等腰三角形存在性问题专项训练

l

B

A

第 讲：等腰三角形存在性问题专题训练

一、等腰三角形4大性质 （1）等边对等角、等角对等边； （2）三线合一；

（3）含有60°角的等腰三角形是等边三角形；

（4）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离等于腰上的高； 二、构造等腰三角形

二、特殊的等腰三角形

（1）等边三角形； （2）等腰直角三角形； （3）底角为30°的等腰三角形； （4

）黄金三角形 一、模型引入

引入：如图，已知线段AB ，在过A 点的直线l 上求作点P ，使△ABP 为等腰三角形.

思维提升：在平面直角坐标系内,已知点A (2,1),O 为坐标原点．请你在坐标轴上确定点P ,使得ΔAOP 为等腰三角形．在给出的坐标系中把所有这样的点P 都找出来,画上实心点,并在旁边标上P 1,P 2,……,

P k ,(有k 个就标到P K 为止,不必写出画法)

【答案】

二、典型分析

例1.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，BC =4AD =24，∠B =45°．直角三角板含45°角的顶点E 在边BC 上移动，一直角边始终经过点A ，斜边与CD 交于点F ．若△ABE 为等腰三角形，则CF 的长等于 ． 【答案】

，2，． 例2.如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片．点O 与坐标原点重合，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OC =4，点E 为BC 的中点，点N 的坐标为(30)，，过点N 且平行于y 轴的直线MN 与EB 交于点M ．现将纸片折叠，使顶点C 落在MN 上，并与MN 上的点G 重合，折痕为EF ，点F 为折痕与y 轴的交点．

（1）求点G 的坐标；

（2）求折痕EF 所在直线的解析式；

（3）设点P 为直线EF 上的点，是否存在这样的点P ，使得以P 、F 、G 为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

5

2

3 y x

C

F O

E

M

B

G

N

A

F

【答案】

解：（1）四边形ABCO 是正方形，4BC OA ∴==，

E 为CB 中点，2EB ∴=

MN y ∥轴，(30)N ，，MN EB ∴⊥且1MB NA ==

1EM ∴=

而2EG EC ==，1sin 2EM EGM EG ∴∠==

30EGM ∴∠=

cos303MG EG ∴==

· (34G ∴，

（2）

30EGM ∠=

60MEG FEG CEF ∴∠=∠=∠=

tan 6023CF CE ∴=

=·4FO

∴=-

(04F ∴-，，(24)E ，

设直线EF 的解析式：(0)y kx b k =

+≠

24

4k b b +=??∴?

=

-??

4k b ?=?∴?=-??

∴折痕EF

所在直线解析式：4y =

+-

（3

）12((14P P -

，，

，34(34P P -，， 综合训练

y

x

C

O

E

M

B

G

N

A

4P

3P

2P

1P

E

M B

C

N A

O

F

G

y

x

（2011湖南）如图（11）所示，在平面直角坐标系Oxy 中，已知点A (9

4

-，0)，点C (0，

3)，点B 是x 轴上一点(位于点A 的右侧)，以AB 为直径的圆恰好经过．．．．点C ． （1）求∠ACB 的度数；

（2）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A 、B 两点，求抛物线的解析式；

（3）线段BC 上是否存在点D ，使△BOD 为等腰三角形．若存在，则求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】

（1）∵以AB 为直径的圆恰好经过．．．．点C ∴∠ACB =0

90

（2） ∵△AOC ∽△ABC

∴OB AO OC ?=2

∵A (－9

4，0)，点C (0，3)， ∴4

9

=

AO 3=OC ∴OB 4

9

32

=

∴ 4=OB ∴B (4,0) 把 A 、B 、C 三点坐标代入得 312

7

3

12

++

-=x x y （3）

①OD =OB , D 在OB 的中垂线上，过D 作DH ⊥OB ,垂足是H ，则H 是OB 中点．DH =

OC 21 OB OH 21= ∴D )2

3,2( ② BD =BO 过D 作DG ⊥OB ,垂足是G ∴OG :OB =CD :CB DG :OC =1:5 ∴ OG :4=1:5 DG :3=1:5 ∴OG =54 DG =53

∴D (54,5

3)

一、模型引入

x

O

二、典例分析

例3（济南）如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AD =3，DC =5，AB =24，∠B =45°.动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长．

（2）试探究：t 为何值时，△MNC 为等腰三角形． 【答案】

（1）如图①，过A 、D 分别作AK BC ⊥于K ，

DH BC ⊥于H ，则四边形ADHK 是矩形

∴3KH AD ==．

在Rt ABK △

中，sin 4542

AK AB =??==

cos 4542

BK AB =??== 在Rt CDH △

中，由勾股定理得，3HC == ∴43310BC BK KH HC =++=++= （2）分三种情况讨论：

①当NC MC =时，如图②，即102t t =- ∴103

t =

C

A

D

C

B M

N

（图②）

（题图③）

A

D C

B

M N

H E

（图①）

A D

C

B

K H

②当MN NC =时，如图③，过N 作NE MC ⊥于E 解法一：

由等腰三角形三线合一性质得()11

102522

EC MC t t ==-=- 在Rt CEN △中，5cos EC t c NC t -=

=

又在Rt DHC △中，3

cos 5

CH c CD ==

∴535t t -= 解得258

t =

解法二：

∵90C C DHC NEC =∠=∠=?∠∠， ∴NEC DHC △∽△

∴

NC EC

DC HC =

即553t t -= ∴258

t = ③当MN MC =时，如图④，过M 作MF CN ⊥于F 点.11

22

FC NC t == 解法一：（方法同②中解法一）

1

32cos 1025t

FC C MC t ===- 解得60

17

t =

解法二：

∵90C C MFC DHC =∠=∠=?∠∠， ∴MFC DHC △∽△

∴

FC MC

HC DC =

即1102235

t

t -=

∴6017t = 综上所述，当103

t =、258t =或60

17t =时，MNC △为等腰三角形．

同类训练：

平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A 、B 的坐标分别为（3，0），（3，4）.动点M 、N 分别从O 、B 同时出发，以每秒1个单位的速度运动.其中，点M 沿OA 向终

