双曲线的定义及其标准方程 导学及练习 含答案
课题 双曲线及其标准方程
【学本研读】
【学习目标】
1.通过类比椭圆的定义理解并掌握双曲线的定义；
2.掌握双曲线的标准方程，体会数形结合和类比的数学思想.
【知识链接】
一、课前准备
1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？
2：在椭圆的标准方程122
22=+b y a x 中， a,b,c 有何关系？
3：阅读课本P52-55.
【研读学本问题】
一、双曲线的定义
1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？
2.双曲线的定义： 叫做双曲线。两定点1F , 2F 叫做双曲线的____，两焦
点间的距离|21F F |叫做双曲线的．
3.设常数为2a ，为什么2a < |21F F |？
2a = |21F F |时，轨迹是__________ ；
2a > |21F F |时，轨迹是____________
例1.点 A ( 1,0) ， B (-1 ,0) ，
若 ||AC |- |BC ||= 2 ，则点C 的轨迹方程是__________ ；
若 |AC |- |BC |= 1 ，则点C 的轨迹方程是__________ .
二、双曲线的标准方程
1．试根据双曲线的定义结合椭圆标准方程的推导过程推导双曲线的标准方程
2.总结双曲线的标准方程的特点，与椭圆的标准方程进行比较
例2：求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在x轴上，4
a=，3
b=.
（2）焦点在x轴上，经过点(，.
（3）焦点为(0,6)
-，(0,6)，且经过点(2,5)
-.
例3双曲线1
9
16
2
2
=
-
y
x
上一点p到焦点）
（0,5的距离为15，那么该点到另一个焦点的距离为
【变式1】双曲线22
4640
x y
-+=上一点P到它的一个焦点的距离等于1，求点P到另一个焦点的距离.
.
【变式2】双曲线136
642
2=-y x 上一点P 到焦点）（0,10-的距离为17，那么该点到另 一个焦点）（0,10-的距离为___。
【基础测试】
1.已知A （2，－3），B （－4，－3），动点P 满足|PA|-|PB|=6，则P 点轨迹分别是（ ）
A.双曲线
B.两条射线
C.双曲线的一支
D.一条射线
2.双曲线22
13x y m m
-=+的一个焦点为（2，0），则m=（ ）
A.12
B.1或3 3．k >9是方程x 2
9－k ＋y 2
k －4＝1表示双曲线的( )
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分又不必要条件
4.若方程12
12
2=+--m y m x 表示焦点在y 轴上的双曲线，求m 的取值范围.
5.在△ABC 中，已知24=c ，且三边a 、b 、c 满足2a+c=2b ，建立适当的坐标系，求定点C 的轨迹
【拓展提升】
1．已知点)0,4(1-F 和)0,4(2F ，曲线上的动点P 到1F 、2F 的距离之差为6，则曲线方程为（ ）
A ．17
922=-y x B ．)0(1792
2>=-y x y C ．17922=-y x 或17
922=-x y D ．)0(1792
2>=-x y x 2．“ab<0”是“方程c by ax =+22表示双曲线”的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
3．P 为双曲线122
22=-b
y a x 上的一点，F 为一个焦点，以PF 为直径的圆与圆222a y x =+的位置关系是（ ）
A ．内切
B ．内切或外切
C ．外切
D ．相离或相交
4．若椭圆)0(122>>=+n m n y m x 和双曲线)0(12
2>>=-b a b
y a x 有相同的焦点1F 、2F ，P 是两曲线的一个公共点，则||||21PF PF ?的值是（ )
A ．m-a
B ．)(2
1a m - C ．22a m - D. m+a
5．双曲线m y x =-222的一个焦点是)3,0(，则m 的值是_________。
6．过双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的焦点且垂直于x 轴的弦的长度为_______。 7.已知方程11
922
=+-m y x 表示双曲线，则m 的取值范围是_________，此时双曲线的焦点坐标是________________，焦距是________________；
【变式】若将9改成m +2，则m 的取值范围是_____。
8．已知双曲线过点A （-2，4）、B （4，4），它的一个焦点是)0,1(1F ，求它的另一个焦点2F 的轨迹方程。
9．设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点且与椭圆相交，在第一象限的交点A
的纵坐标为4，求此双曲线的方程．
10.已知 A , B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340m / s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
11.已知方程x 2
2－k ＋y 2
k －1＝1表示的图形是：(1)双曲线；(2)椭圆；(3)圆．试分
别求出k 的取值范围．
12.已知圆和圆，动圆M 同时与圆及圆2219:(3)4
C x y ++=222:(3)9C x y -+=1C
相外切，求动圆圆心的轨迹方程.
