin 2α＋4sin 2

α＝21＋sin 2

α＋4(1＋sin 2α)－4，∵0<α<π

2，∴1<1＋sin 2α<2，

∴6<2

1＋sin 2

α＋4(1＋sin 2α)<9，∴|OA |2＋|OB |2的取值范围为(2，5).

能力提升题组(建议用时：20分钟)

7.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为x ＝3＋2cos α，

y ＝1＋2sin α(α为参数).以平面直角坐标系的原点

为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 的极坐标方程；

(2)过原点O 的直线l 1，l 2分别与曲线C 交于除原点外的A ，B 两点，若∠AOB ＝π

，求△AOB 的面积

的最大值.

解(1)曲线C 的普通方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4，即x 2＋y 2－23x －2y ＝0，

所以，曲线C 的极坐标方程为ρ2－23ρcos θ－2ρsin θ＝0，即ρ＝4sin θ＋

π3.(2)不妨设A (ρ1，θ)，B ρ2，θ＋π3，θ∈－π2，

2.则ρ1＝4sin θ＋π3，ρ2＝4sin θ＋

2π

3，△AOB 的面积S ＝1

2|OA |·|OB |sin

π3＝1

2ρ1ρ2sin π3

＝43sin θ＋π3sin θ＋

2π

3＝23cos 2θ＋3≤3 3.

所以，当θ＝0时，△AOB 的面积取最大值3 3.

8.(2018·厦门外国语中学模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为

x ＝1＋cos α，

y ＝sin α

(α为

参数)；在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.

(1)求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；

(2)若射线l ：y ＝kx (x ≥0)与曲线C 1，C 2的交点分别为A ，B (A ，B 异于原点)，当斜率k ∈(1，3]时，求|OA |·|OB |的取值范围.解

(1)曲线C 1的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2－2x ＋y 2＝0，将

x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ

代入并化简得

曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ.

由ρcos 2θ＝sin θ两边同时乘ρ，得ρ2cos 2θ＝ρsin θ，结合x ＝ρcos θ，

y ＝ρsin θ

得曲线C 2的直角坐

标方程为x 2＝y .

(2)设射线l：y＝kx(x≥0)的倾斜角为φ，则射线的极坐标方程为θ＝φ，且k＝tanφ∈(1，3].

联立ρ＝2cosθ，

θ＝φ，

得|OA|＝ρA＝2cosφ，

联立ρcos2θ＝sinθ，

θ＝φ，

得|OB|＝ρB＝

sinφ

cos2φ

，

所以|OA|·|OB|＝ρA·ρB＝2cosφ·sinφ

cos2φ

＝2tanφ＝2k∈(2，23]，即|OA|·|OB|的取值范围是(2，23].

2018年高三数学模拟试题理科

黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是（） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p

高考模拟复习试卷试题模拟卷3月高三模拟考试理科数学试题卷

高考模拟复习试卷试题模拟卷3月高三模拟考试理科数学试题卷时量 120分钟总分 150分考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对条形码上的准考证号、姓名、考试科目与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答的答案无效。 3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。一：选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知复数i z -= 11 ，则z z -对应的点所在的象限为 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知33 cos 25 π???-= ???，且2π?<，则tan ?为 A ．43-B ．43C ．34-D ．3 4 3．下列命题中，真命题是 A ．0R x ?∈，0 0x e ≤B ．R x ?∈，22x x > C ．0a b +=的充要条件是 1a b =-D ．1a >，1b >是1ab >的充分条件 4．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N(－1,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为 A ．1193 B ．1359 C ．2718 D ．3413 5.若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是 A ．2B ．3C ．4D ．6

高中：高三数学第一轮复习讲义(教学设计)

高中数学新课程标准教材数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校：年级：任课教师：数学教案 / 高中数学 / 高三数学教案编订：XX文讯教育机构

