一元二次方程动点问题

一元二次方程动点问题

息县五中敖勇

1、在直角三角形ABC中,AB=BC=12cm，点D从点A开始以2cm/s的速度沿AB边向点B移动,过点D作DE平行于BC,DF平行于AC,点E.F分别在AC,BC上,问：点D出发几秒后四边形DFCE的面积为20cm2？

2、在△ABC中, AC=50cm, CB=40cm, ∠C=90°,点P从点A开始沿AC边向点C 以2cm/s 的速度移动, 同时另一点Q由C点以3cm/s的速度沿着CB边移动,几秒钟后, △PCQ的面积等于450cm2?

3、在直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=3厘米，点P从点A 开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B开始沿边BC向点C以2cm/s

的速度移动，若P、Q分别从A、B同时出发，几秒后PQ距离等于厘米。

4、如图：在Rt △ACB 中，∠C=90°，点P 、Q 同时由A 、B 两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，几秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半？

变式训练

1、在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动。若点P 、Q 分别从点

A 、

B 同时出发，经过多少时间，使△PBQ 的面积等于8cm 2？

变式训练2.△ABC 中，∠C=90°AB=10cm,AC=8cm,点P 从点A 开始出发，向点C 以2cm/s 的速度移动，点Q 从B 点出发向点C 以1cm/s 的速度移动。若P 、Q 分别同时从A 、B 出发，几秒后四边形APQB 是△ABC 面积的3

2。

5、已知：如图①，在Rt ACB △中，90C ∠=，4cm AC =，3cm BC =，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为(s)t （02t <<），解答下

列问题：设AQP △的面积为y （2cm ），求y 与t 之间的函数关系式；当t 为何值时

y 是△ABC 面积的5

3

A

C B

P

Q 6c 8c

6、如图，在△ABC中，∠C＝90o，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分别是AC、AB 的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t(0＜t＜4)s．

解答下列问题：

当点Q在B、E之间运动时，当t为何值时，PQ分四边形BCDE所成的两部分的面积之比为S△PQE∶S五边形PQBCD＝1∶29？

7、等腰直角△ABC中,AB=BC=8cm,动点P从A点出发,沿AB向B移动,通过点P引平行于BC,AC的直线与 AC,BC分别交于R、Q.当AP等于多少厘米时,平行四边形PQCR的面积等于16cm2?

8、如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=5cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止。

（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？

（2）在（1）中，△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由。

9、在矩形ABCD中,AB=5cm,BC=7cm,点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB 边向点B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q 分别从A、B同时出发了t秒，直至两动点中某一点到达端点后停止（即0

（2）经过几秒后，△BPQ的面积等于4？(3) 经过几秒后，DP=DQ？

C B

二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)33935

函数解题思路方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax 2+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax 2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 动点问题题型方法归纳总结 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 二、 抛物线上动点 5、（湖北十堰市）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式；

(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标． 注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为 顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M 为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平 分线与对称轴交点即为所求点P。 第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方 法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。

一元二次方程及其应用练习题

一元二次方程及其应用 一、选择题 1（2015?酒泉）今年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（） A．2500x2=3500 B．2500（1+x）2=3500 C．2500（1+x%）2=3500 D．2500（1+x）+2500（1+x）2=3500 2．（2015?安徽）我省2013年的快递业务量为亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．（1+x）= B．（1+2x）= C．（1+x）2= D．（1+x）+（1+x）2= 3．（2015?日照）某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2014年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2016年投资亿元人民币，那么每年投资的增长率为（）A．20% B．40% C．-220% D．30% ( 1. （2016·湖北随州）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（） A．20（1+2x）= B．（1+x）2=20 C．20（1+x）2= D．20+20（1+x）+20（1+x）2= 2. （2016·江西）设α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则αβ的值是（） A．2B．1C．﹣2D．﹣1 3. （2016·辽宁丹东）某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为． 4.（2016·四川攀枝花）若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2=0的一个根，则a的值为（）A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或4 5．（2016·广西桂林）若关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（） A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5 ] 6.（2016·贵州安顺）已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，必有实数解”是假命题，则在下列选项中，b的值可以是（） A．b=﹣3B．b=﹣2C．b=﹣1D．b=2 8. （2016·云南省昆明市）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．无实数根D．无法确定 9.(2016河北3分）a，b，c为常数，且（a-c）2>a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．有一根为0