13.已知双曲线的左.右焦点分别为.，若双曲线上一点P 使得，求的面积.
若把本例中的“”改为“”，求的面积．
【总结与反思】
答案：
例1：（1）()110≥-≤=x x y 或
（2）13
4422=-y x 例2：（1）221169
x y -=；（2）2213y x -=（3）2212016y x -= 例3 ： 7或23 变式1 ： 17 变式2 ： 33
基础测试
1-3 BAC 4.m<-2
5.以BC 边所在直线为x 轴，BC 中点为原点建系
()01622
2>=-x y x
2C 22
1916
x y -=1F 2F 1290F PF ∠= 12F PF ?1290F PF ∠= 1260F PF ∠= 12F PF ?
拓展提升 1-4 DABA 5.-2 6.a
b 2
2
7.1->m ()0,10m +±m +102 变式：1m >-或2m <-.
8.()()()0116
425122≠=-+-y y x 9.15
42
2=-x y 10.
以AB 所在直线为x 轴，AB 中点为原点建系()0157600
1024002
2>=-x y x 11.(1)12<>k k 或(2)21< 3= k 12.()01159162 2<=-x y x 13.16 316 §9．6 双曲线 1．双曲线的概念 平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a<2c)，则点P的轨迹叫____________．这两个定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫________． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0： (1)当________时，P点的轨迹是双曲线； (2)当a＝c时，P点的轨迹是____________； (3)当________时，P点不存在． 标准方程 x2 a2 － y2 b2 ＝1 (a>0，b>0) y2 a2 － x2 b2 ＝1 (a>0，b>0) 图形 性质 范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点 顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝± b a x y＝± a b x 离心率e＝ c a ，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线 的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的 半虚轴长 a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) [难点正本疑点清源] 1．双曲线中a，b，c的关系 双曲线中有一个重要的Rt△OAB(如右图)， 它的三边长分别是a 、b 、c ．易见c 2＝a 2＋b 2 ， 若记∠AOB ＝θ，则e ＝c a ＝1 cos θ ． 2．双曲线的定义用代数式表示为||MF 1|－|MF 2||＝2a ，其中2a <|F 1F 2|，这里要注意两点： (1)距离之差的绝对值． (2)2a <|F 1F 2|． 这两点与椭圆的定义有本质的不同： ①当|MF 1|－|MF 2|＝2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； ②当|MF 1|－|MF 2|＝－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； ③当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； ④当2a >|F 1F 2|时，动点轨迹不存在． 3．渐近线与离心率 x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为b a ＝ b 2 a 2＝c 2－a 2a 2 ＝e 2 －1．可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小． 1．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，一曲线上的动点P 到F 1，F 2距离之差为6，该曲线方程 是 _____________________________________________________________________． 2．双曲线mx 2 ＋y 2 ＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝___________________________． 3．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________． 4．(2011·山东)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 2 9 ＝1有相同的焦点，且 双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________． 5．若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1 (a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的 离心率为 ( ) A ． 5 B ．5 C ． 2 D ．2 题型一 双曲线的定义 例1 已知定点A (0,7)、B (0，－7)、C (12,2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，求另一焦点F 的轨迹方程． 探究提高 双曲线的定义理解到位是解题的关键．应注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是双曲线的两支，还是双曲线的一支．若是一支，是哪一支，以 双曲线及其标准方程 【学习目标】 1．知识与技能： 从具体情境中抽象出双曲线的模型；掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形；能正确推导双曲线的标准方程． 2．过程与方法： 学生亲自动手尝试画图、发现双曲线的形成过程进而归纳出双曲线的定义、图象和标准方程． 3．情感态度与价值观： 了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步感受数形结合的基本思想在解析几何中的作用． 