高三数学第一轮复习讲义(教学设计) 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于高中高三数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。高三数学第一轮复习讲义直线的方程一．复习目标：1．深化理解倾斜角、斜率的概念，熟练掌握斜率公式； 2．掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，并能熟练写出直线方程．二．知识要点：1．过两点、的直线斜率公式：． 2．直线方程的几种形式：点斜式：；斜截式：；两点式：；截距式：；一般式：．三．课前预习： 1．设，则直线的倾斜角为（） 2．已知，则过不同三点，，的直线的条数为（）多于 3．已知的顶点 , ，重心，则边所在直线方程为；经过点且与轴、轴围成的三角形面积是的直线方程是；过点，且它的倾斜角等于已知直线的倾斜角的一半的直线的方程是 .4．若直线的方向向量是 ,则直线的倾斜角是；若点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率k的取值范围为 .

四．例题分析：例1．已知直线的方程为，过点作直线，交轴于点，交于点，且，求的方程. 例2．⑴已知，试求被直线所分成的比λ；⑵已知，，若直线与直线相交于点，不与重合，求证：点分的比 .例3．过点引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距都是正数，且它们的和最小，求直线的方程. 例4．的一个顶点，两条高所在直线方程为和，求三边所在直线方程．五．课后作业：班级学号姓名 1．若，则过点与的直线的倾斜角的取值范围是（） 2．以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为的正方形的四条边的方程为（） 3．已知三点，，在同一直线上，则的值为．4．过点的直线与轴、轴分别交于、两点，点分有向线段所成的比为，则直线的斜率为，直线的倾斜角为 .5．设，，则直线的倾斜角为．6．不论为何实数，直线恒过定点．7．设过点作直线l交x轴的正半轴、y轴的正半轴于a、b两点，（1）当取得最小值时，求直线l的方程．（2）当取得最小值时，求直线l的方程． 8．对直线上任意一点，点也在直线上，求直线的方程．9．求过点p(0，1)的直线l，使它包含在两已知直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0间的线段被点p所平分． 10．设同在一个平面上的动点、的坐标分别是、，并且坐标间存在关系，，当动点在不平行于坐

高三理科数学高考模拟检测卷及答案

届山东省德州市高三第一次练兵（理数） 1. i 是虚数单位， ) 1(1 3+-i i i =（） (A)-1 (B)1 (C)- i (D) i 2. 已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（） A ．64 B ．100 C ．110 D ．120 3. 已知函数2log ,0,()2, 0.x x x f x x >?=?≤?若1 ()2f a =，则a =（） A ．1- B ． C ．1- 或 D ．1 或 4. 统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如右图示，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格人数与优秀率分别为． A 800 20% B 980 20% C 980 10% D 800 10% 5．命题p ：若1||1||||,>+>+∈b a b a R b a 是，则的充分不必要条件；命题q ：函数),3[)1,(2|1|+∞?--∞--=定义域是x y ，则（） A ．“p 且q ”为假 B ．“p q 或”为真 C ．p 真q 假 D ．p 假q 真 6．已知正四棱锥S-ABCD 的三视图如下，若E 是SB 的中点，则AE 、SD 所成角的余弦值为（） 2 2 2

(A) 3 1 (B) 32 (C) 33 (D) 3311 7.若实数,x y 满足1|1|ln 0y x --=,则y 关于x 的函数的图象大致是( ). 8、、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题： ① 若γαβα//,//，则γβ//; ②若αβα//,m ⊥，则β⊥m ; ③ 若βα//,m m ⊥，则βα⊥; ④若α?n n m ,//，则α//m . 其中真命题的序号是 ( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 9. 如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线2 y x =和曲线y x = 围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC 内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（）（A ） 12 （B ）1 3 （C ）1 4 （D ）16 10. 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息，设定原信息为 }{),2,1,0(1,0,210=∈i a a a a i 传输信息为,12100h a a a h 其中201100,a h h a a h ⊕=⊕=，⊕运算规则为.011,101,110,000=⊕=⊕=⊕=⊕例如原信息为111，则传输信息为01111，传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接受信息出错，则下列接受信息一定有误的是（） (A)11010 (B)01100 (C)10111 (D)00011 11．已知点F 是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（） A ．（1，+∞） B ．（1，2） C ．（1，1+2） D ．（2，1+2） 12.令3tan ,sin ,cos ,|04 442a b c π πππθθθθθθθθθ?====- << ≠≠≠?? 且且则如图所示的算法中，给θ一个值，输出的为θsin ，则θ的范围是（） O 1 x y O 1 x y O 1 x y 1 O 1 x y 1 A. B. C. D. 2