一元二次方程经典测试题(附答案解析)

. . . 一元二次方程测试题 考试范围：一元二次方程；考试时间：120分钟；命题人：瀚博教育 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1．方程x（x﹣2）=3x的解为（） A．x=5 B．x1=0，x2=5 C．x1=2，x2=0 D．x1=0，x2=﹣5 2．下列方程是一元二次方程的是（） A．ax2+bx+c=0 B．3x2﹣2x=3（x2﹣2）C．x3﹣2x﹣4=0 D．（x﹣ 1）2+1=0 3．关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（） A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．3 4．某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为12万人次，若2017年约为17万人次，设游客人数年平均增长率为x，则下列方程中正确的是（） A．12（1+x）=17 B．17（1﹣x）=12 C．12（1+x）2=17 D．12+12（1+x）+12（1+x）2=17 5．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（） A．2秒钟B．3秒钟C．4秒钟D．5秒钟 6．某幼儿园要准备修建一个面积为210平方米的矩形活动场地，它的长比宽多12米，设场地的长为x 米，可列方程为（） A．x（x+12）=210 B．x（x﹣12）=210 C．2x+2（x+12）=210 D．2x+2（x﹣12）=210 7．一元二次方程x2+bx﹣2=0中，若b＜0，则这个方程根的情况是（） A ．有两个正根B．有一正根一负根且正根的绝对值大 C．有两个负根D．有一正根一负根且负根的绝对值大 8．x1，x2是方程x2+x+k=0的两个实根，若恰x12+x1x2+x22=2k2成立，k的值为（） A．﹣1 B．或﹣1 C．D．﹣或1 9．一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a＞0，b＜0，c＜0，则这个方程根的情况是（） A．有两个正根B．有两个负根 C．有一正根一负根且正根绝对值大D．有一正根一负根且负根绝对值大 10．有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a﹣c≠0，以下列四个结论中，错误的是（） A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根 B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同 C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根 D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1 11．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（） A．7 B．11 C．12 D．16

一元二次方程与动点及答案

1、如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝12cm ，AB ＝6cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2？ 2.△ABC 中，∠B=90°，AB=5cm ，BC=6cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1cm/s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2cm/s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间 为t 秒． （1）填空：BQ= ，PB= （用含t 的代数式表示）； （2）当t 为何值时，PQ 的长度等于5cm ？ （3）是否存在t 的值，使得△PBQ 的面积等于4cm 2？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由． P C A B Q ↑

3.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8．点P从点A开始沿边AB向点B 以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．设P、Q分别从A、B同时出发，运动时间为t，当其中一点先到达终点时，另一点也停止运动．解答下列问题： （1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？ （2）是否存在这样的时刻t，使线段PQ恰好平分△ABC的面积？若存在，求出运动时间t；若不存在，请说明理由． 4.如图所示，△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，经几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？ （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒，使△PCQ的面积等于12.6cm2？

(完整版)一元二次方程知识点及其应用

一、相关知识点 1．理解并掌握一元二次方程的意义 未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数 （1）明确只有当二次项系数0≠a 时，整式方程02 =++c bx ax 才是一元二次方程。 （2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). （3）熟练整理方程的过程 3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4．列出实际问题的一元二次方程 二．解法 1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解； 2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题： (1)开平方法：对于形如n x =2 或)0()(2 ≠=+a n b ax 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未 知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如n x =2 的方程的解法： 当0>n 时，n x ±=; 当0=n 时，021==x x ; 当0-ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等； 当042 =-ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为a b x x 221- ==；

一元二次方程应用一对一辅导讲义

课 题 一元二次方程的应用 授课时间： 2016-03-26 8：00——10:00 备课时间：2016-03-24 教学目标 1、综合运用一元二次方程和其他数学知识解决如面积、利润、增长率与降低 率等生活中的实际问题。 2、注意找准等量关系及检验根是否符合实际意义。 3、从现实问题中构建一元二次方程数学模型。 重点、难点 会运用一元二次方程解决简单的实际问题 考点及考试要求 1.一元二次方程的应用 2.一元二次方程实际问题 教 学 内 容 第一课时 一元二次方程的应用知识梳理 1.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( ) A.11 B.17 C.17或19 D.19 2.已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________. 3.用适当的方法解下列一元二次方程. （1）.22(3)5x x -+= （2）.22330x x ++= 课前检测