【要点梳理】 要点一：双曲线的定义 把平面内到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于12F F ）的点的集合叫作双曲线． 定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距． 要点诠释： 1． 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：常数=1212PF PF F F -<，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2． 若常数分别满足以下约束条件，则动点的轨迹各不相同： 若 常数=1212PF PF F F -<（常数0>），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点2F 的一支； 若 常数=2112PF PF F F -<（常数0>），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点1F 的一支． 若 常数=1212PF PF F F -=，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）； 若 常数=1212PF PF F F ->，则动点轨迹不存在； 若 常数=12=0PF PF -，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线． 要点二：双曲线的标准方程 1．双曲线的标准方程 2．标准方程的推导 如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分为4步：建系、设点、列式、化简． （1）建系 取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系． （2）设点 设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)． （3）列式 设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a． 由定义可知，双曲线就是集合：P={M||M F1|-|M F2||=2a}={M|M F1|-|M F2|=±2a}． ∵2222 12 ||(),||(), MF x c y MF x c y ++=-+ ∴2222 ()()2 x c y x c y a ++-+=± (4)化简 将这个方程移项，得 当焦点在x轴上时， 22 22 1 x y a b -=(0,0) a b >>，其中222 c a b =+； 当焦点在y轴上时， 22 22 1 y x a b -=(0,0) a b >>，其中222 c a b =+ §2.3 双曲线 2．3.1 双曲线的标准方程 一、基础过关 1． 双曲线x 210－y 2 2 ＝1的焦距为________． 2． 已知双曲线的a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为__________________． 3． 若点M 在双曲线x 216－y 2 4＝1上，双曲线的焦点为F 1，F 2，且MF 1＝3MF 2，则MF 2＝___. 4． 已知双曲线的一个焦点坐标为(6，0)，且经过点(－5,2)，则双曲线的标准方程为 ____________． 5． 若方程y 24－x 2 m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是________． 6． 双曲线5x 2 ＋ky 2 ＝5的一个焦点是(6，0)，那么实数k 的值为________． 7． 椭圆x 2 34＋y 2n 2＝1和双曲线x 2n 2－y 2 16 ＝1有相同的焦点，则实数n 的值是________． 8． 若双曲线x 2 －4y 2 ＝4的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2的直线交右支于A 、B 两点，若AB ＝5，则△AF 1B 的周长为________． 二、能力提升 9． 在平面直角坐标系xOy 中，方程 x 2 k －1＋ y 2 k －3 ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值 范围为________． 10．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1→2PF 2→ ＝0， PF 12PF 2＝2，则双曲线的标准方程为____________． 11． 如图，已知定圆F 1：x 2 ＋y 2 ＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2 ＋y 2 －10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1、 F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程． 12．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2 ＋9y 2 ＝36有相同的焦点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点M 在双曲线上，F 1、F 2为左、右焦点，且MF 1＋MF 2＝63，试判别△MF 1F 2的形状． 三、探究与拓展 13．A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 正东6千米，C 在B 北偏西30°，相距4千米，P 为敌炮阵地，某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于B 、C 两地比A 距P 地远，因此4 s 后，B 、C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s ，求A 应沿什么方向炮 2．2 双曲线 2．2.1 双曲线及其标准方程 【课标要求】 1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题． 【核心扫描】 1．用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程．(重点) 2．与双曲线定义有关的应用问题．(难点 ) 自学导引 1．