（图④）

A

D

C

B

H N

M

F

点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动．过点N 作NP ⊥BC ，交AC 于P ，连结MP .已知动点运动了x 秒.

1.P 点的坐标为（ ______，_____ ）；（用含x 的代数式表示）.

2.试求三角形MPA 面积的最大值,并求此时x 的值.

3.探索:当x 为何值时,三角形MPA 是一个等腰三角形?你发现了几种情况?写出你的研究成果.

【答案】解：（1）由题意可知C （0，4），又A （3，0）， 所以直线AC 解析式为：4

43

y x =-

+， 因为P 点的横坐标与N 点的横坐标相同为3﹣x ，代入直线AC 中得43

y x =

， 所以P 点坐标为（4

3,

3

x x -）； （2）设△MP A 的面积为S ，在△MP A 中，MA =3﹣x ，MA 边上的高为4

3

x ，

其中，0≤x ≤3 ∴214233

(3)()23322

S x x x =

?-?=--+ S =（3﹣x ）·x =（﹣x 2+6x ）=﹣（x ﹣3）2+6 ∴S 的最大值为

3

2

，此时32x =；

（3）延长NP 交x 轴于Q ，则有PQ ⊥OA ①若MP =P A

∵PQ ⊥MA ∴MQ =QA =x ． ∴3x =3， ∴x =1

②若MP =MA ，则MQ =3﹣2x ，4

3

PQ x =，PM =MA =3﹣x 在Rt △PMQ 中， ∵PM 2=MQ 2+PQ 2

∴2224(3)(32)()3x x x -=-+ ∴5443

x =

③若P A=AM，

∵

5

3

PA x

=，AM=3﹣x

∴5

3

3

x x

=-∴

9

8

x=

综上所述，x=1，或

54

43

x=或

9

8

x=．

第四模块：其它类型

例4如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=900，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，经线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P、Q分别从D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动时间为t秒．

（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式．

（2）当t为何值时，以B、P、Q三点为项点的三角形是等腰三角形？

【答案】

解：（1）如图，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则

四边形PDCM为矩形．

∴PM=DC=12．

∵QB=16﹣t，

∴S=1

2

×12×（16﹣t）=96﹣6t（0≤t＜16）；

（2）由图可知：CM=PD=2t，CQ=t．

以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：①若PQ=BQ．

在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，

由PQ2=BQ2得t2+122=（16﹣t）2，

解得

7

2

t=；

②若BP=BQ．

在Rt△PMB中，BP2=（16﹣2t）2+122．由BP2=BQ2得：（16﹣2t）2+122=（16﹣t）2即3t2﹣32t+144=0．

由于△=﹣704＜0，

B

A

C

Q

D

P

M

∴3t 2﹣32t +144=0无解， ∴PB ≠BQ ． ③若PB =PQ ．

由PB 2=PQ 2，得t 2+122=（16﹣2t ）2+122 整理，得3t 2﹣64t +256=0．

解得116

3

t =，t 2=16（不合题意，舍去） 综合上面的讨论可知：当72t =秒或16

3

t =秒时，以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等

腰三角形． 综合训练：

（江苏）如图，已知一次函数y =-x +7与正比例函数y =4

3x 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B .

（1）求点A 和点B 的坐标；

（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l ∥y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒.

① t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？

② 是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．

【答案】

（1）根据题意，得74

3y x y x =-+??

?=??

，解得 3

4

x y =??

=?，∴A (3，4) . 令y =-x +7=0，得x =7．∴B （7，0）. （2）①当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4.

由S △APR =S 梯形COBA -S △ACP -S △PQR -S △ARB =8，得 12(3+7)×4-12×3×(4-t )- 12t (7-t )- 12t ×

4=8 整理,得t 2-8t +12=0, 解之得t 1=2,t 2=6（舍） 当P 在CA 上运动，4≤t ＜7.

由S △APR = 1

2

×(7-t ) ×4=8，得t =3（舍）

∴当t =2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8. ②当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4. ∴AP=（4-t ）2+32，AQ=2t ，PQ =7-t 当AP =AQ 时， （4-t ）2+32=2(4-t )2,

整理得，t 2-8t +7=0. ∴t =1, t =7(舍) 当AP=PQ 时，（4-t ）2+32=(7-t )2, 整理得，6t =24. ∴t =4(舍去) 当AQ=PQ 时，2（4-t ）2=(7-t )2 整理得，t 2-2t -17=0 ∴t =1±3 2 (舍)

当P 在CA 上运动时，4≤t ＜7. 过A 作AD ⊥OB 于D ,则AD =BD =4. 设直线l 交AC 于E ，则QE ⊥AC ，AE =RD =t -4，AP =7-t . 由cos ∠OAC= AE AQ = AC

AO ，得AQ = 53(t -4)．

当AP=AQ 时，7-t = 53(t -4)，解得t = 41

8.