1. 一元二次方程的实际应用????? ???????????????动点问题数字问题面积问题 利润问题增长率（降低率）问题常见类型、答步骤：设、列、解、验 2. 解题循环图： 3. 利用一元二次方程解决许多生活和生产实际中的相关问题，它的一般方法是： （1）根据题意找到等量关系，列出一元二次方程。 （2）特别要对方程的根注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性。 第二课时 一元二次方程的应用典型例题 考点一：增长率（降低率）和利润问题 典型例题 知识梳理

（一）增长率（降低率）问题： 【例1】某工厂今年3月份的产值为100万元，由于受国际金融风暴的影响，5月份的产值下降到81万元，求平均每月产值下降的百分率． （二）利润问题： 【例2】商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元。为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降低1元，商场平均每天可多售出2件，求： （1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）若要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案。

一元二次方程及其应用

一元二次方程及其应用 ◆课前热身文档设计者： 设计时间 ： 文档类型： 文库精品文档，欢迎下载使用。Word 精品文档，可以编辑修改，放心下载 1．如果2是一元二次方程x 2 ＋bx ＋2＝0的一个根，那么常数b 的值为 ． 2.方程042=-x x 的解______________． 3．方程240x -=的根是（ ） A ．2x = B ．2x =- C ．1222x x ==-， D ．4x = 4.由于甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降．由原来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为x ，则根据题意可列方程为 ． 【参考答案】1.－3 2.x 1=0, x 2=4 3. C 4.2 16(1)9x -= ◆考点聚焦 知识点: 一元二次方程、解一元二次方程及其应用 大纲要求: 1.了解一元二次方程的概念，会把一元二次方程化成为一般形式。 2.会用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程、 3.能利用一元二次方程的数学模型解决实际问题。 考查重点与常见题型: 考查一元二次方程、有关习题常出现在填空题和解答题。 ◆备考兵法 （1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断， 注意一元二次方程一般形式中0≠a . （2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1. （4）用直接开平方的方法时要记得取正、负. ◆考点链接

1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法： （1）直接开平方法：形如)0(2 ≥=a a x 或)0()(2 ≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用 直接开平方的方法. （2）配方法：用配方法解一元二次方程()02 ≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二 次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2 ()x m n +=的形式，⑤如果是非负数，即0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解. （3）公式法：一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是 221,2 4(40)2b b ac x b ac a -±-=-≥. （4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程 的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. ◆典例精析 例1（湖南长沙）已知关于x 的方程260x kx --=的一个根为3x =，则实数k 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 【答案】A 【解析】本题考查了一元二次方程的根。因为x=3是原方程的根，所以将x=3代入原方程， 原方程成立，即06332 =--k 成立，解得k=1。故选A 。 例2（湖北仙桃）解方程：2 420x x ++= 【分析】根据方程的特点, 灵活选用方法解方程.观察本题特点，可用配方法求解. 【答案】2 42x x +=-

数学人教版九年级上册一元二次方程的应用-几何动点问题

基本信息 课题《实际问题与一元二次方程——几何动点问题》学科数学班级初二134B1 授课教师卫霞授课时间2017-6-2 【教学任务分析】 教学目标1.能根据问题中数量关系列一元二次方程，体会数学建模的优越性. 1）. 通过回忆旧知，学生能准确说出几何图形中动点的行走路程； 2）. 通过认真审题，学生能准确找出其中的等量关系； 3）. 借助等量关系，学生能准确列出关于动点的一元二次方程； 4）. 根据一元二次方程的特点，学生能灵活选用适当的方法解一元二次方程； 5）. 根据具体题意，学生能合理舍掉其中一个根. 2.使学生进一步掌握利用一元二次方程解决几何中的动点问题，体会几何问题代数化. 3.进一步提高学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力，培养学生主动探索事物之间内在联系的学习习惯。 教学重点用一元二次方程解决动点问题； 动点的四个要素在题目中的变化，使学生进一步掌握利用一元二次方程解决几何中的动点问题 教学难点 分析动点的运动，列出一元二次方程. 进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力. 教学方法自主探究、自主讲解、合作学习 媒体资源学生导学卡和多媒体课件 【教学过程设计】 教学流程教学活动师生活动设计意图 【板块一】复习回顾复习引入 1、列方程解应用题的步骤： （1）、（2）、（3）、（4）、 （5）、（6）、 回顾思考回顾前几节课刚刚 学过的利用一元二 次方程可以解决的 几类实际问题，引 出新课——用一元

