高中数学讲义微专题38 向量的数量积——数量积的投影定义(含数量积综合练习题)

投影在向量问题中的妙用

投影在向量问题中的妙用 在人教版高中数学课本必修4《第二章 平面向量》中给出了数量积和投影的概念，如果能够透彻理解并运用投影概念解决问题，会使一些问题变得非常简单。下面我们将举例说明，看例题之前先把握一下概念：OA ·OB =cos OA OB AOB 贩 ，我们把cos OA AOB 沸叫做OA 在OB 方向上的投影。它的几何意义为线段OA 在OB 上的射影长度或射影长度的相反数。即过Ａ点作AN ^OB 于N 。当AOB D为锐角时，投影即ON 长度；当AOB D为钝角时，投影即ON 长度的相反数。于是，OA ·OB =OA 在OB 方向上的投影′OB . 例1、在ABC ?中，C=900 ，CB=3,点M 满足BM =2MA ，则CM ?CB = 解析：CM ? CB =CM ·CB · cosMCB.注意到ＣＭ、DMCB 都是可变的，要分别求出 来是很困难的。那么，只能把CM ·cosMCB 作为一个整体来处理。而CM ·cosMCB 不就是CM 在CB 方向上的投影吗。过M 点作MN ^BC 于N,CM 在CB 方向上的投影即CN.则 CM ?CB =CN ?CB=1′3=3. A N 例1 例2、 如图，在平行四边形ABCD 中，AB=3，BC=2，DBAD=600 ，E 为BC 边的中点，F 为 平行四边形内（包括边界）一动点，则AE AF ·的最大值为 。 解析：AF 、FAE ∠均为变量，要作成函数来求最值有一定的困难。而如果利用投影概念解 Ｃ O A

决可能会有意想不到的收获。AE AF ·=cos AE AF EAF ??∠=AF 在AE 方向上的投影 ?AE ≤AC 在AE 方向上的投影AE ?＝AG AE ?，而AG 求起来又有一定困难，而如果 对投影能够透彻理解的话，逆向推回去回收到意想不到的效果。AG AE ?＝AC 在AE 方向上的投影AE ?＝AC AE ?＝（A B B C +）12AB BC ? ? ?+ ?? ? ＝223122AB BC BC AB +?+＝９＋ 92＋２＝31 2 ． 河北省雄县中学高级教师 周新华

【2019年整理】03第三节数量积向量积混合积

第三节 数量积 向量积 混合积 分布图示 ★两向量的数量积 ★例1 ★例4 ★向量积概念的引入 ★向量积的运算 ★例6 ★例9 ★向量的混合积 ★例11 ★内容小结 ★习题8-3 内容要点 一、两向量的数量积 定义1设有向量 示b ,它们的夹角为0 ,乘积| a ||b | cose 称为向量a 与b 的数量积(或 称为内积、 点积)，记为a b,即 a b 却 a || b | cos . 根据数量积的定义，可以推得： (1) a b =|b |Pr j b a =|a |Pr j a b ; I — - 2 (2) a a a | ; (3) 设a*、b 为两非零向量，贝U a_L b 的充分必要条件是 a ， b = 数量积满足下列运算规律: (1)交换律 a b = b a; (2)分配律 (a b) c = a c b c; (3)结合律 人(』b)=(杯b =a ，(Lb),( &为实数) 二、两向量的向量积 定义2若由向量a 与b 所确定的一个向量 c 满足下列条件： ★数量积的运算 ★例2 ★例3 ★例5 ★向量积的定义 ★例7 ★例8 ★例10 ★混合积的几何意义 ★例12 ★例13 ★课堂练习 ★返回

(1) c的方向既垂直于a又垂直于b, c的指向按右手规则从a转向b来确定(图

8-3-4); (2) C的模| C|=|a〔|b | sin6 ,(其中8为a与b的夹角)， 则称向量c为向量a与b的向量积(或称外积、叉积)，记为 c = a b . 根据向量积的定义，即可推得 (1) a 3 =0 ； (2) 设a、b为两非零向量，贝U a//b的充分必要条件是』xb = 0. 向量积满足下列运算规律： (1) a b = -b a; (2) 分配律(a b) c = a c b c; (3) 结合律u￡xb) = (?a)Xb = ax(7_b),(岛为实数). 三、向量的混合积 例题选讲 两向量的数量积 例1(E01)已知a={1,1,~4}, b={1,—2,2},求 (1)a b; (2) a与b的夹角0 ; (3) a与b上的投影. 解(1) a b =1 1 1 (-2) (-4) 2 = -9. a x b x a y b y a z b z 1 . 3■: (2) cos@=j2 2；j 2 2 2 =_了，」.nr a x a y a z , b x b y b z 2 4 a b (3) a b =|b|PrRa, . Pr j b a = ------------- = -3. |a| 例2证明向量c与向量(￡ d)b —(b 3)￡垂直. 证[(a c)b - (b c)a] c =[(a c)b c - (b c)a c] =(b c)[a c - a c] =0,