当AQ=PQ 时，AE ＝PE ，即AE = 1

2AP

得t -4= 1

2(7-t )，解得t =5.

当AP=PQ 时，过P 作PF ⊥AQ 于F AF = 12AQ = 12×53(t -4).

在Rt△APF中，由cos∠P AF＝AF

AP＝

3

5，得AF＝

3

5AP

即1

2×

5

3(t-4)=

3

5×(7-t)，解得t=

226

43.

∴综上所述，t=1或41

8或5或

226

43时，△APQ是等腰三角形.

等腰三角形存在性问题的解决策略

《等腰三角形存在性问题的解决策略》学习单 问：等腰三角形有哪些主要的性质？ 出示问题1：已知△ABC中，一边AB=3，另两边BC=t，AC=2t-4, 若△ABC是等腰三角形则t= 出示问题2：如图在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, AB=10cm,AC=8cm,动点D从C出发沿着CB 以1cm/s的速度向终点B移动，动点E从B出发沿BA以3cm/s的速度向终点A移动，两点同时出发,当一点到达终点时另一点也随之停止。设运动的时间为t（s） （1）用t的代数式表示BE与BD的长；BE= ，BD= ； （2）是否存在时间t ，使△DBE是等腰三角形；若存在，求出所有符合条件的t的值；

（3）以BE,BD为邻边做平行四边形BDFE,是否存在时间t，使得EF平分∠AED或者DF平分∠CDE,若存在求出相应的时间t的值。 问题2拓展：如图在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, AB=10cm,AC=8cm,动点D从C出发沿着CB以1cm/s的速度向终点B移动，动点E从B出发沿BA以3cm/s的速度向终点A移动，两点同时出发,当一点到达终点时另一点也随之停止。设运动的时间为t（s） （4）以BE,BD为邻边做平行四边形BDFE,过点D,E,F做圆☉O,当t取何值时，☉O与△ABC的边BC或AB 相切。

问题3、已知△ABC中，AB=AC=5，BC=8，P是线段BC上的动点（不包括端点）作∠APQ=∠B,交AC于Q, （1）求证?ABP ～?PCQ （2）设CP=t,是否存在一点P ,使得△APQ是等腰三角形；若存在求出相应的t值，若不存在说明理由。 拓展：如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点H，连接BC.CD=24,BC=15. (1)求tan∠DCB的值; (2)P是劣弧AC上的动点,连接PD交AB于点E,当△APE为等腰三角形时,求AE的值.

2018年中考数学专题等腰三角形存在性问题(题型全面)压轴题

专题等腰三角形存在性问题 题型一：几何图形 1、如图（1），在△ABC中，AB=AC，∠A=36°． （1）直接写出∠ABC的度数； （2）如图（2），BD是△ABC中∠ABC的平分线． ①找出图中所有等腰三角形（等腰三角形ABC除外），并选其中一个写出推理过程； ②在直线BC上是否存在点P，使△CDP是以CD为一腰的等腰三角形？如果存在，请在图（3）中画出满足条件的所有的点P，并直接写出相应的∠CPD的度数；如果不存在，请说明理由．

变式一：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒． （1）当t=1时，求△ACP的面积． （2）t为何值时，线段AP是∠CAB的平分线？ （3）请利用备用图2继续探索：当t为何值时，△ACP是以AC为腰的等腰三角形？（直接写出结论） 变式二：如图，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，点P开始从点A 开始沿△ABC的边做逆时针运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿△ABC 的边做逆时针运动，且速度为每秒2cm，他们同时出发，设运动时间我t秒．（1）出发2秒后，求PQ的长； （2）在运动过程中，△PQB能形成等腰三角形吗？若能，则求出几秒后第一次形成等腰三角形；若不能，则说明理由； （3）从出发几秒后，线段PQ第一次把直角三角形周长分成相等的两部分？

变式三：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB 的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB与点D、点E，图①，②，③是旋转得到的三种图形． （1）观察线段PD和PE之间的有怎样的大小关系，并以图②为例，加以说明；（2）△PBE是否构成等腰三角形？若能，指出所有的情况（即求出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能请说明理由． 变式四：如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点E是边CD上任意一点（点E 与点C、D不重合），过点A作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，连接EF，交边AB于点G．设DE=x，BF=y． （1）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）如果AD=BF，求证：△AEF∽△DEA； （3）当点E在边CD上移动时，△AEG能否成为等腰三角形？如果能，请直接写出线段DE的长；如果不能，请说明理由．