二次方程解决几何动点问题. 【板块二】新知探究例1、如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm， 现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发， 其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动； 点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中 一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．求 动点运动时间为多少秒时△PBQ的面积为4 cm2． 变式1：当x为何值 时，PQ长为13 变式2：当Q的运动 方向相反时，（从C 向B移动）当x为何值时，△PBQ的面积为4 cm2 读题， 边读边 推、动手 画图，尝 试设未知 数、列方 程、 讲解自己 思路 带领学生学会审题 和分析（A、线段长： 变量：常量： B、有几个动点？动 点的起点、终点、 运动方向、速度分 别是什么？时间范 围 C、图中有哪些线段 可以用t表示，试 着在导学卡中写出 来. ） 设计动点表格（在 学生的导学卡中） 【板块三】课堂练习1、在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点 A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点 Q从点B开始以2cm/s的速度沿 BC边向点C移动,如果P、Q分 别从A、B同时出发，几秒后△ 学以致 用、举一 反三. 本环节重在考察生 应用所学知识解决 类似问题的能力， 同时检测学生当堂 C B A B A C D Q P

一元二次方程应用(动点问题)

4.动点问题 例1：如图：在Rt △ACB 中，∠C=90°，点P 、Q 同时由A 、B 两点 出发分别沿AC 、 BC 方向向 点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，几秒后△PCQ 的面积为 Rt △ACB 面积的一 半？ 变式练习： 1、 如图：在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1厘米/秒的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2厘米/秒的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8平方厘米？ A B C P Q 6cm 8cm

2、如图，在△ABC 中，AB=6cm ，AC=12cm 动点D 从A 点出发到B 点为止，运动的速度为1cm/秒；同时动点E 从C 点出发到A 点为止，点E 运动的速度为2cm/秒那么当点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是（ ） 3.如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点P 以每秒2个单位长度的速度从点C 出发，沿CA 向点A 运动；点Q 同时以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AB 向点B 运动,设P 、Q 两点移动t 秒 （1）求△APQ 与△ABC 相似时t 的值 B C E D A

（2）求四边形BCPQ面积S与时间t的关系式 （3）求△APQ为等腰三角形时t的值 例2：一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正 以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心 20 海里的圆形区域(包括边界)都属台 风区.当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB=100海里.若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风?若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由. 10

一元二次方程解决动点问题

（三）迁移运用： 用一元二次方程的相关知识解决下列问题: 【导学流程】 （一）了解感知： 认真阅读下面一段话，然后完成练习 24.4 —元二次方程的应用（6） 班级： 姓名： 小组： 【学习目标】 1. 通过回忆旧知，学生能准确说出几何图形中动点的行走路程； 2. 通过认真审题，学生能准确找出其中的等量关系； 3?借助等量关系，学生能准确列出关于动点的一元二次方程； 4. 根据一元二次方程的特点，学生能灵活选用适当的方法解一元二次方程; 5. 根据具体题意，学生能合理舍掉其中一个根 【重点难点】 重点：用一元二次方程解决动点问题； 难点：分析动点的运动，列出一元二次方程 2.如图所示，已知在厶 ABC 中，/ B=90° AB=BC=5cm 点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动，若一动点运动 到终点，则另一个也随之停止。 （1）如果P 、Q 分别从A 、B 两点同时出发，那么几秒后，△ （2）在（1）中，△ PBQ 的面积能否等于 7cm2?说明理由。 PBQ 的面积等于4cm2?