向量数量积的运算律

向量数量积的运算律 新知检索 8.向量数量积满足交换律：·＝__________________________. 9.向量数量积满足分配律：（+）·＝______________________. 10.数乘向量的数量积，可以与任一向量交换结合，即对任意实数λ，有（?λ＝_________. 学法指导 本节课的学习目标是掌握向量数量积的运算规律，并准确运用；重点是注意结合律的正确使用.学习本节课应注意的问题： 1.对于分配律，用向量数量积的几何意义给出了证明.在学习与使用时，可以类比数量乘法的交换律.但要明确它们的不同. (1)已知实数)0≠b c b a （、、，则c a bc ab =?=；但对于向量、、，该推理是不正确的，即a ·b =b ·不一定能推出a =.只有当向量a 、b 、共线且同向时，才成立，否则就不成立. 比如：|a |＝3，|b |＝1，|c |＝3,< a ,b >=30°，=60°， 经过计算可知：·＝·，但≠. (2)对于实数c b a 、、有(ab )c =a (bc )，但对于向量、、c ，(·)·c ≠·(·c )，这是因为(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，而a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 一般并不共线，所以(a ·b )·c ≠a (b ·c ) . 2.教材中的例题1是直接对数量积性质、运算律的应用.其中推得结论： （1）2（+＝22||2||b b a a +?+; （2）（a +b ）·（a -b ）＝22||||-.在以后的运算中，可以直接运用. 3.用向量知识证明几何问题.用向量解题可分为三步：

平面向量数量积

第三节平面向量数量积及应用重点： 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 难点： 1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 2 .会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 教学过程： 1．平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos__θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0. (2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 2．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝a·a＝x21＋y21.学-科网 (3)夹角：cos θ＝a·b |a||b|＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21·x22＋y22 . (4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2＋y1y2|≤ x21＋y21·x22＋y22. 3．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．

平面向量数量积教学反思

平面向量数量积教学反思 平面向量数量积教学反思 一、本节课的设想与基本流程：本节课主要是研究向量与向量的内积的问题，也就是向量的数量积。因为之前刚学习了向量的线性运算，所以我就直接从向量的线性运算引入了数量积这一概念，请同学来回答数量积的概念，在此过程中特别强调了夹角的概念，强调要共起点。这是学生容易出问题的地方，因此后面安排的例题就特意考察了这一问题；另外还强调了两个向量的数量积不是一个向量，而是一个数量，这也是它与之前的线性运算的区别；接下来，通过分析平面向量数量积的定义，体会平面向量的数量积的几何意义，从而使学生从代数和几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识。 二、我的体会：通过本节课的教学，我有以下几点体会： （1）让学生经历数学知识的形成与应用过程高中数学教学应体现知识的来龙去脉，创设问题情景，建立数学模型，让学生经历数学知识的形成与应用，可以更好的理解数学概念、结论的形成过程，体会蕴含在其中的思想方法，增强学好数学的愿望和信心。对于抽象数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式。 （2）鼓励学生自主探索、自主学习教师是学生学习的引导者、组织者，教师在教学中的作用必须以确定学生主体地位为前提，教学过程中要发扬民主，要鼓励学生质疑，提倡独立思考、动手实践、自主探索、阅读自学等学习方式。对于教学中问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等，要尽可能地让所有学生都能主动参与，提出各自解决问题的方案，并引导学生在与他人的交流中选择合适的策略，使学生切实体会到自主探索数学的规律和问题解决是学好数学的有效途径。 （3）注重学生数学思维的培养本节通过特殊到一般进行观察归纳、合情推理，探求定义、性质和几何意义。在整个探求过程中，充分利用“旧知识”及“旧知识形成过程”，并利用它探求新知识。这样的过程，既是学生获得新知识的过程，更是培养学生能力的过程。我感觉不足的有：（1）教师应该如何准确的提出问题在教学中，教师提出的问题要具体、准确，而不应该模棱两可。（2）教师如何把握“收”与“放”的问题何时放手让学生思考，何时教师引导学生，何时教师讲授，这是个值得思考的问题。（3）教师要点拨到位在学生出现问题后，教师要及时点评加以总结，要重视思维的提升，提高学生的数学能力和素质。（4）课堂语言还需要进一步提炼。在教学中，提出的问题，分析引导的话应具体，明确，不能让学生不知道如何回答，当然有些问题我也考虑过该如何问，只是没有找到更合适的提问方法，这方面的能力有待加强。 以上就是本人的教学反思，只有不断地反思，不断地总结才能在今后的教学中取得更好的教学效果，尽快地提高自身的教学水平。 1 / 1