等腰三角形和直角三角形专项练习题

等腰三角形和直角三角形专项练习题 一、选择题 1.等腰三角形一底角为30°,底边上的高为9cm,则腰长为（ ）cm ． A.3 B.18 C.9 D.39 2.已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3．则直角三角形的面积为（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 3.如图，△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，AE 平分∠BAC 交BC 于E ，BD ⊥AE 于D ，DM ⊥AC 于M ，连接CD ．下列结论：①AC+CE=AB ；②CD ＝21 AE ；③∠CDA=45°；④AM AB AC =定值．其中正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.等腰三角形的一个角等于20°, 则它的另外两个角等于:（ ） A.20°、140° B.20°、140°或80°、80° C.80°、80° D.20°、80° 5.如图，BE 和AD 是△ABC 的高，F 是AB 的中点，则图中的三角形一定是等腰三角形的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 6.下列命题正确的是（ ） A.等腰三角形只有一条对称轴 B.直线不是轴对称图形 C.直角三角形都不是轴对称图形 D.任何一角都是轴对称图形 7.等腰三角形两边分别为35厘米和22厘米,则它的第三边长为( ) A.35cm B.22cm C.35cm 或22cm D.15cm 8.下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（ ) A.两条直角边对应相等 B.有两条边对应相等 C.一条边和一锐角对应相等 D.一条边和一个角对应相等 9.等腰三角形中,AB 长是BC 长2倍,三角形的周长是40,则AB 的长为( ) A.20 B.16 C.20或16 D.18 10.如图已知:AB ＝AC ＝BD,那么∠1与∠2之间的关系满足( ) A.∠1＝2∠2 B.2∠1＋∠2＝180° C.∠1＋3∠2＝180° D.3∠1－∠2＝180° 二、填空题 1. 等腰三角形的腰长是底边的4 3，底边等于12cm ，则三角形的周长为______ cm. 2. 等腰三角形的底角是65°,顶角为________. 3. 等腰三角形的一个内角为100°,则它的其余各角的度数分别为_______. 4. 等腰三角形的顶角等于一个底角的4倍时, 则顶角为_________度． 5. 已知如图，A 、D 、C 在一条直线上AB ＝BD ＝CD, ∠C ＝40°,则∠ABD ＝_______ 6. 如图, ∠P ＝25°, 又PA ＝AB ＝BC ＝CD, 则∠DCM ＝_______度. 第7题 第5题 第6题

高一数学必修一专项练习：函数、方程与恒成立、存在性问题(江苏)

函数与方程与恒成立、存在性问题练习 1当 1(,3)||13 a x log x ∈<时，恒成立，则实数a 的范围是____ 2.已知2 sin cos 0a x x +->，x R ∈恒成立，则a 的范围为 3.若关于x 的不等式 a x x ≥++-21恒成立，试求a 的范围为 4.方程x(x -1)=a 有四个不相等的实数解求实数a 的范围为 5.如果方程cos 2 x －sinx ＋a ＝0在(0，π2]上有解，求a 的取值范围为 6.sinx=lgx 的实数解的个数为 7.已知函数 2x y a =+有零点，则实数a 的取值范围为 8.已知关于x 的方程 () 2log 20,1a x a a -=>≠有两解，则实数a 的范围为 9．方程lnx+2x=6的解一定位于区间（k ，k+1）内则k 的值为 10.已知函数f x =x 2?1,g x =a x ?1 . (1)若关于x 的方程 f(x) =g(x)只有一个实数解，求实数a 的取值范围；（a<0） (2)若x ∈R 时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a 的取值范围。(a ≤?2) 11. 已知函数a x ax x f 21)(2++-=（a 是常数且R a ∈） （1）若函数)(x f 的一个零点是1，求a 的值；（2）求)(x f 在][2,1上的最小值)(a g ； （3）记{} 0)(<∈=x f R x A 若φ=A ，求实数a 的取值范围. 解(1) 由题意知3 2022)1(=∴=+-=a a a f …………………2分 （2）][2,1,12)(2∈-+-=x a x ax x f ⅰ 当0=a 时3)2()(-==f a g ………………3分 ⅱ 当 0时抛物线开口向下，对称轴为12x a = 若 1 12a < 即12a >时，()(1)32g a f a ==- 若1122a ≤≤即11 42 a ≤≤时，11()()2124g a f a a a ==--

等腰三角形存在问题

压轴题（等腰三角形存在问题） 解题思路： 一、如果△ABC是等腰三角形，那么存在①________，②________，③_________三种情况． 二、已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线． 三、解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得 解题又好又快．○1几何法一般分三步：分类、画图、计算．○2代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验． 针对训练 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点D在坐标为(3，4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标． 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q 两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值． 3．如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴正半轴上的一个动点，直线PQ与直线AB垂直，交y轴于点Q，如果△APQ是等腰三角形，求点P的坐标．

4.（2016临沂市26题满分13分） 如图，在平面直角坐标系中，直线y=—2x+10与x轴、y轴相交于A、B两点.点C的坐标是（8,4），连接AC、BC. （1）求过O、A、C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状； （2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动.规定其中一个点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？ （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