1. 一般动态问题的解法是“动中求静”，即按题意确定动点的一个基本位置，然后按照这个这个基本位置作出恰当的图形，再按照题意逐步探索和求解。 2. 完成课本56页C组1题（写在书上） （二）深入学习：分析下列题目的等量关系，列一元二次方程求解 1.等腰直角厶ABC中,AB=BC=8cm动点P从A点出发,沿AB向 B移动，通过点P引平行于BC,AC的直线与AC,BC分别交于R、 Q.当AP等于多少厘米时，平行四边形PQCR勺面积等于16cm2? 1.在矩形ABCD中,AB=5cm,BC=7cm点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB 边向点B移动, 点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动，如果P、Q分别从A、B同时出发了t秒，直至两动点中某一点到达端点后停止（即0

一元二次方程解决动点问题

24.4 一元二次方程的应用(6) 班级：姓名：小组： 【学习目标】 1. 通过回忆旧知，学生能准确说出几何图形中动点的行走路程； 2. 通过认真审题，学生能准确找出其中的等量关系； 3. 借助等量关系，学生能准确列出关于动点的一元二次方程； 4. 根据一元二次方程的特点，学生能灵活选用适当的方法解一元二次方程； 5. 根据具体题意，学生能合理舍掉其中一个根. 【重点难点】 重点：用一元二次方程解决动点问题； 难点：分析动点的运动，列出一元二次方程. 【导学流程】 （一）了解感知： 认真阅读下面一段话，然后完成练习 1. 一般动态问题的解法是“动中求静”，即按题意确定动点的一个基本位置，然后按 照这个这个基本位置作出恰当的图形，再按照题意逐步探索和求解。 2. 完成课本56页C组1题(写在书上) （二）深入学习： 分析下列题目的等量关系，列一元二次方程求解: 1.等腰直角△ABC中,AB=BC=8cm,动点P从A点出发,沿AB向 B移动,通过点P引平行于BC,AC的直线与AC,BC分别交于R、 Q.当AP等于多少厘米时,平行四边形PQCR的面积等于16cm2? 2.如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=5cm，点P从点A开始沿AB边向点B 以1cm/s的速度移动，点Q从B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止。 （1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）在（1）中，△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由。 （三）迁移运用： 用一元二次方程的相关知识解决下列问题： 1.在矩形ABCD中,AB=5cm,BC=7cm,点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发了t秒，直至两动点中某一点到达端点后停止（即0

一元二次方程及其应用

一元二次方程及其应用 ◆课前热身 1．如果2是一元二次方程x 2＋bx ＋2＝0的一个根，那么常数b 的值为 ． 2.方程042=-x x 的解______________． 3．方程240x -=的根是（ ） A ．2x = B ．2x =- C ．1222x x ==-， D ．4x = 4.由于甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降．由原来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为x ，则根据题意可列方程为 ． 【参考答案】1.－3 2.x 1=0, x 2=4 3. C 4.216(1)9x -= ◆考点聚焦 知识点: 一元二次方程、解一元二次方程及其应用 大纲要求: 1.了解一元二次方程的概念，会把一元二次方程化成为一般形式。 2.会用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程、 3.能利用一元二次方程的数学模型解决实际问题。 考查重点与常见题型:

考查一元二次方程、有关习题常出现在填空题和解答题。 ◆备考兵法 （1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后 再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a . （2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1. （4）用直接开平方的方法时要记得取正、负. ◆考点链接 1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法： （1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程， 就可用直接开平方的方法. （2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是： ①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方

一元二次方程(动点问题)

7.动点问题 例1：如图：在Rt △ACB 中，∠C=90°，点P 、Q 同时由A 、B 两点 出发分别沿AC 、BC 方向向 点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，几秒后△PCQ 的面积为 Rt △ACB 面积的一 半？ 变式练习： 1、 如图：在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1厘米/秒的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2厘米/秒的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8平方厘米？ A B C P Q 6cm 8cm

2、如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=12cm动点D从A点出发到B点为止，运动的速度为1cm/秒；同时动点E从C点出发到A点为止，点E运动的速度为2cm/秒那么当点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（） C 3.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CA向点A运动；点Q同时以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AB向点B运动,设P、Q两点移动t秒 （1）求△APQ与△ABC相似时t的值 （2）求四边形BCPQ面积S与时间t的关系式 （3）求△APQ为等腰三角形时t的值

例2：一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正 以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心 20 海里的圆形区域(包括边界)都属台风区.当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB=100海里.若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风?若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由. 变式练习：某军舰以20节的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以30节的速度由南向北航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标。如图，当该军舰行至A处时，电子侦察船正位于A处正南方向的B处，且AB=90海里。如果军舰和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰？如果能，最早何时能侦察到？如果不能，请说明理由。 10

一元二次方程应用题精选含答案

一元二次方程应用题精选 一、数字问题 1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。 2、一个两位数，十位数字与个位数字之和是6，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1008，求这个两位数． 二、销售利润问题 3、某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增 加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求： （1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案． 4.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家 电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？ 5.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?