向量的数量积——数量积的投影定义(含数量积综合练习题)

向量的数量积——数量积的投影定义 一、基础知识 1、向量的投影： （1）有向线段的值：设有一轴l ，AB 是轴上的有向线段，如果实数λ满足AB λ=，且当AB 与轴同向时，0λ>，当AB 与轴反向时，0λ<，则称λ为轴l 上有向线段 AB 的值。 （2）点在直线上的投影：若点A 在直线l 外，则过A 作'AA l ⊥于'A ，则称'A 为A 在直线l 上的投影；若点A 在直线l 上，则A 在A 在直线l 上的投影'A 与A 重合。所以说，投影往往伴随着垂直。 （3）向量的投影：已知向量,a b ，若a 的起点,A B 在b 所在轴l （与b 同向）上的投影分别为'',A B ，则向量''A B 在轴l 上的值称为a 在b 上的投影，向量''A B 称为a 在 b 上的投影向量。 2、向量的投影与向量夹角的关系：通过作图可以观察到，向量的夹角将决定投影的符号，记θ为向量,a b 的夹角 （1）θ为锐角：则投影（无论是a 在b 上的投影还是b 在a 上的投影）均为正 （2）θ为直角：则投影为零 （3）θ为钝角：则投影为负 3、投影的计算公式：以a 在b 上的投影λ为例，通过构造直角三角形可以发现 （1）当θ为锐角时，cos b λθ=，因为0λ>，所以cos b λθ=

（2）当θ为锐角时，()cos cos b b λπθθ=-=-，因为0λ<，所以cos b λθ-=-即cos b λθ= （3）当θ为直角时，0λ=，而cos 0θ=，所以也符合cos b λθ= 综上可得：a 在b 上的投影cos b λθ=，即被投影向量的模乘以两向量的夹角 4、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）： 向量,a b 数量积公式为cos a b a b θ?=，可变形为() cos a b a b θ?=?或 () cos a b b a θ?=?，进而与向量投影找到联系 （1）数量积的投影定义：向量,a b 的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，即a b a b b λ→?=?（记a b λ→为a 在b 上的投影） （2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解： a b a b b λ→?= 即数量积除以被投影向量的模长 5、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题 （1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点） （2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题 二、典型例题：

向量数量积的概念

第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1 向量的数量积 8.1.1 向量数量积的概念 【课程标准】 了解向量数量积的概念，了解与数量积有关的投影，夹角，模的几何意义并能进行简单运算。 【核心素养】 逻辑推理，数学运算。 【导学流程】 一、基础感知 1.两个向量的夹角 给定两个非零向量,a b r r ，在平面内任选一点O ，作,OA a OB b ==u u u r r u u u r r ，则称[0,] π内的AOB ∠为向量a r 与向量b r 的 ，记作 。如图8－1－2，向量a r 与b r 的夹角为4 π ，即,a b <>=r r ；向量a r 与c r 的夹角为2 π ，则,a c <>=r r ；向量a r 与d u r 的夹角为 ，即,a d <>=r u r ；向量a r 与e r 的 夹角为 ，即,a e <>=r r . 练一练：已知等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，求： ,,,,,,,AB AC BC AC BC CA DA BC <><><><>u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 根据向量夹角的定义可知： ,a b ≤<>≤r r . ,a b <>=r r . 当,2 a b π <>=r r 时，称向量a r 与向量b r ，记作 . 规定：零向量与任意向量垂直.

2.向量数量积的定义 一般地，当a r 与b r 都是非零向量时，称||||cos ,a b a b <>r r r r 为向量a r 与b r 的 .（也称为 ），记作 ，即 .由定义可 知，两个非零向量a r 与b r 的数量积是一个 . 两个非零向量的数量积即可以是 ，也可以是 ，还可以是 . 向量的数量积有如下性质： （1） （2） 当a r 与b r 至少有一个是零向量时，称它们的数量积为 ，即 . a r 与 b r 垂直的充要条件是 ，即 . 练一练：（1）已知5,4,,120a b a b ===?r r r r ，求a b ?r r ； （2）已知3,2,3a b a b ==?=r r r r ，求,a b <>r r . 由（2）可看出，如果,a b r r 都是非零向量，则cos ,a b <>=r r . 3.向量的投影与向量数量积的几何意义. 如图8－1－4所示，设非零向量AB a =u u u r r ，过,A B 分别作直线l 的垂线，垂 足分别为,A B ''，则称向量A B ''u u u u r 为向量a r 在直线l 上的 或 .给 定平面上的一个非零向量b r ，设b r 所在的直线为l ，则a r 在直线l 上的投影称为a r 在向量b r 上的 .如图8－1－5中，向量a r 在b r 上的投影为 .