等腰三角形测试题

等腰三角形测试题（2002-11-27） 一、填空题 1、等腰三角形的一内角是40°，则其他两角的度数分别是 2、等腰三角形顶角的外教是138°，它的一个底教是 3、已知一等腰三角形两边为2，4，则它的周长为 4、等腰三角形中，和顶角相邻的外角的平分线和底边的位置关系是 5、线段AB = 4cm ，M 是AB 垂直平分线上一点，MA = 4cm ，则∠MAB = 6、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a ，则其底边上的高为 7、一等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm 和18cm 两部分，则这个等腰三角形的底边长是 8、已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三边，且02 2 2 =---++ca bc ab c b a ，则三角形为 三角形 9、如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 为边向内作等边△ABD ，连结DC ，以DC 为边作等边△DCE ，B 、E 在C 、D 的同侧，若AC = BC = 1，则BE = 二、判断题 A 1、“等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直 于底边”的逆命题是真命题（ ） 2、等腰三角形的判定定理与它的性质定理是互逆 C 定理（ ） 3、在两个等腰三角形中，如果各有一个角是70°， B D 且这个角所对的边对应相等，那么这两个三角形全 E 等。（ ） 三、选择题 1、下列判断正确的是（ ） A 、 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等。 B 、 有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等。 C 、 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等。 D 、 有两角和一边对应相等的两个三角形全等。 2、下列命题中的假命题是（ ） A 、等腰三角形的底角一定是锐角。 B 、等腰三角形至少有两个角全等。 C 、等腰三角形的顶角一定是锐角。 D 、等腰三角形顶角的外角是底角的2倍。 3、下列命题中假命题是（ ） A 、等腰三角形一定是锐角三角形。 B 、等腰直角三角形一定是直角三角形。 C 、等边三角形一定是等腰三角形。 D 、等边三角形一定锐角三角形。 4、两个等腰三角形全等的条件是（ ） A 、有两条边对应相等。 B 、有两个角对应相等。 C 、有一腰和一底角对应相等。 D 、有一腰和一角对应相等。 5、下列作图语句中，正确的是（ ） A 、 作等腰三角形底边上的高，使它平分底边。 B 、 作等腰三角形底边上的高，使它平分顶角。 C 、 作等腰三角形底边上的高，使它平分底边且平分顶角。 D 、 作等腰三角形底边上的高，则高平分底边且平分顶角。 四、作图题 如图，A 、B 、C 三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要使学校到三个村庄的距离相等，请你在图中用尺规确定学校的位置。 C A B 五、证明题 1、已知，如图，△ABC 中，AB = AC ，AD ⊥ BC 于D ，BE ⊥ AC 于E ，AD 和BE 交于H ，且BE = AE ，求证：AH = 2BD 。 A H E B C 2、如图已知：在△ABC 中，AB = AC ，∠BAC = 120°，P 为BC 边的中点，PD ⊥AC 。求证：CD = 3AD 。 A D B P C

2020年中考数学 中考专题训练——存在性问题 (2)

存在性问题 1.如图，一次函数 13 3 +-=x y 的图象与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为边在第一象限内作等边△ABC ， (1)求△ABC 的面积； (2)如果在第二象限内有一点P （a ，)2 1；试用含有a 的代数式表示四边形ABPO 的面积，并求出当△ABP 的面积与△ABC 的面积相等时a 的值 (3)在x 轴上，是否存在点M ，使△MAB 为等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

2.某商场经营一批进价为2元一件的小商品，在市场营销中发现下商品的日销售单价x 元与日销售量y 件之间有如下关系： (1) 在所给的直角坐标系①中: ① 根据表中提供的数据描出实数对(x, y)的对应点； ② 猜测并确定日销售量y 件与日销售单价x 元之间的函数关系式，并画出图像。 (2) 设经营此商品的日销售利润(不考虑其他因素)为P 元，根据日销售规律： ① 试求日销售利润P 元与日销售单价x 元之间的函数关系式，并求出日销售单价x 为多少时，才能获得最大日销售利润。试问日销售利润P 是否存在最小值？若有，试求出，若无，请说明理由。 ② 在给定的直角坐标系(图2)中，画出日销售利润P 元与日销售单价x 元之间的函数图像的简图。观察图像，写出x 与P 的取值范围。 O x(元) y(件) · · · · · · · · · -2 · · · · · · 2 · 2 -2 · · · · · O x(元) y(件) · · · · · · · · · -6 · · · · · · 6 · 6 -6 · · · · ·

3.如图，直径为3的⊙O ‘ 经过原点O ，并且与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，线段OA 、OB （OA ＞OB ）的长分别是方程0602=++kx x 的两根. （1） 求线段OA 、OB 的长； （2） 已知点C 在劣弧OA 上，连结BC 交OA 于D ，当OC 2=CD ·CB 时，求C 点的坐标； （3） 在⊙O ‘ 上是否存在点P ，使S △POD =S △ABD .若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理 由.

初中数学 等腰三角形存在性问题

等腰三角形存在性问题 几何图形存在性问题是中考二次函数压轴题一大常见类型，等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等均有涉及，本系列从等腰三角形开始，逐一介绍各种问题及常规解法． 等腰三角形存在性问题 【问题描述】 如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形． 【几何法】“两圆一线”得坐标 （1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB． 【注意】若有三点共线的情况，则需排除． 作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．

C 21+23,0() C 11-23,0()C 1H =C 2H =13-1=23作AH ⊥x 轴于H 点，AH =1AC 1=AB=4-1()2+3-1()2=13 34C C 、同理可求，下求5C ． 显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A 、B 均往下移一个单位，当点A 坐标为（1,0），点B 坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解： 故C 5坐标为（ 196,0） 解得：x = 136 3-x ()2+22=x 2 设AC 5=x ，则BC 5=x ，C 5H =3-x AH =3， BH =2 而对于本题的5C ，或许代数法更好用一些．

【代数法】表示线段构相等 （1）表示点：设点5C 坐标为（m ，0），又A 点坐标（1,1）、B 点坐标（4,3） ， （2）表示线段：5AC = 5BC （3）分类讨论：根据 55AC BC = ， （4）求解得答案：解得：236m =，故5C 坐标为23,06?? ??? ． 【小结】 几何法：（1）“两圆一线”作出点； （2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标． 代数法：（1）表示出三个点坐标A 、B 、C ； （2）由点坐标表示出三条线段：AB 、AC 、BC ； （3）根据题意要求取①AB =AC 、②AB =BC 、③AC =BC ； （4）列出方程求解． 问题总结： （1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上； （2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解； （3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．