三、平均变化率问题增长率 （1）原产量+增产量=实际产量． （2）单位时间增产量=原产量×增长率． （3）实际产量=原产量×（1+增长率）． 6. 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？ 7. 某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价百分之几？ 四、形积问题 8、有一块长方形的铝皮，长24cm、宽18cm，在四角都截去相同的小正方形，折起来做成一个没盖的盒子，使底面积是原来面积的一半，求盒子的高． 9、如图，在一块长为32m，宽为20m长方形的土地上修筑两条同样宽度的道路，余下部分作为耕地要使耕地的面积是540m2，求小路宽的宽度． 五、围篱笆问题 10、如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地． ⑴怎样围才能使矩形场地的面积为750m2? ⑵能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么?

一元二次方程解决动点问题

v1.0 可编辑可修改 1初三数学 第 1页 (共4页) 初三数学 第 2页 (共4页) 一元二次方程的应用（6） 班级___________ 姓名__________ 小组__________ 分数____________ 卷面 Ⅰ卷 错题重现（20分） 1.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元 某商场经销的太阳能路标，标价为4000元/个，优惠办法是：一次购买数量不超过80个，按标价收费；一次购买数量超过80个，每多买1个，所购路灯每个可降价8元，但单价最低不能低于3200元/个，若一顾客一次性购买这样的路灯用去516000元，则该顾客实际购买了多少个路灯 Ⅱ卷 当堂检测（80分） 一、选择题（每题3分，共15分） 1.【王沛青】配方法解方程2 420x x -+=，下列配方正确的是（ ） A ．2 (2)2x -= B ．2 (2)2x += C ．2 (2)2x -=- D ．2 (2)6x -= 2.【马雪爱】一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m. 若梯子的底端水平向外滑动1m ，梯子的顶端滑动（ ） A 851 B 851516 D 651 3.【宋玉珍】直角三角形的面积是30，两直角边长的和是17，则斜边长为（ ） A 17 B 26 C 30 D 13 4．【杨阳】某种衬衣价格经过两次降价后，由每件150元降至96元，则平均每次降价的百分率是（ ） A 20％ B 27％ C 28％ D 32％ 5．【王沛青（改编）】方程(3)3x x x = ） A 123,1x x == B 123,1x x ==- C 123x x ==121x x ==- 二、填空题（每空3分，共15分） 6.【宋玉珍】两个相邻偶数的积为168，则这两个偶数是____________。 7.【杨阳】当m 时，关于x 的方程5)3(7 2 =-+-x x m m 是一元二次方程； 8.【马雪爱】某果农2006年的年收入为8万元，由于暴雨，2008年年收入减少到5万元，设平均每年的降低率为x ，根据题意列出的方程是 ． 9.【宋玉珍】在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手．有人统计了一下，大家一共握了45次手，参加这次聚会的同学共有 人．

一元二次方程的起源和应用

一元二次方程的起源与应用 一年七班 唐梦雷 一、定义：（quadratic equation of one variable ）是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 二、 起源 在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式。但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。 埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，在公元前4、5世纪时，古中国也已掌握了一元二次方程的求根公式。 希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。 公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程二次项系数为一的一个求根公式。 在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令 a 、b 、c 为正数。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。 韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。 我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于的正根而解决的。 我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。 三、一元二次方程的广泛应用 例1：下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？ （1）35 22=+x ；（2）062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ； （5）12)3(22+=-x x x ；（6）2273x x = ；（7）312=+ x x ；（8）522=+y x 注意点： ①二次项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③是整式方程；④只含有一个未知数． 例1:当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

10一元二次方程及其应用

10 一元二次方程及其应用 一、选择题 1. （2011湖北鄂州）下列说法中 ①一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等 ②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2 ③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形 ④Rt △ABC 中，∠C=90°，两直角边a ，b 分别是方程x 2 －7x ＋7=0的两个根，则AB 正确命题有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 【答案】C 2. （2011湖北荆州）关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax 有两个不相等的实根 1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211，则a 的值是 A ．1 B ．－1 C ．1或－1 D ． 2 【答案】B 3. （2011福建福州）一元二次方程(2)0x x -=根的情况是（ ） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 【答案】A 4. （2011山东滨州）某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程中正确的是( ) A. ()2 2891256x -= B. ()2 2561289x -= C. 289(1-2x)=256 D.256(1-2x)=289 【答案】A 5. （2011山东威海）关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m +-++=有两个相等的实数根，则m 的值是（ ） A ．0 B ．8 C ．4 D ．0或8 【答案】D