8.1.2 向量数量积的运算律

8.1.2 向量数量积的运算律 (教师独具内容) 课程标准：理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行简单的应用． 教学重点：向量数量积的性质与运算律及其应用． 教学难点：平面向量数量积的运算律的证明. 【知识导学】 知识点 平面向量数量积的运算律 已知向量a ，b ，c 与实数λ，则 交换律 a ·b ＝□ 01b ·a 结合律 (λa )·b ＝□ 02λ(a ·b )＝□03a ·(λb ) 分配律 (a ＋b )·c ＝□ 04a ·c ＋b ·c 【新知拓展】 对向量数量积的运算律的几点说明 (1)向量数量积不满足消去律：设a ，b ，c 均为非零向量且a ·c ＝b ·c ，不能得到a ＝b .事实上，如图所示，OA →＝a ，OB →＝b ，OC → ＝c ，AB ⊥OC 于D ，可以看出，a ，b 在向量c 上的投影分别为|a |cos ∠AOD ，|b |cos ∠BOD ，此时|b |cos ∠BOD ＝|a |cos ∠AOD ＝OD .即a ·c ＝b ·c .但很显然b ≠a . (2)向量的数量积不满足乘法结合律：一般地，向量的数量积(a ·b )c ≠a (b ·c )，这是由于a ·b ，b ·c 都是实数，(a ·b )c 表示与c 方向相同或相反的向量，a (b ·c )表示与a 方向相同或相反的向量，而a 与c 不一定共线． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于向量a ，b ，c 等式(a·b )·c ＝a ·(b·c )恒成立．( ) (2)若a·b ＝a·c ，则b ＝c ，其中a ≠0.( ) (3)(a ＋b )·(a －b )＝a 2 －b 2 .( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ 2．做一做

23 五 向量的模、方向角、投影 第二节 数量积 向量积 混合积

五 向量的模、方向角、投影 1 向量的模与两点间的距离公式 设{}, , x y z =a , 则 设()1111, , M x y z 和()2222, , M x y z 为两点, 则 即12M M 的坐标等于终点()2222, , M x y z 的坐标减去起点()1111, , M x y z 的坐 标. 点()1111, , M x y z 和()2222, , M x y z 之间的距离 特别地, 点(), , M x y z 和原点()0, 0, 0O 的距离 例4 求证:以点()14, 3, 1M 、()27, 1, 2M 和()35, 2, 3M 为顶点的三角形是等腰三角形. 证 因为 12M M == 23M M == 31M M = =故得证. 例5 在z 轴上, 求与点()4, 1, 7A -和()3, 5, 2B -等距离的点. 解 所求的点可设为()0, 0, M z , 于是MA MB =, 即 ,

从而149z = . 于是, 点M 为140, 0, 9M ? ? ??? . 例6 设已知两点()4, 0, 5A 和()7, 1, 3B . 求与AB 方向相同的单位向量 e . 解 {}{}74, 1 0, 353, 1, 2AB =---=-. 于是 23AB ==从而 14 AB AB = =??e . 作业 P.301 4, 5, 13, 14 提示 5 有两解. 13 设该点为()0, , P y z . 2 方向角与方向余弦 非零向量a 的方向角: a 与x 轴正向的夹角α、a 与y 轴正向的夹角β, a 与 z 轴正向的夹角γ. a 的方向角α、β和γ可表示a 的方向, 且0απ≤≤, 0βπ≤≤, 0γπ≤≤. cos α、cos β和cos γ称为a 的方向余弦. 设{}, , x y z =≠0a , 则 方向余弦满足: 2 22cos cos cos 1αβγ++=. 与非零向量a 同方向的单位向量 {}cos , cos , cos αβγ=a e .

数量积向量积混合积

第三节 数量积 向量积 混合积 分布图示 ★ 两向量的数量积 ★ 数量积的运算 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 向量积概念的引入 ★ 向量积的定义 ★ 向量积的运算 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 向量的混合积 ★ 混合积的几何意义 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题8-3 ★ 返回 内容要点 一、两向量的数量积 定义1设有向量a 、b ，它们的夹角为θ，乘积θcos ||||b a 称为向量a 与b 的数量积（或称为内积、点积），记为b a ?，即 θcos ||||b a b a =?. 根据数量积的定义，可以推得： （1） b j a a j b b a a b Pr ||Pr ||==?; （2） 2 ||a a a =?; （3） 设a 、b 为两非零向量，则 b a ⊥的充分必要条件是 0=?b a . 数量积满足下列运算规律： （1）交换律 ;a b b a ?=? （2）分配律 ;)(c b c a c b a ?+?=?+ （3）结合律 )()()(b a b a b a λλλ?=?=?,（λ为实数）. 二、两向量的向量积 定义2 若由向量a 与b 所确定的一个向量c 满足下列条件： （1）c 的方向既垂直于a 又垂直于b , c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定（图