2019届高三联合模拟考试理科数学试题

东北师大附中重庆一中 2019届高三联合模拟考试吉大附中长春十一高中理科数学试题吉林一中松原实验高中本试卷共23题，共150分，共6页。时间120分钟。注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合{|3}A x x =∈Z ≤，{|ln 1}B x x =<，集合A 与B 关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所表示的集合为 A ．{|0}x x e << B ．{123}，， C ．{012}，， D ．{12}， 2．i 为虚数单位，复数1 i 2 += z 在复平面内对应的点的坐标为 A ．)11(，- B ．)11(， C ．)11(-， D ．)11(--， 3．等比数列{}n a 各项均为正数，若11a =，2128n n n a a a +++=，则{}n a 的前6项和为 A ．1365 B ．63 C ． 32 63 D ． 1024 1365 4．如图，点A 为单位圆上一点，3π =∠xOA ，点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α到点)5 4 53(，-B ，则=αcos A ．10 334- B ．10 334+- C ． 10334- D ．103 34+- 5．已知双曲线22 22:1(00)x y C a b a b -=>>，的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为 A B C D ．2 6．已知1536a =，433b =，25 9c =，则 A ．c a b << B ．c b a << C ．b c a << D ．b a c << 7．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如右图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n ，x 的值分别为5，2，则输出v 的值为 A ．64 B ．68 C ．72 D ．133 8．如图所示是某三棱锥的三视图，其中网格纸中每个小正方形的边长为1，则该三棱锥的外接球的体积为 A ．4π B ．16 3π C ．16π D ． 323 π 9．为了丰富教职工的文化生活，某学校从高一年级、高二年级、高三年级、行政部门各挑选出4位教师组成合唱团，现要从这16人中选出3人领唱，要求这3人不能都是同一个部门的，且在行政部门至少选1人，则不同的选取方法的种数为 A ．336 B ．340 C ．352 D ．472 10．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱11B C 的中点，点F 是线段1CD 上的一个动点．有以下三个命题： ①异面直线1AC 与1B F 所成的角是定值； ②三棱锥1B A EF -的体积是定值； ③直线1A F 与平面11B CD 所成的角是定值．其中真命题的个数是 A ．3 B ．2 C ．1 D ．

全国卷一高三数学一轮复习讲义

集合 1、集合的含义把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)． 2、集合中元素的三个特征 (1)确定性：给定集合A ，对于某个对象x ，“x ∈A ”或“x ?A ”这两者必居其一且仅居其一． (2)互异性：集合中的元素互不相同． (3)无序性：在一个给定的集合中，元素之间无先后次序之分． 3、集合的表示 (1)把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法称为列举法． (2)把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法称为描述法．常用形式是：{x |p }，竖线前面的x 叫做集合的代表元素，p 表示元素x 所具有的公共属性． (3)用平面上一段封闭的曲线的内部表示集合，这种图形称为Venn 图．用Venn 图、数轴上的区间及直角坐标平面中的图形等表示集合的方法称为图示法． 4、元素与集合的关系如果x 是集合A 中的元素，则说x 属于集合A ，记作x ∈A ；若x 不是集合A 中的元素，就说x 不属于集合A ，记作x ?A ． 5、常用数集的符号表示 6、有限集与无限集含有有限个元素的集合叫有限集，含有无限个元素的集合叫无限集．例1：若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B ．98 C ．0 D ．0或 9 8 例2：说出下列三个集合的含义：①{x |y ＝x 2}；②{y |y ＝x 2}；③{(x ，y )|y ＝x 2}．