(完整版)一次函数与等腰三角形的存在性问题

一次函数与等腰三角形的存在性问题 一．选择题（共3小题） 1．在平面直角坐标系中有两点：A（﹣2，3），B（4，3），C是坐标轴x轴上一点，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点C共有（） A．2个B．3个C．4个D．6个 2．（2008?天津）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0），B（2，0），若点C在一次函数y=﹣x+2的图象上，且△ABC为直角三角形，则满足条件 的点C有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 3．（2016?江宁区一模）已知点A，B的坐标分别为（﹣4，0）和（2，0）， 在直线y=﹣x+2上取一点C，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点C 有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 二．填空题（共4小题） 4．（2015?杭州模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，0），B（2，0），设点C是函数y=﹣（x+1）图象上的一个动点，若△ABC是直角三角形，则点C的坐标是． 5．（2009秋?南昌校级期末）在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，2）、（0，0）、（3，0），若以点A、B、C、D为顶点构成平行四边形，则点D 的坐标应为． 6．（2009秋?扬州校级期中）在平面直角坐标系中若△ABC的顶点坐标分别为：A（3，0）、B（﹣1，0）、C（2，3）、若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为． 7．（2010春?江岸区期中）一个平行四边形在平面直角坐标系中三个顶点的 坐标分别是（﹣1，﹣1），（﹣2，3），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标 为． 三．解答题（共14小题） 8．四边形ABCD中，BD，AC相交于O，且BD⊥AC，求证：AB2+CD2=AD2+BC2．9．如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A，点B，在第一象限是 否存在点P，使以A，B，P为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

(完整)初二数学等腰三角形练习题

G F E D C A 第2章 三角形期中复习 【课前复习】 1、已知等腰三角形的一边长为5cm ，另一边长为6cm ，则它的周长为 。 2、等腰三角形底边长为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm.则腰长为 3、在等腰三角形中，设底角为0x ，顶角为0y ，用含x 的代数式表示y ，得y= ； 用含y 的代数式表示x ，则x= 。 4、如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠GEF= 5、有一个内角为40°的等腰三角形的另外两个内角的度数 为 .若一个角为140°呢，则另外两个角是 6、如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为10cm ，那么它的 三边长为 7、如图，把矩形ABCD 沿EF 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在 点G 处，若∠CFE=60o ，且DE=1，则边BC 的长为 ． 8、判定两个等腰三角形全等的条件可以是（ ）。 A 、有一腰和一角对应相等 B 、有两边对应相等 C 、有顶角和一个底角对应相等 D 、有两角对应相等 9、等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（ ） A 、顶角 B 、底角 C 、顶角的一半 D 、底角的一半 10、在△ABC 中，AB=AC ，下列推理中错误的是（ ） A 、如果AD 是中线，那么AD ⊥BC ，∠BAD=∠DAC B 、如果BD 是高，那么BD 是角平分线 C 、如果AD 是高，那么∠BAD=∠DAC 、BD=DC D 、如果AD 是角平分线，那么AD 也是BC 边的垂直平分线 11如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD 、CE 为中线，图中共有等腰三角形（ ）个 A 、4个 B 、6个 C 、3个 D 、5 12、如图，AB ＝AC ，AE ＝EC ，∠ACE ＝280 ，则∠B 的度数是（ ） A 、600 B 、700 C 、760 D 、450 13、三角形的三边长c b a ,,满足式子0)()(22=-+-+-a c c b b a ，那么这个三角形是（ ） A 、钝角三角形 B 、等边三角形 C 、等腰非等边三角形 D 、以上都不对 14、正三角形ABC 所在平面内有一点P ，使得△PAB 、△PBC 、△PCA 都是等腰三角形，则这样 的P 点有（ ） A 1个 B 4个 C 7个 D 10个 E C A E D A Q A 15题图 16题图 17题图

数学：存在性问题专项训练(一 九年级训练考试卷)

学生做题前请先回答以下问题 问题1：相似三角形存在性问题的处理思路是： ①从_______入手，分析定点、动点，找固定的边和角，确定三角形的形状；找相等的角当作__________； ②分析形成因素，考虑相似三角形的________，比如若有一组角相等，则只需_____________，依据判定确定__________，列出对应的关系式； ③画图求解，围绕对应的关系式，根据图形特征，表达相关线段长，用关系式列方程； ④结果验证，回归点的__________进行验证；____________，结合图形进行验证． 问题2：在“角度的存在性“专题中，有“若，则”这个结论， 尝试推导这个结论． 问题3：对比相似，全等，角度的存在性处理思路，在整体分析思路上有什么相同点？ 问题4：对比相似，全等，角度的存在性处理思路，在分析定点，动点之后各自分析的动作有什么不同？ 问题5：结合前面所学的存在性问题，思考对任意图形的存在性问题如何处理？ 存在性问题专项训练（一） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是( ) A.6 B.7 C.8 D.9 2.已知△ABC的三条边长分别为6，8，12，过△ABC任一顶点画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( ) A.6条 B.7条 C.8条 D.9条 3.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=3，BC=4，P是AB边上一点，

若△PCD是以点P为直角顶点的直角三角形，则AP的长为( ) A.1或6 B.3或4 C.或1或6 D.或3或4 4.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2．P是线段BC上一动点，Q是线段AC上一动点，且始终满足．当△CPQ是直角三角形时，CP的长为( ) A.0，2 B. C. D. 5.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处．当为直角三角形时，BE的长为( )