8-3-4）； （2）c 的模 θsin ||||||b a c =，(其中θ为a 与b 的夹角)， 则称向量c 为向量a 与b 的向量积（或称外积、叉积），记为 b a c ?=. 根据向量积的定义，即可推得 （1）0 =?a a ； （2）设a 、b 为两非零向量，则 b a //的充分必要条件是 0=?b a . 向量积满足下列运算规律: （1）;a b b a ?-=? （2）分配律 ;)(c b c a c b a ?+?=?+ （3）结合律 )()()(b a b a b a λλλ?=?=?,（λ为实数）. 三、向量的混合积 例题选讲 两向量的数量积 例1(E01) 已知},2,2,1{},4,1,1{-=-=b a 求 (1) ;b a ? (2) a 与b 的夹角θ; (3) a 与b 上的投影. 解 (1) b a ?2)4()2(111?-+-?+?=.9-= (2) 222222cos z y x z y x z z y y x x b b b a a a b a b a b a ++++++= θ,2 1- = ∴.4 3π θ= (3) ,Pr ||a j b b a b =?.3| |Pr -=?=∴a b a a j b 例2 证明向量c 与向量a c b b c a )()(?-?垂直. 证 c a c b b c a ??-?])()[(])()[(c a c b c b c a ??-??=])[(c a c a c b ?-??=,0= ∴.])()[(c a c b b c a ⊥?-?

两个向量的数量积说课稿

《两个向量的数量积》说课稿 各位评委：您们好！ 我叫李健，来自川师成都学院。今天我说课的课题是高二下册第九章第2节《两个向量的数量积》（第一课时），现我就教材分析、教学目标分析、教学重难点、教法与学法设计、教学过程、五个方面进行说明。恳请在座的各位评委批评指正。 一、教材分析 本节课是人教B版选修2-1第三章第节的内容，是在学生学习了空间向量的线性运算和空间向量基本定理的基础上进一步学习的内容，是平面向量数量积及其研究方法的推广和拓展。它丰富了学生的认知结构，为学生学习立体几何提供了新的视角、新的观点、新的方法，并且是本章和今后学习的重要基础。 二、教学目标 介于本节课的重要地位和课程标准的要求，根据学生实际学习水平和思维特点，我确立本节课的教学目标如下： 知识与技能：（1）掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；（2）掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；（3）掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题。 ！ 过程与方法：（1）经历空间向量数量积知识的形成过程（2）体会低维与高维相互转化的思维过程（3）发展联想、类比、探究的能力、培养数学表达和交流能力（4）培养用联系的观点看问题，渗透数形结合的思想 情感、态度：（1）激发学生求知欲，提高学习兴趣，树立学好数学的信心（2）认识数学的科学价值、应用价值，体会数学的理性精神 三、教学重难点分析 根据教材内容和学生观察、形象思维能力强，而空间想象能力不足的特点，我制定了以下重难点 教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用 教学难点：（1）两个向量的数量积的几何意义（2）如何把立体几何问题转化为向量计算问题

12022-向量数量积的运算律

向量数量积的运算律 制作人：张明娟 审核人：叶付国 使用时间：2012-5-8 编号：12022 学习目标： 1、 掌握平面向量数量积的运算律及其运算； 2、 通过向量数量积分配律的学习，体会类比、猜想、证明的探索性学习 方法； 3、通过解题实践，体会向量数量积的运算方法. 学习重点：向量数量积的运算律及其应用. 学习难点：向量数量积分配律的证明. 重点知识回顾： 1、两个向量的夹角的范围是： ； 2、向量在轴上的正射影 正射影的数量为 ； 3、向量的数量积（内积）：a ·b = ； 4、两个向量的数量积的性质： （1）b a ⊥? ； （2）a a ?= 或a = ； （3）θcos = ； 向量数量积的运算律 平面向量数量积的常用公式 证明：（1） （2） c b c a c b a b a b a b a b a a b b a ?+?=?+?=?=?=??=?))(3(;)()())(2(; 1λλλλ）（222 2))(1(b b a a b a +?+=+2 2))()(2(b a b a b a -=-+

典例剖析： 例1、已知a =6，b =4，a 与b 的夹角为060， 求：（1）b 在a 方向上的投影； （2）a 在b 方向上的投影； （3） 例2、已知a 与b 的夹角为0120，a =2，b =3，求： ()() b a b a 32-?+） （））（；（）；（）（b a b a b a b a 32321 22+?-- ?（-+5 4取何值，问夹角为与t t b a -==0 120,1

例 3、已知a =3，b =4，（且a 与b 不共线），当且仅当k 为何值时，向量b k a +与b k a - 互相垂直？ 变式：已知a =1, b =2, a 与b a -垂直.求a 与b 的夹角. 练习题:求证菱形的对角线互相垂直. 例 4、已知a =2，b =4，0120,=b a ，求a 与b a -的夹角.