双曲线的定义 把平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F 1F 2|”，那么“常数等于|F 1F 2|”，“常数大于|F 1F 2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？ 提示 (1)若“常数等于|F 1F 2|”时，此时动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线F 1A ，F 2B (包括端点)，如图所示． (2)若“常数大于|F 1F 2|”(3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线． 想一想：如何判断方程x a 2－y b 2＝1(a >0，b >0)和y a 2－x b 2＝1(a >0，b >0)所表示双曲线的焦点 的位置？ 提示 如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 名师点睛 1．对双曲线定义的理解 (1)把定常数记为2a ，当2a <|F 1F 2|时，其轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，其轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线(包括端点)；当2a >|F 1F 2|时，其轨迹不存在． (2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F 1、F 2表示双曲线的左、右焦点，且点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则点P 在右支上；若点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2a ，则点P 在左支上． (3)双曲线定义的表达式是|||PF 1|－|PF 2|＝2a (0<2a <|F 1F 2|)． (4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离．” 2．双曲线的标准方程 (1)只有当双曲线的两焦点F 1、F 2在坐标轴上，并且线段F 1F 2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程． (2)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件， 《双曲线及其标准方程》练习题一 1．设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方 程是( ) A.x 29－y 216＝1 B.y 29－x 216＝1 C.x 29－y 216＝1(x ≤－3) D.x 29－y 2 16 ＝1(x ≥3) 2．“ab<0”是“方程c by ax =+22表示双曲线”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 3．双曲线的两焦点坐标是F 1(3,0)，F 2(－3,0)，2b ＝4，则双曲线的标准方程是( ) A.x 25－y 24＝1 B.y 25－x 24＝1 C.x 23－y 22＝1 D.x 29－y 2 16 ＝1 4．方程x ＝3y 2－1所表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．双曲线的一部分 D ．椭圆的一部分 5．双曲线x 216－y 2 9 ＝1上一点P 到点(5,0)的距离为15，那么该点到点(－5,0)的距 离为( ) A ．7 B ．23 C ．5或25 D ．7或23 6．圆P 过点 ，且与圆 外切，则动圆圆心P 的轨迹方程（ ）． A ． ； B ． C ． D ． 7．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 2 2 ＝1有相同的焦点，则a 的值是( ) A.12 B ．1或－2 C ．1或12 D ．1 8. 已知ab<0，方程y= —2x+b 和bx 2+ay 2=ab 表示的曲线只可能是图中的（ ） 9．双曲线m y x =-222的一个焦点是)3,0(，则m 的值是_______。 10．过双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的焦点且垂直于x 轴的弦的长度为_____。 双曲线及其标准方程(1) 福建师大附中苏诗圣 教学目标：理解双曲线的定义，明确焦点、焦距的意义；能根据定义，按求曲线方程的步骤导出双曲线的标准方程，并能熟练写出两类标准 方程；培养学生分析问题能力和抽象概括能力。学会用辩证的观 点从椭圆的定义到双曲线定义的“变化”中认识其“不变”性， 并从中发现数学曲线的简洁美和对称美，培养学生学习数学的兴 趣。 教学重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程． (解决办法：通过一个简单实验得出双曲线，再通过设问给出 双曲线的定义；对于双曲线的标准方程通过比较加深认识．) 教学难点：双曲线的标准方程的推导 (解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导 类比．) 教学方法：启发式 教学过程：复习椭圆的定义及标准方程→新知探索→数学实验→双曲线→展示现实生活中的双曲线→双曲线的定义 →对定义的思考→双曲线标准方程的推导→例与练 →课堂小结→作业→研究性学习 一、复习引入： 前面我们已经学习了椭圆的有关知识，请同学们回忆一下椭圆的定义。 问题1：椭圆的定义是什么？ (板书)平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。 二、新知探索 1、思考：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么这样 点是否存在？若存在，轨迹会什么？ 2、实物拉链演示：双曲线的形成(请同学参与协助画图) (取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边的长度相等，现将 其中的一边剪掉一段(长为2a)，两端点分别固定在黑板的两个定点 F1、F2上，把粉笔放在拉链关上，随着拉链的逐渐拉开或闭合，粉 练习题 高二一部数学组 刘苏文 2017年5月2日 一、选择题 1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．一条直线 C ．一条线段 D ．两条射线 2．已知方程x 21＋k －y 2 1－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( ) A ．