等腰三角形的存在性问题

10．（2016山东省临沂市）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x 轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC． （1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状； （2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t 秒，当t为何值时，PA=QA？ （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（2016山东省日照市）阅读理解： 我们把满足某种条件的所有点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．例如：角的平分线是到角的两边距离相等的点的轨迹． 问题：如图1，已知EF为△ABC的中位线，M是边BC上一动点，连接AM 交EF于点P，那么动点P为线段AM中点． 理由：∵线段EF为△ABC的中位线，∴EF∥BC，由平行线分线段成比例得：动点P为线段AM中点． 由此你得到动点P的运动轨迹是：． 知识应用： 如图2，已知EF为等边△ABC边AB、AC上的动点，连结EF；若AF=BE，且等边△ABC的边长为8，求线段EF中点Q的运动轨迹的长． 拓展提高： 如图3，P为线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），在线段AB的同侧分别作等边△A PC和等边△PBD，连结AD、BC，交点为Q． （1）求∠AQB的度数； （2）若AB=6，求动点Q运动轨迹的长．

12．（2016山东省日照市）如图1，抛物线 2 3 [(2)] 5 y x n =--+ 与x轴交于 点A（m﹣2，0）和B（2m+3，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连结BC． （1）求m、n的值； （2）如图2，点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN、BN．求△NBC面积的最大值； （3）如图3，点M、P分别为线段BC和线段OB上的动点，连接PM、PC，是否存在这样的点P，使△PCM为等腰三角形，△PMB为直角三角形同时成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（2016山西省）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 28 y ax bx =+-与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）． （1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标； （2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．

等腰三角形单元测试题(含答案)

等腰三角形典型例题练习

等腰三角形典型例题练习 一．选择题（共2小题） 1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（）A．5cm B．3cm C．2cm D．不能确定 2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且 在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N． 给出以下三个结论：①AE=BD ②CN=CM ③MN∥AB 其中正确结论的个数是（） A．0B．1C．2D．3 二．填空题（共1小题） 3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点， DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之 比等于_________． 三．解答题（共15小题） 4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上 的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF． 5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC， 分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC． 6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC， 垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC是什么三角形？并说明理由． 7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE． （1）∠E等于多少度？ （2）△DBE是什么三角形？为什么？ 8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD． 9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，

中考压轴题等腰三角形存在性问题 -

中考压轴题等腰三角形存在性问题 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈．动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等．解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况．以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射． 动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等．本专题原创编写面动形成的等腰三角形存在性问题模拟题． 在中考压轴题中，面动形成的等腰三角形存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类． 原创模拟预测题1．如图，抛物线 223 y x x =-++与y轴交于点C，点D（0，1），点P是 抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为． 【答案】（122）或（122）． 【分析】当△PCD是以CD为底的等腰三角形时，则P点在线段CD的垂直平分线上，由C、D坐标可求得线段CD中点的坐标，从而可知P点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得P 点坐标． 【解析】 ∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，∴点P在线段CD的垂直平分线上，如图，过P作 PE⊥y轴于点E，则E为线段CD的中点，∵抛物线 223 y x x =-++与y轴交于点C，∴C （0，3），且D（0，1），∴E点坐标为（0，2），∴P点纵坐标为2，在 223 y x x =-++中， 令y=2，可得 2232 x x -++=，解得x=12 ±，∴P点坐标为（122）或（12， 2），故答案为：（122）或（12，2）．

等腰三角形水平测试题及答案

E D C A F 八年级上册第12.3等腰三角形水平测试题 一.选择题(每小题3分,共24分) 1. 小明将两个全等且有一个角为60的直角三角形拼成如图1所示的图形，其中两条较长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（ ） Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．1 2、已知等腰三角形的一个角等于42°，则它的底角为 （ ）． A 、42 ° B 、69° C 、69°或84° D 、42°或69° 3、如图，ABC △中，AB AC =，30A ∠=，DE 垂直平分AC ，则BCD ∠的度数为（ ） Ａ．80 Ｂ．75 Ｃ．65 Ｄ．45 4、等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．30° 5、如图，已知等边三角形 ABC 中，BD CE =，AD 与BE 交于点P ，则 APE ∠的度数是（ ） A ．45 B ．55 C ．60 D ．75 （ A ， 6、如图是一个等边三角形木框，甲虫P 在边框AC 上爬行 C 端点除外） ，设甲虫P 到另外两边的距离之和为d ，等边三角 形ABC 的高为h ，则d 与h 的大小关系是（ ） Ａ．d h > Ｂ．d h < Ｃ．d h = Ｄ．无法确定 7. 如图，15A =∠，AB BC CD DE EF ====，则 D E F ∠等于（ ） A ．90 B ．75 C ．70 D ．60 8、如图，△MNP 中， ∠P=60°，MN=NP ，MQ ⊥PN ，垂足为 Q ，延长MN 至G ，取NG=NQ ，若△MNP 的周长为12，MQ=a ，则△MGQ 周长是（ ） A ．8+2a B ．8+a C ．6+a D ．6+2a 二.选择题(每小题3分,共24分) 1. 在△ABC 中，AB=AC ，若∠B=56o，则∠C=__________． 2.等腰三角形底边中点与一腰的距离为6，则腰上的高为______． 3.如图，在△ABC 中，AB=AC ，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，AE ∥DC 交BC 的延长线于点E ，已知∠E=36°，则∠B= ． 4.如图，在ABC △中，点D 是BC 上一点，80BAD ∠=° ，AB AD DC ==，则C ∠= ． 5. 等腰三角形至少对有a 条称轴，至多有 b 条 A F C D H B M E G