6. （2011四川南充市） 方程(x +1)(x －2)=x +1的解是（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）－1，2 （D ）－1，3 【答案】D 7. （2011浙江省嘉兴）一元二次方程0)1(=-x x 的解是（ ） （A ）0=x （B ）1=x （C ）0=x 或1=x （D ）0=x 或1-=x 【答案】C 8.（2011台湾台北）若一元二次方程式)2)(1()1(＋＋＋＋x x x ax bx ＋ 2)2(＝＋x 的两根为 0、2，则 b a 43＋之值为何？ A ．2 B ．5 C ．7 D ． 8 【答案】B 9.（2011台湾台北）如图(十三)，将长方形ABCD 分割成1个灰色长方形与148个面积相等 的小正方形。 根据右图，若灰色长方形之长与宽的比为5：3，则AD ：AB ＝？ A ．5：3 B ．7：5 C ．23：14 D ．47：29 【答案】D 10．（2011台湾全区）关于方程式95)2(882=-x 的两根，下列判断何者正确？ A ．一根小于1，另一根大于3 B ．一根小于－2，另一根大于2 C ．两根都小于0 D ．两根都大于2 【答案】A 11. （2011江西）已知x =1是方程x 2+bx -2=0的一个根，则方程的另一个根是（ ） A.1 B.2 C.-2 D.-1 【答案】C 12. （2011福建泉州）已知一元二次方程x 2－4x +3=0两根为x 1、x 2, 则x 1·x 2=（ ）. A. 4 B. 3 C. －4 D. －3

一元二次方程——动点问题

Day5：一元二次方程之 动点问题 一元二次方程解决问题 1．动点问题 几何图形应用题，关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程. 常见题型：选择题、解答题，求最值问题. 易错点：找准动点的关系. 中考回顾：常考，求最值或三角形为直角三角形等等. 例1如图，点O 在线段AB 上，AO=1，OB=2，OC 为射线，且∠BOC=120°，动点P 以每秒2个单位长度的速度从点O 出发，沿射线OC 作匀速直线运动．设运动时间为t 秒，当△ABP 为直角三角形时，t 的值为（） A． t=1B．t=1或8﹣ C．t=8D．t=1或8

例2如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止，其中P、Q不与A、B重合. （1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？ （2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？ （3）在（1）中，△PBQ的面积能否等于7cm2？请说明理由. 例3如图，在平面直角坐标系中，过原点O及点A（0,2）、C（6,0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D.点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动.设移动时间为t秒，则当t为何值时，△PBQ为直角三角形？

参考答案 1. 【答案】B 【考点】本题考查了动点问题，结合三角形，注意画出图形，帮助理解． 【解析】如图1， 当∠PAB=90°时， ∵∠BOC=120°， ∴∠AOP=60°， ∴∠APO=30°， ∴OP=2OA=2， ∵OP=2t， ∴t=1； 如图2，当∠APB=90°，过P 作PD⊥AB， ∵∠OPD=120°﹣90°=30°，∴OD=1 2∴AD=AO﹣OD=1﹣t， 在Rt△ABP 中，根据勾股定理得：AP 2+BP 2=AB 2，即（2+t）222+（1﹣t）2=32， 解得：t=8﹣（负值舍去）； 当∠ABP=90°时，此情况不存在； 综上，当t=1或t=8﹣时，△ABP 是直角三角形． 2. 【答案】（1）1秒（2）2秒（3）不能 【考点】一元二次方程在三角形中动点问题的应用. 【解析】（1）设x 秒后，△PBQ 的面积等于4cm2. 此时，AP=x cm，PB=（5-x）cm，BQ=2x cm， 由S △PBQ =4BQ PB 21 =?得()42-521 =?x x ， 整理得0452=+-x x ，解得x 1=1，x 2=4. 当x=4时，2x=8>7，不合要求. 所以1秒后，△PBQ 的面积等于4cm2. （2）设x 秒后，PQ 的长度等于5cm.