－1 课时作业(十) [学业水平层次] 一、选择题 1．方程x 22＋m －y 2 2－m ＝1表示双曲线，则m 的取值范围( ) A ．－2＜m ＜2 B ．m ＞0 C ．m ≥0 D ．|m |≥2 【解析】 ∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m )(2－m )＞0. ∴－2＜m ＜2. 【答案】 A 2．设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( ) A.x 29－y 2 16＝1 B.y 29－x 2 16＝1 C.x 29－y 2 16＝1(x ≤－3) D.x 29－y 2 16＝1(x ≥3) 【解析】 由题意知，轨迹应为以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线的右支．由c ＝5，a ＝3，知b 2＝16， ∴P 点的轨迹方程为x 29－y 2 16＝1(x ≥3)． 【答案】 D 3．(2014·福州高级中学期末考试)已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( ) A.x 22－y 2 3＝1 B.x 23－y 2 2＝1 C.x 24－y 2 ＝1 D ．x 2 －y 2 4＝1 【解析】 由? ?? |PF 1|· |PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(25)2 ， ?(|PF 1|－|PF 2|)2＝16， 即2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝5，所以b ＝1，故选C. 【答案】 C 4．已知椭圆方程x 24＋y 2 3＝1，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为( ) A.2 B. 3 C ．2 D ．3 【解析】 椭圆的焦点为(1,0)，顶点为(2,0)，即双曲线中a ＝1，c ＝2，所以双曲线的离心率为e ＝c a ＝2 1＝2. 【答案】 C 二、填空题 5．设点P 是双曲线x 29－y 2 16＝1上任意一点，F 1，F 2分别是其左、右焦点，若|PF 1|＝10，则|PF 2|＝________. 【解析】 由双曲线的标准方程得a ＝3，b ＝4. 于是c ＝ a 2＋ b 2＝5. (1)若点P 在双曲线的左支上， 双曲线及其标准方程习题 一、 单选题 (每道小题 4 分 共 56 分 ) 1. 命题甲：动点 P 到两定点 A 、B 距离之差│ |PA| |PB| │ =2a(a 0)；命题乙； P 点轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 [ ] A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 2. 若双曲线 2kx 2 ky 2 的一个焦点是 (0 ， 4) ，则 等于 [ ] = 1 k A ． 3 B ． 5 ． 3 D ． 5 32 8 C 32 8 3. 点 P 到点 ( 6 ， 0) 与它关于原点的对称点的距离差的绝对值等于 10 ，则 点 P 的轨迹方程是 [ ] A ． x 2 y 2 = 1 B ． x 2 y 2 = 1 25 11 61 25 C ． x 2 y 2 = 1 D ． x 2 y 2 = 1 25 6 11 25 4. k ＜ 5是方程 x 2 y 2 [ ] k 5 + = 1表示双曲线的 6 k A ．既非充分又非必要条件 B ．充要条件 C ．必要而非充分条件 D ．充分而非必要条件 5. 如果方程 x 2 sin y 2 cos =1 表示焦点在 y 轴上的双曲线，那么角 的终边在 [ ] A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 6. 下列曲线中的一个焦点在直线 4x 5y + 25 = 0 上的是 [ ] A ． x 2 y 2 = 1 B ． x 2 + y 2 = 1 9 16 25 16 C ． y 2 x 2 = 1 D ． y 2 x 2 = 1 9 16 25 + 16 7. 若 a · b 0，则 ax 2 ay 2 =b 所表示的曲线是 [ ] A ．双曲线且焦点在 x 轴上 B ．双曲线且焦点在 y 轴上 C ．双曲线且焦点可能在 x 轴上，也可能在 y 轴上 D ．椭圆 8. 以椭圆 x 2 + y 2 9 = 1的焦点为焦点，且过 P(3， 5)点的双曲线方程为 25 [ ] A ． x 2 y 2 = 1 B ． y 2 x 2 = 1 6 10 10 6 C ． 9y 2 x 2 D ． 11y 2 x 2 = 1 = 1 《双曲线的定义及其标准方程》 知识点一：双曲线的定义 把平面内与两个定点F 1，F 2距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 知识点二：双曲线的标准方程 焦点所在的坐标轴 x 轴 y 轴 标准方程 图形 焦点坐标 F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) a ，b ，c 的关系式 a 2＋b 2＝c 2 题型一：双曲线的定义及应用 例1：若F 1，F 2是双曲线x 29－y 2 16 ＝1的两个焦点．若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离． 例2、已知方程x 21＋k －y 2 1－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是 题型二：求双曲线的标准方程 例1、根据下列条件，求双曲线的标准方程： （1）c ＝6，经过点A (－5,2)，焦点在x 轴上； （2）a ＝4，经过点A ? ???1，－4103； （3）过点P ????3，154，Q ??? ?－163，5且焦点在坐标轴上； （4）与双曲线x 216－y 24 ＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)； （5）以椭圆x 23＋y 24 ＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点。 课后训练 类型一：双曲线的定义及应用 1、若双曲线E ：x 29－y 216 ＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于 2、若方程x 2k ＋3＋y 2 k ＋2 ＝1，k ∈R 表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是 3、双曲线x 24－y 216 ＝1的焦点坐标为________． 