高中数学：4 24 利用投影法巧解数量积 教案

利用投影法巧解数量积 片断教案 （ 人教版 第二章 第四节） 广东实验中学 该片断的教学目的、内容分析： 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它既有大小又有方向，是“数”与“形”的统一体，是沟通代数与几何的工具。 数量积是向量这一章的重要内容，它把形转化为数。同时它也是高考的热点内容。考题的设置由求定向量的数量积向动向量数量积的最值或范围转化，难度越来越大。考题多以小题出现，我们希望不仅做对还要做的快，因此，方法的选择是关键。 对于数量积的计算，课本重点介绍了（1）利用定义,cos θ=?（2）建立适当的在直角坐标系后利用2121y y x x +=?去转化。解题时，前者需要知道向量的长度和夹角，有时不能直接用，后者需要知道坐标和准确的运算，而这些往往是命题者设置障碍的关键点。 事实上，数量积具有几何意义，b a ?a b 在θ的乘积。利 用几何意义解题，θ看成一个整体，θ两个未知量的信息用一个未知量“投影”代替，实现了降元的目的，简化运算。这是把数→形的过程，可以揭示变化图形中数量积不变性的本质，形象直观。 可惜，课本和其他资料上对这一部分的介绍篇幅不长，一带而过。学生对这一方法的认识也多数停留在投影的概念和数量积几何意义形式本身，应用投影法解题不多。纵观近几年高考题，如果能合理利用几何意义（投影法）求解数量积，会大大简化运算，提高速度！ 本片段教学的核心，是介绍求数量积还有一个重要方法——投影法。希望学生能理解它的原理并会运用。特别是在处理动向量的数量积时，无论定值还是最值借助投影去转化，形象直观又简化运算。教学中我们先通过一个例题入手，对比三种方法（定义法，坐标法，投影法）求数量积。再由特殊到一般，解决动变量模长变化，夹角θ也变化的条件下求数量积最值的问题，应用投影法更体现其的优越性。最后小结：1投影法的本质；2投影法适用的题型；3选择哪个向量向哪个向量作投影；4注意：投影有正负。 该片断教学的重点和难点： 重点：理解及掌握投影法解数量积，体会此方法的优越性。 难点：掌握投影法适用的题型，把数量积的最值转化成投影的最值。

高中数学-两个向量的数量积测试题

高中数学-两个向量的数量积测试题 自我小测 1．已知非零向量a ，b 不平行，并且其模相等，则a ＋b 与a －b 之间的关系是( ) A ．垂直 B ．共线 C ．不垂直 D ．以上都有可能 2．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |等于( ) A.97 B ．97 C.61 D ．61 3．在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝ π3 ，则cos 〈OA →，BC →〉＝( ) A.12 B.22 C ．－12 D ．0 4．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0， 则△BCD 是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．不确定 5．已知向量a ，b 满足|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则 a 与 b 的夹角的取值范围是( ) A.??????0，π6 B.??????π3，π C.??????π3，23π D.???? ??π6，π 6．已知|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，则a ＋b ＋c 的模等于__________． 7．已知a ，b 是异面直线，a ⊥b ，e 1，e 2分别为取自直线a ，b 上的单位向量，且a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2，a⊥b ，则实数k 的值为__________． 8．如图所示，AB ＝AC ＝BD ＝1，AB ?平面α，AC ⊥平面α，BD ⊥AB ，BD 与平面α成30°角，则点C 与D 之间的距离为__________． 9．已知空间四边形ABCD ，求AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD → 的值．

第二课时向量数量积的运算律(可编辑修改word版)

= = AC ? ?? ? 2.3.2 向量数量积的运算律 类型二、运用向量数量积的运算律求向量的模 【学习目标】： 熟练掌握平面向量数量积的运算律，并会应用。 【自主学习】： 向量数量积的运算律： （1） 交换律： 例 2、已知 a = b = 5, 向量 a 与b 的夹角为 ，求 a - b ， a + b 。 3 （2） 数乘 向量的数量积 结合律： 那么分配律是否成立呢？ 【合作探究】 分配律： 变式： 在三角形 ABC 中，已知 AB 3, BC 5, ∠ABC = 600 , 求 。 【课堂互动】 类型一、运用向量数量积的运算律计算例 1、求证： 类型二、运用向量数量积的运算律解决有关垂直问题例 2、求证：菱形的两条对角线互相垂直： 已知： ABCD 是菱形， AC 和 BD 是它的两条对角线。 （1） (a + b ) 2 = 2 + 2a ? b + 2 → → → → ；（2） a + b ?? a - b ? = ? ?? ? → 2 → 2 a - b ; 求证： AC ⊥ BD . 证明： → → → → 变式：已知 a = 3, b = 4, ?a , b ? = 60 , 求(a + 2b ) (a - 3b ) . 总结： a ⊥ b ? 。 a b