1．子集例如：A＝{0,1,2}，B＝{0,1,2,3}，则A、B的关系是A?B或B?A． 2．真子集 A B(或 B A) 例如：A＝{1,2}, B＝{1,2,3}，则A、B的关系是A B(或B A) 3．相等若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B. 例如：若A＝{0,1,2}，B＝{x,1,2}，且A＝B，则x＝0. 4．空集没有任何元素的集合叫空集，记为?. 空集是任何集合的子集空集是任何非空集合的真子集

高考理科数学模拟试卷(含答案)

高考理科数学模拟试卷（含答案）本试卷分选择题和非选择题两部分. 第Ⅰ卷(选择题)1至2页,第Ⅱ卷 (非选择题)3至4页,共4页,满分150分,考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. 5.考试结束后,只将答题卡交回. 第Ⅰ卷 (选择题,共60分) 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合2 {1,0,1,2,3,4},{|,}A B y y x x A =-==∈,则A B =I (A){0,1,2} (B){0,1,4} (C){1,0,1,2}- (D){1,0,1,4}- 2. 已知复数1 1i z = +,则||z = (A) 2 (B)1 (D)2 3. 设函数()f x 为奇函数,当0x >时,2 ()2,f x x =-则((1))f f = (A)1- (B)2- (C)1 (D)2 4. 已知单位向量12,e e 的夹角为 2π 3 ,则122e e -= (A)3 (B)7 5. 已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为3y x =±,则双曲线的离心率是 (B) 3 (C)10 (D)10 9 6. 在等比数列{}n a 中,10,a >则“41a a <”是“53a a <”的

高三(下)模拟考试数学及答案(理科)

重庆市江北中学高级高三（下）模拟考试（4月月考）数学试题（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分。在每小题列出的4个选项中，只有一项符合题目要求。 1．i i i i ++-1) 21)(1(,复数为虚数单位等于（） A ．i --2 B ．i +-2 C ．i -2 D ．i +2 2．已知向量在则),0,3(),1,2(-=-=方向上的投影为（） A ．5- B ．5 C ．—2 D ．2 3．函数x x x x f 2cos cos sin 3)(+=的单调增区间为（） A ．Z k k k ∈+ - ],6 ,3[π ππ π B ．Z k k k ∈+ - ],62,32[π ππ π C ．Z k k k ∈+-],12 ,125[π πππ D ．Z k k k ∈+-],12 ,1252[π πππ 4．已知)2,1(),1,2(-N M ，在下列方程的曲线上，存在点P 满足|MP|=|NP|的曲线方程是（） A ．013=+-y x B ．0342 2 =+-+x y x C ．12 22 =+y x D ．12 22 =-y x 5．若两个平面βα与相交但不垂直，直线m 在平面βα则在平面内,内（） A ．一定存在与直线m 平行的直线 B ．一定不存在与直线m 平行的直线 C ．一定存在与直线m 垂直的直线 D ．一定不存在与直线m 垂直的直线 6．已知)tan(,cos )sin(),2 (,53sin βααβαπβπ β+=+<<=则且= （） A ．1 B ．2 C ．—2 D ．25 8 7．已知圆x x g x x f y x y x C 2)(,log )()0,0(4:22 2 ==≥≥=+与函数的图象分别交于 2 22 12211),,(),,(x x y x B y x A +则等于（） A ．16 B ．8 C ．4 D ．2

高三数学解析几何专题复习讲义(含答案解析)

二轮复习——解析几何一．专题内容分析解析几何：解析几何综合问题（椭圆或抛物线）及基本解答策略+圆锥曲线的定义和几何性质+直线与圆+极坐标、参数方程+线性规划二．解答策略与核心方法、核心思想圆锥曲线综合问题的解答策略：核心量的选择：常见的几何关系与几何特征的代数化： ①线段的中点：坐标公式 ②线段的长：弦长公式；解三角形 ③三角形面积： 2 1底×高，正弦定理面积公式 ④夹角：向量夹角；两角差正切；余弦定理；正弦定理面积公式 ⑤面积之比，线段之比：面积比转化为线段比，线段比转化为坐标差之比 ⑥三点共线：利用向量或相似转化为坐标差之比 ⑦垂直平分：两直线垂直的条件及中点坐标公式 ⑧点关于直线的对称，点关于点，直线关于直线对称 ⑨直线与圆的位置关系 ⑩等腰三角形，平行四边形，菱形，矩形，正方形，圆等图形的特征代数运算：设参、消参重视基本解题思路的归纳与整理但不要模式化，学会把不同类型的几何问题转化成代数形式．