4、设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29 ＝1的一个焦点，则m ＝________. 5、已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2 b 2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( ) 6、设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224 ＝1的两个焦点，P 是双曲线上一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于________. 7、已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在双曲线上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝ 类型一：求双曲线的标准方程 1、求满足下列条件下的双曲线的标准方程 （1）若a ＝3，b ＝4 （2）a ＝25，经过点A (2，－5)，焦点在y 轴上 [学业水平训练] 1．动点P 到点M (1,0)及点N (3,0)的距离之差为2，则点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线 D ．一条射线 解析：选D.依题意|PM |－|PN |＝2＝|MN |， 所以点P 的轨迹不是双曲线，而是一条射线． 2．若方程x 210－k ＋y 2 5－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( ) A ．(5,10) B ．(－∞，5) C ．(10，＋∞) D ．(－∞，5)∪(10，＋∞) 解析：选A.由题意得(10－k )(5－k )<0，解得5 双曲线及其标准方程（一） 教学目的： 1．使学生掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用； 2．通过对双曲线标准方程的推导，提升学生求动点轨迹方程的水平； 3．使学生初步会按特定条件求双曲线的标准方程； 4．使学生理解双曲线与椭圆的联系与区别以及特殊情况下的几何图形（射线、线段等）； 5．培养学生发散思维的水平 教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用 教学难点： 教 具：多媒体 教学过程： 一、复习引入： 1 椭圆定义： 平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭 圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 2.椭圆标准方程： （1）2222=+b y a x （2）2222=+b x a y 其中22b c a +=二、讲解新课： 1．双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于2 1F F ）的动点的轨迹叫双曲线 即 a MF MF 221=- 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距 概念中几个容易忽略的地方：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于2 1F F ” 2．双曲线的标准方程： 根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程：推导标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出双曲线的标准方程 过程如下：（1）建系设点；（2）列式；（3）变换；（4）化简；（5）证 明 12 222=-b y a x ，此即为双曲线的标准方程 它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，焦点是)0,(),0,(21c F c F -，其中222 b a c += 若坐标系的选择不同，可得到双曲线的不同的方程，如焦点在 y 轴上，则焦点是),0(),,0(21c F c F -，将y x ,互换，得到122 22=-b x a y ，此也是双曲线的标准方程 3．双曲线的标准方程的特点： （1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种： 焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：122 22=-b y a x (0>a ,0>b )； 焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：122 22=-b x a y (0>a ,0>b ) (2)c b a ,,相关系式222 b a c +=成立，且0 ,0,0>>>c b a 其中a 与b 的大小关系有三种情况。 4.焦点的位置：从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2 x 、2 y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即 2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上 5.双曲线与椭圆之间的区别与联系 三、讲解范例： 例1 已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21F F -，双曲线上一点P 到)0,5()0,5(21F F ，-的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程 变题1：将条件改为双曲线上一点P 到 1F ,2F 的距离的差等于6,如何? 变题2：将条件改为双曲线上一点P 到1F ,2F 的距离的差的绝对值等于10,如何? 例2 四、课堂练习： 五、小结 ： 1、双曲线的两类标准方程是)0,0(12222>>=-b a b y a x 焦点在x 轴上，)0,0(122 22>>=-b a b x a y 焦点 在 y 轴上 c b a ,,相关系式222b a c +=成立，且,0,0>>>c b a 其中a 与b 的大小关系：能够为 a b a b a ><=,, 双曲线的标准方程及其简单的几何性质 一、选择题 1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．