2021年中考数学压轴题提升训练圆中证明及存在性问题含解析

圆中证明及存在性问题 【例1】.如图，已知⊙A的半径为4，EC是圆的直径，点B是⊙A的切线CB上一个动点，连接AB交⊙A于点D，弦EF∥AB，连接DF，AF. （1）求证：△ABC≌△ABF； （2）当∠CAB=时，四边形ADFE为菱形； （3）当AB=时，四边形ACBF为正方形. B E 【分析】（1）由EF∥AB，得∠EFA=∠FAB，∠CAB=∠AEF，又∠AEF=∠AFE，得：∠BAC=∠BAF，又AB=AB，AC=AF，证得△ABC≌△ABF；（2）连接FC，根据ADFE为菱形，确定出∠CAB的度数；（3）由四边形ACBF是 正方形，得AB= AC. 【解析】解：（1）∵EF∥AB， ∴∠EFA=∠FAB，∠CAB=∠AEF， ∵AE=AF， ∴∠AEF=∠AFE，∴∠BAC=∠BAF， 又AB=AB，AC=AF，∴△ABC≌△ABF（SAS）；（2）如图，连接FC， B E ∵四边形ADFE是菱形， ∴AE=EF=FD=AD，

∵CE=2AE，∠CFE=90°， ∴∠ECF=30°，∠CEF=60°， ∵EF∥AB， ∴∠AEF=∠CAB=60°， 故答案为：60°； （3）由四边形ACBF是正方形，得AB AC. 【变式1-1】.如图，在△ABD中，AB＝AD，AB是⊙O的直径，DA、DB分别交⊙O于点E、C，连接EC，OE，OC． （1）当∠BAD是锐角时，求证：△OBC≌△OEC； （2）填空： ①若AB＝2，则△AOE的最大面积为； ②当DA与⊙O相切时，若AB，则AC的长为． 【答案】（1）见解析；（2）1 2；1. 【解析】解：（1）连接AC， ∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BD， ∵AD＝AB，∴∠BAC＝∠DAC，∴BC＝EC，又∵OB=OE，OC=OC，

二次函数与等腰三角形存在性问题

老师 学生学管师 学科 名称 年级上课时间月日 _ _ :00-- __ :00 课题 名称 等腰三角形的存在问题 教学 重点 教 学 过 程 1.（2011?）如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另 一点C（3，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 2.（2011?）如图．已知二次函数y=﹣x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于

点B． （1）求此二次函数关系式和点B的坐标； （2）在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3.（2011?）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别是（0，1）和（1，0），P是线段 AB上的一动点（不与A、B重合），坐标为（m，1﹣m）（m为常数）．

（1）求经过O、P、B三点的抛物线的解析式； （2）当P点在线段AB上移动时，过O、P、B三点的抛物线的对称轴是否会随着P的移动而改变；（3）当P移动到点（）时，请你在过O、P、B三点的抛物线上至少找出两点，使每个点都能与P、B两点构成等腰三角形，并求出这两点的坐标． 4.（2011?市綦江县潭已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点B（12，0）和C（0，－6），对称轴为x＝2．

（1）求该抛物线的解析式： （2）点D 在线段AB 上且AD ＝AC ，若动点P 从A 出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q 以某一速度从C 出发沿线段CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ 被直线CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间t （秒）和点Q 的运动速度；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的结论下，直线x ＝1上是否存在点M ，使△MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 4.（2011?贵港）如图，已知直线y=﹣x+2与抛物线y=a （x+2）2 相交于A 、B 两点，点A 在y 轴上，M 为抛物线的顶点． （1）请直接写出点A 的坐标及该抛物线的解析式； C A B y x O P D Q

等腰三角形练习题(含答案)

等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 1．已知等腰三角形的一个底角为50°，则其顶角为________． 2．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝6cm，AD平分∠BAC，则BD＝________cm. 第2题图第3题图 3．如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为() A．35° B．45° C．55° D．60° 4．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为() A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65° 5．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB＝AD＝DC，∠BAD＝40°，求∠C的度数． 6．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE＝AF. 求证：DE＝DF.

第2课时等腰三角形的判定 1．在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝70°，则△ABC为() A．等腰三角形B．直角三角形 C．等腰直角三角形D．钝角三角形 2．已知△ABC中，∠B＝50°，∠A＝80°，AB＝5cm，则AC＝________． 3．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，请你再添加一个条件，使其可以确定△ABC为等腰三角形，则添加的条件是________． 第3题图第4题图 4．如图，已知△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD为∠ABC的平分线，则图中共有________个等腰三角形． 5．如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F，且DE＝DF.求证：AB＝AC. 6．如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，FG平分∠EFD交直线AB于点G. 求证：△EFG是等腰三角形．

专题训练四 平行四边形的存在性问题

专题训练四 平行四边形的存在性问题 解平行四边形的存在性问题一般分为三个步骤： 第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算. 难点在与寻找分类标准，寻找恰当的分类标准，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又准又快. 如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点 如果已知两定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况. 灵活运用向量和中心对称的性质，可以使得解题简便. 1.如图，已知抛物线223y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为P.若以A 、C 、P 、M 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标. 2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，点M 在这条抛物线上，点P 在y 轴上，如果以点P 、M 、A 、B 为顶点 的四边形是平行四边形，求点M 的坐标. 3.将抛物线21:c y =x 轴翻折，得到抛物线2c ，如图示.现将抛物线1c 向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ；将抛物线2c 向右平移m 个单位长度，平移后得到新的抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D 、E.在平移过程中，是否存在以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形为矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由. 4.如图抛物线254y x bx c =- ++与y 轴交于点A(0,1)，过点A 的直线与抛物线交于另一点B(3, 52 )，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C. （1）求抛物线的表达式；