三．典型例题分析 1.（海淀区2017.4）已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =，离心率为12 . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点(4,0)Q , 若点P 在直线4x =上，直线BP 形APQM 为梯形？若存在，求出点P 解法1：（Ⅰ）椭圆C 的方程为22 143 x y +=. （Ⅱ）假设存在点,P 使得四边形APQM 为梯形. 由题可知，显然,AM PQ 不平行，所以AP 与MQ AP MQ k k =. 设点0(4,)P y ，11(,)M x y ，06 AP y k =，114MQ y k x = -, ∴ 01164y y x =-① ∴直线PB 方程为0(2)2 y y x =-，由点M 在直线PB 上，则0 11(2)2 y y x = -② ①②联立，0 101(2) 264y x y x -=-，显然00y ≠，可解得11x =. 又由点M 在椭圆上，211143y + =，所以132y =±，即3 (1,)2 M ±，将其代入①，解得03y =±，∴(4,3)P ±. 解法2：（Ⅰ）椭圆C 的方程为22 143 x y +=. （Ⅱ）假设存在点,P 使得四边形APQM 为梯形. 由题可知，显然,AM PQ 不平行，所以AP 与MQ 平行, AP MQ k k =，显然直线AP 斜率存在，设直线AP 方程为(2)y k x =+. 由(2)4y k x x =+??=? ，所以6y k =，所以(4,6)P k ，又(2,0)B ，所以632PB k k k ==. ∴直线PB 方程为3(2)y k x =-，由22 3(2) 34120 y k x x y =-?? +-=?，消y ，得2222(121)484840k x k x k +-+-=.

2020年高考数学模拟试题带答案

2020年高考模拟试题理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1、若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为 A.5 B.4 C.3 D.2 2、复数在复平面上对应的点位于 A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 3、小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为 A. 14 17B.13 16 C.15 16 D. 9 13 4、函数的部分图象如图示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为 A. B. C. D. 5、已知，，，则 A. B. C. D. 6、函数的最小正周期是 A.π B. π 2C. π 4 D.2π 7、函数y=的图象大致是A．B．C．D． 8、已知数列为等比数列，是是它的前n项和,若，且与2的等差中项为，则 A.35 B.33 C.31 D.29 9、某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有 A.24种 B.18种 C.48种 D.36种 10如图，在矩形OABC中，点E、F分别在线段AB、BC 上，且满足，，若（），则 A.2 3 B . 3 2 C. 1 2 D.3 4 11、如图，F1，F2分别是双曲线C：(a，b＞0)的左右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，若 |MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是 A. B. C. D. 12、函数f（x）＝2x|log0.5x|－1的零点个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上 13、设θ为第二象限角，若，则sin θ＋cos θ＝__________ 14、(a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=_________ 15、已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a= ln y x x =+()1,1() 221 y ax a x =+++

2020届高三数学模拟考试(理科)含答案

2020届高三数学模拟考试（理科）含答案（满分150分，用时120分钟）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{}0652 <--= x x x A ，{}02<-=x x B ，则=B A I （） A ． {}23<<-x x B ．{}22<<-x x C ．{}26<<-x x D ．{}21<<-x x 2．设i z i -=?+1)1(，则复数z 的模等于（） A ．2 B ．2 C ．1 D ．3 3．已知α是第二象限的角，4 3 )tan(- =+απ，则=α2sin （） A ．2512 B ．2512- C ．2524 D ．25 24- 4．设5.0log 3=a ，3.0log 2.0=b ，3.02=c ，则c b a ,,的大小关系是（） A ．c b a << B ．b c a << C ．b a c << D ．a b c << 5．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的3 2 ，并且球的表面积也是圆柱表面积的3 2 ”这一完美的结论．已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为π24，则该圆柱的内切球体积为（） A ． π3 4 B ．π16 C ．π 316 D ． π3 32 6．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是空气质量合格，下面四种说法不．正确．．的是( )