一条直线 C ．一条线段 D ．两条射线 2．已知方程x 21＋k －y 2 1－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( ) A ．－1 人教新课标版（A ）高二选修1-1 2.2.1 双曲线及其标准方程（一）同步练习题 【基础演练】 题型一：双曲线的定义 平面内到两定点1F 、2F 的距离的绝对值为定值（小于|F F |21）的点的轨迹叫双曲线， 其中两定点为焦点，两焦点之间的距离为焦距，请根据以上知识解决以下1~4题。 1. 已知定点1F （-2，0）、2F （2，0），在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中为双曲线的是 A. 3|PF ||PF |21±=- B. 4|PF |PF |21±=- C. 5|PF ||PF |21±=- D. 4|PF ||PF |2 221±=- 2. 若动点P 到1F （-5，0）与P 到2F （5，0）的距离的差为8±，则P 点的轨迹方程是 A. 116y 25x 2 2=+ B. 116y 25x 2 2=- C. 19y 16x 2 2=+ D. 19 y 16x 2 2=- 3. 已知双曲线的两个焦点坐标为()2,2F 1--、( ) 2, 2F 2， 双曲线上一点P 到1F 、2F 的距离的差的绝对值等于22，求双曲线的方程。 4. 在△ABC 中，B （4，0）、C （-4，0），点A 运动时满足A sin 2 1 C sin B sin =-，求A 点轨迹。 题型二：双曲线的标准方程 （1）焦点在x 轴上，方程为1b y a x 22 22=-，焦点为F （c ±，0）； （2）焦点在y 轴上，方程为1b x a y 22 22=-，焦点为F （0，c ±）； （3）a 、b 、c 之间的关系：222c b a =+。 请根据以上知识解决5~7题。 5. 已知方程b ay ax 22=-，如果实数a 、b 异号，则它表示的曲线是 A. 焦点在x 轴上的双曲线 B. 焦点在y 轴上的双曲线 双曲线的定义及标准方程 题型一、圆锥曲线的标准方程 例1、讨论 19252 2 =-+ -k y k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 分析：由于9≠k ，25≠k ，则k 的取值范围为9 双曲线及其标准方程 （1） 理解双曲线的定义，明确焦点、焦距的意义；能根据定义，按求 曲线方程的步骤 导出双曲线的标准方程， 并能熟练写出两类标准 方程； 培养学生分析问题能力和抽象概括能力。 学会用辩证的观 点从椭圆的定义到双曲线定义的“变化”中认识其“不变”性， 并从中发现数学曲线的简洁美和对称美， 培养学生学习数学的兴 趣。 双曲线的定义和双曲线的标准方程． （ 解决办法：通过一个简单实验得出双曲线，再通过设问给出 双曲线的定 义；对于双曲线的标准方程通过比较加深认识． 双曲线的标准方程的推导 （解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程 的推导 类比． ） 教学过程：复习椭圆的定义及标准方程 7 新知探索 7 双曲线 7 展示现实生活中的双曲线 7 对定义的思考 7 双曲线标准方程的推导 7 课堂小结 7 作业 7 研究性学习 一、 复习引入： 前面我们已经学习了椭圆的有关知识， 请同学们回忆一下椭圆的定义。 问题 1：椭圆的定义是什么？ （板书）平面内与两定点 F i 、F 2的距离的和等于常数（大于|F I F 2|）的点的 轨迹叫做椭 圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做焦距。 二、新知探索 思考：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么这样 点是否存在？ 若存在，轨迹会什么？ 2、实物拉链演示：双曲线的形成（请同学参与协助画图） （取一条拉链，拉开它的 一部分，在拉开的两边的长度相等，现将 其中的一边剪掉一段（长为2a ），两端点分别固定在黑板的两个定点 F1、F2上，把粉笔放在拉链关上，随着拉链的逐渐拉开或闭合，粉 教学方法： 启发式 福建师大附中 苏诗圣 教学目标： 教学重点： 教学难点： 数学实验 7 双曲线的定义 7 例与练 1、 双曲线练习题含答案集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY- 双曲线及其标准方程习题 一、单选题(每道小题 4分共 56分 ) 1. 命题甲：动点P到两定点A、B距离之差│|PA||PB|│=2a(a0)；命题乙； P点轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的[ ] A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件D．既非充分也非必要条件 2. 3. 4. 5. 如果方程x2siny2cos=1表示焦点在y轴上的双曲线，那么角的终边在 [ ] A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限 6. 7. 若a·b0，则ax2ay2=b所表示的曲线是[ ] A．双曲线且焦点在x轴上B．双曲线且焦点在y轴上 C．双曲线且焦点可能在x轴上，也可能在y轴上D．椭圆 8. 9. 10. 11. 12. 13. 已知ab0，方程y=2xb和bx2ay2=ab表示的曲线只可能是图中的 [ ] 14. 二、填空题(每道小题 4分共 8分 ) 1. 2. 双曲线的标准方程及其简单的几何性质 1．平面内到两定点E、F的距离之差的绝对值等于|EF|的点的轨迹是( ) A．双曲线B．一条直线 C．一条线段 D．两条射线 2．已知方程 x2 1＋k － y2 1－k ＝1表示双曲线，则k的取值范围是( ) A．－1 高二数学双曲线同步练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．双曲线 D ．两条射线 2．方程11122=-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是 （ ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-双曲线及其标准方程
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