皮尔逊Ⅲ(P-Ⅲ)型曲线
1、皮尔逊Ⅲ型曲线的概率密度函数
皮尔逊Ⅲ型曲线是一条一端有限一端无限的不对称单峰、正偏曲线(见图4-4-3),数学上常称伽玛分布,其概率密度函数为:
(4-4-8)
式中:Γ(α)―α的伽玛函数;
α、β、a0―分别为皮尔逊Ⅲ型分布的形状尺度和位置未知参数,
α﹥0,β﹥0 。
显然,三个参数确定以后,该密度函数随之可以确定。可以推论,这三个参数与总体三个参数、Cv、CS具有如下关系:
(4-4-9)
2、皮尔逊Ⅲ型频率曲线及其绘制
水文计算中,一般需要求出指定频率P所相应的随机变量取值xp,也就是通过对密度曲线进行积分,即:
(4-4-10)
求出等于及大于xp的累积频率P值。直接由式(4-4-10)计算P值非常麻烦,实际做法是通过变量转换,变换成下面的积分形式 :
(4-4-11)
式(4-4-11)中被积函数只含有一个待定参数CS,其它两个参数、Cv都包含在中。,
x是标准化变量,称为离均系数。的均值为0,标准差为1。因此,只需要假定
一个CS值,便可从式(4-4-11)通过积分求出与之间的关系。对于若干个给定的C S值,
的对应数值表,已先后由美国福斯特和前苏联雷布京制作出来,见附表1"皮尔逊Ⅲ型
频率曲线的离均系数值表"。由就可以求出相应频率的x值:
(4-4-12)
附表1 皮尔逊Ⅲ型频率曲线的离均系数值表(摘录)
3、皮尔逊Ⅲ型频率曲线的应用
在频率计算时,由已知的C S值,查值表得出不同的P的值,然后利用已知的、
C V,通过式(4-4-12)即可求出与各种P相应的值,从而可绘制出皮尔逊Ⅲ型频率曲线。
当C S等于C V的一定倍数时,P-Ⅲ型频率曲线的模比系数K P = ,也已制成表格,见附表2"皮尔逊Ⅲ型频率曲线的模比系数K P值表"。频率计算时,由已知的C S和C V可以从附表2中查出与各种频率P相对应的K P值,然后即可算出与各种频率对应的=K P。有了P和的一些对应值,即可绘制出皮尔逊Ⅲ型频率曲线。
附表2 皮尔逊Ⅲ型频率曲线的模比系数KP值表(摘录,C S = 2C V)
4.4.5 频率与重现期的关系
频率曲线绘制后,就可在频率曲线上求出指定频率p的设计值x p。由于"频率"较为抽象,水文上常用"重现期"来代替"频率"。所谓重现期是指某随机变量的取值在长时期内平均多少年出现一次,又称多少年一遇。根据研究问题的性质不同,频率P与重现期T的关系有两种表示方法。
1、当为了防洪研究暴雨洪水问题时,一般设计频率P<50%,则:
(4-4-14)
式中:T――重现期,年;
――频率,%。
(2)当考虑水库兴利调节研究枯水问题时,设计频率P>50%,则
(4-4-15)