艺术生高考数学专题讲义：考点37 直线及其方程

考点三十七直线及其方程知识梳理 1．直线的倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角．当直线l 和x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围为[0°，180°)． 2．直线的斜率 (1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π 2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan α. (2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1 . (3) 直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率，倾斜角是90°的直线斜率不存在．它们之间的关系如下： 3．直线方程的五种形式 4．过P 1(11222(1)若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1； (2)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1； (3)若x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为x ＝0； (4)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0时，直线即为x 轴，方程为y ＝0.

5．线段的中点坐标公式若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则??? x ＝x 1＋x 2 2y ＝y 1 ＋y 2 2 ，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．典例剖析题型一直线的倾斜角和斜率例1 已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的倾斜角等于__________．答案 56π 解析斜率k ＝－1－33－(－3) ＝－3 3，又∵θ∈[0，π)， ∴θ＝5 6 π. 变式训练经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π 4，则y ＝__________．答案－3 解析由2y ＋1－(－3)4－2＝2y ＋4 2＝y ＋2，得y ＋2＝tan 3π 4＝－1.∴y ＝－3. 解题要点求斜率的常见方法： 1．若已知倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率． 2．若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1 x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率． 3．若已知直线的一般式方程ax ＋by ＋c ＝0，一般根据公式k ＝－a b 求斜率．题型二直线方程的求解例2 已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2，1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程； (2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解析 (1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2 －2－2，即x ＋2y －4＝0.

2020届高三第一次模拟考试卷理科数学(一)附解析

2020届高三第一次模拟考试卷理科数学（一）附解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，（） A ． B ． C ． D ． 2．（） A ． B ． C ． D ． 3．如图为某省年月快递业务量统计图，图是该省年月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（） A ．年月的业务量，月最高，月最低，差值接近万件 B ．年月的业务量同比增长率超过，在月最高 C ．从两图来看年月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致 D ．从月来看，该省在年快递业务收入同比增长率逐月增长 {}2|650A x x x =-+ ≤{|B x y ==A B =I [)1,+∞[]1,3(]3,5[]3,534i 34i 12i 12i +--=-+4-44i -4i 1201914~2201914 ~201914~322000201914~50%3201914~14~2019

4．已知两个单位向量，满足的夹角为（） A ． B ． C ． D ． 5．函数的部分图象大致为（） A ． B ． C ． D ． 6．已知斐波那契数列的前七项为、、、、、、．大多数植物的花，其花瓣数按层从内往外都恰是斐波那契数，现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花朵，花瓣总数为，假设这种“雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花最可能有（）层． A ． B ． C ． D ． 7．如图，正方体中，点，分别是，的中点，为正方形的中心，则（） 12,e e 12|2|e e -=1 2,e e 2π33π4π3π4 1()cos 1 x x e f x x e +=?-1123581339956781111ABCD A B C D -E F AB 11A D O 1111A B C D

高考理科数学第一轮复习辅导讲义

选修4经典回顾主讲教师：丁益祥北京陈经纶中学数学特级教师开篇语选修系列4在高考中主要考查4—1中的几何证明选讲、4—4中的坐标系与参数方程、4—5中的不等式选讲三个专题内容．围绕着三部分内容的试题，既有选择题和填空题，又有解答题．因此在第一轮复习中必须围绕上述核心考点，选择相关的问题进行求解训练，提高解决不等式问题能力开心自测题一：不等式|21|35x x -++≤的解集是_______________．题二：如图，,AB CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，他们相交于AB 的中点P ，23a PD = ，30OAP ∠=?，则CP ＝_________．考点梳理选修4—1几何证明选讲部分： 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． D

2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内角的对角． 4．圆内接四边形的判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果一个四边形的外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． 5．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等． 6．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 7．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． 8．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．选修4—4中的坐标系与参数方程部分： 1. 极坐标与直角坐标的关系设点M的直角坐标为(x，)y，极坐标为(ρ，)θ，则 cos, sin. x y ρθ ρθ = ? ? = ? 或 222, tan(0). x y y x x ρ θ ?=+ ? ? =≠ ??