a b a ⊥ 变式： 已 知 a = 3, b = 4 ,且(a + kb ) ⊥ (a - kb ), 求 k 的值。 2 【合作探究】 1 、 若 a,b( b ≠ 0 ) 为 实 数 ， 则 a ? b = a ? b 成 立 ， 对 于 向 量 3、已知 e 1 ， e 2 是夹角为 3 的两个单位向量， a = e 1 - 2e 2 , b = ke 1 + e 2 , 若 a ? b = 0 ，则 k 的值为 。 a , b , a ? b = ? 成立吗？ 2、若 a,b,c( b ≠ 0 )为实数，则 ab = bc ? a = c ; 但对于向量， ab = bc ? a = c 还成立吗？ 4、证明平行四边形中， AC 2 + BD 2 = 2 AB 2 + 2 AD 2. 3、 向量的数量积满足结合律吗，即(a ? b )? c = a ? (b ? c )成立吗？ (a ? b ) ? c 表 示什么意义？ a ? (b ? c ) 表示什么意义？ 【当堂检测】 → → < >= 1200 , = = 5, (2a - b )? a = 1 、 已 知 向 量 a , b 且 a 2, b 则 （选做）5、设 a b , 且 = 2, b = 1, k,t 是两个不同时为零的实数。 。 （1） 若 x = a + (t - 3)b 与 y = -ka + tb 垂直，求 k 关于 t 的函数关系式 k=f(t); （2） 求出函数 k=f(t)的最小值。 → → → → 2 2 、 a = 6, b = 8, ?a , b ? = 120 , 求 a + b , a + b .

第38炼 向量的数量积——数量积的投影定义(含数量积综合练习题)

第38炼 向量的数量积——数量积的投影定义 一、基础知识 1、向量的投影： （1）有向线段的值：设有一轴l ，AB u u u r 是轴上的有向线段，如果实数λ满足AB λ=u u u r ，且当AB u u u r 与轴同向时，0λ>，当AB u u u r 与轴反向时，0λ<，则称λ为轴l 上有向线段AB u u u r 的值。 （2）点在直线上的投影：若点A 在直线l 外，则过A 作' AA l ⊥于'A ，则称'A 为A 在直线 l 上的投影；若点A 在直线l 上，则A 在A 在直线l 上的投影'A 与A 重合。所以说，投影往 往伴随着垂直。 （3）向量的投影：已知向量,a b r r ，若a r 的起点,A B 在b r 所在轴l （与b r 同向）上的投影分别为' ' ,A B ，则向量''A B u u u u r 在轴l 上的值称为a r 在b r 上的投影，向量'' A B u u u u r 称为a r 在b r 上的投影 向量。 2、向量的投影与向量夹角的关系：通过作图可以观察到，向量的夹角将决定投影的符号， 记θ为向量,a b r r 的夹角 （1）θ为锐角：则投影（无论是a r 在b r 上的投影还是b r 在a r 上的投影）均为正 （2）θ为直角：则投影为零 （3）θ为钝角：则投影为负 3、投影的计算公式：以a r 在b r 上的投影λ为例，通过构造直角三角形可以发现 （1）当θ为锐角时，cos b λθ=r ，因为0λ>，所以cos b λθ=r （2）当θ为锐角时，()cos cos b b λπθθ=-=-r r ，因为0λ<，所以cos b λθ-=-r 即cos b λθ=r （3）当θ为直角时，0λ=，而cos 0θ=，所以也符合cos b λθ=r

求解平面向量数量积的三种方法

龙源期刊网 https://www.wendangku.net/doc/aa17784146.html, 求解平面向量数量积的三种方法 作者：谢伟杰 来源：《读写算》2018年第34期 摘要梅州市高一数学质量抽测题第11题是一道关于平面向量数量积的考题，这道考题引起了笔者的注意。此题很好地考察了学生对数量积概念的理解，也能很好地考察学生对求解平面向量数量积的方法是否掌握到位。 关键词平面向量数量积；解法 中图分类号：O241.7 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018） 34-0211-01 做题中的“少运算”是建立在对基本概念理解的基础之上的，学生只有对相关的概念、性质有深刻的理解，而不是纯粹的记公式或套方法，才能在做题中真正实现“多思考，少运算”。教师在教学中，要帮助学生去认识相关知识点的核心及实质，而不是认为学生只要能记住相关的公式或会套用某类方法解题就行，否则，在具体的问题情境中，学生极容易在公式与计算中迷失，从而找不到解决问题的有效途径。 一、原题呈现 已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则 的值为（） 二、解法展示与对比 解法一：如图1， 解法二：如图2，以点为坐标原点，为轴正方向，建立如图所示的直角坐标系。则，， 解法三：如图3，点在上的投影为点，作點在上的投影，则在是的投影为，由向量数量积的含义可知，易得与相似，所以，又，所以，即 . 故 作为选择题，解法三有明显的优点，即我们只需将在上的投影作出，对图中线段的长度作大致估计，就可迅速判断只有选项才是合理的。笔者认为这样并不是投机取巧，恰恰相 反，在考场上会做这样的思考，并采取此策略的学生，说明该生对数量积的概念有更深刻的理解，并有更好的思维能力。这与高考命题中所提倡的“多思考，少运算”的理念也是一致的。