高中数学专题讲义-线性规划

【例1】设O 为坐标原点，(1,1)A ，若点B 满足2222101212x y x y x y ?+--+????≥≤≤≤≤，则OA OB ?u u u v u u u v 的最小值为（） A ．2 B ．2 C ．3 D ．22+ 【例2】已知变量,x y 满足120x y x y ????-? ≥≤≤，则x y +的最小值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【例3】不等式组0,10, 3260x x y x y ??--??--?≥≥≤所表示的平面区域的面积等于．典例分析线性规划

【例4】设变量,x y满足约束条件 3 1 x y x y + ? ? -- ? ≥ ≥ ，则目标函数2 z y x =+的最小值为（） A．1B．2C．3D．4 【例5】设变量,x y满足 0, 10 3260 y x y x y ? ? -- ? ?-- ? ≥ ≥ ≤ ，则该不等式组所表示的平面区域的面积等于，z x y =+的最大值为．【例6】目标函数2 z x y =+在约束条件 30 20 x y x y y +- ? ? - ? ? ? ≤ ≥ ≥ 下取得的最大值是________．【例7】下面四个点中，在平面区域 4 y x y x <+ ? ? >- ? 内的点是（） A．(0,0)B．(0,2)C．(3,2) -D．(2,0) -

【例8】已知平面区域 1 ||1 (,)0,(,) 1 y x y x x y y M x y y x ?? + ? ?? -+ ? ?? ??? Ω== ?????? ? ?? ????? ? ?? ≤ ≤ ≥ ≥ ≤ ，向区域Ω内随机投一点P，点P落在区域M内的概率为（） A．1 4 B． 1 3 C． 1 2 D． 2 3 【例9】若x，y满足约束条件 30 03 x y x y x + ? ? -+ ? ? ? ≥ ≥ ≤≤ ，则2 z x y =-的最大值为．【例10】已知不等式组 y x y x x a ? ? - ? ? ? ≤ ≥ ≤ ，表示的平面区域的面积为4，点() , P x y在所给平面区域内，则2 z x y =+的最大值为______．

高考理科数学模拟试题

2018年6月1日15:00绝密 ★ 启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）理科数学（全国III 卷）考试时间：120分钟，满分：150分第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A ={x ∈R |x 2?2x ≥0}，B ={?1 2，1}，则(C R A )∩B =（） A. ? B. {?1 2 } C. {1} D. {?1 2 ，1} 2．设复数z = 1 1+i ，则z ?z =（） A. 1 2 B. √2 2 C. 1 2i D. √2 2i 3已知n S 是各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和，764a =，15320a a a +=，则5S =（） A. 31 B. 63 C. 16 D. 127 4．设,x y 满足约束条件202020x y x y x y -≥??+-≥??--≤? ，则2 2y x ++的最大值为（） A. 1 B. 45 C. 12 D. 23 5．函数f(x)=sin(ωx +φ)+1（ω>0，|φ|<π2 ）的最小正周期是π，若其图象向左平移π3 个单位后得到的函数为偶函数，则函数f(x)的图象（） A.关于点(?π 12?，1)对称 B.关于直线x =π 12对称 C.关于点(?π 6?， 0)对称 D.关于直线x =π 3对称 6. 图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图,第1次到第14次的考试成绩依次记为12,A A ，…14,A ,图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图.那么程序框图输出的结果是 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 已知A(?3?,?0)，B(0?,?4)，点C 在圆(x ?m)2+y 2=1上运动，若△ABC 的面积的最小值为5 2，则实数m 的值为 A. 1 2或11 2 B. ?11 2或?1 2 C. ?1 2或11 2 D. ?11 2或1 2