《平面向量的数量积》的课后反思

《平面向量的数量积》的课后反思 简单回顾《平面向量的数量积》这节课，首先我通过力对物体所做的功的物理模型引入数量积这一概念的，之后剖析概念，通过小组讨论，让学生分析定义应注意的问题，特别强调数量积的结果不是一个向量，而是一个数量。通过练习，进一步熟悉巩固向量的数量积的定义，这个小题目的是提醒学生要注意，两个非零向量的夹角问题要通过平移使这两个向量共起点。接下来，通过分析平面向量数量积的定义，体会平面向量的数量积的几何意义，从而使学生从代数和几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识，而且为后面证明平面向量的数量积的分配律铺垫。数量积的运算律是数量积概念的延伸，数量积的运算律则是通过和实数乘法相类比得到，这样不仅使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。为了让学生完成这个探究活动，我引导学生从平面向量的数量积的几何意义入手问题，师生共同完成证明过程。 通过这节课的教学，我有以下几点体会： （1）让学生经历数学知识的形成与应用过程 高中数学教学应体现知识的来龙去脉，创设问题情景，建立数学模型，让学生经历数学知识的形成与应用，可以更好的理解数学概念、结论的形成过程，体会蕴含在其中的思想方法，增强学好数学的

愿望和信心。对于抽象数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式 (2）鼓励学生自主探索、自主学习 教师是学生学习的引导者、组织者，教师在教学中的作用必须以确定学生主体地位为前提，教学过程中要发扬民主，要鼓励学生质疑，提倡独立思考、动手实践、自主探索、阅读自学等学习方式。对于教学中问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等，要尽可能地让所有学生都能主动参与，提出各自解决问题的方案，并引导学生在与他人的交流中选择合适的策略，使学生切实体会到自主探索数学的规律和问题解决是学好数学的有效途径 （3）用教材教，而不是教教材 向量的数量积这一节新课标规定在2课时内完成2.3“平面向量的数量积”3小节的教学内容，为了贯彻新课标的精神，体现新课程理念，我们做了如下的调整：把“两个向量的夹角”这个概念放到2.1.1“向量的概念”中讲，把向量在轴上的正射影这个概念放到2.2 “向量的分解与向量的坐标运算”，平面向量的数量积的定义及平面向量的数量积的运算律到第一课时，把平面向量的数量积的性质及平面向量的数量积坐标运算与度量公式放到第二课时。

备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题27向量的数量积——数量积的投影定义

专题27 向量的数量积——数量积的投影定义 【热点聚焦与扩展】 平面向量的数量积是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现． 1、向量的投影： （1）有向线段的值：设有一轴l ，AB 是轴上的有向线段，如果实数λ满足AB λ=，且当AB 与轴同向时， 0λ>，当AB 与轴反向时，0λ<，则称λ为轴l 上有向线段AB 的值. （2）点在直线上的投影：若点A 在直线l 外，则过A 作' AA l ⊥于'A ，则称'A 为A 在直线l 上的投影；若点A 在直线l 上，则A 在A 在直线l 上的投影'A 与A 重合.所以说，投影往往伴随着垂直. A （3）向量的投影：已知向量,a b ，若a 的起点,A B 在b 所在轴l （与b 同向）上的投影分别为' ' ,A B ，则向量'' A B 在轴l 上的值称为a 在b 上的投影，向量'' A B 称为a 在b 上的投影向量. 2、向量的投影与向量夹角的关系：通过作图可以观察到，向量的夹角将决定投影的符号，记θ为向量,a b 的夹角 （1）θ为锐角：则投影（无论是a 在b 上的投影还是b 在a 上的投影）均为正 （2）θ为直角：则投影为零 （3）θ为钝角：则投影为负 3、投影的计算公式：以a 在b 上的投影λ为例，通过构造直角三角形可以发现 （1）当θ为锐角时，cos b λθ=，因为0λ>，所以cos b λθ= （2）当θ为锐角时，()cos cos b b λπθθ=-=-，因为0λ<，所以cos b λθ-=-即cos b λθ= （3）当θ为直角时，0λ=，而cos 0θ=，所以也符合cos b λθ=